close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О теоремах притяжения для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

код для вставкиСкачать
ж1 0ц
ж -1 -1ц
ж 5 2ц
&& + з
з
чy
ч y& - з
ч y = 0,
и0 1ш
и -1 1 ш
и -1 9 ш
которое, очевидно, эквивалентно линейной
системе дифференциальных уравнений четвертого порядка, что полностью согласуется
с результатами [3]. Далее составим характеристическое уравнение
ж 1 0 ц 2 ж -1 -1ц
ж 5 2ц
з
чl + з
чl - з
ч = 0,
0
1
1
1
и
ш
и
ш
и -1 9 ш
которое имеет вид:
l4 – 16l2 + 3l + 47 = 0.
Его корни: l1 » 3,2684, l2 » 2,1834, l3 »
» 3,6449, l4 » –1,8069, откуда следует заключение об у-неустойчивости системы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Воротников В. И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных /
В. И. Воротников. — М. : Наука, 1991. — 288 с.
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. — М. : Наука, 1967. — 576 с.
3. Никонов В. И. Об устойчивости линейных систем относительно части переменных /
В. И. Никонов // Вестн. Мордов. ун-та. Сер. Физико-математические науки [Саранск]. —
2010. — № 4. — С. 62—65.
Поступила
14.03.2012.
УДК 517.9:531.26
О ТЕОРЕМАХ ПРИТЯЖЕНИЯ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ
Р. Б. Лапшина
Доказаны аналоги теорем о притяжении [1—4] для функционально-дифференциальных уравнений, уточняющие результаты работ [3—4].
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение вида
xў (t ) = f ( xt ) , f : X ® Rn, X Н C.
(1)
Будем предполагать, что f есть непрерывная функция из X в Rn, отображающая
ограниченные множества из X в ограниченные множества из C. Эти предположения будут выполнены, если функция f локально
Липшиц-непрерывна на X.
Примем следующие обозначения:
1) ФD-уравнение — функциональнодифференциальное уравнение;
2) С — пространство непрерывных функций j : [–r, 0] ® Rn с нормой
j = max j ( q ) ;
qО[ -r,0]
3) x1 : [–r, 0] ® Rn такая, что
(2)
xt q = x t + q , -r Ј q Ј 0, 0 Ј t < a.
Очевидно, что xt О C — ограничение функции на [t – r, t].
Определение 1. Функция x1 : [–r, a] ® Rn
называется решением ФD-уравнения (1),
если для некоторого a > 0 функция x удовлетворяет (1) для всех t О [0, a).
Определение 2. Решением x(t, j) начальной задачи ФD-уравнения
xў (t ) = f ( xt ) , x0 = j О C
(4)
называется непрерывная функция x(t), определенная в интервале [–r, a], такая, что
x(t) = j(t) "t О [-r,0],
j(t) О X М C,
(5)
(6)
и удовлетворяющая ФD-уравнению (4) для
всех 0 Ј t < a.
© Лапшина Р. Б., 2012
Серия «Физико-математические науки»
79
Известно [3—4], что при указанных
выше предположениях на функцию f начальная задача ФD-уравнения (4) имеет единственное решение x(t, j), определенное в максимальном интервале йл - r, w j , w j > 0.
Определение 3. Пусть x(t, j) есть решение начальной задачи (4), определенное на
максимальном интервале I(w) = [–r, w(j)).
Отображение
p (t, j) = {(t, j) : t О I ( j) , j О X} М R+ ґ X, (7)
(9)
xt (j) < L, xt (j) О Y "t і 0.
Определение 4. Пусть есть решение начальной задачи (4). Положительной траекторией, проходящей через точку j, называется
множество
g+(j) = p(I(j), j) = {xt : t О I(j)}.
Определение 5. Функция Y О С называется w-предельной точкой движения p(t, j),
если
$ {tk } О I ( j ) , tk ® w ( j ) ,
p (tk, j ) ® y, k ® +Ґ.
(11)
Множество всех w-предельных точек движения p(t, j) называется w-предельным множеством этого движения и обозначается W(p(t, j))
(или — короче — Wj)).
Определение 6. Решение x(t, j) начальной задачи (4) называется предкомпактным
относительно X, если замыкание g+(j) положительной траектории g+(j) компактно и
g + ( j) М X.
Определение 7. Пусть Y М X. Функция
V : Y ® Rn называется функцией Ляпунова
на множестве Y относительно ФD-уравнения
(1) (обозначается V О Z(Y)), если:
1) V(j) непрерывна на Y;
2) V& j Ј 0 "j О Y.
Определим производную V& j функции
Ляпунова V:
1
V& ( j ) = lim лйV ( p ( h, j ) ) - V ( j ) ыщ ,
h ®0 h
два множества Z и E:
Z = {j : V(j)} = 0, j О Y},
80
$c p (t, j) ® E I V -1 ( c ) , t ® +Ґ, (13)
(8)
называется движением на X.
Отметим, что
x(t) = xt(0) = p(t, j) (0).
3) xt (j) О Y "t і 0.
Тогда
где V–1(c) — множество с-уровня функции
Ляпунова.
Доказательство. По условию (2) теоремы 1 существует такое L > 0, что
определенное соотношением
p(t, j) = xt(j) = x(t + j),
E — наибольшее инвариантное множество
в Z.
Теорема 1 (о притяжении). Пусть:
1) V О Z(Y);
2) x(t, j) — прекомпактное решение ФDуравнения;
Из (14) следует, что {p(t, j)} принадлежит
компактному множеству пространства C и
W(j) № Ж. Значит, V(p(t,j)) не возрастает,
ограничена снизу и имеет предел, равный C
при t ® +Ґ. Так как функция V непрерывна на Y, то
(15)
V ( g ) = c "g О W ( j ) .
Так как W(j) инвариантно, то V& ( g ) = 0. Но
каждое решение приближается при t ® +Ґ
к своему w-предельному множеству, что и
доказывает теорему 1. Теорема 1 обобщает теорему, доказанную в [3].
Теорема 2. Пусть:
1) f отображает ограниченные множества
в ограниченные;
2) x(t) — ограниченное решение ФDуравнения;
3) xt(j) не имеет положительных предельных точек на границе ¶X множества X.
Тогда решение x(t) уравнения (1) прекомпактно.
Доказательство. Обозначим
c = sup f ( xt )
"t О I ( j ) .
(16)
Имеем следующую оценку:
x (t + j ) - x (t ) =
(12)
(14)
t +j
т f ( xs ) ds < c j , (17)
t
"t, t + j О I j = йл0, w j .
(18)
ВЕСТНИК Мордовского университета | 2012 | № 2
Из (17) следует, что решение x(t) равномерно непрерывно на интервале I(j). Кроме
того, решение x(t) равномерно непрерывно
на отрезке [–r, a). Поэтому решение x(t) равномерно непрерывна на интервале [–r, w(j)).
Следовательно,
семейство
функций
g + j = {xt : t О I j } равностепенно непрерывно на [–r, 0) и положительная траектория g+(j) прекомпактна в C. Так как
g + ( j) М X, решение x(t) ФD-уравнения (1)
прекомпактно. Теорема 2 доказана.
Пример. Рассмотрим функциональнодифференциальное уравнение
x& (t ) = ax3 (t ) + bx 3 (t - r ) , r > 0.
Рассмотрим функционал
V ( q) = -
1 4
q (0) +
2a
Так как V xt = -
0
6
т q ( z ) dz.
(19)
(20)
-r
1 4
x t +
2a
0
6
т x t dz,
-r
производная V& q определяется выражением
2b 3
ж
ц
V& ( q ) = - з q6 ( 0 ) +
q ( 0 ) Ч q3 ( -r ) + q6 ( -r ) ч .
a
и
ш
Если b Ј a , то функционал, определяемый
соотношением (20), является функционалом Ляпунова в банаховом пространстве Cr = С([–r, 0],
Rn) с нормой q = max q y "t О [ -r,0] .
Если a < 0, то V является определенно-положительным и V ® Ґ при q ® Ґ. Тогда
каждое решение ограничено и, следовательно, предкомпактно.
Рассмотрим следующие случаи:
1) a < 0, b Ј a . Тогда нуль-множество
{
Z ::= q : V ( q ) = 0, q О Cr
}
есть множество
функций q, непрерывных на [–r, 0] и удовлетворяющих условию q(0) = q(–r) = 0. Максимальное множество E, содержащееся в Z,
есть функция, тождественно равная нулю на
отрезке [–r, 0], т. е. начало в пространстве
Сr. Следовательно, начало глобально асимптотически устойчиво;
2) a < 0, b = a. Множество Z состоит из
функций q непрерывных на [–r, 0] и удовлетворяющих условию q(0) = –q(–r). Если
решение остается в Z, то x& t = 0. Следовательно, множество E соответствует постоянным функциям q = с, и тогда c = 0 и Е = {0}.
Начало будет глобально асимптотически
устойчивым;
3) a < 0, b = –a. Здесь множество Z соответствует непрерывным функциям q, для
которых q(0) = –q(–r) и множество E соответствует постоянным функциям q = С0.
Каждая постоянная функция есть состояние
покоя. Пересечение E I V -1 ( c ) состоит из
конечного числа постоянных функций. Так
как предельное множество W(q) связно,
каждое движение xt приближается к постоянной функции;
4) a > 0, b < a (или b < a). Множество
{
}
Y ::= q : V& q < 0
непусто и положительно
инвариантно, и E есть начало. Каждое решение, начинающееся в Y, не ограничено.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Барбашин Е. А. Функции Ляпунова / Е. А. Барбашин. — М. : Наука, 1970. — 239 с.
2. La Salle J. P. Stability Theory for Ordinary Differential Equations / J. P. La Salle. //
J. of Differential Equations. — 1968. — № 4. — P. 57—65.
3. Hale J. K. Sufficient Conditions for Stability and Instability of Autonomous Functional-different
Equations / J. K. Hale // J. of Differential Equations. — 1965. — № 1. — P. 462—946.
4. Hale J. K. A Stability Theorem for Functional-differential Equations // J. K. Hale. — Proc.
Nat. Acad. Sci. USA. — 50, 5(1963). — P. 942—946.
Поступила
07.03.2012.
Серия «Физико-математические науки»
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
475 Кб
Теги
притяжение, уравнения, теорема, дифференциальной, запаздывающими, аргументы
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа