close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О решении одной неполной обратной задачи Штурма - Лиувилля.

код для вставкиСкачать
склейкой локальных расслоений Ak, ? ? U? по изоморфизмам над пересечениями U? ? U? , определяемыми частичными изоморфизмами. Заметим,
что вложения µ? при этом не склеиваются ни в какой глобальный объект
как и локальные тривиализации для расслоений со структурной группой.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 0701-00046-а, 07-01-91555-ННИО-а и 08-01-00034-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ершов А.В. Препятствия к вложению расслоений матричных алгебр в тривиальное расслоение // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2009. Т. 9. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 3. С. 2733.
2. Rossi C.A. The division map of principal bundles with groupoid structure and
generalized gauge transformations // arXiv:math/0401182v2 [math.DG]
3. Ershov A.V. Homotopic theory of bundles whose bers are matrix algebras // J.
Math. Sci. 2004. Vol. 123, ќ4. P. 41984220.
4. Rossi C.A. Principal bundles with groupoid structure: local vs. global theory and
nonabelian Cech
cohomology // arXiv:math/0404449v1 [math.DG]
5. Каруби М. К-теория. Введение. М.: Мир, 1981. 360 с.
УДК 517.984
М.Ю. Игнатьев
О РЕШЕНИИ ОДНОЙ НЕПОЛНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ
Пусть ? = {?n }n=1,? подмножество спектра краевой задачи:
`y ? ?y 00 + q(x)y = ?y,
b ? ? < x < b,
y(b ? ?) = y(b) = 0,
(1)
(2)
где b < ?/2.
Задача 1. По заданному множеству ? и значениям потенциала
q(x) на [b ? ?, 0] восстановить потенциал на всем отрезке [b ? ?, b].
Задача 1 относится к так называемым "неполным"(или "полуобратным") задачам, в которых недостаток спектральной информации компенсируется некоторой априорной информацией об искомом потенциале.
Вопросам единственности решения таких задач (и, в частности, задачи 1)
посвящено большое число работ различных авторов (см., напр., [1 3]).
В настоящей статье предлагается конструктивная процедура решения задачи 1.
Обозначим
?
?
sin ?x
c(x, ?) = cos ?x, s(x, ?) = ?
.
?
31
Всюду далее будем считать, что множество ? удовлетворяет следующему
условию.
Система функций {s (x, ?n )}n=1,? полна в L2 [0, 2b].
Пусть S(x, ?), S0 (x, ?), C0 (x, ?) решения задач Коши для уравнения
(1) с начальными условиями S(b ? T, ?) = S0 (0, ?) = C00 (0, ?) = 0, S 0 (b?
?T, ?) = S00 (0, ?) = C0 (0, ?) = 1.
Введем в рассмотрение функцию
Условие A.
?(x, ?) := S(0, ?)c(x, ?) + S 0 (0, ?)s(x, ?).
(3)
Поскольку потенциал q(x) известен априори для x ? [b ? ?, 0], величины
S(0, ?) и S 0 (0, ?) также известны априори (для всех ?). Следовательно,
функции ?(x, ?) можно считать известными для всех ? и x ? [b ? ?, b].
Рассмотрим краевую задачу:
Лемма 1.
`y ? ?y 00 + q(x)y = ?y, A < x < B,
y(A) = y(B) = 0.
(4)
Пусть {?n }n=1,? подмножество спектра задачи (4) такое, что система функций {s (x, ?n )}n=1,? полна в L2 [0, a] a ? B ? A. Пусть
SA (x, ?) решение задачи Коши `y = ?y , y(A) = 0, y 0 (A) = 1. Тогда система функций {SA (x, ?n )}n=1,? полна в каждом из пространств
L2 [A, A + a] и L2 [B ? a, B].
Очевидно, без ограничения общности можно считать, что A = 0. Тогда полнота рассматриваемой системы следует
из представления SA (x, ?) = (E + G)s(x, ?) [4] и полноты системы
{s (x, ?n )}n=1,? . Таким образом, первая часть утверждения доказана.
Рассмотрим задачу Коши ?y 00 + q ? (x)y = ?y , y(0) = 0, y 0 (0) = 1, где
q ? (x) := q(B ? x). Обозначим ее решение через S ? (x, ?). Нетрудно видеть,
что S ? (x, ?) = SB (B ?x, ?), где SB (x, ?) решение задачи Коши `y = ?y ,
y(B) = 0, y 0 (B) = ?1. Ясно, что спектр задачи Дирихле с потенциалом
q ? (x) совпадает со спектром задачи (4). В силу доказанной ранее первой
части утверждения леммы система {S ? (x, ?n )}n=1,? полна в L2 [0, a]. Но
это означает, что система {SB (x, ?n )}n=1,? полна в L2 [B ? a, B]. Далее,
поскольку все ?n собственные значения задачи (4), имеем SB (x, ?n ) =
= ?n SA (x, ?n ). Лемма доказана.
При выполнении условия A система функций
{? (x, ?n )}n=1,? полна в L2 [?b, b].
Воспользуемся оператором преобразования [4] для
S(x, ?), что с учетом (3) дает
Zx
S(x, ?) = ?(x, ?) + K(x, t)?(t, ?) dt, x ? [?b, b].
(5)
Доказательство.
Лемма 2.
Доказательство.
?x
32
Из леммы 1 следует, что при выполнении условия A система
{S (x, ?n )}n=1,? полна в L2 [?b, b]. А так как в силу (5) имеем ? (x, ?n ) =
= (E + K)?1 S (x, ?n ), то и система {? (x, ?n )}n=1,? полна в L2 [?b, b].
Лемма доказана.
Теперь перейдем непосредственно к решению задачи 1. Для этого
снова воспользуемся представлением (5), положив в нем x = b и ? =
= ?n , n = 1, ?. Поскольку ?n собственные значения задачи (1), (2),
имеем S (b, ?n ) = 0 и (5) в рассматриваемом случае принимает вид
Zb
f (t)? (t, ?n ) dt = ?? (b, ?n ) ,
n = 1, ?,
(6)
?b
где f (t) = K(b, t). В силу полноты системы {? (x, ?n )}n=1,? равенством (6) функция f (t) однозначно определяется через входные данные
задачи 1.
Далее, зная функцию f (t), t ? [?b, b] мы можем свести задачу 1 к
классической обратной задаче Штурма Лиувилля на отрезке [0, b] в
той или иной постановке. Покажем, как, используя f (t), t ? [?b, b], найти
функцию Вейля [5]:
M (?) = ?
C0 (b, ?)
.
S0 (b, ?)
(7)
Величины C0 (b, ?) и S0 (b, ?) могут быть определены с использованием
оператора преобразования. С учетом K(b, t) = f (t) это дает:
Zb
S0 (b, ?) = s(b, ?) +
f (t)s(t, ?) dt,
(8)
f (t)c(t, ?) dt.
(9)
?b
Zb
C0 (b, ?) = c(b, ?) +
?b
Таким образом, зная функцию f (t), мы можем, используя (7) (9), найти
M (?). Восстановление по функции Вейля M (?) потенциала q(x), в свою
очередь, представляет собой хорошо известную обратную задачу, решение
которой может быть найдено с помощью классических методов [5].
Окончательно приходим к следующей процедуре решения задачи 1.
Алгоритм 1. Даны q(x), x ? [b ? T, 0], ? = {? }
n n=1,? .
1) вычисляем S(x, ?) для x ? [b ? T, 0], ? ? ?;
2)строим функцию ?(x, ?) (3), x ? [?b, b], ? ? ?;
33
3) находим f (t), t ? [?b, b], из (6);
4) вычисляем S0 (b, ?), C0 (b, ?), M (?), используя последовательно соотношения (8), (9), и (7);
5) по M (?) восстанавливаем q(x), x ? [0, b] [5].
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ННС (проекты 07-01-00003 и 07-01-92000-ННС-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Hochstadt H., Lieberman B. An inverse Sturm Liouville problem with mixed given
data // SIAM J. Appl. Math. 1978. Vol. 34. P. 676680.
2. Gesztesy F., Simon B. Inverse spectral analysis with partial information on the
potential, II. The case of discrete spectrum // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. Vol. 352.
P. 27652787.
3. Horvath M. Inverse spectral problems and closed exponential systems // Ann. of
Math. 2005. Vol. 162. P. 885918.
4. Марченко В.А. Операторы Штурма Лиувилля и их приложения. Киев: Наук.
думка, 1977.
5.
Юрко В.А.
Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит,
2007.
УДК 517.9
В.М. Конюшков
ОБЩИЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Общий алгоритм решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения известен и применяется для нахождения приближенного решения.
В данной статье общий алгоритм переносится на уравнения в частных производных, обосновывается его применение при нахождении приближенных решений задачи Коши для уравнения в частных производных
второго порядка гиперболического типа.
Рассмотрим следующую задачу Коши:
(
uxy = f (x, y, u, p, q),
u|l = 0, p|l = 0, q|l = 0,
(1)
?u
где u = u(x, y), p = ?u
?x , q = ?y , l гладкая кривая на плоскости Oxy , обладающая тем свойством, что каждая характеристика пересекает ее только лишь в одной точке и не касается ее. Функция f (x, y, u, p, q) определена
34
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
339 Кб
Теги
лиувилля, решение, обратное, неполной, одной, задачи, штурм
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа