close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О реализации расстояния на множестве решении функционально-дифференциального включения с многозначными импульсными воздействиями.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
Mn+2 =
An
n+1
4
(n +
1)!
,
where An are the numbers of up-down permutations of the numbers {0, 1, . . . , n} (see, for example,
[5]).
REFERENCES
1. Lomtatidze A.G., P
uza B., Hakl R. On periodic boundary value problems for rst order functional dierential
equations // Dierential equations. 2003. Т. 39. ќ 3. P. 320327. [In Russian]
2. Hakl R., Mukhigulashvili S. On one estimate for periodic functions// Georgian Math. J. 2005. V. 12. ќ 1. P. 97114.
3. Mukhigulashvili S. On a periodic boundary value problem for third order linear functional dierential equations
// Nonlinear Anal. Theory, Methods, Appl., 2007. V. 66. ќ 2(A). P. 527535.
4. Hardy G.H., Littlewood J.E., Polya G. Inequalities. Moscow: Inostrannaya Literatura, 1946. [Russian translation]
5. Arnol'd V.I. The calculus of snakes and the combinatorics of Bernoulli, Euler and Springer numbers of Coxeter
groups // Russian Mathematical Surveys. 1992. V. 47. ќ 1(283). P. 345.
Аннотация: Для широкого класса резонансных краевых задач для скалярных функционально-дифференциальных уравнений с положительными операторами получены необходимые и достаточные условия
однозначной разрешимости.
Ключевые слова: периодическая краевая задача; резонансная краевая задача; функционально-дифференциальные уравнения; константы Фавара; функция Грина.
Бравый Евгений Ильич
к. ф.-м. н., доцент
Пермский государственный
технический университет
Россия, Пермь
e-mail: bravyi@perm.ru
Bravyi Evgeniy
candidate of phys.-math. sciences,
senior lecturer
Perm State Technical University,
Russia, Perm
e-mail: bravyi@perm.ru
УДК 517.911, 517.968
О РЕАЛИЗАЦИИ РАССТОЯНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ РЕШЕНИЙ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВКЛЮЧЕНИЯ С
МНОГОЗНАЧНЫМИ ИМПУЛЬСНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ 1
c
°
А. И. Булгаков, Е. В. Корчагина
Ключевые слова: функционально-дифференциальное включение; многозначные импульсные воздействия.
Аннотация: На множестве решений функционально-дифференциального включения с многозначными
импульсными воздействиями рассмотрен вопрос о реализации расстояния в пространстве суммируемых
функций от произвольной суммируемой функции до своих значений. Получены эффективные оценки
решений задачи Коши.
1
Работа поддержана грантами РФФИ (ќ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного
потенциала высшей школы"(РНП ќ 2.1.1/1131) и включена в Темплан ќ 1.6.07.
667
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
В монографиях [1-3] исследованы дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. Здесь рассматривается функционально-дифференциальное включение с вольтерровым по
А.Н. Тихонову оператором (см. [4]) и многозначными импульсными воздействиями.
Пусть U ? [a, b] измеримое по Лебегу множество. Обозначим
Ln1 (U) пространство суммиR
руемых по Лебегу функций x : U ? Rn с нормой kxkLn (U ) = |x(s)|ds, comp [Rn ] множество
U
непустых компактов пространства Rn .
Пусть S(Ln1 [a, b]) множество всех ограниченных замкнутых выпуклых по переключению
(разложимых) (см. [5]) подмножеств пространства Ln1 [a, b]; ?[S(Ln1 [a, b])] множество всех выпуклых ограниченных замкнутых выпуклых по переключению (разложимых) подмножеств пространства Ln1 [a, b].
e n [a, b] мноПусть tk ? [a, b] (a < t1 < . . . < tm < b) конечный набор точек. Обозначим через C
жество всех непрерывных на каждом из интервалов [a, t1 ], (t1 , t2 ], . . . , (tm , b] ограниченных функций x : [a, b] ? Rn , имеющих пределы справа в точках tk , k = 1, 2, . . . , m, с нормой kxkC
e n [a,b] =
e 1 [a, b] множество неотрицательных функций пространства C
e 1 [a, b].
= sup{|x(t)| : t ? [a, b]}, C
+
e n [a, ? ] это пространство функций x : [a, ? ] ? Rn , являющихся суженияЕсли ? ? (a, b], то C
e n [a, b] с нормойkxk en
ми на отрезок [a, ? ] элементов из C
= sup{|x(t)| : t ? [a, ? ]}. Пусть X
C [a,? ]
произвольное пространство и U1 , U ? X, тогда hX [U1 ; U ] расстояние по Хаусдорфу между
множествами U1 и U в пространстве X, если X = Rn , то индекс пространства в расстоянии по
Хаусдорфу между множествами опускаем.
Рассмотрим задачу
x? ? ?(x),
(1)
?(x(tk )) ? Ik (x(tk )), k = 1, . . . , m,
(2)
x(a) = x0 ,
(3)
e n [a, b] ? S(Ln [a, b]) непрерывно по Хаусдорфу и удовлетворяет условию:
где отображение ? : C
1
e n [a, b] образ ?(U ) ограничен суммируемой функцидля каждого ограниченного множества U ? C
ей. Отображения Ik : Rn ? comp [Rn ], k = 1, 2, ...m непрерывны по Хаусдорфу, ?(x(tk )) = x(tk +
+ 0) ? x(tk ), k = 1, 2, ...m.
e n [a, b],
О п р е д е л е н и е 1. Под решением задачи (1)-(3) будем понимать функцию x ? C
для которой существует такое q ? ?(x), что при всех t ? [a, b] имеет место представление
Zt
x(t) = x0 +
q(s)ds +
a
m
X
?(tk ,b] (t)?(x(tk )),
(4)
k=1
где ?(x(tk )) ? Ik (x(tk )), k = 1, . . . , m.
e n [a, b] ? S(Ln [a, b]) вольтерров по А.Н. Тихонову.
Предположим, что оператор ? : C
1
О п р е д е л е н и е 2. Будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) почти реализует
расстояние в пространстве суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих
e n [a, b]
значений, если для любого v ? Ln1 [a, b] и любого ? > 0 существует такое решение x ? C
задачи (1)-(3), что для любого измеримого множества U ? [a, b] выполняется неравенство
kq ? vkLn1 (U ) 6 ?Ln1 (U ) [v, ?(x)] + ?µ(U),
(5)
где функция q ? ?(x) удовлетворяет равенству (4). Если при ? = 0 в (5) выполняется равенство,
то будем говорить, что множество решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве
суммируемых функций от любой суммируемой функции до своих значений.
668
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
О п р е д е л е н и е 3. Будем говорить, что множество всех локальных решений задачи (1)-(3)
априорно ограничено, если найдется такое число r > 0, что для всякого ? ? (a, b] не существует
решения y задачи (1)-(3) на [a, ? ], для которого выполняется неравенство ||y||C
e n [a,? ] > r.
Т е о р е м а 1. Пусть множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно ограничеe n [a, b] ? S(Ln [a, b]) непрерывно по Хаусдорфу. Тогда множество
но. И пусть отображение ? : C
1
решений задачи (1)-(3) почти реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от
e n [a, b] ? ?[S(Ln [a, b])], то множелюбой суммируемой функции до своих значений. Если ? : C
1
ство решений задачи (1)-(3) реализует расстояние в пространстве суммируемых функций от
любой суммируемой функции до своих значений.
О п р е д е л е н и е 4. Будем говорить, что импульсные воздействия Ik : Rn ? comp [Rn ],
k = 1, 2, ..., m, обладают свойством A, если для каждого k = 1, 2, ..., m найдется непрерывная
неубывающая функция Iek : R1+ ? R1+ , удовлетворяющая равенству Iek (0) = 0, что для любых
x, y ? Rn выполняется оценка
h[Ik (x), Ik (y)] 6 Iek (|x ? y|).
(6)
О п р е д е л е н и е 5. Будем говорить, что импульсные воздействия Ik : Rn ? comp [Rn ], k =
e n [a, b] ? S(Ln [a, b]) обладают свойством (?u,?,p , k = 1, 2, ..., m),
= 1, 2, ..., m, и отображение ? : C
1
если импульсные воздействия Ik : Rn ? comp [Rn ], k = 1, 2, ..., m, обладают свойством A, и если
e 1 [a, b] ? L1 [a, b], удовлетворяющий
найдется изотонный непрерывный вольтерров оператор ? : C
+
+
e n [a, b] и любого измеримого множества U ? [a, b]
условиям ?(0) = 0, для любых функций x, y ? C
выполняется неравенство
hLn1 (U ) [?(x); ?(y)] 6 k?(Z(x ? y))kL11 (U ) ;
(7)
множество всех локальных решений задачи
y? = u + ? + ?(y), ?(y(tk )) = Iek (y(tk )), k = 1, ...m, y(a) = p
(8)
e n [a, b] ? C
e 1 [a, b] определено равенаприорно ограничено. Здесь непрерывное отображение Z : C
+
ством
(Zx)(t) = |x(t)|,
(9)
отображения Ik : Rn ? comp [Rn ], k = 1, 2, ..., m, удовлетворяют неравенству (6),
u ? L1+ [a, b], числа ?, p > 0.
e n [a, b] существует функция qe ? Ln [a, b], что для любого t ? [a, b]
Пусть для функции y ? C
имеет место представление
Zt
y(t) = y(a) +
qe(s)ds +
a
m
X
?[tk ,b] (t)?(y(tk )),
(10)
k=1
где ?(y(tk )) ? Ik (y(tk )), k = 1, 2, ..., m. Пусть для функции ? ? L1+ [a, b] для каждого измеримого
множества U справедливо соотношение
Z
?Ln1 (U ) [e
q ; ?(y)] 6 ?(s)ds,
(11)
U
e n [a, b] удовлетворяют равенству (10).
где функции qe ? Ln1 [a, b] и y ? C
e n [a, b] имеет место представление (10), а функция
Т е о р е м а 2. Пусть для функции y ? C
1
? ? L+ [a, b] для каждого измеримого множества U ? [a, b] удовлетворяет неравенству (11).
Далее, пусть импульсные воздействия Ik : Rn ? comp [Rn ], k = 1, 2, ..., m, и отображение
669
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
e n [a, b] ? S(Ln [a, b]) обладают свойством (??,?,p , k = 1, 2, ..., m), где ? > 0, p = |x0 ? y(a)|,
?:C
1
e n [a, b] задачи (1)-(3),
x0 ? начальное условие задачи (1)-(3). Тогда для любого решения x ? C
удовлетворяющего для любого измеримого множества U ? [a, b] неравенству (5), в котором
функция q ? Ln1 [a, b] из представления (4), а функция v = qe из соотношения (10), при любом
t ? [a, b] имеет место оценка
|x(t) ? y(t)| 6 ?(?, ?, p)(t),
(12)
и при почти всех t ? [a, b] справедливо соотношение
|q(t) ? qe(t)| 6 ?(t) + ? + (?(?(?, ?, p)))(t),
(13)
где ?(?, ?, p)? верхнее решение задачи (8) при u = ? и p = |x0 ? y(a)|.
e n [a, b] имеет место представление (10), и функция
Т е о р е м а 3. Пусть для функции y ? C
? ? L1+ [a, b] для каждого измеримого множества U ? [a, b] удовлетворяет неравенству (11).
Далее, пусть импульсные воздействия Ik : Rn ? comp [Rn ], k = 1, 2, ..., m, и отображение
e n [a, b] ? S(Ln [a, b]) обладают свойством (??,?,p , k = 1, 2, ..., m), где ? > 0, p = |x0 ?y(a)|, x0 ?
?:C
1
начальное условие задачи (1)-(3), и множество всех локальных решений задачи (1)-(3) априорно
e n [a, b] задачи (1)-(3), для которого при
ограниченно. Тогда при ? > 0 существует решение x ? C
всех t ? [a, b] справедлива оценка (12), и при почти всех t ? [a, b] выполняется соотношение
(13).
e n [a, b] ? ?(S[Ln [a, b]], то утверждение справедливо и при ? = 0.
Если ? : C
1
ЛИТЕРАТУРА
1.Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы теории функционально-дифференциальных
уравнений. М.: Высшая школа, 1987.
2. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсными воздействиями. К.: Вища
шк., 1987.
3. Завалищин C.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука, 1991.
4. Тихонов А.Н. Функциональные уравнения типа Вольтерра и их приложения к некоторым вопросам математической физики // Бюллетень Московского университета. Секция А. 1938. Т. 68. ќ 4. С. 1-25.
5. Булгаков А.И., Ткач Л.И. Возмущение однозначного оператора многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами // Известия ВУЗов. 1999. ќ 3. С. 316.
Abstract: The work is concerned with functional-dierential inclusions with multivalued impulses. There is
considered the question of realization of the distance (in the space of summable functions) from an arbitrary
summable function to the values of a multivalued map acting on the solutions set. The eective estimates of
solutions to the Cauchy problem are derived.
Key words: functional-dierential inclusion; multivalued impulses.
Булгаков Александр Иванович
д. ф.-м. н., профессор
Тамбовский государственный университет
им. Г.Р. Державина
Россия, Тамбов
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Alexandr Bulgakov
doctor of phys.-math. sciences, professor
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Корчагина Елена Валерьевна
аспирант
Тамбовский государственный университет
им. Г.Р. Державина
Россия, Тамбов
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
Elena Korchagina
post-graduate student
Tambov State University named after
G.R. Derzhavin
Russia, Tambov
e-mail: aib@tsu.tmb.ru
670
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа