close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О распределении значений характеров Дирихле в последовательности сдвинутых простых чисел.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2013, том 56, №1
МАТЕМАТИКА
УДК 511.325
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан З.Х.Рахмонов
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЗНАЧЕНИЙ ХАРАКТЕРОВ ДИРИХЛЕ
В ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СДВИНУТЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ
Институт математики им. А.Джураева АН Республики Таджикистан
Получена новая оценка суммы значений примитивного характера Дирихле по модулю q на
5 
последовательности сдвинутых простых чисел p  l , (l q)  1 , p  x , нетривиальная при x  q 6
.
Это уточняет оценку Дж.Б.Фридландера, K.Гонга, И.Е.Шпарлинского, нетривиальную лишь при
8 
x  q9 .
Ключевые слова: характер Дирихле – сдвинутые простые числа – короткая сумма характеров –
метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова
Метод оценок тригонометрических сумм с простыми числами И.М.Виноградова позволил
ему решить ряд арифметических проблем с простыми числами. Одна из них касается распределения
значений неглавного характера на последовательностях сдвинутых простых чисел. В [1,2] он доказал:
если q – простое нечѐтное, (l q)  1 ,  (a) – неглавный характер по модулю q , тогда
T (  )    ( p  l )  x1
p x







1 q
1 
  x 6  
q x


(1)
1
При x  q
эта оценка нетривиальна и из неѐ следует асимптотическая формула для числа квад-
ратичных вычетов (невычетов) mod q вида p  l , p  x .
0 75  
Затем И.М.Виноградов [3–5] получил нетривиальную оценку T (  ) при x  q
, q – про-
стое. Этот результат был неожиданным. Дело в том, что T (  ) можно записать в виде суммы по нулям соответствующей L – функции Дирихле; тогда в предположении справедливости расширенной
1
гипотезы Римана для T (  ) получится нетривиальная оценка, но только при x  q .
В 1968 г. А.А.Карацуба [6,7] нашел метод, который позволил ему получить нетривиальную
оценку коротких сумм характеров в конечных полях фиксированной степени. В работе [8] он с помощью развития этого метода в соединении с методом И.М.Виноградова доказал: если q – простое,
 (a) – неглавный характер по модулю q , x  q
1 
2
, тогда
T (  )  xq
1 2
 1024

Адрес для корреспондентции: Рахмонов Зарулло Хусенович. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул.
Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: zarullo_r@mail.ru
5
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №1
Автор данной статьи ранее [9-11] обобщил оценку (1) на случай составного модуля и доказал:
пусть D – достаточно большое натуральное число,  – неглавный характер по модулю D ,  q –
примитивный характер, порожденный характером  , тогда
 1 q 2

1
T (  )  x ln 5 x 
  (q1 )  x 6 (q1 )  
 q x

(2)
где q1 – произведение простых чисел, делящих число D , но не делящих число q .
Если характер  совпадает со своим порождающим примитивным характером  q , то оценка (2)
принимает вид
T (  q )  x ln x
5







1 q
1 
  x 6  
q x


13
и она нетривиальна при x  q(ln q) .
В 2010 г. Дж.Б.Фридландер, К.Гонг, И.Е.Шпарлинский [12] для составного q показали, что
нетривиальная оценка суммы T (  q ) существует, когда x – длина суммы по порядку меньше q . Они
8 
доказали: для примитивного характера  q и всякого   0 существует   0 , что для всех x  q 9
имеет место оценка
T ( q )  xq 
В этой работе мы сформулируем теорему об оценке T (  q ) для составного q , которая является нетривиальной на более широком диапазоне.
Теорема 1. Пусть q – достаточно большое натуральное число,  q – примитивный харак5 
тер по модулю q , (l q)  1 ,  – положительное сколь угодно малое постоянное число, x  q 6
.
Тогда имеем
T (  q )    q ( p  l )  x exp   ln q  
p x




Доказательство теоремы 1 проводится методом оценок суммы с простыми числами
И.М.Виноградова в сочетании с методами работы А.А.Карацубы [8] об оценке ―короткой‖ суммы
T (  q ) для простого q , работ автора [10,11,13,14] в которых изучаются ―длинные‖ суммы T (  ) и
средние значения функций Чебышева  ( x  ) по всем характерам Дирихле. В доказательстве мы
также используем основные результаты работ А.И.Виноградова [15] и Д.А.Берджесса [16]. Основные
утверждения, позволившие получить новую оценку T (  q ) , содержатся в леммах 1-7, которые в этой
статье приводим без доказательства.
6
Математика
З.Х.Рахмонов
Лемма 1. Пусть  (d ) — функция Мебиуса,  — фиксированное число, 01    0 9 , тогда
 2 (d )

d
d\D
d exp(ln D2 )
 exp  2 1 ln D  
Лемма 2. Пусть K – число решений сравнения:
(nd   ) y  (n1d   ) y1  mod q  
M  n n1  M  N  1  y y1  Y  ( y q )  1 ( y1 q )  1
1
где (  q)  1 , d — делитель числа q , 2NY  q , d  Y ,  (qd  Y ) — число делителей  числа
qd 1 , удовлетворяющие условиям qY 1    qd 1 и (  d )  1 . Тогда справедливо соотношение:
K  NYq 
2Y 2 2Y 2
2( NY )1

 (qd 1 Y ) 

d
d
d
где  – сколь угодно малое положительное число.
Лемма 3. Пусть (  q)  1 , y  x , x  q , (q) — число различных простых делителей числа
q , тогда

 q (n  )  2 ( q ) q ln q
x yn x
( n q )1
Лемма 4. Пусть  — вещественное число, M , N , d и  — целые числа, удовлетворяющие
условиям (  q)  1 , N  q 12 d
7
 12
2 
, 01    0 9 , d  exp(ln q ) , тогда

M n M  N
 q (nd  )  N q
2
3
1 
9 2
2
d 3
где  – сколь угодно малое положительное число.
1  8
5
Лемма 5. Пусть (  q)  1 ,  – сколь угодно малое положительное число, y  q 3

x yn x

, тогда

 q (n   )  y exp  1 5 ln q  
( n q )1
Лемма 6. Пусть M , M  , N , N  и  – целые числа, удовлетворяющие условиям (  q)  1 ,
M   2M , N   2 N , N  q 6 , a m и bn – функции натурального аргумента такие, что
1

M m M 
 am   M L c    1 2
Тогда справедлива оценка
7
 bn  B
Доклады Академии наук Республики Таджикистан

M  m M 
am

2013, том 56, №1
5
N n min( xm1 2 N )
( mn q )1
1  1
6
bn  (mn  l )  BM 6 N 2 q 6
1
L
4 c1c2 1
6

Следствие 1. Пусть M , M  , N , N  и  – целые числа, удовлетворяющие условиям
( q)  1 , M   2M , N   2 N , q  N  q 6 , a m и bn – функции натурального аргумента такие,
1
1 2 11
что  am   5 ( m) ,  bn  1 . Тогда при x  q
справедлива оценка

M  m 2 M

am
N nmin( xm1 2 N )
( mn q )1




bn  (mn  l )  x exp  1 5 ln q  
Лемма 7. Пусть M , M  , N , N  и  – целые числа, удовлетворяющие условиям (  q)  1 ,
M   2M , N   2 N , a m и bn – функции натурального аргумента такие, что

M m M 
 am   M L c    1 2
 bn  B
Тогда справедлива оценка

M  m M 
am


N nmin( xm1 2 N )
( mn q )1

bn  (mn  l )  B  M 4 N 2 q 4  M 4 Nq 8  L
3
1
3
1

1
2 c1c2 1
4

1
q4 
Следствие 1. Пусть M , M  , N , N  и  – целые числа, удовлетворяющие условиям


( q)  1 , M   2M , N   2 N , q 4  N  q 4 , a m и bn – функции натурального аргумента та1
1
3  11
кие, что  am   5 ( m) ,  bn  1 . Тогда при x  q 4

M  m M 
am

N nmin( xm1 2 N )
( mn q )1
справедлива оценка




bn  (mn  l )  x exp  1 5 ln q  
Поступило 15.11.2012 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Виноградов И.М. – Математический сборник, 1938, т.3, №45, с.311-320.
Виноградов И.М. – Известия АН СССР, сер. матем., 1943, т.7, с.17-34.
Виноградов И.М. – Известия АН СССР, сер. матем., 1952, т.16, с.197-210.
Виноградов И.М. – Известия АН СССР, сер. матем., 1953, т.17, с.285-290.
Виноградов И.М. – Известия АН СССР, сер. матем., 1966, т.30, с.481-496.
Карацуба А.А. – ДАН СССР, 1968, т.180, №6, с.1287-1289.
Карацуба А.А. – Известия АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, с.20-30.
Карацуба А.А. – Известия АН СССР, сер. матем., 1970, т.34, с. 299-321.
Рахмонов З.Х. – Успехи математических наук, 1986, т.41, 1, с.201-202.
Рахмонов З.Х. – ДАН ТаджССР, 1986, т.29, №1, с.16-20.
Рахмонов З.Х. – Труды Математического института РАН, 1994, т.207, с.286-296.
8
Математика
З.Х.Рахмонов
12. Фридландер Дж.Б., Гонг K., Шпарлинский И.Е. – Математические заметки, 2010, т.88, в.4,
с.605-619.
13. Рахмонов З.Х. – Известия РАН, сер. матем., 1993, т.57, №4, с.55-71.
14. Рахмонов З.Х. – Известия РАН, сер. матем., 1994, т.58, №3, с.127-139.
15. Виноградов А.И. – ДАН СССР, 1956, т.109, №4, с.683-686.
16. Burgess D.A. — J. London Math. Soc. 33 (1986), pp. 219-226.
З.Њ.Рањмонов
ОИДИ ТАЌСИМШАВИИ ЌИМАТЊОИ ХАРАКТЕРИ ДИРИХЛЕ ДАР
ПАЙПАРПАИ АДАДЊОИ СОДДАИ ЛАЃЉОНИДАШУДА
Институти математикаи ба номи А.Љўраеви Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон
Барои суммаи ќиматњои характери примитивии Дирихле аз рўи модули q , дар пайпарпаи ададњои соддаи “лаѓљонидашудаи” p  l , (l q)  1 , p  x , бањои нав гирифта шудааст, ки
њангоми
5 
x  q6
ѓайритривиалї
мебошад.
8 
И.Е.Шпарлинскийро, ки танњо њангоми x  q 9
Ин
бањои
Љ.Б.Фридландер,
K.Гонг,
ѓайритривиалї мебошад, аниќ мекунад.
Калимањои калидї: характери Дирихле – ададњои соддаи лаѓљонидашуда – суммаи кўтоњи
характерњо – методи бањои суммањои тригонометрї бо ададњои содда.
Z.Kh.Rakhmonov
DISTRIBUTION OF VALUES OF DIRICHLET CHARACTERS
IN THE SEQUENCE OF SHIFTED PRIMES
A.Dzhuraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
We obtain a new bound for sums of a primitive character Dirichlet modulo an integer q at shifted
5 
primes p  l , (l q)  1 a over primes p  x . Our bound is nontrivial starting with x  q 6
. This extends
8 
the range of the bound of J.B.Friedlander, K.Gong, I.E.Shparlinskii that is nontrivial for x  q 9 .
Key words: Dirichlet character – shifted primes – of short character sums – Vinogradov’s method for estimating trigonometric sums with prime numbers.
9
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
336 Кб
Теги
характеру, простые, сдвинутых, дирихле, чисел, значение, распределение, последовательность
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа