close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об аппроксимационных константах характеризующих приближение функций класса as Lip опе-раторами Баскакова a-1-vkvkw.

код для вставкиСкачать
Ученые записки ЗабГГПУ
УДК 511
ББК В 151.0
Р. Р. Батырова, О. С. Лямина
Об аппроксимационных константах, характеризующих приближение функций класса Lip операторами Баскакова M n1k 
В статье доказывается, что зависимость от α аппроксимационной характеристики
A0[1,] k 
имеет особенность
возрастать и является выпуклой вниз.
Ключевые слова: тригонометрические операторы Баскакова, аппроксимационная характеристика.
R. R. Batyrova, O. S. Lyamina
About approximate constants characterizing the approaching of class Lip
by Baskakov’s operators M n1k 
In the article is improved that the dependence of the approximated function
A0[ ,1] k 
on the parameter
α is in-
creasing and is convex downwards.
Key wors: Baskakov trigonometric operators, approximated function.
Операторы M n1k  : C 2  C 2
k
n
n
nt
dt
2
M n1k   f , x  
 2t
2 k 

sin
 cos t  cos

2
n 
являются частным видом тригонометрических операторов Баскакова (см.[1]).
Если f  LipM  ( 0    1 ) , то выполняется следующая оценка
sin 2

f t  x  sin 2
 
f x   M n[ 1 ] k   f , x   M A0[ ,1] k   n  1  o n  1 ,
где A0[ ,1] k   2 1   k 2

t
0
2
k 2 2  t 2
.
lim A0[ ,11] k    , при этом A0[ ,11] k  
Известно, что
k 

lim A0[ ,1] k   2k 2 
k 
t  sin 2 t dt
0
sin 2 t dt
t 2 k 2 2  t 2
4

ln k  o1 (см. [2]). В то же время
– величина, равномерно по k ограниченная.
Цель предлагаемой статьи: исследовать характер зависимости аппроксимационной характеристики
A0[1,] k 
от

(при фиксированном k).
Теорема. При любом фиксированном k величина
функцией от  (при 0    1 ).
Доказательство.
Обозначим    


0
Тогда
dt .
t k   t2
2
2
2
Функции
  
и
A0[ ,1] k 
отличаются только постоянным множителем, то характер их
 одинаков.
   являются интегралами, зависящими от параметра. По известным правилам нахо-
зависимости от
118
является возрастающей, выпуклой вниз
A0[ ,1] k   2k 2  .
Так как функции
дим
2t  sin2 t
A0[ ,1] k 
Физика, математика, техника, технология
   
2t  ln2t  sin 2 t


t k 
2
0
   


2t 
   в точке   0
2
t
2
dt ,
ln 2 2t  sin 2 t dt .
t 2 k 2 2  t 2

0
Доопределим
2
по принципу непрерывности, то есть  0  

t
0
 
sin 2 t dt
2
k 2 2  t 2
.
Очевидно, что при 0    1,     0 . Значит,   – выпуклая вниз. Таким образом, одно из
утверждений доказано.
Однако, знак    остается под вопросом, так как подынтегральная функция меняет знак.
 
Если удастся доказать, что ' 0   0 , то, очевидно теорема будет доказана полностью.
По определению производной

 0   lim

 0 
Используем тот факт, что

lim 
 0
0
2t 

0
2t 


 1 sin 2 t dt .
 t 2 k 2 2  t 2

 1 sin 2 t dt
 0.111154  0
 t2
(1)
Вычисления выполнены с помощью MathCad.
Из (1), очевидно, следует, что
0 ,5
lim
 0

2t 

0



2t   1 sin2 t dt .
 1 sin 2 t dt

lim
  0 
 t2
 t2
0 ,5
2

на интервале  0 , 1  меньше любого значе 2
1
ния этой функции на интервале  , 2  , получим, что при любом k
Учитывая, что любое значение функции  2 k 2  t 2
2

2
lim
 0

0
Тем более

lim
 0

0
2t 


 t
 1 sin 2 t dt
2
2t 

 t
1
2
k  2  t2
2

 1 sin 2 t dt
k  2  t2
2
 0.
0
Теорема доказана.
Список литературы
1. Абакумов Ю. Г. Приближение периодических функций тригонометрическими операторами Баскакова.
Чита: ЧитГУ, 2006. 158 с.
2. Батырова Р. Р., Абакумов Ю. Г. Об оценках приближения функций класса Lip1 операторами M n1k  //
VIII Всероссийская научно-практическая конференция «Кулагинские чтения». Чита: ЧитГУ, 2008. С. 12–13.
119
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
404 Кб
Теги
приближение, lip, аппроксимационные, баскаков, раторами, vkvkw, функции, опе, характеризующих, класс, константин
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа