close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О распределении простых чисел в арифметической прогрессии разность которой является степенью фиксированного простого числа.

код для вставкиСкачать
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Посвящается 65-ой годовщине со дня рождения
профессора Сергея Михайловича Воронина
Том 12 Выпуск 1 (2011)
УДК 511.35
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В
АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ,
РАЗНОСТЬ КОТОРОЙ ЯВЛЯЕТСЯ
СТЕПЕНЬЮ ФИКСИРОВАННОГО
ПРОСТОГО ЧИСЛА
С.А. Гриценко, М.В. Шевцова (г. Белгород)
e-mail: gritsenko@bsu.edu.ru, shevtsova@bsu.edu.ru
Аннотация
Получена асимптотическая формула для числа простых чисел, не
превосходящих X и лежащих в арифметической прогрессии с разностью
?(ln ln X) .
D = pm
0 , где p0 > 3 фиксированное простое число и D 6 X e
3
8
2
Посвящается светлой памяти
Сергея Михайловича Воронина
1
Введение
В теории чисел важную роль играет распределение простых чисел в арифметических прогрессиях.
Пусть при (l, D) = 1 ?(X, D, l) означает число простых чисел, не превосходящих X и сравнимых с l по модулю D. Из расширенной гипотезы Римана
следует, что:
Li X
?(X, D, l) =
1 + O ln?M X ,
?(D)
1
где D 6 X 2 ?? , ? > 0 произвольно малое число, M > 0 константа.
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
61
Известная к настоящему времени граница изменения D гораздо меньше.
Например, при D 6 lnA X , где A > 0 константа, c = c(A) > 0, справедлива
формула:
?
Li X
+ O Xe?c ln X ,
?(X, D, l) =
?(D)
которая известна в литературе как формула Зигеля-Вальфиша [1].
Но для разности D = pm
0 , p0 > 3 фиксированное простое число, можно
улучшить этот результат. В 1955 году А. Г. Постников обнаружил [2], что сумма
значений неглавного характера по модулю D, равному степени нечетного простого числа, представляет собой сумму Вейля специального вида. Это открытие
замечательно тем, что суммы Вейля, даже очень короткие (а вместе с ними и
очень короткие суммы значений характера), допускают нетривиальные оценки.
Идея А. Г. Постникова позволила решить некоторые проблемы теории чисел,
к которым в общем случае не было никаких подходов.
В 1964 году Ю. В. Линник, М. Б. Барбан и Н. Г. Чудаков [3] доказали
3
??
8
(? > 0
следующий асимптотический закон, справедливый при D = pm
0 6 X
произвольно малое число, M > 0 произвольно большое число):
?(X, D, l) =
Li X
1 + O ln?M X .
?(D)
Доказательство этой теоремы основано на плотностной технике, и поэтому
для него требуется информация о распределении нулей L-функции Дирихле в
критической полосе.
В 1979 году М. М. Петечук [4] применил идею А. Г. Постникова к проблеме
делителей Дирихле в коротких арифметических прогрессиях и получил асимптотическую формулу:
!
X
X 1??
XQk?1 (ln X)
+O
,
?k (n) =
?(D)
?(D)
n6X
n?l (mod D)
3
??
8
где D = pm
, (l, D) = 1, Qk?1 (ln X) многочлен
0 6 X
(
) степени k ? 1 с ко? ?
,
, ? > 0 константа,
эффициентами, зависящими от k и p0 , ? = min
16 k 3
зависящая от p0 .
Доказательство этой формулы основано на идее работы А.А.Карацубы [5],
позволяющей оценивать ее остаточный член по схеме решения тернарной аддитивной задачи. Доказательство Петечука ѕэлементарної, то есть не использует
средств комплексного анализа.
В настоящей статье предлагается новый способ вывода асимптотической
формулы для ?(X, D, l) при D = pm
0 . По сравнению с теоремой М. Б. Барбана, Ю. В. Линника и Н. Г. Чудакова получено незначительное уточнение
остаточного члена и верхней границы изменения D.
62
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
Наше доказательство существенно отличается тем, что не использует информации о распределении нулей L-функции Дирихле в критической полосе, а
использует лишь теорему о границе нулей, принадлежащую В. Н. Чубарикову
[6], доказательство которой элементарно.
В основном мы придерживаемся схемы доказательства теоремы Петечука,
однако в некоторых местах приходится вносить в эту схему изменения, поскольку нам необходимо оценивать не только суммы значений характера, но и суммы
значений характера по простым числам.
Сформулируем наш основной результат.
Теорема
1.
При (l, D) = 1,
3
?(ln ln X)
8
D = pm
0 6 X e
Li X
?(X, D, l) =
+O
?(D)
2
X ??(ln ln X)2
e
?(D)
справедлива формула
!
,
(1)
где ? = b66, b6 константа леммы 9.
Нам потребуется несколько лемм.
2
Леммы
(тождество Хис-Брауна) Пусть K > 1, z > 1. Тогда для любого
имеем
Лемма
n < 2z
K
1.
X
X
K
?(n) = ?
(?1)
···
µ(m1 ) . . . µ(mk ) ln nk .
k
m
...m
n
...n
=n
1
k 1
k
16k6K
X
k
m1 ,...,mk 6z
Доказательство.
Cм. в [7, c. 344].
(Виноградова-Пойа) Пусть ? примитивный характер по модулю D. Тогда справедлива оценка:
Лемма
2.
X
?
?(?) D ln D .
16?6a
Доказательство.
Лемма
3.
лива оценка:
Cм. в [8, c. 123] .
Для любого неглавного характера ? по модулю D = pm0 справед
X
1
1
?(?) a 2 D 6 ln D.
16?6a
Доказательство.
См. в [9, c. 161].
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
63
Пусть ?произвольный неглавный характер по модулю D = pm0 .
Тогда выполняется оценка
Лемма
4.
X
1? ?
?(?) a ?2 ,
?6a
где ? = lnlnDa , 1 6 ? 6 0, 5m, 0 < ? < 1 константа.
Доказательство.
См. в [8, c. 222].
Следующая лемма представляет собой вариант теоремы В. Н. Чубарикова
[6] о границе нулей L-функции Дирихле в критической полосе.
Пусть ? произвольный неглавный характер по модулю
. Тогда L(s, ?) не имеет нулей в области
Лемма
D=
pm
0
5.
? >1?
b1
,
(ln D)2/3 (ln ln D)2
2
|t| < eb2 (ln ln D) ,
, положительные константы.
b1 b2
Доказательство.
Сначала покажем, что в области
? > 1?
?1 = ?/2, где ? константа из леммы 4, имеет место оценка
?1
,
(ln D)2/3
L(s, ?) = O((|t| + 1)(ln D)2/3 ).
Справедливо тождество
Z
?
L(s, ?) = s
S(x)x?s?1 dx,
S(x) =
1
X
?(?).
?6x
Разобьем интеграл на части:
Z D
Z
?s?1
L(s, ?) = s
S(x)x
dx + s
1
?
S(x)x?s?1 dx.
(2)
D
Во втором интеграле для?
оценки суммы S(x) будем пользоваться оценкой Виноградова-Пойа: S(x) = O( D ln D). Имеем:
Z ?
Z ?
?
?s?1
s
S(x)x
dx 6 (|t| + 1)
|S(x)|x???1 dx (|t| + 1) D ln DD?? .
D
D
1
Поскольку ? > , то
2
Z
L(s, ?) = s
1
D
!
ln
D
S(x)x?s?1 dx + O (|t| + 1) ? ,
D
64
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
где ? > 0 произвольно мало.
Рассмотрим первый интеграл в (2). Разобьем его на части, полагая N =
= exp (ln D)2/3 :
Z
D
S(x)x
?s?1
Z
N
S(x)x
dx =
?s?1
Z
S(x)x?s?1 dx.
dx +
N
1
1
D
В первом интеграле справа сумму S(x) оценим тривиально, а во втором согласно лемме 4. Получим:
N
1?? x
x?s dx 6
= O((ln D)2/3 ),
1
?
?
1
1
) !
(
Z D
Z D
Z D
3
?
ln
x
S(x)x?s?1 dx 6
|S(x)|x?1?? dx = O
dx =
x? exp ? 2
ln D
N
N
N
= [v)= ln
(
(
! x] = Z
) !
Z ln D
3
ln D
?v
?v 3
exp v(1 ? ?) ? 2
exp ?
=O
dv = O
dv =
ln D
2 ln2 D
ln N
ln N
= O((ln D)2/3 ).
Z
N
Таким образом, мы доказали, что в области ? > 1 ?
?1
(ln D)2/3
L(s, ?) = O((|t| + 1)(ln D)2/3 ).
Теперь пусть ? = ? + it нуль функции L(s, ?), положим
? =1?
d
,
(ln D)2/3 (ln ln D)2
d 6 1.
Надо показать, что d > c0 > 0. Рассмотрим точку
s0 = 1 +
4d
+ it = ?0 + it.
(ln D)2/3 (ln ln D)2
Из точки s0 опишем круг радиуса r =
круга радиуса r/2, так как
c1
. Точка ? будет лежать внутри
(ln D)2/3
c1
5d
>
.
2(ln D)2/3 (ln D)2/3 (ln ln D)2
В круге |s ? s0 | < r
L(s, ?) = O((|t| + 1)(ln D)2/3 ).
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
65
Кроме того,
Z ?
?
1 X
du
(ln D)2/3 (ln ln D)2
1
6
1
+
=
1
+
.
6
L(s0 , ?) n=1 n?0
u?0
4d
1
Поэтому
L(s, ?) ln2 D
.
6 M = (|t| + 1)
L(s0 , ?)
d
Точно такая же оценка имеет место в круге |s ? s1 | 6 r, s1 = ?0 + 2it. Применим
лемму 6 [8, c. 99].
Re
L0 (s0 )
4
1
4(ln D)2/3
(ln D)2/3 (ln ln D)2
> ? ln M + Re
=?
ln M +
,
L(s0 )
r
s0 ? ?
c1
5d
4
4(ln D)2/3
L0 (s1 )
> ? ln M = ?
ln M,
Re
L(s1 )
r
c1
1
L0 (?0 )
<
+ c2 .
?
L(?0 )
?0 ? 1
Справедливо неравенство:
(
)
(
) (
)
L0 (?0 , ?)
L0 (?0 + it)
L0 (?0 + 2it)
3 ?
+ 4 ?Re
+ ?Re
> 0.
L(?0 , ?)
L(?0 + it)
L(?0 + 2it)
Подставляя полученные оценки в это неравенство, получим:
)
(
)
(
4(ln D)2/3
(ln D)2/3 (ln ln D)2
(ln D)2/3 (ln ln D)2
+ c2 + 4
ln M ?
+
3
4d
c1
5d
4(ln D)2/3
+
ln M > 0,
c1
(ln ln D)2
3c2
20
40
20
?
+
+ (ln ln D)2 + ln ln D ? ln d > 0,
2/3
20d
(ln D)!
c1
c1
c1
!
2
1 (ln ln D)
20d ln d
20
3c2 c1
?
?
+
+ (ln ln D)2 + 2 ln ln D > 0.
d
20
c1
c1 20(ln D)2/3
При d ? 0 имеем: d ln d ? 0,
?
1
? ?, поэтому
d
1 (ln ln D)2 20
+ (ln ln D)2 > 0,
d
20
c1
Тем самым лемма доказана.
d>
c1
.
40
66
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
pm
0
6 Пусть ? произвольный неглавный характер по модулю D =
. Тогда в области
Лемма
.
? >1?
b1
,
2(ln D)2/3 (ln ln D)2
2
|t| < eb2 (ln ln D) ,
где b1, b2 положительные константы, справедлива оценка
L0 (s, ?)
(ln D)5/3 (ln ln D)2 .
L(s, ?) Доказательство. Применим формулу разложения логарифмической производной по нулям и границу нулей для функции L(s, ?) леммы 5. Пусть ?n =
?n + i?n нули L(s, ?) и
?n 6 1 ?
b1
,
(ln D)2/3 (ln ln D)2
? >1?
b1
.
2(ln D)2/3 (ln ln D)2
Имеем:
X
L0
1
(s, ?) =
+ O(ln D|t|),
L
s ? ?n
|t??n |61
L0
X
2
1 + O(ln D|t|) = O((ln D)5/3 (ln ln D)2 ).
(s, ?) (ln D)2/3 (ln ln D)2
L
b1
|t??n |61
7.
?>0
Лемма
aD
?
,
Пусть ?произвольный неглавный характер по модулю D = pm0 ,
константа, p простое число. Тогда справедлива оценка:
X
2
?(p) ae?b5 (ln ln D) ,
a<p62a
где 0 < b5 < 1 константа.
Доказательство.
Для доказательства леммы достаточно оценить сумму
X
?(n)?(n).
a<n62a
Применим для этой суммы формулу Перрона [10, c. 427]. Имеем:
!
Z b+iT
X
1
L0
(2s ? 1)as
?(n)?(n) =
? (s, ?)
ds+
2?i b?iT
L
s
a<n62a
!
ab
a ln2 a
+O
+
.
T (b ? 1)
T
(3)
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
67
Пусть ? контур, являющийся прямоугольником с вершинами ?1 +iT , b+iT ,
1
b3
2
b ? iT , ?1 ? iT , где b = 1 +
, ?1 = 1 ?
, T = eb4 (ln ln D) .
2/3
2
ln a
(ln D) (ln ln D)
T
6
II
III
?1
1
-T
b
-
IV
Тогда
1
2?i
Z
?
!
L0
as
? (s, ?)
ds = 0.
L
s
Оценим интегралы по сторонам II и IV соответствующего контура:
1 Z b+iT
2?i ?1 ?iT
Z
!
b
L0
as a?
2
? (s, ?)
ds 6
(ln D)5/3 (ln ln D)2 d? ae?b5 (ln ln D) .
L
s T
?1
По стороне III интеграл оценим следующим образом:
1 Z ?1 +iT
2?i ?1 ?iT
!
Z T
as 1
L0
? (s, ?)
ds 6 L
s 2?i ?T
!
a?+it L0
? (s, ?)
dt =
L
t
1/4
a?1 ln T (ln D)5/3 (ln ln D)2 ae?(ln D)
.
2
Таким образом интеграл в формуле (3) не превосходит ae?b5 (ln ln D) , откуда и
следует утверждение леммы.
(А. И. Виноградова) Количество чисел,
? не превосходящих x, все
простые делители которых не превосходят z0 6 x, имеет оценку
Лемма
8.
1
1
1
Bx exp ?
ln + ln ln
?
?
?
!
!
1
?
+ +
,
? ? ln 1/?
где ? = ln z0/ ln x, |?| 6 1, B положительная константа.
Доказательство.
См. в [11].
68
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
9.
?>0
Лемма
aD
?
,
Пусть ?произвольный неглавный характер по модулю D = pm0 ,
константа. Cправедлива оценка:
X
2
µ(n)?(n) ae?b6 (ln ln D) ,
n6a
где 0 < b6 < 101 константа.
Доказательство.
Очевидно, что
X
µ(n)?(n) = 1 +
R0
X
(?1)r
r=1
n6a
X
?(?r ),
?r 6a
где ?r бесквадратное число, имеющее ровно r простых делителей,
R0 6 [log2 a].
P
Пусть 1 6 r 6 R0 . Обозначим Sr = ?r 6a ?(?r ).
Если r = 1, то Sr сумма по простым числам, ее оценка получена в лемме
7.
Пусть r > 1. Разобьем числа ?r на r+1 непересекающихся классов A0 , A1 , . . . ,
Ar следующим образом: при 0 6 j 6 r ?r ? Aj , если среди простых делителей
2/3+?1
?r ровно j простых делителей, больших e(ln D)
, и ровно r ? j простых дели1
(ln D)2/3+?1
телей, не превосходящих e
, где 0 < ?1 < 100
.
Рассмотрим сначала числа ?r из класса A0 . Все простые делители этих чисел
2/3+?1
не превосходят e(ln D)
. Поэтому
X0
X
1,
?(?r ) 6
n6a
?r 6a
?r ?A0
2/3+?1
где штрих означает, что все простые делители n не превосходят e(ln D)
ним эту сумму по лемме А. И. Виноградова (лемма 8), получим:
X0
1 a exp ?(ln D)1/3??1 ,
. Оце-
n6a
следовательно,
X
?(?r ) a exp ?(ln D)1/3??1 .
?r 6a
?r ?A0
Рассмотрим числа ?r , принадлежащие остальным классам Aj , 1 6 j 6 r.
Любое такое число можно однозначно представить в виде
0
?j00 ,
?r = ?r?j
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
69
0
где ?r?j
бесквадратное число, имеющее r ? j простых делителей, каждый
2/3+?1
из которых не превосходит e(ln D)
, а ?j00 бесквадратное число, имеющее j
2/3+?1
простых делителей, каждый из которых больше e(ln D)
. Имеем:
X
X
0
?(?r ) =
?(?r?j
?j00 ) =
0
?r?j
?j00 6a
?r 6a
?r ?Aj
X
=
0
?j00 ) +
?(?r?j
0
?r?j
?j00 6a
0
?r?j
6a0,1
=
X
0
?(?r?j
?j00 ) =
0
?r?j
?j00 6a
0
?r?j
>a0,1
Sr0 + Sr00 .
0
0
Оценим сумму Sr00 . Так как ?r?j
?j00 6 a, ?r?j
> a0,1 , то число ?j00 удовлетворяет
00
0,9
неравенству ?j 6 a , поэтому
X
X
?j00 6a0,9
0
?r?j
<z1
|Sr00 | 6
1,
a
, z1 > a0,1 .
?j00
В силу леммы А. И. Виноградова,
где z1 =
X
1
0
?r?j
<z1
следовательно,
a
exp ?0, 1(ln D)1/3??1 ,
00
?j
|Sr00 | a exp ?0, 05(ln D)1/3??1 .
Оценим теперь сумму Sr0 . Имеем:
|Sr0 | 6
0
?r?j
где z2 =
a
0
?r?j
X
00 ?(?j ) ,
6a0,1 ?j00 6z2
X
, z2 > a0,9 .
Сравним внутреннюю сумму с суммой
X
00
?(?j?1
)?(p),
00 p6z
?j?1
2
2/3+?1
p>e(ln D)
00
где ?j?1
пробегает множество бесквадратных чисел, имеющих ровно j ? 1 про2/3+?1
стых делителей, каждый из которых больше e(ln D)
.
70
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
00
00
Числа ?j?1
p могут не быть бесквадратными; если число ?j?1
p не бесквадрат2
ное, то оно делится на p . Вклад таких чисел в сумму не превосходит
X
2/3+?1
z2
2/3??1
z2 e?(ln D)
.
2
p
p>e(ln D)
00
Если же числа ?j?1
p бесквадратные, то каждое заданное число ?j00 6 z2 встре00
чается среди чисел ?j?1
p ровно j раз, поэтому
X
?(?j00 ) =
?j00 6z2
1 X
2/3??1
00
?(?j?1
p) + O z2 e?(ln D)
,
j 00
?j?1 p6z2
где
X
X
.
?(p)
00 6z e(ln D)2/3+?1 e(ln D)2/3+?1 <p6 z2
?j?1
2
? 00
j?1
X
Таким образом, для оценки суммы
µ(n)?(n) требуется оценить сумму по
X
00 ?(?
)
j 6
?j00 6z2
простым числам
P
n6a
(ln D)2/3+?1
p6z3
?(p), где z3 > e
X
. Применим лемму 7, получим:
? 21 b5 (ln ln D)2
?(p) = O z3 e
.
p6z3
Объединяя оценки всех рассмотренных случаев, имеем:
X
2
µ(n)?(n) ae?b6 (ln ln D) .
n6a
Тем самым лемма доказана.
3
Доказательство теоремы 1
Рассмотрим сумму
?(X, D, l) =
X
?(n).
n6X
n?l (mod D)
Из ортогональности характеров имеем:
X
n6X
n?l (mod D)
?(n) =
1
?(D)
X
? (mod D)
?(l)
X
n6X
?(n)?(n).
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
71
Выделим слагаемое с ?0 :
X
X
X
1
1 X
?(n) +
?(l)
?(n)?(n).
?(D) n6X
?(D) ?6=?
n6X
?(n) =
n6X
n?l (mod D)
0
(n,D)=1
Первая сумма справа даст нам главный член формулы, а вторая остаток
R. Ко второй сумме применим тождество Хис-Брауна (лемма 1):
1
K
R=?
Ч
(?1)
k ?(D)
16k6K
X
X
···
c1 (n1 ) . . . c2k (n2k )?(n1 . . . n2k ),
X
Ч
X
?(l)
k
n1 ...nk nk+1 ...n2k 6X
?6=?0
где cj (nj ) либо 1, либо ln nj , либо µ(nj ), j = 1, . . . , 2k . Если cj = µ(nj ), то
nj 6 X 1/K .
Пусть K = 100. Зафиксируем k и разобьем соответствующую сумму Rk на
O(ln2k X) слагаемых вида
S=
X
1 X
?(l)
...
?(D) ?6=?
N <n 62N
N
1
0
1
1
n1 ...n2k 6X
X
c1 (n1 ) . . . c2k (n2k )?(n1 . . . n2k ).
2k <n2k 62N2k
Без ограничения общности, будем считать, что N1 > N2 > . . . > N2k .
Рассмотрим случай: D > X 1?? N1?1 , ? произвольно малое число. Тогда
X
N2 . . . N2k 6 DX ? . Кроме того, N1 > X ?? , следовательно, c1 (n1 ) равно либо 1,
D
X
либо ln n1 . Оценим
c1 (n1 )?(n1 ) согласно лемме 2. Тогда:
N1 <n1 62N1
n1 6X(n2 ...n2k )?1
S
2
?
DN2 . . . N2k ln2 D D3/2 X 2? 6
X 1??
D
6
при D 6 X 5 ? 5 ? . Следовательно, для этого случая утверждение теоремы выполняется.
В дальнейшем будем считать, что D 6 X 1?? N1?1 .
Пусть
X
X
0
?2k?1
(y) =
···
c2 (n2 ) . . . c2k (n2k ).
N2 <n2 62N2
N2k <n2k 62N2k
n2 ···n2k =y
72
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
Разобьем промежуток суммирования (N1 , 2N1 ] на промежутки (H, H + H 0 ],
N1
где H 0 = ?(ln ln X)2 , 0 < ? < 1 действительное число. Получим:
e
S
2
exp{?(ln ln X) }
X
X
X
X
1 0
.
?(l)
c
(n
)?(n
)
?(y)?
(y)
1
1
1
2k?1
?(D)
?6=?0
H
H<n1 6H+H 0
X(H+H 0 )?1 <y6XH ?1
?1
y6Xn1
?1
Заменим условие y 6 Xn?1
и оценим получившуюся при
1 на условие y 6 XH
этом ошибку R1 :
exp{?(ln ln X)2 }
X
R1 6
(
X
X
0
?2k?1
(y)+
H<n1 6H+H 0 X(H+H 0 )?1 <y6XH ?1
H
y?ln?1
(mod D)
1
+
X
1
?(D) H<n 6H+H 0
1
X
0
?2k?1
(y)).
X(H+H 0 )?1 <y6XH ?1
Для оценки внутренней суммы первого слагаемого в скобках применим лемму
1.1.5 [1, c. 30], а для оценки внутренней суммы второго слагаемого ту же
лемму, положив в ней D = 1:
!
!
N1
X
X H0 2
2
e??(ln ln X) .
R1 2
0
D H
H
D
Получим:
?(ln ln X)2
Se
max {|S1 |} + O
?6=?0
!
X
2
exp{??(ln ln X) } ,
D
где
X
1 X
?(l)
c1 (n1 )?(n1 )Ч
?(D) ?6=?
0
H<n
6H+H
0
1
X
X
c2 (n2 ) . . .
c2k (n2k )?(n2 . . . n2k ).
S1 =
Ч
N2 <n2 62N2
N2k <n2k 62N2k
n2 ...n2k 6XH ?1
Введем обозначения:
U = N2 N4 . . . N2k ,
V = N3 N5 . . . N2k?1 ,
(4)
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
X
?k0 (u) =
X
X
···
73
c2 (n2 )c4 (n4 ) . . . c2k (n2k ),
N2 <n2 62N2 N4 <n4 62N4
N2k <n2k 62N2k
n2 n4 ···n2k =u
0
?k?1
(v) =
X
X
X
···
c3 (n3 )c5 (n5 ) . . . c2k?1 (n2k?1 ).
N2k?1 <n2k?1 62N2k?1
N3 <n3 62N3 N5 <n5 62N5
n3 n5 ···n2k?1 =v
Заметим, что V 6 U 6 N1 V .
Тогда
S1 =
X
1 X
?(l)
c1 (n1 )?(n1 )
?(D) ?6=?
0
H<n 6H+H
0
1
X
X
0
?k?1
(v)?(v)
V <v62k?1 V
?k0 (u)?(u).
U <u62k U
uv6XH ?1
1
1
Рассмотрим случай V 6 X ? . Если N1 6 X 200 , то U 6 V N1 6 X 200 +? , следо1
вательно, S1 X 100 +2? и, очевидно, утверждение теоремы выполняется.
1
Если же N1 > X 200 , то c1 (n1 ) = 1, или c1 (n1 ) = ln n1 , поэтому:
X
X X
?
1
S1 D ln D
?k0 (u)?(u) ,
?(D)
k?1
V <v62
V
? (mod D) U <u6Uv
(
)
X
где Uv = min 2k U,
.
Hv
Применив неравенство Коши, получим:
X X
1
0
?k (u)?(u) 6 (?1 )1/2 ,
?=
?(D)
? (mod D) U <u6Uv
где
1
?1 =
?(D)
X
2
X
?k0 (u)?(u) .
? (mod D) U <u6Uv
Заметим, что ?1 равняется числу решений сравнения
n2 n4 . . . n2k ? n02 n04 . . . n02k (mod D);
N2 < n2 , n02 6 2 N2 , . . . , N2k < n2k , n02k 6 2 N2k .
Число решений этого сравнения не превосходит величины
X
X
X
X
?k (u)
?k (u + dD) u?/10
U <u6Uv
U ?u
<d6 UvD?u
D
X ?/5
X
U <u6Uv
U
+1
D
(u + dD)?/10 U <u6Uv
U ?u
<d6 UvD?u
D
!
U2
+U
D
X ?/5
!
.
74
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
Отсюда
? X ?/10
?
U
? + U
D
Следовательно,
S1 X 1,2?
?
U
? + U
D
!
!
.
?
D ln D.
?
?
?
Так как U 2 V 6 U V N1 6 X , V 6 X ? , то U X 1+? , U D X 1/4 D,
X 1??
X 1??
1
?2,2?
2
то S1 <
при D 6 X
. Учитывая (4) получаем, что S <
при
D
D
1
D 6 X 2 ?4? , и для этого случая утверждение теоремы выполняется.
Рассмотрим следующий случай: V > X ? .
Пусть сначала U 6 DX ? . Разобьем промежуток суммирования (V, 2k?1 V ] на
V
промежутки (W, W + W 0 ], где W 0 = 2? . Тогда:
X
S1 2?
X
X
X
X
X
1 X
0
0
.
?(l)
c
(n
)?(n
)
?
(v)?(v)
?
(u)?(u)
1
1
1
k?1
k
?(D)
W ?6=?0
H<n1 6H+H 0
W <v6W +W 0
U <u62k U
?1
u6X(Hv)
Заменим условие u 6 X(Hv)?1 на условие u 6 X(HW )?1 и оценим получившуюся при этом ошибку R2 :
2?
R2 6
X
X
X
X
W H<n1 6H+H 0 W <v6W +W 0
0
?k?1
(v)
X
?k0 (u)+
X(H(W +W 0 ))?1 <u6X(HW )?1
?1 (mod D)
u?ln?1
1 v
X 2?
+
X
W
X
X
X
1
0
(v)
?k0 (u) ?k?1
?(D) H<n 6H+H 0 W <v6W +W 0
0 ?1
)?1
1
!
!2 X(H(W +W )) <u6X(HW
!
1+3?
0
0
1??
0
X
H
W
X
H
.
D
H
W
D
H
Получим:
X 1?? ??(ln ln X)2
S1 X 2? max {|S2 |} + O
e
?6=?0
D
!
1??
X
S X 3? max {|S2 |} + O
,
?6=?0
D
!
,
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
75
где
S2 =
X
X
1 X
0
?(l)
c1 (n1 )?(n1 )
?k?1
(v)?(v)
?(D) ?6=?
H<n 6H+H 0
W <v6W +W 0
0
1
X
?k0 (u)?(u).
U <u62k U
u6X(HW )?1
В этом случае c1 (n1 ) = 1, либо ln n1 , поэтому, применяя неравенство Коши,
имеем:
S2 max ?6=?0 ?
2 ?1/2
X
X
? 1
0
?(n1 )
?k?1 (v)?(v) ? Ч
?(D)
H<n1 6H+H 0
? (mod D) W <v6W +W 0
2 ?1/2
?
X
X
1
0
? .
?
Ч
?
(u)?(u)
k
?(D)
k
X
? (mod D) U <u62 U
Таким образом,
?
S2 X ?/5 D ln D
Таким образом, S <
выполняется.
?
U
? + U
D
!
?
V
? + V
D
!
?
X ? U V D X 2? D3/2 .
X 1??
2
при D 6 X 5 ?3? . Следовательно, утвеждение теоремы
D
Рассмотрим случай U > DX ? .
Разобьем промежуток суммирования (V, 2k?1 V ] на промежутки (W, W + W 0 ],
V
где W 0 = ?(ln ln X)2 . Получим:
e
exp{?(ln ln X)2 }
S1 X
1
Ч
?(D)
W
X
X
X
X
0
0
?k?1 (v)?(v)
?k (u)?(u) .
Ч
?(l)
c1 (n1 )?(n1 )
?6=?0
H<n1 6H+H 0
W <v6W +W 0
U <u62k U
?1
u6X(Hv)
Заменим условие u 6 X(Hv)?1 на условие u 6 X(HW )?1 и оценим получившу-
76
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
юся при этом ошибку R2 :
exp{?(ln ln X)2 }
X
R2 6
X
X
H<n1 6H+H 0 W <v6W +W 0
W
X
0
?k?1
(v)
?k0 (u)+
X(H(W +W 0 ))?1 <u6X(HW )?1
?1 (mod D)
u?ln?1
1 v
exp{?(ln ln X)2 }
X
+
W
X
X
1
? 0 (v)
?(D) H<n 6H+H 0 W <v6W +W 0 k?1
1
X
?k0 (u).
X(H(W +W 0 ))?1 <u6X(HW )?1
Применим лемму 1.1.5 [1, c. 30]:
X
R2 D
H0
H
!
W0
W
!2
X ?2?(ln ln X)2
e
.
D
max {|S2 |} + O
X ??(ln ln X)2
e
D
Получим:
2?(ln ln X)2
Se
?6=?0
!
,
(5)
где
S2 =
Ч
X
?(l)
?6=?0
X
H<n1 6H+H 0
c1 (n1 )?(n1 )
1
Ч
?(D)
X
0
?k?1
(v)?(v)
W <v6W +W 0
X
?k0 (u)?(u).
U <u62k U
u6X(HW )?1
Применяя неравенство Коши, имеем:
S2 max ?6=?0 2 ?1/2
?
X
X
1
?
0
c1 (n1 )?(n1 )
?k?1 (v)?(v) ? Ч
?(D)
H<n1 6H+H 0
? (mod D) W <v6W +W 0
?
?1/2
2
X X
1
Ч?
?k0 (u)?(u) ? .
?(D)
? (mod D) U <u62k U
X
2
X X
1
0
Заметим, что ?1 =
?k (u)?(u) равняется числу реше
?(D)
?(mod D) U <u62k U
ний сравнения
n2 n4 . . . n2k ? n02 n04 . . . n02k (mod D);
N2 < n2 , n02 6 2 N2 , . . . , N2k < n2k , n02k 6 2 N2k .
О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ В АРИФМЕТИЧЕСКОЙ . . .
77
Число решений этого сравнения не превосходит величины
X
X
?k (u)
?k (u0 ).
U <u62k U
U <u0 62k U
u0 ?u (mod D)
Для оценки внутренней суммы применим лемму 1.1.5 [1, c. 30], а для оценки
внешней суммы ту же лемму, положив в ней D = 1. Получим:
!
U2
?1 + U (ln U )2A(k) ,
D
A(k) положительная константа, зависящая от k .
X X
1
Аналогично оценивается сумма
?(D)
Таким образом:
S2 max ?6=?0 ?(mod D) W <v6W +W
X
H<n1 6H+H
c1 (n1 )?(n1 )
0
?
U
? + U
D
2
0
?k?1 (v)?(v) .
0
!
?
V
? + V
D
!
.
Если c1 (n1 ) = 1 или c1 (n1 ) = ln n1 , тогда, оценивая соответствующую сумму
согласно леммам 3 или 4, получим:
!
U ?V + ?U V ?
X
?
max + UV ?(n1 )
?6=?0 D
H<n1 6H+H 0
!
?
p
?
U
V
N1 D1/6 ln D ? + U V D
3/4 ?1/3
1/2 1/6
ln X X D
+ X D
X 3/4 D?1/3 ln X,
?
UV
X
X 1? 8K 3
.
max ?(n1 )
?6=?0 D
D
0
H<n1 6H+H
Если же c1 (n1 ) = µ(n1 ), то, оценивая соответствующую сумму согласно лемме 9, получим:
!
U ?V ?
X
UV
max µ(n1 )?(n1 ) ? + U V +
?6=?0 D
D
H<n1 6H+H 0
!
?
?
U
V
U
V
2
? + UV +
N1 e?b6 (ln ln D)
.
D
D
2
1
3
2
b6 <
. Так как, по условию теоремы D 6 X 8 e?(ln ln X) , то,
5
25
X ??(ln ln X)2
1
учитывая (5) и (ln X)2k , получаем: R e
, ? = b6 .
?(D)
6
Выберем ? =
78
С. А. ГРИЦЕНКО, М. В. ШЕВЦОВА
Из полученной асимптотической формулы преобразованием Абеля приходим к утверждению теоремы.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Линник Ю. В. Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах. Издательство ЛГУ, 1961. 208 c.
[2] Постников А. Г. О сумме характеров по модулю, равному степени простого
числа // Изв. АН СССР, Серия математическая. 1955. 19, ќ 1. C. 11-16.
[3] Линник Ю. В., Барбан М. Б., Чудаков Н. Г. О простых числах в арифметической прогрессии с разностью, равной степени простого числа //Acta
arithm. J. 1964. vol.9, ќ 4. C. 375-390.
[4] Петечук М. М. Сумма значений функции делителей в арифметических прогрессиях с разностью, равной степени простого нечетного числа // Изв. АН
СССР, Серия математическая. 1979. 43, ќ 4. C. 892-908.
[5] Карацуба А. А. Распределение произведений сдвинутых простых чисел в
арифметических прогрессиях // Докл. АН СССР. 1970. 192, ќ 4. C. 724-727.
[6] Чубариков В. Н. Уточнение границы нулей L-рядов Дирихле по модулю,
равному степени простого числа // Вестник Московского университета. 1973. ќ 2. C. 46-52.
[7] Iwaniec H., Kowalsky E. Analytic number theory. American Mathematical
Society, Colloquium Publications, Volume 53, 2004. 615 c.
[8] Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука,
Главная редакция физико-математической литературы, 1983. 239 c.
[9] Линник Ю. В. Теория чисел. L-функции и дисперсионный метод. Ленинград: Наука, 1980. 373 с.
[10] Прахар К. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 511 с.
[11] Виноградов А. И. О числах с малыми простыми делителями//Докл. АН
СССР, Серия математическая. 1956. 19, ќ 4. C. 683-686.
Белгородский государственный университет
Поступило 6.07.2011
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа