close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по узлам Якоби на множестве полной меры.

код для вставкиСкачать
следует (15). А для операторов вида (5), построенных с помощью
решений задачи Коши (3), из соотношения
?
n o
?y(x, ?)??(f, x, ?, ?2?? )
1
lim
max 1, ln ? ? q
=0
???
h(?)
?(f, ?? )
?
следует (15), где
определяется (8).
ѕотносительныйї
Доказательство.
Справедливость
устанавливается
аналогично
q
?(?) = ?(f, ??? ).
модуль
непрерывности
утверждения
доказательству
теоремы
теоремы
2
в
??
3
случае
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчетов УиттекераКотельникова
Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Мат. сб. 2009. Т. 200, вып. 11.
С. 61108.
2. Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений
непрерывных функций на отрезке // Сиб. мат. журн. 2007. Т. 48, ќ 5. С. 11581169.
3. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синкприближений непрерывных функций на отрезке // Мат. сб. 2007. Т. 198, вып. 10.
С. 141158.
УДК 517.518.85
А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова
О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ
ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА ПО УЗЛАМ ЯКОБИ
НА МНОЖЕСТВЕ ПОЛНОЙ МЕРЫ
В настоящей работе получено усиление результата А.А. Привалова
[1,
теорема
1].
интерполяционные
Показано
существование
процессы
непрерывной
ЛагранжаЯкоби
которой
функции,
расходятся
почти всюду на [-1; 1].
R = {xk,n }, k = 1, 2, 3, ..., n; n = 1, 2, 3, ...,
интерполирования, n-я строка которой
Пусть
матpица узлов
?1 < xn,n < xn?1,n < xn?2,n < ... < x1,n < 1
есть корни многочлена Якоби
(?,?)
Pn
(x),
т.е. многочленов
ортогональных на отрезке [-1; 1] с дифференциальным весом
= (1 ? x)? · (1 + x)? , ? > ?1, ? > ?1.
87
(?,?)
{Pn
(x)},
?(x) =
Для любой непрерывной на [-1; 1] функции
Ln (R, f, x) =
n
X
f (x)
положим
f (xk,n )lk,n (R, x),
k=1
(?,?)
(?,?)0
= Pn (x)/Pn
(xk,n ) · (x ? xk,n ).
Пусть R = {xk,n } матрица узлов интерполирования
Якоби и пусть ?l наперед заданная последовательность
положительных чисел 0 < ?l < 1, l = 1, 2, 3, .... Тогда найдутся
положительные постоянные c1,l и c2,l , не зависящие от n, такие, что
для любых узлов xk,n и xk+1,n ? [?1 + ?l , 1 ? ?l ] справедливы неравенства
где lk,n (R, x)
Лемма 1.
c1,l /n < xk,n ? xk+1,n < c2,l /n.
(1)
Доказательство см. в [1, следствие к лемме 2].
Лемма 2.
Пусть R = {xk,n } матрица узлов Якоби, ?1 =
= min(?, ?) > ?1 и пусть положительные числа ?l и q такие, что
0 < ?l < 1, q > 2.
Тогда существуют положительные постоянные cl0 = c(?l , q),
зависящие только от ?l и q и не зависящие от n, такие, что для всех
x = cos ?, x ? In (q, ?l ),
n?1
[h
xk,n ? xk+1,n
xk,n ? xk+1,n i \
In (q, ?l ) =
xk+1,n +
; xk,n ?
[?1 + ?l ; 1 ? ?l ]
q
q
k=1
(2)
и всех номеров n, n ? nl0 , где nl0 зависит только от ?l , ? и ? ,
справедливы неравенства
p
| cos(N arccos x + ?) + O(1)(n 1 ? x2 )?1 | ? cl0 ,
где N = n + (? + ? + 1)/2, ? = ?(? + 1/2)?/2.
Доказательство см. в [1, лемма 7].
Лемма 3. Пусть множества E , EP, E , ... измеримы. Если E
1
? E2 ? E3 ? ... и если сумма E =
= lim (mesEn )
n??
2
?
3
1
?
Ek ограничена, то mesE =
k=1
[2].
Доказательство см. [3, гл.3, џ4, теорема 11].
Теорема 1.
Пусть вещественные ? и ? такие, что ?1 =
= min(?, ?) > ?1, и пусть R матрица узлов интерполирования, n-я
(?,?)
строка которой есть нули многочлена Pn (x) Якоби, n = 1, 2, 3, ...
Тогда для любого положительного числа ?, 0 < ? < 1, существуют
88
множество E , E ? [?1; 1], mesE > 2 ? ?, и непрерывная на [?1; 1]
функция f (x) такие, что lim |Ln (R, f, x)| = ?, если только x ? E .
n??
Доказательство см. [1, теорема 1].
Теорема 2.
Пусть вещественные ? и ? такие, что ?1 =
= min(?, ?) > ?1, и пусть R матрица узлов интерполирования, n-я
(?,?)
строка которой есть нули многочлена Pn (x) Якоби, n = 1, 2, 3, ...
Тогда существует непрерывная на [?1; 1] функция f (x), для которой
lim |Ln (R, f, x)| = ? почти везде на [?1; 1].
Доказательство.
n??
В силу [1, лемма 11] для последовательности
?l , 0 < ?l < 1/4, существует бесконечная
последовательность {ns } номеров такая, что n1 < n2 < n3 < ..., и если
(?,?)
(?,?)
nsi 6= nsj , то многочлены Pnsi (x) и Pnsj (x) на отрезке [?1 + ?l ; 1 ? ?l ]
положительных
чисел
имеют не более одного общего нуля; кроме того, в силу [1, лемма 3]
считаем, что
Ln1 (R) ? Ln2 (R) ? Ln3 (R) ? ...
.
Возьмем бесконечную последовательность
такую, что
m1 > 6/?l
и ряд
?
P
s=1
{ms }
натуральных чисел
? 1
сходится, и будем искать функцию,
ln ms
удовлетворяющую теореме, в виде (см. [1, (59)])
?
X
? (x)
pj
f (x) =
.
ln
m
sj
j=1
(3)
? на
{nsj +i?1 }, i =
Так же как в [1, теорема 1], только на каждом шаге заменяя
?l , построим две числовые последовательности {msj } и
=
1, 2, 3, ..., msj ; j = 1, 2, 3, ..., последовательность промежутков
{?i,msj }, i = 1, 2, 3, ..., msj ; j = 1, 2, 3, ...; две последовательности
{?j (x)}, j = 1, 2, 3, ..., и {?i,j (x)}, i = 1, 2, 3, ..., msj ; j = 1, 2, 3, ...,
функций, непрерывных на [-1;1]. Эти последовательности обладают
следующими свойствами:
?j (x) ? LipMj 1 на отрезке [-1; 1] и max |?j (x)| = 1;
?1?x?1
?
P
?1
Lns +m ?1 (R) ·
? c12 , l = 1, 2, 3, ...;
1) функция
2)
3)
l
l
max
?1+?l ?x?1??l
4) если
i=l+1
ln msj
|Ln (R, ?j , x) ? ?j (x)| ? c12 , n ? nsl , j = 1, 2, 3, ..., l ? 1;
x ? ?i+1,ml ? [?1 + ?l ; 1 ? ?l ], i ? [1; msl ? 1],
то
|Lnsl +i?1 (R, ?l , x)| = |Lnsl +i?1 (R, ?i,l , x)| ? c3,l cos |(Nsl +i?1 · arccos x + ?)+
p
+O(1)(nsl +i?1 1 ? x2 )?1 | Ч (ln ml ? c6 ) ? cos |(Nsl +i?1 · arccos x + ?)+
p
3
+O(1)(nsl +i?1 1 ? x2 )?1 | Ч ((ln ml ) 4 ? c6 );
(4)
89
5) для любого
l = 1, 2, 3, ...
справедливы соотношения
msl ?1
[
?i+1,msl = [?1 + 2/msl ; 1 ? 2/msl ] ? [?1 + ?l ; 1 ? ?l ],
(5)
i=1
где
?i+1,msl ? ?j+1,msl = ?, если 1 ? i 6= j ? msl ? 1;
?
P
??j (x) непрерывна на отрезке
6) функция f (x) =
ln m
j=1
Строим множество
и
c2,l ,
[-1;1].
В силу леммы 1 существуют положительные
n, такие, что если узлы xk,n и
xk+1,n матрицы R принадлежат отрезкам [?1 + ?l /2; 1 ? ?l /2], то c1,l /n <
< |xk,n ? xk+1,n | < c2,l /n.
Возьмем положительное число q
> 4c2,l /c1,l ?l и рассмотрим
множества Ins +i?1 (q, ?l ) из леммы 2, где l = 1, 2, 3, ... и индекс i
l
изменяется от номера µl до номера ?l , которые определяются из
постоянные
c1,l
E.
sj
не зависящие от
неравенств
2(µl ? 1)/msl ? ?1 + ?l < 2µl /msl
и
2(?l ? 1)/msl ? 1 ? ?l < 2?l /msl .
Insl +i?1 (q, ?l ), l =
множество Ins +i?1 (q, ?l )
l
В дальнейшем рассматриваем только множества
= 1, 2, 3, ...; i = µl , µl + 1, µl + 2, ..., ?l . Каждое
получается из сегментов [?1 + ?l ; 1 ? ?l ] выбрасыванием конечного числа
интервалов (см. (2)), причем наибольшая из длин этих интервалов не
превосходит
2c2,l /qnsl +i?1 .
Отсюда и из того, что
nsl +i?1 > m3sl ,
следует, что множества
Ei,msl = ?i+1,sl ? Insl +i?1 (q, ?l ), l = 1, 2, 3, ...; i = µl , ..., ?l ,
(6)
не пустые и
mesEi,msl > 2/msl ? 4c2,l /msl qc1,l > 2(1 ? ?l )/msl
так
как
в
силу
(1)
на
промежутке
?i+1,msl
лежит
2nsl +i?1 /msl cl узлов nsl +i?1 -й строки матрицы R,
отрезка ?i+1,ms интервалы, содержащие эти узлы и
l
превосходящую 2c2,l /q · nsl +i?1 .
Положим
Emsl =
?l
[
i=µl
90
Ei,msl
не
(7)
,
более
чем
а выбрасываем из
имеющие длину, не
(8)
и
E=
?
? [
\
Emsl .
(9)
k=1 l=k
Очевидно, что
E ? [?1; 1]
и из (5), (6), (7) имеем mesEms
? 2 ? 4?l . Применяя
mesE = lim (mesEms ) = 2 при lim ?l = 0.
l
а в силу [1, лемма 12] mesE
l??
l
> 2 ? 4?l ,
лемму 3, получаем
l??
Так же, как в [1, теорема 1], доказывается, что функция (3) и
множество (9) искомые. Далее для всех точек
(4) получаем, что
x ? E
из [1, (82)] и
lim |Ln (R, f, x)| = ?.
n??
Теорема доказана [2, 3].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Привалов А.А. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа //
Сиб. мат. журн. 1976. Т. 17, ќ 4. С. 837854.
2. Турецкий А.Х. Теория интерполирования в задачах. Минск: Высш. шк., 1968.
3. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.
УДК 517.51
К.А. Туктамышева
ОБОБЩЕННАЯ АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ РЯДОВ
ФАБЕРАШАУДЕРА
Классическая система ФабераШаудера
{?k }?
k=0
на
[0, 1]
[1, глава
k?k k? = 1. При этом коэффициенты
?
разложения функции f по системе {?k }k=0 определяются так: A0 (f ) =
= f (0), A1 (f ) = f (1) ? f (0), а при n = 2k + i, k ? Z+ , 1 ? i ? 2k , верно
An (f ) = f ((2i ? 1)/2k ) ? (f ((i ? 1)/2k ) + f (i/2k ))/2. Мы рассматриваем
(2) ?
(2)
коэффициенты an (f ) разложения по системе {?k }k=0 , где ?k = Ck ?k
(2)
и k?k kL2 [0,1] = 1.
n
p1
P
p
p
n
Пусть ? = {xi }0 разбиение [0, 1] и ?? =
|f (xi ) ? f (xi?1 )|
6] определяется так, чтобы
i=1
для
?1?1/p (f, ?) = sup ?p? (f ), где k?k диаметр
n k?k??
o
? . Пространство Cp [0, 1] = f : lim ?1?1/p (f, ?) = 0 является
p ? (1, ?).
разбиения
Положим
??0
kf kCp = max(kf k? , ?1? p1 (f, 1)).
n
P
?
c i ?i .
банаховым с нормой
En (f )Cp
= inf f
ci
i=0
Cp
Результаты следующей леммы можно найти в
91
[2].
По определению
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
425 Кб
Теги
лагранжа, процессов, узла, расходимости, множества, полное, меры, якоба, интерполяционное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа