close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

О численных алгоритмах для нелинейно-дисперсионных моделей мелкой воды в двумерном случае.

код для вставкиСкачать
Вычислительные технологии
Том 1, № 3, 1996
O ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ
ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ДИСПЕРСИОННЫХ
МОДЕЛЕЙ МЕЛКОЙ ВОДЫ В ДВУМЕРНОМ
СЛУЧАЕ∗
Л. А. Компаниец
Вычислительный центр СО РАН, Красноярск, Россия
Рассматриваются разностные схемы для двумерных вариантов нелинейно–дисперсионных моделей мелкой воды. Анализируются диссипативные и дисперсионные свойства разностных схем, приводятся результаты численных расчетов.
1. Описание нелинейно-дисперсионных моделей
в двумерном случае
Следуя [1], проанализируем дисперсионные соотношения нелинейно-дисперсионных моделей (н.-д.м.) в двумерном случае. Этот анализ позволяет выделить по крайней мере три
класса.
Один класс составляют н.-д.м. Грина — Нагди [2], Пелиновского — Железняка [4], Базденкова — Морозова — Погуцце [5], первая модель Перегрина [6], третья модель Дорфмана — Яговдика [7], имеющие дисперсионное соотношение
ω2 =
Hg(K12 + K22 )
,
2
1 + H3 (K12 + K22 )
в котором частота есть вещественная функция волновых чисел K1 , K2 и возможно построение устойчивых разностных алгоритмов.
Уравнения модели Грина — Нагди [2, 3], имеют вид
ht + ∇(hV ) = 0,
DV + g∇η = −1/6(−D2 H∇(2η − H) + D2 η∇(4η + H) + h∇(2D2 η − D2 H)),
где x, y — пространственные переменные, V = (u, v) — вектор скорости, η — возвышение
свободной поверхности, h — полная глубина, h = η + H(x, y, t), H — глубина бассейна,
D = ∂/∂t + V ∇, ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y).
∗
c Л. А. Компаниец, 1996.
°
44
45
О ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ
При построении устойчивых численных алгоритмов необходимо встречающиеся в уравнении движения производные ηt , ηtx , ηty и т. д. заменить на производные от u, v по пространственным переменным [3] (H = H(x, y))
ηt + ∇(hV ) = 0,
Vt + (V ∇)V + g∇η = 1/6∇[2η − H][(V ∇)H]t +
+1/6∇[2η − H](V ∇)(V ∇)H − 1/6∇[4η + H][−∇(hV ) + (V ∇)η]t −
−1/6∇[4η + H](V ∇)[−∇(hV ) + (V ∇)η] − 1/3h[∇(−∇(hV ) + (V ∇)η]t −
−1/3h∇[(V ∇)(−∇(hV + (V ∇)η))] + 1/6h∇[(V ∇)(V ∇)H] + 1/6h[∇(V ∇)H]t .
(1)
В численных расчетах применяется следующая форма записи:
ηt + ∇(hV ) = 0,
u − 1/6∂/∂x[2η − H](V ∇)H + 1/6∂/∂x(4η + H)[−∇(hV ) + (V ∇)η]+
+1/3h∂/∂x[−∇(hV ) + (V ∇η)] − 1/6h∂/∂x((V ∇)H) = B1,
v − 1/6∂/∂y[2η − H](V ∇)H + 1/6∂/∂y(4η + H)[−∇(hV ) + (V ∇)η]+
+1/3h∂/∂y[−∇(hV ) + (V ∇η)] − 1/6h∂/∂y((V ∇)H) = B2,
Bt = Φ(η, u, v, H),
(2)
где B = (B1, B2),
Φ(η, u, v, H) = 1/6∇[2η − H](V ∇)(V ∇)H − 1/6∇[4η + H](V ∇)[−∇(hV )+
+(V ∇)η] − 1/3h∇[(V ∇(−∇(hV )) + (V ∇)η]+
+1/6∇[(V ∇)(V ∇)H] − 1/6(V ∇)H∇(−∇(hV ))+
+2/3(−∇(hV ) + (V ∇)η)∇(−∇(hV )) + 1/3∇(−∇(hV )+
+(V ∇)η)(−∇(hV ))) − 1/6(V ∇)H(−∇(hV ) − g∇η − (V ∇)V.
Несложные выкладки показывают, что уравнения (1) совпадают с уравнениями модели
Пелиновского — Железняка
ηt + ∇(hV ) = 0,
Vt + (V ∇)V + g∇η = E,
где
1 h3
h2
h
∇( R + Q) − ∇H( R + Q),
h
3
2
2
∂(∇V )
R=
+ (V ∇)∇V − (∇V )2 ,
∂t
Q = Vt ∇H + (V ∇)(V ∇H)
E=
и модели Базденкова — Морозова — Погуцце
ηt + ∇(hV ) = 0,
(3)
46
Л. А. Компаниец
Vt + (V ∇)V + g∇η =
1
S
∇A − ∇H,
h
h
где
h
1
A = h2 D[ ∇V + (V ∇H)],
3
2
h
S = hD[ ∇V + (V ∇H)],
2
если в последней сделать такую же замену производных ηt , ηtx , ηty , как при преобразовании
модели Грина — Нагди.
Для построения численных алгоритмов используется как форма (2), так и форма (3).
Модель Пелиновского — Железняка может быть записана в обезразмеренном виде с
явным выделением малых параметров нелинейности α и дисперсии β [8]. Так же, как в одномерном случае [1], полагая α = O(β) и отбрасывая в модели Пелиновского — Железняка
члены порядка O(αβ), получим н.-д.м.
ηt + ∇(hV ) = 0,
1
1
Vt + (V ∇)V + g∇η = [ H∇(∇HV ) − H 2 ∇(∇V )]
(4)
2
6
t
(первую модель Перегрина), оставляя члены O(α), получим модель нелинейной мелкой
воды
ηt + ∇(hV ) = 0,
(5)
Vt + (V ∇)V + g∇η = 0,
и оставляя только члены порядка O(1), получим модель линейной мелкой воды
ηt + ∇(HV ) = 0,
(6)
Vt + g∇η = 0.
Третья модель Дорфмана — Яговдика
Vt + V (V ∇) + g∇η + 1/2∇(H̃hptt ) = ∇(1/3H̃ 2
∂
∇V + 1/2H∇H̃Vt ),
∂t
ht + ∇[(H̃ + η − hp)V ] + 1/2∇(H̃∇hpt ) = ∇[3H̃(∇hp)2 V + H̃ 2 ∇H̃∇V ]
позволяет учесть зависимость изменения положения дна от времени. Здесь функция, задающая дно H(x, y, t), представлена как разность функции H̃(x, y), не зависящей от времени, и функции hp(x, y, t), учитывающей зависимость этой функции от времени H(x, y, t) =
H̃(x, y) − hp(x, y, t).
Второй класс моделей составляют вторая модель Перегрина
Vt + V (V ∇) + g∇η = 0,
ht + ∇(hV ) + 1/2∇(−1/3H 3 ∇(∇V ) + H 2 ∇(∇HV )) = 0,
H = H(x, y)
и ее обобщение на случай, когда глубина бассейна зависит от времени — вторая модель
Дорфмана — Яговдика.
47
О ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ
Они имеют дисперсионное соотношение с частотой, которая является мнимой функцией волновых чисел, и построение устойчивых разностных схем невозможно.
В третий класс входят первая модель Дорфмана — Яговдика
Vt + V (V ∇) + g∇η + ∇(H̃hptt ) = 1/2∇2 (H̃ 2 Vt ),
ht + ∇[V (H̃ + η − hp)] + 1/2∇2 (H̃ 2 hpt ) = 1/6∇3 (H̃ 3 V )
с теми же обозначениями, что и в третьей модели Дорфмана — Яговдика H(x, y, t) =
H̃(x, y) − hp(x, y, t) и Алешкова [9]
ht + ∇(hV ) = ∇[h∇H(V ∇H) + (∇H(∇V ) + ∇(V ∇H))h2 /2 + ∇(∇V )h3 /6],
Vt +∇(g(h−H)+1/2|V |2 ) = ∇[1/2(V ∇H)2 +[Vt ∇H+V ∇(V ∇H)]h+[∇Vt +V ∇V −(∇V )2 ]h2 /2],
H = H(x, y)
с дисперсионным соотношением
2
ω =
Hg(K12
+
1
K22 )
+
1+
H2
(K12
6
2
H
(K12
2
+ K22 )
+ K22 )
,
в котором частота является вещественной функцией волновых чисел.
При численных расчетах используется запись модели Алешкова в виде
ht + ∇(hV ) = ∇Q,
Q = (Q1, Q2),
Q1 = ∂/∂x[h∇H(V ∇H) + (∇H(∇V ) + ∇(V ∇H))h2 /2 + ∇(∇V )h3 /6],
Q2 = ∂/∂y[h∇H(V ∇H) + (∇H(∇V ) + ∇(V ∇H))h2 /2 + ∇(∇V )h3 /6],
V − ∇[(hV ∇H) + 1/2h2 ∇V ] = ∇C,
Ct = Ψ(η, u, v, H),
Ψ(η, u, v, H) = −ht V ∇H − hht ∇V − g(h − H) − 1/2|V |2 +
+1/2(V ∇H)2 + ∇(V ∇H) + h2 (V ∇∇V + (∇V )2 ).
(7)
Отметим, что модели Грина — Нагди и Базденкова — Морозова — Погуцце выведены без
предположения о потенциальности течения, остальные из перечисленных выше — при этом
предположении.
2. Описание численных алгоритмов в двумерном
случае
Выпишем формулы двупараметрического семейства схем для нелинейно-дисперсионной
модели Грина — Нагди в форме (2), аналогичного рассмотренному в [1] для одномерного
случая:
n
η̃i,j − ηi,j
n
+ ∆x (hni,j uni,j ) + ∆y (hni,j vi,j
) = 0,
∆t
n+1
n
Bi,j
− Bi,j
n
n
= Φ(ηci,j , uni,j , vi,j
, Hi,j
),
∆t
n+1
n+1
n
n
n
n
un+1
i,j − 1/6∆x [2η̃i,j − Hi,j ](ui,j ∆x Hi,j + vi,j ∆y Hi,j ) + 1/6∆x (4η̃i,j + Hi,j )×
48
Л. А. Компаниец
n+1
n+1
n+1
n+1
×{−∆x (h̃un+1
i,j ) − ∆y (h̃vi,j ) + ui,j ∆x η̃i,j + vi,j ∆y η̃i,j } + 1/3h̃i,j [−∆xx (h̃ui,j )−
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
n
n
n
n
−∆x ∆y (h̃vi,j
) + ∆x (un+1
i,j ∆x ηi,j + vi,j ∆y ηi,j )] − 1/6h̃i,j ∆x (ui,j ∆x Hi,j + vi,j ∆y Hi,j ) = B1i,j ,
n+1
n+1
n
n
n
n
vi,j
− 1/6∆y [2η̃i,j − Hi,j
](un+1
i,j ∆x Hi,j + vi,j ∆y Hi,j ) + 1/6∆y (4η̃i,j + Hi,j )×
n+1
n+1
n+1
n+1
×{−∆x (h̃un+1
i,j ) − ∆y (h̃vi,j ) + ui,j ∆x η̃i,j + vi,j ∆y η̃i,j } + 1/3h̃i,j [−∆x ∆y (h̃ui,j )−
n+1
n+1
n+1
n+1
n+1
n
n
n
n
−∆yy (h̃vi,j
) + ∆y (un+1
i,j ∆x ηi,j + vi,j ∆y ηi,j )] − 1/6h̃i,j ∆y (ui,j ∆x Hi,j + vi,j ∆y Hi,j ) = B2i,j ,
n+1
n
ηi,j
− ηi,j
n
+ ∆x (hnci,j unci,j ) + ∆y (hnci,j vci,j
) = 0,
∆t
(8)
где
n
ηci,j = ω η̃i,j + (1 − ω)ηi,j
,
hci,j = ηci,j + Hi,j ,
n
uci,j = δun+1
i,j + (1 − δ)ui,j ,
n
∆x fi,j
n
∆xx fi,j
n
n
fi+1,j
− fi−1,j
,
=
2∆x
n
n
n
fi+1,j
− 2fi,j
+ fi−1,j
=
,
∆x2
h̃i,j = η̃i,j + Hi,j ,
n+1
n
vci,j = δvi,j
+ (1 − δ)vi,j
,
n
∆y fi,j
n
∆yy fi,j
n
n
fi,j+1
− fi,j−1
=
,
2∆y
n
n
fi,j+1
− 2fi,j n + fi,j−1
=
.
∆y 2
Отбрасывая здесь “лишние"члены, получим разностные схемы для н.-д. модели Перегрина, нелинейной и линейной мелкой воды.
Двупараметрическое семейство для н.-д. модели Грина — Нагди при предположении
потенциальности течения отличается от (8) тем, что в них условие uy = vx позволяет при
n+1
вычислении un+1
заменить в дисперсионных членах операторы
i,j , vi,j
n+1
∆xx un+1
i,j + ∆xy vi,j ,
n+1
∆y ∆x un+1
i,j + ∆yy vi,j
на
n+1
∆xx un+1
i,j + ∆yу ui,j ,
n+1
n+1
∆xx vi,j
+ ∆yy vi,j
(9)
cоответственно.
Опуская “лишние"члены, получаем разностный алгоритм типа (9) для модели Перегрина, но для него замена uy = vx в дисперсионных членах справедлива только для
H(x, y) = const.
Двупараметрическое семейство разностных схем для модели Алешкова (7) имеет вид
n
η̃i,j − ηi,j
n
n
n
+ ∆x (hni,j uni,j ) + ∆y (hni,j vi,j
) = ∆x Q1 (hni,j , uni,j , vi,j
, Hi,j ) + ∆y Q2 (hni,j , uni,j , vi,j
, Hi,j ),
∆t
n+1
n
Ci,j
− Ci,j
n
= Ψ(ηci,j , uni,j , vi,j
, Hi,j ),
∆t
n+1
n+1
n+1
n+1
2
un+1
i,j − ∆x h̃i,j (ui,j ∆x Hi,j + vi,j ∆y Hi,j ) − 1/2(∆x ui,j + ∆y vi,j )∆x (h̃i,j ) −
n+1
n+1
−1/2(h̃i,j )2 (∆xx un+1
i,j + ∆yy ui,j ) = ∆x Ci,j ,
n+1
n+1
n+1
n+1
2
vi,j
− ∆y h̃i,j (un+1
i,j ∆x Hi,j + vi,j ∆y Hi,j ) − 1/2(∆x ui,j + ∆y vi,j )∆y (h̃i,j ) −
n+1
n+1
n+1
−1/2(h̃i,j )2 (∆xx vi,j
+ ∆yy vi,j
) = ∆y Ci,j
,
О ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ
49
n+1
n
ηi,j
− ηi,j
+ ∆x (hci,j uci,j ) + ∆y (hci,j vci,j ) = ∆x Q1 (hci,j , uci,j , vci,j , Hi,j )+
∆t
+∆y Q2 (hci,j , uci,j , vci,j , Hi,j ).
(10)
При использовании условия (9) в схеме (8) и всегда в модели Алешкова при нахождении
скоростей на следующем шаге по времени решается эллиптическая система уравнений и
можно использовать известные методы их решения.
Четкое выделение в моделях Грина — Нагди и Алешкова гиперболической и эллиптической частей позволяет применять для гиперболической части различные известные
аппроксимации. Так, разностные алгоритмы типа leap-frog для моделей Грина — Нагди и
Алешкова получаются заменой в (8) и (10) разностных аппроксимаций для производных
по времени на центральные разности, а алгоритм типа предиктора-корректора для модели Пелиновского — Железняка [10] легко обобщается на двумерный случай через схему
вращения, предложенную в [11] для двумерного уравнения переноса.
n
n
n
Определяя значения ηi,j
, Hi,j
в целых точках разностной сетки, а uni+1/2,j , vi,j+1/2
в
полуцелых, получим разностную схему с разнесенными значениями возвышения свободной
поверхности и скорости.
3. Анализ диссипативных и дисперсионных свойств
численных алгоритмов в двумерном случае
В таблице выписаны собственные значения ρi (ξ, φ) матриц перехода линейных аналогов
разностных схем для н.-д. моделей первого и третьего классов [12]. Здесь ξ = K1 ∆x,
φ = K2 ∆x, κ1 = ∆t/∆x, κ2 = ∆t/∆y. Анализ диссипативных свойств показывает, что для
разностных схем leap-frog условия устойчивости схемы становятся более ограничительными, чем в (8) при условии (9) для н.-д.м. первого и в (10) для н.-д.м. третьего класса.
Если δ + ω = 1, то |ρi | = 1 для любого i и всех двупараметрических семейств схем, что
согласуется со свойствами гармонических решений для самих моделей.
На рис. 1 изображены фазовые скорости гармонических решений, определяемые из
дисперсионного соотношения для моделей первого класса и дисперсионного соотношения
для линейных аналогов разностных схемы (8) и схемы (8) при условии (9). На рис. 2
изображены фазовые скорости гармонических решений, определяемые из дисперсионного
соотношения для моделей третьего класса и дисперсионного соотношения для линейных
аналогов разностной схемы (10) и разностной схемы с разнесенными разностями для моделей третьего класса. Дисперсионные соотношения для разностных схем вычислялись
при δ + ω = 1, g = H0 = 1, ∆x = ∆y = 0.065, ∆t = 0.045.
Анализ рис. 1, 2 показывает, что фазовые скорости для гармонических решений (8)
и (8) при условии (9) отличаются только для больших значений волновых чисел K1 , K2 .
Так же, как и в одномерном случае, для модели Алешкова фазовые скорости гармонических решений модели и разностной схемы (10) для больших значений модуля волнового
числа K отличаются сильнее, чем чем для модели Грина — Нагди и аппроксимирующих
ее уравнений (8) и (8) при условии (9). Применение разностной схемы с разнесенными
значениями позволяет улучшить дисперсионные свойства разностной схемы для моделей
третьего класса.
50
Л. А. Компаниец
Таблица
ρ
Схема
(8)
Условие
устойчивости
r
E1
(ω + δ)2
ρ1,2 = 1 −
(ω + δ) ± i E1 (1 −
E1 ), ρ3 = 1,
2
4
gH0 (κ12 sin2 ξCy + κ22 sin2 φCx ) − 2H0 gκ1 κ2 sin ξ sin φCxy
E1 =
,
2
Cx Cy − Cxy
Cx = 1 + 4/3H02 sin2 (ξ/2)/∆x2 ,
Cy = 1 + 4/3H02 sin2 (φ/2)/∆y 2 , Cxy =
(8) при
ρ1,2
для κ1 = κ2
H02 sin ξ sin φ
3 ∆x ∆y
B1 = gH0 (κ12 sin2 ξ + κ22 sin2 φ)E1 ,
E1 =
ρ1,2
κ12 ≤
r
B1
(ω + δ)2
=1−
(ω + δ) ± i B1 (1 −
B1 ), ρ3 = 1,
2
4
условии (10)
(11)
|ρ1,2 | ≤ 1
2
(ω + δ)2 gH0
|ρ1,2 | ≤ 1
κ12 + κ22 ≤
1
1+
4/3H02 (sin2 (ξ/2)/∆x2
4
(ω + δ)2 gH0
+ sin2 (φ/2)/∆y 2 )
r
B2
(ω + δ)2
=1−
(ω + δ) ± i B2 (1 −
B2 ), ρ3 = 1,
2
4
B2 = gH0 (κ12 sin2 ξ + κ22 sin2 φ)E2 ,
κ12 + κ22 ≤
1 + 2/3H02 (sin2 (ξ/2)/∆x2 + sin2 (φ/2)/∆y 2 )
1 + 2H02 (sin2 (ξ/2)/∆x2 + sin2 (φ/2)/∆y 2 )
p
ρ21,2 = 1 − 2B ± i2 B(1 − B), ρ3,4 = 1,
κ12
|ρ1,2 | ≤ 1
4
(ω + δ)2 gH0
E2 =
Leap-frog
B = B1 для модели Грина — Нагди,
Cхемы с
разнесенными
B = B2 для модели Алешкова
r
F
(ω + δ)2
F ), ρ3 = 1,
ρ1,2 = 1 − (ω + δ) ± i F (1 −
2
4
F = 4gH0 (κ12 sin2 (ξ/2) + κ22 sin2 (φ/2))E1 для модели
вращения для
Грина — Нагди, F = 4gH0 (κ12 sin2 (ξ/2) + κ22 sin2 (φ/2))E2
для модели Алешкова
r
E3
E4
±i
, ρ3 = 1,
ρ1,2 = 1 −
A1
A1
E3 = gH/2(κ12 (1 − cos ξ)(1 + cos φ)) + κ22 (1 + cos ξ)(1 − cos φ)
модели
E4 = 1/4(κ12 sin2 ξ(1 + cos φ)2 + κ22 sin2 φ(1 + cos ξ)2 )
разностями
Схема
|ρ1,2 | = 1
+ κ22 ≤
1
gH0
|ρ3 | = 1
κ12 + κ22 ≤
1
(ω + δ)2 gH0
|ρ1,2 | ≤ 1
max(κ1 , κ2 ) ≤ 1
Грина — Нагди
Диссипативные свойства разностных алгоритмов иллюстрирует решение задачи о распаде начального возвышения при нулевой начальной скорости в квадратном бассейне, на
сторонах которого ставятся условия отражения от твердой стенки. Рис. 3 дает начальное
возвышение на сетке m × n:
p
η(x, y) = A r2 − (16.8 − x)2 − (16.8 − y)2
n = 85,
m = 85,
r = 10,
∆x = 0.4,
∆y = 0.4,
A = 0.05
и решение этой задачи на момент времени 80∆t, 160∆t, ∆t = 0.1 по разностной схеме для
модели Перегрина (8) с ω + δ = 2.
51
О ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ
Рис. 4, 5 дают волновые картины на момент времени 200∆t, когда волна отразилась от
стенок, для моделей Перегрина, нелинейной и линейной мелкой воды. Влияние сглаживающего параметра ω+δ для моделей нелинейной и линейной мелкой воды более существенно,
чем для нелинейно-дисперсионных моделей, так как в последних |ρi | при малых ∆x, ∆y
близки к 1 для всех ω + δ.
Список литературы
[1] Kompaniets L. A. Analysis of difference algoritms for nonlinear dispersive shallow water
models. Russ. J. Num. Anal. and Math. Model., 11, №3, 1996, 205–222.
[2] Green A. E., Naghdi P. M. A derivation of propagation in water of variable depth. J.
Fluid Mech., 71, 1976, 237–246.
[3] Ertekin R. C., Webster W. C., Wehausen J. V. Waves caused by a moving
disturbance in a shallow channel of finite width. J. Fluid Mech., 169, 1986, 275–292.
[4] Вольцингер Н. Е., Клеванный К. А., Пелиновский Е. Н. Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Гидрометеоиздат, Л., 1989.
[5] Базденков С. В., Морозов Н. И., Погуцце О. Р. Дисперсионные эффекты в двумерной гидродинамике. Докл. АН СССР, 293, 1987, 819–822.
[6] Peregrine D. H. Long waves on a beach. J. Fluid Mech., 27, №4, 1967, 815–827.
[7] Дорфман А. А., Яговдик Г. И. Уравнения приближенной нелинейно-дисперсионной
теории длинных гравитационных волн, возбуждаемых перемещениями дна и распространяющихся в бассейне переменной глубины. Числ. методы мех. спл. среды, 8, №1,
1977, 36–48.
[8] Железняк М. И., Пелиновский Е. Н. Физико-математические модели наката цунами на берег. В “Накат цунами на берег”, (Под ред. Е. Н. Пелиновского), ИПФ АН
СССР, Горький, 1985, 8–33.
[9] Алешков Ю. З. Теория взаимодействия волн с преградами. Изд-во Ленингр. ун-та,
Л., 1990.
[10] Железняк М. И. Воздействие длинных волн на сплошные вертикальные преграды.
В “Накат цунами на берег” (Под ред. Е. Н. Пелиновского), ИПФ АН СССР, Горький,
1985, 122–139.
[11] Gourlay A. R., Morris J. L. Finite-difference methods for nonlinear hyperbolic
systems. Math. Comput., 22, №104, 1968, 28–39.
[12] Рихтмайер Р., Мортон K. Разностные методы решения краевых задач. Мир, М.,
1972.
Поступила в редакцию 15 сентября 1995 г.
52
Л. А. Компаниец
Рис. 1. Фазовые скорости, соответствующие: а — дисперсионному соотношению для моделей первого класса, б — линейному аналогу разностной схемы (8), в — линейному аналогу разностной
схемы (8) при условии (10).
О ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ
53
Рис. 2. Фазовые скорости, соответствующие дисперсионному соотношению для моделей третьего класса (а), линейному аналогу разностной схемы (11) (б), разностной схеме c разнесенными
разностями (в).
54
Л. А. Компаниец
Рис. 3. Волновые картины задачи о распаде начального возвышения, модель Перегрина, ω +δ = 2
при t = 0 (а), 80∆t (б), 160∆t (в).
О ЧИСЛЕННЫХ АЛГОРИТМАХ
55
Рис. 4. Волновые картины на момент времени 200∆t: a модель Перегрина, ω + δ = 2 (а), ω + δ = 1
(б), модель нелинейной мелкой воды, ω + δ = 2 (в).
56
Л. А. Компаниец
Рис. 5. Волновые картины на момент времени 200∆t: модель нелинейной мелкой воды, ω + δ = 1
(а), модель линейной мелкой воды, ω + δ = 2 (б), ω + δ = 1 (в).
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
368 Кб
Теги
численные, нелинейные, алгоритм, дисперсионных, воды, двумерной, моделей, мелкой, случай
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа