close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Общий случай

код для вставкиСкачать
Естественные науки
УДК 519.2:621.391
О СТРУКТУРЕ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ В СОВМЕСТНОЙ ЗАДАЧЕ ФИЛЬТРАЦИИ
И ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
Н.С. Демин*, С.В. Рожкова**
*Томский государственный университет,
**Томский политехнический университет
Email: svrhm@rambler.ru
Рассматривается проблема нахождения количества информации по Шеннону в совместной задаче фильтрации и интерполяции
стохастических процессов по непрерывнодискретным наблюдениям с памятью. Получены соотношения, определяющие эволю
цию во времени шенноновских мер количества информации в форме разложений, в которых в явном виде выделены количест
во информации для раздельных задач фильтрации и интерполяции.
1. Введение
В системах калмановского типа [1, 2] основным
математическим объектом является пара процес
сов {xt;yt} с непрерывным либо дискретным време
нем, где xt является ненаблюдаемым процессом, а yt
− наблюдаемым процессом. Обобщением является
ситуация, когда xt − процесс с непрерывным време
нем, а yt=y(t,tm)={zt;η(tm)}, m=0,1,..., т.е. наблюдает
ся совокупность процессов с непрерывным zt и
дискретным η(tm) временем, которые обладают па
мятью относительно ненаблюдаемого процесса и
зависят как от текущих так и от прошлых значений
процесса xt. Для подобного класса процессов в
[3, 4] рассмотрена задача фильтрации, в [5, 6] − за
дача обобщенной экстраполяции, а в [7] − задача
распознавания. Любая статистическая задача име
ет информационный аспект [8], суть которого зак
лючается в нахождении соответствующих коли
честв информации о значениях ненаблюдаемого
процесса (полезного сигнала), которые содержатся
в реализациях наблюдаемых процессов (сигналов
на выходе каналов передачи). Кроме того, знание
количества информации позволяет исследовать
вопросы, являющимися специфическими в теории
информации, такие как минимизация ошибки
воспроизведения сигнала [9, 10], максимизация
пропускной способности каналов передачи [11],
оптимальная передача сигналов [12], а также воп
росы информационного обоснования задач оцени
вания [13, 14]. Для подобного класса процессов
{xt;zt;η(tm)} в [15, 16] рассмотрен информационный
аспект задачи фильтрации в случае наблюдений без
памяти и с памятью единичной кратности, а в [8] −
совместной задачи фильтрации и обобщенной
экстраполяции в случае памяти произвольной па
мяти. В данной работе рассматриваются вопросы
нахождения шенноновских мер количества инфор
мации I τt,t[xt,xτ ,...,xτ ;z 0t ,η0m] о значениях xt, xτ , ..., xτ
ненаблюдаемого процесса в текущем t и произ
вольном числе прошлых моментов τ1,...,τN време
ни, которые содержатся в реализациях наблюдае
мых процессов, в форме представления I τt ,t[.] через
информационные количества It[xt;z 0t ,η0m] и
I τt[xτ ,...,xτ ;z 0t ,η0m] о текущих и прошлых значениях
ненаблюдаемого процесса, соответственно.
1
1
N
N
1
N
Используемые обозначения: P{.} − вероятность
события; M{.} − математическое ожидание; tr[A] −
след матрицы; D−1 − обращение матрицы D; DT −
транспонирование матрицы или вектора; если
ϕ(x) − скалярная функция nмерного аргумента x,
то дϕ/дx 
есть вектор столбец с компонентами
дϕ/дxk, k=1;n, а д 2ϕ
/дx 2 есть
 матрица с компонента
ми д 2ϕ/дx kдx l, k=1;n, l=1;n; дϕ(xt)/дxt и д 2ϕ(xt)/дx 2t
означают дϕ(x)/дx|x=x и д 2ϕ(x)/дx 2|x=x .
t
t
2. Постановка задачи
На вероятностном пространстве (Ω,F,F=(Ft)t≥ 0,P)
не наблюдаемый nмерный процесс xi (полезный
сигнал) и наблюдаемый lмерный процесс zi (сигнал
на выходе непрерывного канала передачи) опреде
ляются стохастическими дифференциальными
уравнениями [17, 18]
(2.1)
dxt = f (t , xt )dt + Φ1 (t ) wt , t ≥ 0,
dzt = h (t , x1 , xτ1 , " , xτ N , z )dt + Φ 2 (t , z )dvt ,
(2.2)
а наблюдаемый qмерный дискретный процесс
η(tm) (сигнал на выходе дискретного канала переда
чи) имеет вид
η (tm ) = g (tm , xt , xτ , ", xτ , z ) + Φ 3 (tm , z )ξ (tm ), m = 0,1,..., (2.3)
где 0≤t0<τN<...<τ1<tm≤t. Предполагается: 1) wt и vt яв
ляются стандартными винеровскими процессами
размеров r1 и r2, ξ(tm) стандартная белая гауссовская
последовательность размера r3; 2) x0, wt, vt, ξ(tm) −
независимы; 3) h(.), Ф2(.) и g(.), Ф3(.) являются не
упреждающими функционалами от реализаций со
ответственно z=z t0={zσ:0≤σ ≤t} и z=z0t наблюдаемого
процесса zt; 4) коэффициенты уравнений (2.1) и
(2.2) удовлетворяют условиям [17, 18], обеспечива
ющим существования решений, а g(.) − непрерыв
на по всем аргументам; 5) Q(.)=Ф1(.)Ф1T(.)>0,
R(.)=Ф2(.)Ф2T(.)>0, V(.)=Ф3(.)Ф3T(.)>0; 6) задана на
чальная плотность p0(x0)=дP{x0≤x}/дx.
Замечание 1. Модели процессов zt и η(tm) вида
(2.2), (2.3), соответствуют наблюдениям с фиксиро
ванной памятью, если τk=const, и наблюдениям со
скользящей памятью,
если τk=t−tk* в (2.2) и τk=tm−tk* в
*
(2.3), где tk =const, k=1;N [5, 6]. В данной работе рас
сматривается случай фиксированной памяти. Зави
m
1
N
m
13
Известия Томского политехнического университета. 2004. Т. 307. № 3
симость h(.) и g(.) от z означает, что каналы наблю
дения обладают бесшумной обратной связью отно
сительно процесса zt [11, 12, 18]. Отсутствие обрат
ной связи, когда h(.) и g(.) не зависят от z, следует
как частный случай.
Ставится задача: найти соотношения, опреде
ляющие эволюцию во времени совместного коли
чества информации I τt,t[xt,xτ ,...,xτ ;z 0t ,η0m] о текущих xt
и прошлых xτ ,...,xτ значениях ненаблюдаемого
процесса, которое содержится в совокупности реа
лизаций z t0={zσ:0≤σ ≤t} и η0m={η(t0),η(t1),...,η(tm);tm≤t}
наблюдаемых процессов в виде представлений I τt,t[.]
через информационные количества I t[xt;z 0t ,η0m] и
I τt[xτ ,...,xτ ;z 0t ,η0m] о текущих и прошлых значениях
ненаблюдаемого процесса, соответственно.
Решение поставленной задачи может быть осу
ществлено на основе представления количества
информации через плотности распределения веро
ятностей с использованием формул Ито [17, 18] и
ИтоВентцеля [19, 20] с использованием результа
тов [1, 2]. Если, аналогично [5, 7], ввести расши
ренные процессы и переменные
1
1
1
N
N
мул Ито и ИтоВентцеля;
2) для стохастических ин
t
тегралов Jt=∫0Ψ(τ,ω)dχτ по винеровским
процессам
t
χτ выполняется условиеt M{∫0Ψ2(τ,ω)dτ}<∞, обеспе
чивающее свойство M{∫0Ψ(τ,ω)dχτ}=0 [17, 18].
3. Основные результаты
Утверждение 1. Апостериорная плотность (2.5)
на интервалах tm≤t<tm+1 определяется уравнением
(см. (2.2−2.4))
d t pτt ( x; xN ) = Lt ,x [ pτt ( x; xN )]dt + pτt ( x ; xN ) ×
dzt = dzt − h (t , z )dt
то в предположении существования плотностей ве
роятности (τ~N=[τ1,...,τN])
pτt ( x; x N ) = ∂ N +1P{xt ≤ x; xτN ≤ xN | zt0 ,ηm0 } ∂x∂xN , (2.5)
p (t , x;τ N , xN ) = ∂ N +1P{xt ≤ x; xτN ≤ xN } ∂x∂xN ,
(2.6)
с начальным условием
pτtm ( x; xN ) = [c( x, xN , η (tm ), z) c(η ( tm ), z)] pτt m − 0( x; xN ),
h(t , z ) = M {h(t , xt , xτN , z ) | z 0t , η0m},
c(η (tm ), z ) = M {c( xtm , xτN , η (t m ), z) | z 0tm , η0m −1},
c( x, xN ,η (tm ), z) = exp{− 1 [η( t m ) − g( t m , x, x N , z)] ×
2
×V −1 (t m , z )[η (t m ) − g (t m , x, x N , z )]}
и pτt −0(x;x~N)=lim pτt при t↑tm.
Данное утверждение следует из Теоремы 3, Лем
мы 4 в [3], и Замечания 1.
Теорема 1. Количество информации (2.17) мо
жет быть представлено в виде (2.15), где It[.] и Iτt|t[.]
на интервалах tm≤t<tm+1 определяются уравнениями
m
dI t [ xt ; z0t ,η0m ] dt =
(2.7)
= (1 2) tr[ M { R −1( t, z)[ h(τ N , z | xt ) − h( t, z)] ×
p (t , x) = ∂P{xt ≤ x} ∂x ,
(2.8)
×[ h(τ N , z | xt ) − h(t , z )]T }] −
pτt ( xN ) = ∂ N P{xτN ≤ xN | zt0 ,ηm0 } ∂xN ,
(2.9)
p (τ N , xN ) = ∂ N P{xτN ≤ xN } ∂xN ,
(2.10)
m
0

 ∂ ln pt ( xt )  ∂ ln pt ( xt ) T
− 1 tr Q (t )M 

 −
2 
∂ xt


 ∂ xt

∂ ln p(t , xt )  ∂ ln p(t , xt ) 
−


∂ xt
∂ xt


p ( xN | x ) = ∂ P{x ≤ xN | xt = x, z , η } ∂ xN , (2.11)
t
τ |t
N
N
τ
t
0
m
0
T
(2.12)
p ( x | xN ) = ∂P{xt ≤ x | x = xN , z , η } ∂ x ,
(2.13)
= (1 2)tr[ M {R −1 (t , z )[ h(t , xt , xτN , z) −
p (t , x | τ N , xN ) = ∂P{xt ≤ x | xτN = xN } ∂x ,
(2.14)
− h(τ N , z | xt )] [⋅]T }] −
N
τ
t
0
m
0
имеют место формулы [9, 10]
I [ x , xt ; z ,η ] = I t [ xt ; z ,η ] + I [ x ; z ,η | xt ],
N
τ
t
0
m
0
t
0
m
0
t
τ |t
N
τ
t
0
m
0
I [ x , xt ; z ,η ] = I [ x ; z ,η ] + I [ xτ ; z , η | xτ ],
N
τ
t
0
m
0
t
τ
N
τ
t
0
m
0
t
τ |t
t
0
m
0
N
Iτt ,t [ xτN , xt ; z0t ,η0m ] = M {ln[ pτt ( xt ; xτN ) p(t , xt ; τ N , xτ N )]},
I t [ xt ; z0t ,η0m ] = M {ln[ pt ( xt ) p(t , xt )]},
Iτt |t [ xτN ; z0t ,η0m | xt ] = M {ln[ pτt |t ( xτN | xt ) p(τ N , xτ N | t , xt )]},
Iτt [ xτN ; z0t ,η0m ] = M {ln[ pτt ( xτN ) p(τ N , xτN )]},
I tt|τ [ xt ; z0t ,η0m | xτN ] = M {ln[ pttτ| ( xt | xτN ) p(t, xt | τ N , xτ N )]}.
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.20)
(2.21)
dIτt |t [ xτN ; z0t ,η0m | xt ] dt =

− 1 tr Q (t )M
2 

 ∂ ln p t ( x N | x )  ∂ ln p t ( x N | x ) T
t
t
τ |t
τ
τ |t τ



∂
x
∂
x
t
t



T
−
∂ ln p(τ N , xτN | t , xt )  ∂ ln p(τ N , xτN | t, xt ) 


∂ xt
∂ xt



−tr Q (t )M

14

 −

 ∂ ln pτt |t ( xτN | xt )  ∂ ln pt ( xt ) T


 −
∂ xt
∂ xt



T
Замечание 2. Предполагается, аналогично [8, 15,
16]: 1) выполняются условия применимости фор
(3.4)
 
 ,
 
p (τ N , xN | t , x ) = ∂ N P{xτN ≤ xN | xt = x} ∂xN ,
t
t |τ
(3.3)
где Lt,x[.] − прямой оператор Колмогорова, соответ
ствующий процессу (2.1),
pt ( x) = ∂P{ xt ≤ x | z ,η } ∂x ,
t
0
t
τ ,t
(3.2)
N
 xτ1 
 x1 
x 
x
 
N
xτ =   , xtN,τ +1 =  Nt  , xN =   , xN +1 =   , (2.4)


 xτ 
 xN 
 xτ 
 xN 
 N
t
τ ,t
(3.1)
×[ h(t , x, x N , z ) − h(t , z )]T R −1(t , z ) dzt ,
∂ ln p(τ N , xτN | t , xt )  ∂ ln p(t, xt ) 
−


∂ xt
∂ xt





(3.5)
Естественные науки
с начальными условиями
I tm [ xtm ; z ,η ] = It m −0 [ xt m ; z ,η
tm
0
tm
0
m
0
m −1
0
] + ∆ It m [ xt m ; z ,η (tm )],
tm
0
Iτtm|tm [ xτN ; z0t m ,η0m | xt m ] = Iτt m|t m− 0 [ xτN ; zt0m ,ηm0 −1 | xt m ] +
+∆I
tm
τ |tm
(3.7)
[ x ; z ,η (tm ) | xt m ],
N
τ
tm
0
∆I tm [ xtm ; z 0tm ,η (tm )] = M {ln[c (η (tm ), z | xt m ) c (η (tm ), z )]},
∆Iτtm|tm [ xτN ; z0t m ,η (tm ) | xt m ] =
{
h(τ N , z | x ) = M {h(t , xt , xτN , z ) | xt = x; z t0,η 0m },
c(η (tm ), z | x) = M {c( xt m , x ,η (tm ), z) | xt = x; z ,η
tm
0
(3.8)
(3.9)
}
= M ln[ c( xtm , xτN , η (tm ), z) c(η ( tm ), z | xt m )] ,
N
τ
(3.6)
(3.10)
m −1
0
}
(3.11)
и It −0[.]=limIt[.], Iτ/t [.]=limI τ/t[.] при t↑tm.
Доказательство. Так как, согласно (2.5), (2.7) и
(2.11) pτt(x;x~N)=pτt /t(x~N|x)pt(x), то интегрирование (3.1)
и (3.3) по x~N с учетом (3.10), (3.11) дает, что pt(x) на
интервалах tm≤t<tm+1 определяется уравнением
tm−0
m
t
m
d t pt ( x ) = Lt ,x [ pt ( x )]dt +
+ pt ( x )[ h(τ N , z | x) − h(t , z )]T R −1(t, z) dzt ,
(3.12)

∂ 2 pσ ( xσ )
∂ 2 p (σ , xσ ) 
1
M 1
−
 = O.
2
p (σ , xσ )
∂xσ2
 pσ ( xσ ) ∂xσ

Вычисление математического ожидания от ле
вой и правой части (3.15) с учетом (3.16) и Замеча
ния 2, а затем последующее дифференцирование
по t приводит к (3.4), а (3.6), (3.8) следуют в резуль
тате подстановки (3.13) в (2.18).
Так как, согласно (2.5), (2.7) и (2.11)
pτt /t(x~N|x)=pτt(x;x~N)/pt(x), то дифференцирование по
формуле Ито с учетом (3.1), (3.12) дает, что pτt /t(x~N|x)
на интервалах tm≤t<tm+1 определяется уравнением
dt pτt |t ( xN | x ) = {(1 pt ( x ))( Lt ,x [ pt ( x; xN )] −
− pτt |t ( xN | x) Lt ,x [ pt ( x)]) + pτt t| ( xN | x)[ h(t, x, xN , z) −
− h(τ N , z | x)]T R −1 (t, z)[ h( t, z) − h(τN , z | x)]} dt +
с начальным условием
m −0
pτtm|tm ( xN | x ) = [c (x , xN , η (tm ), z ) c (η (tm ), z | x )] pτt tm
(xN | x ),
|
 p ( x)   1

dt ln  t
Lt , x [ pt ( x)] − 1 Lt , x [ p (t , x)]  dt −
=
p(t , x)
 p (t , x)   pt ( x)

T
−1
1
− [h(τ N , z | x) − h(t , z)] R (t, z)[ h(τ N , z | x) − h( t, z)] dt + (3.14)
2
+[h(τ N , z | x) − h(t , z)]T R −1(t, z) dzt .
Применяя к (3.14) формулу ИтоВентцеля [19,
20], аналогично [8] получаем
t =t m
+
которое следует из (3.3), (3.13). Априорная плот
ность (2.12) определяется уравнением
t
t


∂ 2 pσ ( xσ )
∂ 2 p (σ , xσ )  
1
+ ∫ tr Q (σ )  1
−
  dσ +
2
p
(
x
)
p
(
σ
,
x
)
∂xσ
∂xσ2
σ
 σ σ

tm

t
T
dIτt [ xτN ; z 0t ,η0m ] dt =
= (1 2)tr[ MÕR −1(t , z )[ h(t, z | xτN ) − h(t, z)] ×
×[ h(t , z | xτN ) − h(t , z )]T }],
(3.20)
dI tt|τ [ xt ; z0t ,η0m | xτN ] dt =
= (1 2)tr[ M {R −1 (t , z )[ h(t , xt , xτN , z) − h(t, z | xτN )][ ⋅]T }] −
 ∂ ln p t ( x | x N )  ∂ ln pt ( x | xN ) T
τ
τ
t |τ
t
t |τ
t


 −
∂
x
∂
x
t
t






(3.21)
с начальными условиями
Iτtm [ xτN ; z0t m ,η 0m ] = Iτt m − 0 [ xτN ; zt0m ,ηm0 −1 ] + ∆Iτt m [ xτN ; zt0m ,η (t m )],
t
+ ∫ [ h(τ N , z | xσ ) − h(σ , z )] R −1(σ , z) Φ 2 (σ , z) dvσ .
которое следует из (3.17). Дальнейший вывод (3.5)
проводится с использованием (3.17)−(3.19) анало
гично выводу (3.4). Формулы (3.7), (3.9) получают
ся как результат использования (3.18) в (2.19).
Теорема 2. Количество информации (2.17) мо
жет быть представлено в виде (2.16), где Iτt[.] и It|t τ[.]
на интервалах tm≤t<tm+1 определяются уравнениями
T

 ∂ ln pσ ( xσ ) T ∂ ln p(σ , xσ ) T  
− 1 ∫ tr Q (σ ) 
(⋅) −
(⋅)   dσ +
2t 
∂xσ
∂xσ


m
(3.19)
− p (τ N , xN | t , x ) Lt ,x [ p (t , x )])Údt ,
∂ ln p(t , xt | τ N , xτN )  ∂ ln p(t, xt | τ N , xτN ) 
−


∂ xt
∂ xt


m
t
m
= Õ (1 p(t , x ))( Lt , x [ p(t , x; τ N , xN )] −

− 1 tr Q (t )M
2 

+ 1 ∫ tr[ R −1 (σ , z )[ h(τ N , z | xσ ) − h(σ , z)][ ⋅]T ]d σ −
2t
p (x )
+ ∫ ∂ ln σ σ Φ1 (σ ) dwσ +
∂
x
p
(σ , xσ )
σ
t
(3.18)
dt p (τ N , xN | t , x ) =
(3.13)
Априорная плотность (2.8) определяется урав
нением dt p(t,x)=Lt,x[p(t,x)]dt, которое следует из
(3.12), либо в результате интегрирования по x урав
~N)=Lt,x[p(t,x;~
~N)]dt для априорной
нения dtp(t,x;~τN,x
τN,x
плотности (2.6). Так как инновационный процесс
~z t, дифференциал которого имеет вид (3.2) такой,
что Z~t=(z~t,Ftz) является винеровским процессом с
t
T
z
M{z~~
tz t |Ft }=∫0R(τ,z)dτ [17, 18], то дифференцирова
ние по формуле Ито с использованием (3.12) дает
 p (x ) 
ln  t t  = ln[⋅]
 p (t , xt ) 
(3.17)
+ pτt |t ( xN | x)[ h(t , x, xN , z) − h(τN , z | x)]T R −1( t, z) dzt
с начальным условием
ptm ( x ) = [c (η (tm ), z | x ) c (η (tm ), z )] pt m − 0 (x ).
(3.16)
(3.15)
I ttmm|τ [ xt m ; z0t m ,η0m | xτN ] = Itt mmτ|− 0 [ xt m ; zt0m ,ηm0 −1 | xτN ] +
+∆I ttmm|τ [ xt m ; z0t m ,η (tm ) | xτN ],
(3.22)
(3.23)
tm
Аналогично [12], а также (П.13) в [15]
∆Iτtm [ xτN ; z 0t m ,η (t m )] = M {ln[c (η (t m ), z | xτN ) c (η (t m ), z )]},
(3.24)
15
Известия Томского политехнического университета. 2004. Т. 307. № 3
∆I ttmm|τ [ xt m ; z0t m ,η (tm ) | xτN ] =
dIτt ,t [ xτN , xt ; zt0 ,η0m ] dt =
(3.25)
= M {ln[ c( xtm , xτN , η ( tm ), z) c(η ( tm ), z | xτN )]},
h(t , z | x N ) = M {h(t , xt , xτN , z ) | xτN = xN ; z t0, ηm0 },
c(η (tm ), z | x ) = M {c( xtm , x , η(t m ), z) | x = x N ; z , η
N
τ
N
τ
N
τ
tm
0
T
∂ ln p(t , xt ; τ N , x )  ∂ ln p(t, xt ; τN , xτN ) 
−


∂ xt
∂ xt


N
τ
m −1
0
} (3.27)



(3.32)
m
m|
d t pτt ( xN ) = pτt ( xN )[ h(t , z | xN ) − h(t , z )]T R −1(t, z) dzt
pτtm ( xN ) = [ c(η (tm ), z | xN ) c(η ( tm ), z)] pτt m − 0 ( xN ).
(3.29)
Так как pt/τ(x|x~N)=pτt(x;x~N)/pτt(x~N), то дифференци
рование по формуле Ито с учетом (3.1), (3.28) дает,
что pt/t τ(x|x~N) на интервалах tm≤t<tm+1 определяется
уравнением
d t ptt|τ ( x | xN ) =
= {Lt , x [ ptt|τ ( x | xN )] + ptt|τ ( x | xN )[ h(t, x, xN , z) −
= Iτtm,tm− 0 [ xτN , xt m ; zt0m ,η0m ] + ∆Iτt m,t m [ xτN , xt m ; zt0m ,η (tm )],
(3.33)
где
∆Iτtm,tm [ xτN , xt m ; zt0m ,η (tm )] =
(3.34)
t .
.
и Iτ,t [ ]=limIτ/t[ ] при t↑tm.
Доказательство. Уравнение (3.32) следует как ре
зультат использования уравнений (3.4), (3.5) в (2.15)
или (3.20), (3.21) в (2.16). Используя (3.6) (3.9) в (2.15)
или (3.22) (3.25) в (2.16) мы получаем формулы (3.33),
(3.34) с учетом pτt(x;x~N)=pτt |t(x~N|x)pt(x)=pt/t τ(x|x~N)=pτt(x~N) и
свойств условного математического ожидания [18]
tm−0
m
M {h(t , xt , xτN , z )} = M {M {M {h( ⋅) | xt = x, zt0, ηm0 }| zt0, ηm0 }} =
(3.30)
= M {M {h(τ N , z | xt ) | z0t , η 0m }} = M {h( t, z)} ,
M {h(t , xt , xτN , z )} = M {M {M {h(⋅) | xτN = xN , zt0, ηm0 }| zt0, ηm0 }} =
+ ptt|τ ( x | xN )[ h(t , x, xN , z ) − h(t , z | xN )]T R −1(t , z ) dzt
= M {M {h(t , z | xτN ) | z 0t , η 0m }} = M {h(t, z)}.
с начальным условием
pttmm|τ ( x | xN ) = [c ( x , xN , η (tm ), z ) c (η (tm ), z | xN )] ptt mmτ|− 0(x | xN ),
Iτtm,tm [ xτN , xt m ; zt0m ,η0m ] =
− M {ln[c( xtm , xτN , η (tm ), z) c(η ( tm ), z)]}
t
−h(t , z | x N )]T R −1 (t , z )[ h(t , z ) − h(t , z | xN )]}dt +
с начальным условием
(3.28)
с начальным условием
(3.31)
которое следует из (3.3), (3.29). Априорные плот
ности (2.10), (2.14) определяются уравнениями
~N)=0, dtp(t,x|~τN,x
~N)=Lt,x[p(t,x|~
~N)]dt, которые
dtp(~τN,x
τN,x
следуют из (3.28), (3.30). Дальнейшее доказатель
ство, т.е. вывод (3.20) (3.25) проводится аналогично
доказательству Теоремы 1, используя формулы Ито
и ИтоВентцеля и (2.20), (2.21), (3.28) (3.31).
Следствие. Количество информации (2.17) на
интервалах tm≤t<tm+1 определяется уравнением
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction prob
lems // Trans. ASME. J. Basic Eng., Ser. D. − 1960. − V. 82. −
P. 35−45.
2. Kalman R.E., Busy R. New results in linear filtering and prediction
theory // Trans. ASME. J. Basic Eng., Ser. D. − 1961. − V. 83. −
P. 95−108.
3. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохас
тических процессов по совокупности непрерывных и дискрет
ных наблюдений с памятью. I. Основное уравнение нелиней
ной фильтрации // Автоматика и телемеханика. − 1995. − № 9.
− С. 49−59.
4. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохас
тических процессов по совокупности непрерывных и дискрет
ных наблюдений с памятью. II. Синтез фильтров // Автомати
ка и телемеханика. − 1995. − № 10. − С. 36−49.
16
T
t
N
t
N

 ∂ ln pτ ( xt ; xτ )  ∂ ln pτ ( xt ; xτ ) 
− 1 tr Q (t )M 
−


2 
∂ xt
∂ xt




(3.26)
и Iτt 0[.]=limIτt[.], Itt −τ 0[.]=limI t/t τ[.] при t↑tm.
Доказательство. Так как, согласно (2.5), (2.9) и
(2.13) pτt(x;x~N)=pt/t τ(x|x~N)pτt(x~N), то интегрирование (3.1)
и (3.3) по x с учетом (3.26), (3.27) дает, что pτt(x~N) на
интервалах tm≤t<tm+1 определяется уравнением
m
= (1 2)tr[ M {R −1 (t , z )[ h(t , xt , xτN , z) − h(t, z)] [ ⋅]T }] −
4. Заключение
Полученные результаты могут быть использова
ны для анализа информационной эффективности
систем с непрерывнодискретными наблюдения
ми, а также для решения стандартных задач теории
информации на рассматриваемом классе процес
сов xt, z t, η(tm) в частности таких, как оптимальная
передача случайных сигналов по непрерывно
дискретным каналам с памятью и исследование
пропускной способности таких каналов.
5. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева А.В. Обобщенная обратная
экстраполяция стохастических процессов по совокупности
непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Извес
тия РАН. ТиСУ. − 1997. − № 4. − С. 48−59.
6. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная сколь
зящая экстраполяция стохастических процессов по совокуп
ности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью //
Известия РАН. ТиСУ. − 2000. − № 4. − С. 39−51.
7. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Likelihood ratio
determination for stochastic processes recognition problem with
respect to the set of continuous and discrete observations //
Informatica. − 2001. − V. 12. − № 2. − P. 263−384.
8. Dyomin N.S., Safronova I.E., Rozhkova S.V. Information amount
determination for joint problem of filtering and generalized extrapo
lation of stochastic processes with respect to the set of continuous
and discrete memory observations // Informatica. − 2003. − V. 14.
− № 3. − P. 295−322.
Естественные науки
9. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике.
− М.: Иностранная литература, 1963. − 829 с.
10. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. − М.: Сове
тское радио, 1974. − 720 с.
11. Ihara S. Capacity of mismatched gaussian channels with and without
feedback // Probab. Theory Relat. Fields. − 1990. − V. 84. − № 4.
− C. 453−471.
12. Липцер Р.Ш. Оптимальное кодирование и декодирование при
передаче гауссовского марковского сигнала по каналу с бес
шумной обратной связью // Проблемы передачи информации.
− 1974. − Т. 10. − № 4. − С. 3−15.
13. Arimoto S. Informationtheoretical considerations on estimation
problem // Inform. Control. − 1971. − V. 19. − № 2. − P. 181−194.
14. Tomita Y., Ohmatsu S., Soeda T. An application of the information
theory to estimation problems // Information and Control. − 1976.
− V. 32. − № 2. − P. 101−111.
15. Демин Н.С., Короткевич В.И. О количестве информации в за
дачах фильтрации компонент марковских процессов // Авто
матика и телемеханика. − 1983. − № 7. − С. 87−96.
16. Демин Н.С., Короткевич В.И. Об уравнениях для шенноновс
кого количества информации при передаче марковских диф
фузионных сигналов по каналам с памятью // Проблемы пере
дачи информации. − 1987. − Т. 23. − № 1. − С. 16−27.
17. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. − М.: Нау
ка, 1987. − 318 с.
18. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.
− М.: Наука, 1974. − 696 с.
19. Розовский Б.Л. О формуле ИтоВентцеля // Вестник МГУ. Се
рия матем. механ. − 1973. − № 1. − С. 26−32.
20. Ocone D., Pardoux E. A generelized ItoVentzel formula // Ann.
Inst. Henri Poincare. − 1989. − V. 25. − № 1. − P. 39−71.
УДК 532.58
СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА
И.В. Дудин, Р.К. Нариманов
Томский государственный университет
Email: rin@ftf.tsu.ru
На основе применения преобразования простого растяжениясжатия указана методика распространения решений задач, свя
занных с течениями несжимаемой вязкой жидкости в присутствии сферы, на варианты, когда сфера заменяется трехосным эл
липсоидом. Решена задача о медленном обтекании эллипсоида, указана простая расчетная формула для его сопротивления. По
казано удовлетворительное совпадение с литературными данными, соответствующими предельным случаям.
Введение
Некоторые задачи, связанные с интегрировани
ем уравнений НавьеСтокса
∇ vv − v × rot v = −Eu ∇p − 1 rot rot v, div v = 0, (1)
2
Re
или их упрощений, в случаях присутствия твердого
или жидкого объекта в виде сферы единичного ра
диуса успешно решены путем использования функ
ции тока
ψ= 12 σ 2f(σ)sin2θ,
(2)
σ = ξ i + η j + ζ k = σ [i cosθ + sin θ ( j cos ϕ + k sin ϕ )].
При этом от функции f(σ) требуется, чтобы она
удовлетворяла уравнению
rot rot rot v =rot rot rot rot (ψ∇ϕ) = 0,
(3)
что в общем случае влечет за собой представление
(4)
f (σ ) = c1 + c2σ −1 + c3σ −3 + c4σ 2 .
При различном наборе констант интегрирова
ния в (4) функция тока (2) будет обеспечивать ки
нематические картины течения как во внутренних
(вихри АдамараРябчинскогоХилла, c2=c3=0), так
и во внешних (c4=0) областях. Для внутренних те
чений ускорение является консервативным векто
ром, и давление находится из полных уравнений
движения НавьеСтокса; в идеальном внешнем по
токе (c2=0) давление определено интегралом Бер
нулли, а во внешнем вязком оно находится из урав
нений Стокса.
Ниже обсуждается проблема распространения
отмеченных и других решений на случай замены
сферы трехосным эллипсоидом. Сопротивление
эллипсоида вращения при его медленном движе
нии было найдено в [1] по теории ньютоновского
потенциала притяжения. В [2] предпринята попыт
ка определить сопротивление набегающему потоку
вязкой жидкости трехосного эллипсоида при па
раллельности потока и одной из полуосей путем
использования преобразования простого растяже
ниясжатия, при котором сфера переводится в эл
липсоид и наоборот.
В общем случае трехосный эллипсоид имеет бес
конечно много сопротивлений, что зависит от его
ориентации к набегающему потоку. Поэтому иссле
дование выполняется в предположении, что орты
i, j, k декартовой системы координат жестко связа
ны с главными центральными осями эллипсоида
2
2
2
 x  y  z
  +   +   = 1,
a b c
который в тексте будет фигурировать в виде урав
нения (при σ=1)
17
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа