close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О точных контактноаффинных преобразованиях.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ
IZVESTIA
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO
PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA
имени В. Г. БЕЛИНСКОГО
imeni V. G. BELINSKOGO
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES
№ 18 (22) 2010
№ 18 (22) 2010
УДК 514.76
О ТОЧНЫХ КОНТАКТНО-АФФИННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯХ
© Н. А. ТЯПИН
Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского,
кафедра геометрии
e-mail: tyapin_nikita@mail.ru
Тяпин Н. А. – О точных контактно-аффинных преобразованиях // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010.
№ 18 (22). С. 84–95. – В работе вводится понятие контактно-аффинной структуры и точных контактноаффинных преобразований. Найдена максимальная размерность группы Ли точных контактно-аффинных преобразований, а также указан вид тензора кручения структурной связности, если эта группа имеет максимальную размерность. Приведен пример контактно-аффинной структуры с группой автоморфизмов максимальной размерности.
Ключевые слова: контактная форма, линейная связность, контактно-аффинная структура, точные контактноаффинные преобразования.
Tyapin N. A. – About exact contact-affine transformations // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo.
2010. № 18 (22). P. 84–95. – In work the concept of contact -affine structure and exact contact-affine transformations
is entered. Whether the maximum dimension of group of exact contact-affine transformations is found, and also the kind
of a tensor of torsion of structural connectivity if this group has the maximum dimension is specified. The example of contactaffine structure with group of automorphisms of the maximum dimension is resulted.
Keywords: the contact form, linear connectivity, contact-affine structure, exact contact-affine transformations.
Автоморфизмы контактных и почти контактных структур активно исследуются уже на протяжении более
полувека. Одним из классических результатов, полученных в данной области, является теорема Танно [1], в которой указана максимальная размерность группы Ли автоморфизмов почти контактных метрических структур, а
также перечислены все классы почти контактных метрических структур, для которых эта размерность достигается.
В настоящей работе вводится понятие контактно-аффинной структуры, как структуры, определяемой контактной
формой и линейной связностью, согласованной с этой формой. Далее мы определяем точные контактно-аффинных
преобразования как аффинные преобразования, сохраняющие не только контактную структуру, определяемую
контактной формой, но и контактную форму, чем и объясняется присутствие слова “точные”. Найдена максимальная размерность группы Ли точных контактно-аффинных преобразований, а также указан вид тензора кручения
структурной связности, если эта группа имеет максимальную размерность. Приведен пример контактно-аффинной
структуры, допускающей группу точных контактно-аффинных преобразований максимальной размерности.
1. Пусть M - нечетномерное гладкое многообразие, dim( M ) = N = 2n + 1 . В дальнейшем будем считать, что
индексы принимают следующие значения i, j , k ,... = 1..N ; α , β , γ ,... = 1..n ,
a + n, 1 ≤ a ≤ n,
aˆ = 
a − n, n + 1 ≤ a ≤ 2n.
(1)
M
называется дифференциальная 1-форма η на M ,
η ∧ dη n ≠ 0.
(2)
Контактной формой, или контактной структурой, на
такая что в каждой точке многообразия
Контактная форма определяет на многообразии контактную структуру. Многообразие с фиксированной на нем
контактной структурой называется контактным многообразием [2].
84
ГЕОМЕТРИЯ
Из классической теоремы Дарбу вытекает, что контактное многообразие M допускает атлас, в каждой карте
(U , ϕ ) которого с координатами {x1 ,..., x 2 n , x N }
η = x n +1dx1 + ... + x 2 n dx n + dx N = ∑xαˆ dxα + dx N
(3)
α
Назовем их, соответственно, атласом, Дарбу и картами Дарбу [3]. В атласе Дарбу ненулевые компоненты формы
Ω = dη имеют вид
Ωαˆ ,α = −Ωα ,αˆ = 1,
(4)
Векторное поле ξ , удовлетворяющее условиям η (ξ ) = 1, ξ ∈ kerΩ , называется характеристическим, в координатах Дарбу оно имеет вид ξ = ∂ N .
 , согласованная с контактной структуПусть на контактном многообразии M задана линейная связность ∇
рой условием
 η = 0.
∇
(5)
~
~ = (η , ∇) , которую назовем контактноВ этом случае будем говорить, что на многообразии M задана структура  ∇
аффинной структурой.
 k компоненты ∇
 в некоторой карте Дарбу (U , ϕ ) . Определим симметрическую связность
Обозначим как Γ
ij
∇(Γijk ) и поле тензора кручения T (Tijk )   21 ( M ) естественным образом:
Γijk =
таким образом,
Распишем
условие
(5)
в
1 k k
(Γij + Γ ji ) = Γ (kij ) ,
2
Tijk = Γ ijk − Γ kji = 2Γ [kij ] ,
1
Γ ijk = Γijk + Tijk .
2

 sη = 0 ,
координатах ∇iη j = ∂ iη j − Γ
ij s
(6)
(7)
откуда
∂ iη j = Γ ijsη s .
Так
как
Ωij = (dη )ij = ∂ iη j − ∂ jηi , получим
Ωij = Tijsη s .
(8)

Откуда следует, что компоненты тензора кручения не могут быть все нулевыми и, следовательно, связность ∇
необходимо имеет кручение.
2. Диффеоморфизм ϕ : M → M назовем точным контактно-аффинным преобразованием или точным автоморфизмом контактно-аффинной структуры K ∇ , если его продолжение сохраняет структурную форму η и связ-
 . Обозначим группу Ли точных контактно-аффинных диффеоморфизмов через G . Справедлива
ность ∇
Теорема. Максимальная размерность группы Ли точных контактно-аффинных преобразований равна
 необходимо имеет вид
2n + 3n + 1 . Если эта размерность достигается, то тензор кручения связности ∇
T = κ (δ ⊗η − η ⊗ δ ) + Ω ⊗ ξ ,
2
где κ - функция на M , δ - поле аффиннора тождественного преобразования. Примером структуры, допускающей группу точных контактно-аффинных преобразований максимальной размерности, может служить структура,
 Nˆ = 1 .
ненулевые компоненты связности которой в коодинатах Дарбу имеют вид Γ
αα
Доказательство. Очевидно, что точные контактно-аффинные преобразования сохраняют симметрическую
 , т.е. связность ∇ , а также тензор кручения T и контактную форму η . Поэтому
часть структурной связности ∇
группа точных контактно-аффинных преобразований есть подгруппа Ли группы Ли аффинных преобразований
многообразия M со связностью ∇ . Группа Ли аффинных преобразований многообразия с линейной связностью,
2
как известно [4], может иметь наибольшую размерность равную N + N , эта размерность достигается лишь в том
случае, когда M является обычным аффинным пространством и, следовательно, не имеет кривизны и кручения.
 необходимо имеет кручение, поэтому
Но, как следует из соотношения (8), структурная линейная связность ∇
2
2
размерность группы Ли точных контактно-аффинных преобразований меньше N + N = 4n + 6n + 2 .
85
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
• Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè •
¹ 18 (22) 2010 ã.
~
Пусть Gx – стационарная подгруппа группы G точки x ∈ M , а Gx – группа изотропии в Tx M , индуциро-
~
~
ванная группой Gx . Gx является подгруппой полной линейной группы GL( N , ) . Покажем, что размерность Gx ,
N ( N − 1) .
2
~
Каждое преобразование группы Gx оставляет тензор кручения и контактную форму в точке x инвариант-
и, следовательно, Gx не больше
ными. Рассмотрим η как линейное отображение Tx M →  , а T как кососимметрическое билинейное отображение Tx M × Tx M → Tx M . Пусть ϕt = exptX – однопараметрическая подгруппа полной линейной группы GL( N , ) .
~
gx группы Gx , если и только если
Тогда X принадлежит алгебре Ли ~
η (ϕt v) = η (v),

T (ϕt v, ϕt w) = ϕt (T (v, w)).
Дифференцируя эти уравнения по t , при t = 0 видим, что X принадлежит ~
gx , тогда и только тогда, когда выполняется
η ( Xv) = 0,

T ( Xv, w) + T (v, Xw) = X (T (v, w)),
(9)
i
k
Координаты карты Дарбу естественным образом определяют базис {∂ i } в Tx M . Пусть Tij , ηi и X j – ком-
поненты, соответственно для T , η и X относительно указанного базиса. Тогда система (9) эквивалентна следующей системе линейных уравнений:
η j X bj = 0,
 a j
a
j
j
a
T jc X b + Tbj X c − Tbc X j = 0,
Это может быть переписано как
Cb (ij ) X ij = 0,
 a j i
 Abc (i ) X j = 0,
(10)
где
Cb (ij ) = ηiδ bj ,
Abca (ij ) = Ticaδ bj + Tbiaδ cj − Tbcj δ ia .
Система (10) – система из N 3 + N линейных однородных уравнений с N 2 неизвестными X ij и коэффициентами
Cb (ij ), Abca (ij ) .
 Cd (ij ) 
, где пара индексов (i, j )
a j 
 Abc (i ) 
Число существенных уравнений системы (10) равно рангу матрицы F = 
нумерует столбец, а индексы (a, b, c), d нумеруют строку.
Рассмотрим следствия системы (10). Для этого выполним свертку второй группы уравнений данной системы с компонентами η a контактной формы:
Abca (ij )ηa X ij = Bbc (ij ) X ij = 0,
где
Abca (ij )η a == Ωicδ bj + Ωbiδ cj = Bbc (ij ).
(11)
Cb (ij ) X ij = 0,

j
i
 Bbc (i ) X j = 0,
(12)
Мы получим новую систему
которая является следствием системы (10).
86
ГЕОМЕТРИЯ
Система (12) – система из N 2 + N линейных однородных уравнений с N 2 неизвестными X ij и коэффици-
 Cd (ij ) 
, где пара
j 
 Bbc (i ) 
ентами Cb (ij ), Bbc (ij ) . Число существенных уравнений системы (12) равно рангу матрицы F ′ = 
индексов (i, j ) нумерует столбец, а индексы (b, c), d нумеруют строку. Элементы матрицы F ′ выражаются через
компоненты форм η , Ω , которые в атласе Дарбу имеют вид (3) и (4). Перечислим их ненулевые координаты:
ηα = xαˆ , η N = 1,
(13)
Ωααˆ = −1, Ωαα
ˆ = 1.
Таким образом, так как все элементы матрицы F ′ нам известны, мы можем вычислить ее ранг. В силу того, что строки матрицы F ′ есть линейные комбинации строк матрицы F , мы можем утверждать, что Rank( F ) ≥ Rank( F ′) , то
есть число существенных уравнений системы (12) не превосходит числа существенных уравнений системы (10).
Найдем ранг матрицы F ′ . Для этого сначала рассмотрим матрицу B как минор матрицы F ′ . Введем в рассмотрение новую матрицу Dbc (ij ) = Ωicδ bj , где пара индексов (b, c) нумерует строку матрицы, а пара индексов
(i, j ) нумерует столбец. В силу кососимметричности Ω получим, что Ωbiδ cj = −Ωibδ cj = − Dcb (ij ) . Таким образом
Bbc (ij ) = Ωicδ bj + Ωbiδ cj = Dbc (ij ) − Dcb (ij ) , это означает, что каждая строка матрицы B есть разность двух строк матрицы D . Остановимся подробнее на матрице D . В силу того, что ΩiN = 0 , строки D , нумеруемые парой вида
(b,N) состоят целиком из нулей. Если c ≠ N , тогда все элементы строки (b, c) равны нулю, за исключением одного, который равен 1 или -1. Действительно, чтобы элемент Dbc (ij ) = Ωicδ bj не был равен нулю, требуется, чтобы
Ωic ≠ 0 и δ bj ≠ 0 , что возможно лишь если i = cˆ и j = b . Таким образом все элементы строки (b, c) равны нулю,
кроме того, который находится на пересечении со столбцом (i = cˆ, j = b) . В силу (1), получаем, что в различных
строках, для которых второй нумерующий индекс не равен N , ненулевые элементы находятся в различных столбцах, откуда следует, что все эти строки линейно независимы.
Строки матрицы B кососимметричны по индексам (b, c) , так как
Bbc (ij ) = ( Dbc (ij ) − Dcb (ij )) = (− Dcb (ij ) + Dbc (ij )) = − Bcb (ij ) .
Поэтому имеет смысл рассматривать не все строки (b, c) , а лишь те, для которых b < c . Если c < N , тогда
Bbc (ij ) = ( Dbc (ij ) − Dcb (ij )) , если c = N , тогда b < N и BbN (ij ) = − DNb (ij ) . Таким образом мы выразили рассматриваемые строки матрицы B через линейно независимые строки матрицы D :
 Bbc (ij ) = ( Dbc (ij ) − Dcb (ij )), b < c < N ,

j
j
 BbN (i ) = − DNb (i ), b < N , c = N .
(14)
Так как в (14) каждая строка матрицы D участвует в выражении только одной строки матрицы B , можно сделать вывод, что рассматриваемые
Rank( B) =
N ( N − 1)
.
2
N ( N − 1)
строк матрицы B линейно независимы и, следовательно,
2
Строки матрицы C линейно независимы. Рассмотрим минор C ′ матрицы C , состоящий из столбцов, для
j
j
j
j
которых i = N . Cb′ = Cb ( N ) = η N δ b = δ b , откуда очевидно, что все строки C линейно независимы.
Перейдем к исходной матрице F ′ . Рассмотрим столбцы, для которых i = N . Элементы столбцов, соответствующие строкам C образуют единичную матрицу, а элементы столбцов, соответствующие строкам
B равны нулю в силу Bbc ( Nj ) = Ω Ncδ bj + ΩbN δ cj = 0 . Следовательно строки матриц C и B между собой линейно независимы. Таким образом количество линейно независимых строк матрицы F ′ равно сумме количества
линейно независимых строк матриц C и B , и Rank( F ′) = Rank(C ) + Rank( B) = N +
N ( N − 1) N ( N + 1)
=
.
2
2
87
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
• Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè •
¹ 18 (22) 2010 ã.
N ( N + 1)
N ( N + 1)
и система (10) содержит не меньше чем
су2
2
N ( N + 1) существенных условий. Слещественных уравнений, которые накладывают на X ij не меньше чем
2
~
довательно, размерность группы изотропии Gx , а значит и стационарной подгруппы Gx , не превышает
N ( N  1)
N ( N  1) N ( N  1)
dimGL( N , ) 
= N2 
=
, а размерность группы точных контактно-аффинных преоб2
2
2
N ( N  1)
разований G не может быть больше чем dimGx  N =
= 2n 2  3n  1 .
2
Отсюда можно сделать вывод, что Rank ( F ) ≥
2
3. Выясним структуру тензора кручения в случае, когда dimG = 2n + 3n + 1 . Справедлива следующая
Лемма. Пусть V – векторное пространство, а A = { Ai } и B = {B j } ( i = 1..m1 , j = 1..m2 ) – некоторые наборы
векторов из V . Тогда, если каждый вектор из B есть линейная комбинация векторов из A и ранги наборов A и B
равны, тогда каждый вектор из A есть линейная комбинация векторов из B .
Доказательство. Пусть Rank ( A) = Rank ( B ) = m . Тогда из наборов A и B можно выбрать по m линейно
независимых векторов Ak и B p ( k , p = 1..m ) соответственно. По условию леммы B p = θ kp Ak . В силу того, что
k
матрица θ kp невырождена, существует матрица θ p , обратная матрице θ kp , такая что Ak = θ kp B p . Так как каждый
вектор из A есть линейная комбинация векторов Ak , а каждый вектор из Ak есть линейная комбинация векторов
из Bk , тогда каждый вектор из A есть линейная комбинация векторов из B .
Выясним, какой вид должен иметь тензор кручения T , когда система (10) содержит в точности
N ( N + 1)
су2
щественных уравнений. В этом случае система (10) эквивалентна системе (12), а так как (12) есть следствие (10),
то, в силу доказанной выше леммы, можно сделать вывод, что каждое уравнение (10) является линейной комбиj
i
нацией уравнений системы (12). Уравнения вида Cb (i ) X j = 0 присутствуют с обеих системах и являются след-
ствиями самих себя. Другие уравнения системы (10) есть линейные комбинации уравнений системы (12):
Abca (ij ) = λbcab′c′ Bb′c′ (ij ) + λbcab′Cb′ (ij )
(15)
Ticaδ bj + Tbiaδ cj − Tbcj δ ia = λbcab′c′ (Ωic′δ bj′ + Ωb′iδ cj′ ) + λbcajηi .
(16)
или, с учетом вида матриц A , B и C
Рассмотрим различные серии уравнений системы (16), чтобы найти компоненты тензора T .
Прежде всего отметим, что Bbc (ij ) = 0 если i = N или если i = ˆj . Действительно Bbc ( Nj ) = Ω cN δ bj + Ω Nbδ cj = 0
и Bbc ( ˆjj ) = Ω cjˆδ bj + Ω ˆjbδ cj = δ jjˆδ jj − δ ˆjjδ jj = 0 в силу (13).
1. Пусть i = αˆ , j = α , a ≠ αˆ , b = α , c ≠ α , тогда
Tαˆacδαα + Tααaˆ δ cα − Tααcδαaˆ = λαabc ′c′ (Ωαˆ c′δ bα′ + Ωb′αˆ δ cα′ ) + λαaαc ηαˆ ,
α
α
Tαˆac = λαaαα
ˆ δ α + Ωααˆ δ α ),
c (Ωαα
Tαˆac = 0.
Таким образом
Tαˆac = 0, a ≠ αˆ , c ≠ α .
(17)
2. Примем i = αˆ , j = α , a = αˆ , b = α , c = αˆ , тогда
ˆ
αˆ α
αˆ α
α αˆ
αˆ b′c′
α
α
αα
Tαα
ˆ ˆ δ α + Tααˆ δ αˆ − Tααˆ δ αˆ = λααˆ (Ωαˆ c′δ b′ + Ω b′αˆ δ c′ ) + λααˆ ηαˆ ,
ˆ
α
ααα
α
α
−Tαα
ˆ = λααˆ (Ωαα
ˆ δ α + Ωααˆ δ α ),
α
Tαα
ˆ = 0.
Откуда имеем
α
Tαα
ˆ = 0.
88
(18)
ГЕОМЕТРИЯ
3. Возьмем i = αˆ , j = α , a = αˆ , b ≠ α , c ≠ α , тогда
ˆ
Tαˆαˆcδ bα + Tbααˆˆ δ cα − Tbcα δααˆˆ = λbcαˆ b′c′ (Ωαˆ c′δ bα′ + Ωb′αˆ δ cα′ ) + λbcαα
ηαˆ ,
α
α
−Tbcα = λbcαˆ b′c′ (Ωαα
ˆ δ α + Ωααˆ δ α ),
Tbcα = 0.
И, следовательно,
Tbcα = 0, b ≠ α , c ≠ α .
(19)
4. Рассмотрим индексы i = αˆ , j = α , a = αˆ , b = αˆ , для них справедливо
ˆ
αˆ α
α αˆ
αˆ b′c′
α
α
αα
Tαˆαˆcδααˆ + Tαα
ˆ ˆ δ c − Tαˆ cδ αˆ = λαˆ c (Ωαˆ c′δ b′ + Ω b′αˆ δ c′ ) + λαˆ c ηαˆ ,
α
α
−Tαˆαc = λααˆˆcb′c′ (Ωαα
ˆ δ α + Ωααˆ δ α ),
Tαˆαc = 0.
Окончательно получим, что
Tαˆαc = 0.
(20)
5. Пусть i = N , j = αˆ , a = N , b ≠ αˆ , c ≠ αˆ , тогда
TNcN δ bαˆ + TbNN δ cαˆ − Tbcαˆ δ NN = λbcNb′c′ (Ω Nc′δ bαˆ′ + Ωb′N δ cαˆ′ ) + λbcNαˆη N ,
−Tbcαˆ = λbcNαˆ ,
Tbcαˆ = −λbcNαˆ .
Далее, примем, что i = α , j = αˆ , a = N , b ≠ αˆ , c ≠ αˆ , тогда
TαNc δ bαˆ + TbαN δ cαˆ − Tbcαˆ δαN = λbcNb′c′ (Ωα c′δ bαˆ′ + Ωb′α δ cαˆ′ ) + λbcNαˆηα ,
ˆˆ
Nαˆ
αˆ
0 = λbcNαα
(Ωααˆ δααˆˆ + Ωαα
ˆ δ αˆ ) + λbc ηα ,
0 = λbcNαˆ xαˆ .
Таким образом
Tbcαˆ = 0, b ≠ αˆ , c ≠ αˆ .
(21)
6. Возьмем i = β , j = αˆ , a = N , b = α , c = αˆ , тогда
αˆ N
Nb′c′
αˆ
αˆ
Nαˆ
TβαNˆ δααˆ + TαβN δααˆˆ − Tαα
ˆ δ β = λααˆ (Ω β c′δ b′ + Ω b′β δ c′ ) + λααˆ η β ,
ˆ
ˆ
ˆ
N αβ
N βαˆ
N αˆ
TαβN = −λαα
+ λαα
+ λαα
ˆ
ˆ
ˆ ηβ .
Предположим, что i = α , j = αˆ , a = N , b = α , c = αˆ , в этом случае будем иметь
αˆ N
Nb′c′
αˆ
αˆ
Nαˆ
TααNˆ δααˆ + TααN δααˆˆ − Tαα
ˆ δ α = λααˆ (Ωα c′δ b′ + Ω b′α δ c′ ) + λααˆ ηα ,
Nαˆ
0 = λαα
ˆ ηα .
Допустим, что i = α , j = βˆ , a = N , b = α , c = αˆ , тогда
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Nb′c′
β
β
Nβ
TαβNˆ δαβ + TααN δ ββˆ − Tαββˆ δαN = λαα
ˆ (Ωα c′δ b′ + Ω b′α δ c′ ) + λαβˆ ηα ,
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
N βαˆ
N αβ
Nβ
0 = −λαα
+ λαα
+ λαα
ˆ
ˆ
ˆ ηα .
Примем i = β , j = βˆ , a = N , b = α , c = αˆ , для таких значений индексов справедливо
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Nb′c′
β
β
Nβ
TβαNˆ δαβ + TαβN δαβˆ − Tααβˆ δ βN = λαα
ˆ (Ω β c′δ b′ + Ω b′β δ c′ ) + λααˆ η β ,
ˆ
Nβ
0 = λαα
ˆ ηβ .
И, следовательно,
TαβN = 0.
(22)
1. Пусть i = αˆ , j = α , a = αˆ , b = α , c ≠ α , тогда
89
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
• Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè •
¹ 18 (22) 2010 ã.
ˆ
αˆ α
α αˆ
αˆ b′c′
α
α
αα
Tαˆαˆcδαα + Tαα
ˆ δ c − Tα cδ αˆ = λα c (Ωαˆ c′δ b′ + Ω b′αˆ δ c′ ) + λα c ηαˆ ,
ˆ
ˆ
Tαˆαˆc − Tααc = λαααα
− λαααα
c
c ,
Tαˆαˆc − Tααc = 0.
Таким образом
Tαˆαˆc = Tααc , c ≠ α .
(23)
2. Примем i = α , j = αˆ , a = α , b = αˆ , c = α , тогда
α αˆ
α αˆ
αˆ α
α b′c′
ααˆ
Tαα
δαˆ + Tαα
(Ωα c′δ bαˆ′ + Ωb′α δ cαˆ′ ) + λαα
ˆ δ α − Tαα
ˆ δ α = λαα
ˆ
ˆ ηα ,
ˆˆ
ˆˆ
αˆ
ααα
ααα
ααˆ
−Tαα
+ λαα
+ λαα
ˆ = −λαα
ˆ
ˆ
ˆ ηα ,
αˆ
ααˆ
Tαα
ˆ = −λαα
ˆ ηα .
Пусть i = N , j = αˆ , a = α , b = αˆ , c = α , в этом случае
αˆ α
α b′c′
ααˆ
TNαα δααˆˆ + TαˆαN δααˆ − Tαα
(Ω Nc′δ bαˆ′ + Ωb′N δ cαˆ′ ) + λαα
ˆ δ N = λαα
ˆ
ˆ ηN ,
α
ααˆ
TNα = λαα
ˆ .
В итоге справедливо, что
αˆ
α
Tαα
ˆ = −ηα Tα N .
(24)
3. Возьмем i = N , j = αˆ , a = N , b = αˆ , c = α , для которых будем иметь
αˆ N
Nb′c′
N αˆ
TNNα δααˆˆ + TαˆNN δααˆ − Tαα
(Ω Nc′δ bαˆ′ + Ωb′N δ cαˆ′ ) + λαα
ˆ δ N = λαα
ˆ
ˆ ηN ,
N
αˆ
N αˆ
TNα − Tαα
ˆ = λαα
ˆ .
Пусть далее i = α , j = αˆ , a = N , b = αˆ , c = α , откуда
N αˆ
αˆ N
Nb′c′
Nαˆ
TααN δααˆˆ + Tαα
(Ωα c′δ bαˆ′ + Ωb′α δ cαˆ′ ) + λαα
ˆ δ α − Tαα
ˆ δ α = λαα
ˆ
ˆ ηα ,
ˆˆ
ˆˆ
Nαα
N αα
N αˆ
0 = −λαα
+ λαα
+ λαα
ˆ
ˆ
ˆ ηα ,
Nαˆ
0 = λαα
ˆ ηα .
Следовательно справедливо, что
αˆ
TαNN = Tαα
ˆ.
(25)
4. Предположим, что i = α , j = α , a ≠ α , a ≠ αˆ , b ≠ α , b ≠ αˆ , c = α , тогда
Tααa δ bα + Tbaα δαα − Tbαα δαa = λbabα ′c′ (Ωα c′δ bα′ + Ωb′α δ cα′ ) + λbaααηα ,
ˆ
Tbaα = −λbaαααˆ + λbaααα
+ λbaααηα .
Рассмотрим далее случай, когда i = N , j = α , a ≠ α , a ≠ αˆ , b ≠ α , b ≠ αˆ , c = α , откуда имеем
TNaα δ bα + TbNa δαα − Tbαα δ Na = λbabα ′c′ (Ω Nc′δ bα′ + Ωb′N δ cα′ ) + λbaααη N ,
TbNa = λbaαα .
Из i = αˆ , j = αˆ , a ≠ α , a ≠ αˆ , b ≠ α , b ≠ αˆ , c = α , получим, что
a
αˆ
a αˆ
αˆ a
ab′c′
αˆ
αˆ
aαˆ
Tαα
ˆ δ b + Tbαˆ δ α − Tbα δ αˆ = λbα (Ωαˆ c′δ b′ + Ω b′αˆ δ c′ ) + λbα ηαˆ ,
ˆ
0 = λbaααα
− λbaαααˆ .
Окончательно имеем
Tbaα = ηα TbNa , a ≠ α , a ≠ αˆ , b ≠ α , b ≠ αˆ .
5. Пусть i = αˆ , j = β , a = N , b = α , c = β , тогда
N β
N β
β N
Nb′c′
β
β
Nβ
Tαβ
ˆ δ α + Tααˆ δ β − Tαβ δ αˆ = λαβ (Ωαˆ c′δ b′ + Ω b′αˆ δ c′ ) + λαβ ηαˆ ,
N βα
N αβ
TααNˆ = λαβ
− λαβ
.
90
(26)
ГЕОМЕТРИЯ
Примем i = βˆ , j = α , a = N , b = α , c = β , тогда справедливо
Nb′c′
Nα
TββˆN δαα + TαβNˆ δ βα − Tαβα δ βNˆ = λαβ
(Ω βˆ c′δ bα′ + Ωb′βˆ δ cα′ ) + λαβ
η βˆ ,
N αβ
N βα
TββˆN = λαβ
− λαβ
.
Следовательно
TααNˆ = TββNˆ .
(27)
6. Пусть i = α , j = α , a = N , b = α , c = N , откуда
TαNN δαα + TααN δ Nα − TααN δαN = λαNbN ′c′ (Ωα c′δ bα′ + Ωb′α δ cα′ ) + λαNNαηα ,
TαNN = −λαNNααˆ + λαNNααˆ + λαNNαηα .
Рассмотрим случай, когда i = N , j = α , a = N , b = α , c = N , мы получим, что
N α
TNN
δα + TαNN δ Nα − TααN δ NN = λαNbN ′c′ (Ω Nc′δ bα′ + Ωb′N δ cα′ ) + λαNNαη N ,
−TααN = λαNNα .
Пусть i = αˆ , j = αˆ , a = N , b = α , c = N , тогда
TαˆNN δααˆ + TααNˆ δ Nαˆ − TααˆN δαˆN = λαNbN ′c′ (Ωαˆ c′δ bαˆ′ + Ωb′αˆ δ cαˆ′ ) + λαNNαˆηαˆ ,
ˆ
0 = λαNNαα
− λαNNααˆ .
В итоге имеем
TαNN = −ηα TααN .
(28)
7. Кроме того, используя (26), получим, что TbαN = TbNN ηα и TbNβ = TbNN η β , откуда
η β TαNN = ηα TβNN .
α
αb
(29)
Рассмотрим компоненты Tabα тензора кручения. Из (19) следует, что ненулевые компоненты имеют вид
α
bα
α
T , T , где b ≠ α . Равенства (17) и (18) дадут нам Tαβαˆ = Tβα
ˆ = 0 . Таким образом среди рассматриваемых компоα
α
нент тензора кручения ненулевыми будут лишь компоненты вида Tαβ
, Tβα
, TααN , TNαα . Аналогично можно показать,
αˆ
αˆ
αˆ
αˆ
что среди компонент вида Tabαˆ ненулевыми будут Tαβ
ˆ , Tβαˆ , Tαˆ N , TN αˆ . Равенства (17) и (22) дадут нам, что среди
N
N
N
компонент вида TabN ненулевыми будут TααNˆ , Tαα
ˆ , Tα N , TN α . Перечислим ненулевые компоненты тензора кручения с
учетом косой симметрии по нижним индексам:
α
Tαβα = −Tβα
, TααN = −TNαα ,
αˆ
αˆ
Tαβ
TαˆαˆN = −TNαˆαˆ ,
ˆ = −Tβαˆ ,
N
TααNˆ = −Tαα
TNNα = −TαNN .
ˆ ,
(30)
Далее обозначим T11N = κ . В силу (28) будем иметь T1NN = −η1T11N = −η1κ , откуда используя (29) получим
TαNN = −ηα κ . Подставив TαNN в (28) получим TααN = κ , откуда в силу (23) TαˆαˆN = κ . Равенство (26) можно записать
ˆ
ˆ
α
α
α
α
N
N
N
как Tαβ = η β Tα N = η β κ или Tαβ
ˆ = η β Tαˆ N = η β κ . Обозначим T1̂1 = χ . Тогда равенство (27) даст нам Tαα
ˆ = −Tααˆ = χ .
Получаем, что ненулевые компоненты тензора кручения связаны между собой следующим образом:
α
Tαβα = −Tβα
= η β κ , TααN = −TNαα = κ ,
ˆ
ˆ
α
α
Tαβ
TαˆαˆN = −TNαˆαˆ = κ ,
ˆ = −Tβαˆ = η β κ ,
N
N
Tαα
TNNβ = −TβNN = η β κ .
ˆ = −Tααˆ = χ ,
(31)
Компоненты (31) должны удовлетворять (8):
Ωαβ = Tαβs η s = Tαβα + Tαββ = ηαη β κ − ηαη β κ = 0,
ˆ
Ωαβˆ = Tαβs ˆη s = Tαββˆ = 0,
Ωα N = TαsNη s = TααNηα + TαNNη N = ηα κ − ηα κ = 0,
Ωαˆ N = TαˆsNη s = TαˆαˆNηαˆ = 0,
s
Ω NN = TNN
η s = 0,
αˆ
s
N
Ωαα
ˆ = Tαα
ˆ η s = Tαα
ˆ ηαˆ + Tαα
ˆ η N = 1.
(32)
91
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
• Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè •
¹ 18 (22) 2010 ã.
Из последнего равенства получаем, что χ = 1 , остальные равенства выполняются тождественно. Таким образом
окончательно получаем, что ненулевые компоненты тензора кручения T имеют вид
α
Tαβα = −Tβα
= η β κ , TααN = −TNαα = κ ,
αˆ
αˆ
Tαβ
TαˆαˆN = −TNαˆαˆ = κ ,
ˆ = −Tβαˆ = η β κ ,
N
ˆ
αα
T
N
ααˆ
= −T
N
Nβ
= 1, T
N
βN
= −T
(33)
= ηβ κ .
Тензор кручения с ненулевыми компонентами (33) можно выразить через известные нам структурные тензоры следующим образом:
Tbca = κδ[abηc ] + Ωbcξ a = κ (δ baηc − δ caηb ) + Ωbcξ a ,
(34)
T = κ Alt (δ ⊗η ) + Ω ⊗ ξ = κ (δ ⊗η − η ⊗ δ ) + Ω ⊗ ξ ,
(35)
или в безкоординатном виде:
где κ – функция на M , δ – поле аффиннора тождественного преобразования. Действительно, легко убедиться,
что ненулевые компоненты тензора, определенного (34) имеют вид (33):
α
Tαβα = −Tβα
= κ (δααη β − δ βαηα ) + Ωαβ ξ α = κη β ,
α
α
Tα N = −TNα = κ (δααη N − δ Nαηα ) + Ωα N ξ α = κ ,
αˆ
αˆ
αˆ
αˆ
αˆ
Tαβ
= κη β ,
ˆ = −Tβαˆ = κ (δ αˆ η β − δ β ηαˆ ) + Ωαβ
ˆ ξ
αˆ
αˆ
αˆ
αˆ
αˆ
Tαˆ N = −TNαˆ = κ (δαˆ η N − δ Nηαˆ ) + Ωαˆ N ξ = κ ,
(36)
TNNβ = −TβNN = κ (δ NNη β − δ βNη N ) + Ω N β ξ N = κη β ,
N
α
N
N
N
Tαα
= 1.
ˆ = −Tααˆ = κ (δ αˆ ηα − δ α ηαˆ ) + Ωαα
ˆ ξ
Докажем, что система (10) имеет ранг
′ ′
N ( N + 1)
если тензор кручения связности имеет вид (34). Для этого доста2
′
точно указать такие коэффициенты λbcab c и λbcab , при которых тождественно выполняется (16). Прежде чем это сделать,
введем дважды контравариантный тензор Ω ab , ненулевые компоненты которого в системе координат Дарбу равны
ˆ
Ωααˆ = −Ωαα
= 1.
(37)
Ωbk Ω ka = Ω ak Ω kb = δ ba − δ Na δ bN .
(38)
Легко проверить, что
′ ′
′
Пусть коэффициенты λbcab c и λbcab имеют вид:
1
2
λbcab′c′ = −(Ω ab′Ωbcδ Nc′ + Ωbc Ωb′dηd δ Na δ Nc′ ) + (δ Na δ bb′δ cc′ − δ Na δ cb′δ bc′ ),
λ = κ (δ δ − δ δ ) − Ωbcδ δ .
aj
bc
a j
b c
a j
c b
a
N
j
N
(39)
Убедимся в справедливости (16) для (34) и (39). Для этого подставим (34) и (39) в (16). Вычислим сначала левую
часть равенства:
Tica bj  Tbia cj  Tbcj  ia = ( ( iac   cai )  ic Na ) bj  ( ( bai   iab )  bi Na ) cj 
( ( bjc   cjb )  bc Nj ) ia =  ( ia bjc   ca bji   ba cji 
 ia cjb   bj iac   cj iab )  (ic Na  bj  bi Na  cj  bc Nj  ia ) =
(40)
=  ( ca bj   ba cj )i  (ic Na  bj  bi Na  cj  bc Nj  ia ).
Правую часть вычислим в два этапа:
1
2
bcabc (ci bj  ib cj ) = (( abbc Nc  bc bd d  Na  Nc )  ( Na  bb cc   Na  cb bc ))(ic bj  bi cj ) =
= ( abbc Nc ci bj   ab bc Ncib cj  bc bd d  Na  Nc ci bj  bc bd d  Na  Ncib cj ) 
1
 ( Na  cb bc ci bj   Na  cb bc ib cj   Na  bb cc ci bj   Na  bb ccib cj ) =
2
= ( ( ia   Na  iN )bc Nj  ( ik   Nk  iN ) k bc Na  Nj )) 
1
 ( Na  cj bi   Na  bj ic   Na  bj  ci   Na  cj ib ) = ( ia Nj bc   Na  cj bi   Na  bj ic   Na  Nj bci ).
2
92
(41)
ГЕОМЕТРИЯ
λbcajηi = κ (δ baδ cj − δ caδ bj )ηi − Ωbcδ Na δ Njηi .
(42)
Таким образом правая часть есть сумма (41) и (42)
λbcab′c′ (Ωc′iδ bj′ + Ωib′δ cj′ ) + λbcajηi =
= (−δ iaδ Nj Ωbc + δ Na δ cj Ωbi + δ Na δ bj Ωic + δ Na δ Nj Ωbcηi ) +
+κ (δ baδ cj − δ caδ bj )ηi − Ωbcδ Na δ Njηi =
= (δ Na δ cj Ωbi + δ Na δ bj Ωic − δ iaδ Nj Ωbc ) + κ (δ baδ cj − δ caδ bj )ηi .
(43)
Выражения (40) и (43) совпадают, а значит равенство (16), и, следовательно, система (10) имеет ранг
N ( N + 1)
2
если тензор кручения T имеет вид (34), (35).
4. Приведем пример контактно-аффинной структуры, допускающей группу точных контактно-аффинных
~
N ( N + 1)
,
. Рассмотрим структуру  0 = (η , ∇) со связностью ∇
2
 которой все нули за исключением Γ N = 1 . Ненулевые компоненты связности ∇ имеют вид
компоненты Γ
ˆ
αα
1
N
N
N
N

T соответственно Tαα
=
=
Γαα
Γ
,
а
ненулевые
координаты
тензора
кручения
ˆ
ˆ = −Tααˆ = 1 . Связность ∇ очеααˆ
2
автоморфизмов максимальной размерности
видно удовлетворяет условию (5).
Связность ∇ – плоская, поскольку
l
Rijkl = ∂ i Γljk − ∂ j Γikl + Γipl Γ pjk − Γljp Γikp = Γipl Γ pjk − Γljp Γikp = ΓiN
Γ Njk − ΓljN ΓikN = 0.
(44)
~ , если выВекторное поле X = v i ∂ i является точным инфинитезимальным автоморфизмом структуры  ∇
полняется тождественно система:
 LXη = 0,

 LX ∇ = 0,
 L T = 0.
 X
(45)
v s ∂ sηi + η s ∂ i v s = 0,
 s
k
k
s
k
s
s
k
k
v ∂ s Γij + Γ sj ∂ i v + Γis ∂ j v − Γij ∂ s v + ∂ ij v = 0,
v s ∂ T k + T k ∂ v s + T k ∂ v s − T s ∂ v k = 0.
sj i
is j
ij s
 s ij
(46)
В координатах система (45) имеет вид:
Запишем систему (46) для структуры  0 . Уравнения для η примут вид:
 v k = 0
k  N,

 ˆ v kk = 0
k  N  ˆ
k  N,

 v = 0
1
Уравнения для Γ выглядят
так: k
k
2ˆ vkkN=v 0 ˆ vk =N0  ˆ
k  N,
 v = 0
 1 1 v ˆ k 1  vˆk   v N
ˆv
22ˆ vkN=v 02 
k =N0 ˆ

1 1 ˆ vˆvk 1  vvˆk =0 ˆ v NN

ˆ
 2 2 N 2 
1
11

 1 ˆˆ vvˆˆ 
v NNN
ˆˆ v
  vvˆ 
 



22
 22
 1
1
 ˆˆ vˆˆ   v  ˆˆ v NN

2
2 
1
1
N
ˆ

 ˆ v   v  ˆ v
2
2







 αˆ
γˆ
γ
N
v + ∑x ∂α v + ∂α v = 0,
γ


γˆ
γ
N
∂
x
∑ αˆ v + ∂αˆ v = k0,

v =0
k  N,
γ
ˆˆ
∑xγˆ ∂ vγ + ∂ v N =k 0.
N
N
 ˆ ,γ

k  N  ˆ
ˆ vk = 0

v =0
k  N,
ˆˆ
1
k
k
kN v  
ˆ v
k ˆ ,N ,

k =N0  ˆ
ˆ2 v k = 0

k  N,
ˆv = 0
1 ˆ1  k 1
= 0,
ˆvkN v  
vk =0
vN
ˆˆ v
k ˆ ,N ,
2
k  N ˆˆ ˆ
ˆ2 v = 02
ˆ 1 1  1 vˆk   v NN
=k 0,
ˆˆˆ
ˆ v = 0
 N , ˆ   ,  ˆ vN vk  

22
2 ˆˆ
1
11

ˆ
v NNN
= 0,
0,
ˆ  ˆ , 1 ˆ vv 
 ˆˆˆ vv 
 
=
ˆˆˆˆ v

22
22
1
1
N

ˆ
N
ˆ  ˆ ,
 v  ˆˆ v   
= 0,
ˆˆ v
2
2
1
1
N
 v  ˆ vˆ  
= 0,
ˆ v
2
2
(47)
 ˆ ,
k ˆ ,N ,
= 0,
k ˆ ,N ,
ˆ
=k 0,
 N , ˆ   ,
=
0.
= 0,
ˆ  ˆ ,
0.
= 0,
ˆ  ˆ ,
(48)
= 0.
93
ÈÇÂÅÑÒÈß ÏÃÏÓ
• Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå è òåõíè÷åñêèå íàóêè •
¹ 18 (22) 2010 ã.
Уравнения для T имеют вид:
∂ N v k = 0
k ≠ N,

ˆ
β
αˆ
−∂α v + ∂ β v = 0,
∂ v β − ∂ vα = 0,
βˆ
 αˆ

ˆ
−∂αˆ v β − ∂ β vα = 0,
 α
ˆ
∂ β v + ∂αˆ v β = 0,
 α
N
αˆ
∂α v + ∂αˆ v − ∂ N v = 0,
−∂αˆ vαˆ − ∂α vα + ∂ N v N = 0.
(49)
Объединим уравнения (47), (48) и (49) в одну систему:
vαˆ + ∑xγˆ ∂α vγ + ∂α v N = 0,

γ
 xγˆ ∂ vγ + ∂ v N = 0,
αˆ
αˆ
∑
γ
 k
k ≠ N,
∂ ij v = 0
∂ v k = 0
 N
1
1
βˆ
αˆ
N
 ∂α v + ∂ β v + ∂αβ v = 0,
2
2
 1 ∂ v β + 1 ∂ vα + ∂ v N = 0,
ˆ
 αˆ
ˆˆ
αβ
2 β
2
1
1
αˆ
β
N
 2 ∂ βˆ v + 2 ∂α v + ∂αβˆ v = 0,

 1 ∂ vαˆ + 1 ∂ vα + ∂ v N = 0,
α
ααˆ
 2 αˆ
2

βˆ
αˆ
−∂α v + ∂ β v = 0,
∂ ˆ v β − ∂ ˆ vα = 0,
β
 α
∂ vα + ∂ v βˆ = 0.
αˆ
 β
(50)
α ≠ β,
Из системы (50) сразу следует, что функции v i имеют вид
 α
α
α β
α βˆ
v = c0 + cβ x + cβˆ x ,
 αˆ
αˆ
αˆ β
αˆ βˆ
v = c0 + cβ x + cβˆ x ,
 N
N
N α
N αˆ
N α β
N α βˆ
N αˆ βˆ
x x ,
v = c0 + cα x + cαˆ x + ∑cαβ x x + cαβˆ x x + ∑cαβ
ˆˆ

α ≤β
α ≤β
(51)
где коэффициенты c** с различными верхними и нижними индексами – константы. Подставив (51) в три последних уравнения системы (50) получим
ˆ
cαβ = cβαˆ ,
cαβˆ = cβαˆ ,
ˆ
cβα = −cαβˆ .
(52)
ˆ
2
Таким образом среди констант c ij независимыми являются только 2n + n констант cβα , cβα (α ≤ β ), cβαˆ (α ≤ β ) ,
с учетом этого (51) примет вид:
 α
α
α β
α βˆ
β βˆ
v = c0 + cβ x + ∑cβˆ x + ∑cαˆ x ,
α ≤β
α >β

 αˆ
αˆ
βˆ β
αˆ β
α βˆ
v = c0 + ∑cα x + ∑cβ x − cβ x ,
α >β
α ≤β

v N = c N + c N xα + c N xαˆ + c N xα x β + c N xα x βˆ + c N xαˆ x βˆ .
∑ αβ
∑ αβˆ ˆ
0
α
αˆ
αβˆ

α ≤β
α ≤β

94
(53)
ГЕОМЕТРИЯ
Подставим (53) в первые два уравнения системы (50)
N β
N α
N β
αˆ
β β
αˆ β
α β
β β
cαN + ∑cαβ
x + 2cαα
x + cαβ
ˆ x = −(c0 + ∑cα x + ∑cβ x − cβ x + cα x ),
ˆ
ˆ
α <β
ˆ
α >β
ˆ
α ≤β
(54)
c + ∑c x + 2c x + cβαˆ x = −c x .
N
αˆ
α <β
N
ˆˆ
αβ
βˆ
αˆ
N
ˆˆ
αα
N
β
β
αˆ
βˆ
Уравнения (54) должны выполняться тождественно, поэтому, приравнивая коэфициенты при одинаковых переменных в левой и правой части, получим
cαN = −c0α ,
N
cαβ
= −cβαˆ ,
N
cαβ
= −cαβˆ ,
ˆˆ
cαNˆ = 0,
N
cαβ
ˆ = 0,
1
N
cαα
= − cααˆ ,
2
1 α
N
cαα
cαˆ .
ˆˆ = −
2
(55)
Общее решение системы (50) имеет вид
vα = c0α + cβα x β + ∑cαˆ x βˆ + ∑cαβˆ x βˆ ,
β

α ≤β
α >β
 αˆ
ˆ
ˆ
ˆ
α
β β
α β
α βˆ
v = c0 + ∑cα x + ∑cβ x − cβ x ,
α >β
α ≤β

v N = c N − cα xα − cαˆ xα x β − c β xαˆ x βˆ .
0
0
β
αˆ

(56)
Из (56) находим, что операторы алгебры Ли точных контактно-аффинных инфинитезимальных автоморфизмов
структуры  0 имеют вид
ˆ
∂α , ∂ N , ∂αˆ + xα ∂ N , − xα ∂ β + x β ∂αˆ
ˆ
(57)
ˆ
xα ∂ βˆ + x β ∂αˆ + xα x β ∂ N , xαˆ ∂ β + x β ∂α + xαˆ x β ∂ N .
Получаем, что размерность алгебры Ли точных контактно-аффинных инфинитезимальных автоморфизмов
N ( N + 1)
, а значит и размерность группы Ли точных контактно-аффинных автоморфизмов
2
N ( N + 1)
структуры  0 равна
. Теорема доказана полностью.
2
структуры  0 равна
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Shukichi T. The automorphism groups of almost contact riemannian manifolds // Tohoku Math. J. 1969. V.21. P.21–38.
2.Кириченко В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. М., МПГУ, 2003. 495 с.
3.Blair D.E. Contact manifolds in Riemannian geometry Leet. Notes Math. 1976, 146 p.
4.Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности // Ученые записки Казанского Университета, 1965.
206 с.
95
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
396 Кб
Теги
преобразование, точных, контактноаффинных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа