close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об итерационном аналоге непрерывного метода регуляризации задачи связанного псевдообращения.

код для вставкиСкачать
Математическое моделирование. Оптимальное управление
Вестник Нижегородского
университета
им. Н.И.
Лобачевского,
2013,
№ 1 (1), с.псевдообращения
191–195
Об итерационном
аналоге непрерывного
метода
регуляризации
задачи
связанного
191
УДК 517.983.54
ОБ ИТЕРАЦИОННОМ АНАЛОГЕ НЕПРЕРЫВНОГО МЕТОДА
РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ЗАДАЧИ СВЯЗАННОГО ПСЕВДООБРАЩЕНИЯ
 2013 г.
Е.В. Барабошкина, Р.А. Шафиев
Нижегородский государственный педагогический университет
elenavbaraboshkina@gmail.com
Поступила в редакцию 14.09.2012
Предложен итерационный метод регуляризации задачи связанного псевдообращения, который, как
и порождающий его непрерывный метод, обладает свойством стабилизации последовательностей к
нормальному решению начиная из любой точки гильбертова пространства. Найдены условия сходимости метода и его устойчивости к возмущениям в исходных данных задачи.
Ключевые слова: задача связанного псевдообращения, нормальное псевдорешение, двупараметрический метод регуляризации, итерационный метод регуляризации, сходимость итерационного метода,
устойчивость итерационного метода.
Введение
Задача условной минимизации
min
 Ax  y
2
: x  Arg min Bx  z
x X
2
,
(1)
где A:X→Y, B:X→Z – заданные линейные ограниченные операторы, y  Y , z  Z – заданные векторы, пространства X, Y, Z – гильбертовы, называется задачей связанного псевдообращения уравнения
(2)
Ax  y
при дополнительных линейных связях
(3)
Bx  z.
Решение задачи (1) минимальной нормы обозначается x* и называется нормальным связанным псевдорешением уравнения (2) при дополнительных связях (3). Для краткости x* будем
называть нормальным решением задачи (1).
При отсутствии связей (при B=0) задача (1) –
это традиционная задача псевдообращения
уравнения (2). Если A+ – псевдообратный оператор к оператору A, то нормальное псевдорешение уравнения (2) x* =A+y может быть найдено методами регуляризации из книги [1].
Впервые задача (1) рассмотрена в работе [2]
в качестве абстрактной модели одной задачи
управления. В [2] авторы ввели понятие суженного псевдообратного оператора AB и с его помощью записали решение
*

B




x*
задачи (1):
x  A y  AB z  B z . Независимо задача (1)
под названием задачи L-псевдообращения рассмотрена в работе [3] (см. [4]), в которой приведен первый регуляризирующий алгоритм её
решения, применимый при очень жестком ограничении на операторы A и B.
В дальнейшем (см., например, [5, 6]) один из
авторов данной статьи вывел для суженного

псевдообратного оператора AB регуляризирующий алгоритм, посредством которого построил двупараметрический метод регуляризации задачи (1):
(4)
I  *  x   g , α,r>0,

r
r

r
r
где
 r B
 r z
r  
 : X  Z  Y  G, g r  
 G .
 A 
 y 
В работе [7] для решения уравнения (4) применяется известный непрерывный метод [8],
который имеет вид задачи Коши:
u t    t u t   rt  r t u t   g r t    0, (5)

u t 0   u0 , t  t 0  0.
Смысл перехода от стационарного уравнения (4) к задаче Коши (5) заключается в том,
что вопрос приближенного вычисления
сводится к нахождению решения задачи Коши для
достаточно большого значения аргумента t. Ясно, что для этого можно воспользоваться хорошо разработанным аппаратом численного интегрирования дифференциальных уравнений.
В данной работе для приближенного интегрирования задачи (5) применяется метод разностной аппроксимации.
Для этого в промежутке t0 ,  берется система точек {tk}, и задача Коши (5) заменяется
неявной разностной схемой:
192
Е.В. Барабошкина, Р.А. Шафиев
u k  u k 1
  k u k  rk rk u k  g rk  0 ,
k


k=1,2,3,…,
где u k  ut k ,  k  t k , rk  r t k  , tk – tk-1=τk .
Способ построения последовательности {uk}
по рекуррентной формуле
1   k  k uk   k rk rk uk  uk 1   k rk g rk , (6)
k=1,2,3,…,
называется итерационным аналогом непрерывного метода регуляризации задачи связанного
псевдообращения.
В работе найдены условия на параметрические последовательности {αk}, {rk} регуляризации, которые обеспечивают сходимость метода
(6) к нормальному решению задачи связанного
псевдообращения исходя из любого начального
приближения u0  X , а также его устойчивость
к ошибкам в исходных данных этой задачи.
1. Необходимые сведения
Обозначим через P и Q ортопроекторы соответственно на подпространства N (B) и
N ( B)  N ( А) , где N () – ядро соответствующего оператора. Введенный ранее оператор
Г r при r=1 будем обозначать просто Γ. Очевидно, N ()  N ( B)  N ( А), и поэтому Q – ортопроектор на N () .
В [6] (а также в [9]) установлено, что задача
(1) разрешима тогда и только тогда, когда выполнимы условия:
z  DB    RB   N B * ,


y  AB  z  D  AP   R AP   N PA *  ;
при выполнении этих условий в ортогональном
дополнении N 


существует единственное
нормальное решение x* задачи (1), а любое её
решение x* имеет вид x*  x*  Qx, x  X , и
характеризуется равенствами
B* Bx*  z   0, PA*  Ax*  y   0.
В [7] решение операторного уравнения (5)
обозначается xr   0, r  1 и используется
для аппроксимации решения x * задачи (1).
Теорема 1.1 [7]. Если задача (1) разрешима и
выполнены условия
(1.1)
A* Ax*  y  D B*  ,
T
(1.2)
x*  * g , g  v ,u   G,

то
  
x *  x r 

 1

v  u  
2  r

1


B*  A* Ax*  y .
2 r
Кроме того, справедлива оценка
 z 1 *
B* Bxr  z  
 A y 
r 2 r

(1.3)
2
A 

1
(1.4)
 z 

y .
r 2 
r

Отметим, что условие (1.1) выполняется, если оператор B – нормально разрешимый. Тогда
B* – также нормально разрешимый, и область
определения
D B*  X .
Кроме
того,
1
 
 

D B  Z , и задача (1) разрешима при любом z.
В заключение приведем лемму 2.29 [10, с. 83].
Лемма [10]. Если неотрицательная числовая
последовательность k  удовлетворяет неравенству
k  1  ak k 1  bk , 0  ak  1 ,
где
k
b
lim ai   , lim k  0 , то lim k  0 .
k 
k  a
k 
i 1
k

2. О двупараметрическом методе
регуляризации (4).
В уравнение (4) мысленно введем параметр
t  t0 , , считая    t , r  r t  , и дискретизируем его в точках последовательности t k . В
результате получим последовательность операторных уравнений
 k x  rk* rk x  rk* g rk , k  1,2,3,.... (2.1)
При  k  0 уравнение (2.1) имеет единственное решение, которое обозначим xrk k .
Предположим, что последовательности  k 
и rk  удовлетворяют условиям:
 k  0, rk  1;
 k  – убывает, rk 
– возрастает;
 k  0 , rk   при k   .
(2.2)
Тогда при всех k уравнение (2.1) имеет решение xrk k , к каждому из которых можно применить теорему 1.1.
Лемма 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Если последовательности  k  и rk 
удовлетворяют условиям (2.2) и
 k rk 1  0, k  ,
( 2.3)
193
Об итерационном аналоге непрерывного метода регуляризации задачи связанного псевдообращения
1  k  k k , k    k1 , k    k , k  .
то lim x*  xrk  k  0 и
k 

c2

x rk  k  c1 , B* Bxrk  k  z 
,
(2.4)
rk  k
где ci – константы, не зависящие от номера последовательности k.
Доказательство. Для каждого xrk k имеет
место оценка (1.3), где    k , r  rk . Переходя в этом неравенстве к пределу при k   и
учитывая (2.2), (2.3), получим x*  xrk  k  0 .
Первая оценка в (2.4) – это следствие из предельного соотношения, а вторая вытекает из
(1.4) и устанавливает порядок сходимости
B * Bx rk  k  z
при k   .
 

В дальнейшем нам понадобится оценка
xrk  k  xrk 1 k 1 . Проведем ее здесь, обозначив
 k  xrk  k  xrk 1 k 1 .
 k  k  r*k rk  k   k   k 1 xrk 1 k 1 


 rk  rk 1 B* Bxrk 1 k 1  z .
Умножим это равенство скалярно на вектор
 k и к правой части применим неравенство
Коши–Буняковского, в результате получим неравенство
 
 k  k , k   r*k rk  k , k   k   k 1 xrk 1 k 1 

 rk  rk 1 B* Bx rk 1 k 1  z
 
k
(2.6)
.
Слева отбросив неотрицательное второе
слагаемое, а справа используя оценки (2.4), мы
усилим неравенство, и, сократив его на ||  k || ,
получим нужную оценку:
  k   k 1

rk  rk 1
1
. (2.7)
 k  c3 





r
r

k
k
k 1 k 1 

Сходимость итерационного метода
Введем обозначение
 k  x r  u k .
k
k
k 1
k
где
ak 
k
k k
, bk 
,
1  k k
1  k  k
(3.3)
а оценка  k найдена в (2.7).
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия
леммы 2.1. Если последовательности {αk} и {rk}
удовлетворяют соотношениям
k
i  i
lim
 ,
k 
i 1 1   i  i

  k   k 1
rk  rk 1
1
lim


2
2
k 




rk 1 k 1
k k
k k


  0, (3.4)


(2.5)
Подставив решения xrk k и xrk 1 k 1 в соответсвующие уравнения (2.1) и вычтя одно из другого, для вектора  k получим равенство:

Отсюда, применяя к правой части неравенство Коши–Буняковского и деля на  k , находим
(3.2)
  1  a    b ,
(3.1)
Подставив xr в уравнение (2.1) и вычтя из
этого равенства формулу (6), для вектора  k
получим разностное уравнение
1  k  k k  k r*k rk k   k 1  k ,
где вектор  k определен в (2.5). Это равенство
умножим скалярно на  k и, отбросив в левой
части слагаемое с положительным оператором
r*k rk , получим неравенство
то итерационный метод (6) начиная из любого
u0  X сходится к x* .
Доказательство. Из очевидного неравенства
u k  x*  u k  xrk  k  xrk  k  x*
(3.5)
вытекает, что для доказательства теоремы достаточно установить, что u k  xrk  k   k  0
при k   , поскольку сходимость к нулю второго слагаемого в (3.5) доказана в лемме 2.1. Но
мы установили, что последовательность   k 
удовлетворяет неравенству (3.2), рассмотренному в приведенной нами лемме из [10]. Из
этой леммы следует, что  k  0 при k   ,
если коэффициенты (3.3) удовлетворяют услоk
b
виям
ai   , k  0 , k   . Но эти услоak
i 1
вия, как легко видеть, – это предположения
(3.4) теоремы, и теорема доказана.

3. Устойчивость итерационного метода
Предположим, что исходные данные задачи
(1) заданы приближенно. При этом известны
последовательности Ak  и Bk  ограниченных
операторов, аппроксимирующих операторы A и
B соответственно, последовательности yk  и
zk 
векторов, аппроксимирующих y и z, и известны уровни их ошибок:
Ak  A  lk , Bk  B  hk ,
y k  y  sk , z k  z   k ,
(4.1)
где lk , hk , sk  , k  – неотрицательные ограниченные последовательности.
194
Е.В. Барабошкина, Р.А. Шафиев
 r B 
 r z 
~
Обозначим rk   k k  , g~rk   k k  и
 Ak 
 yk 
выпишем возмущенный метод (6):
1   k  k vk   k ~rk ~rk vk  vk 1   k ~rk g~rk ,
v0  u 0 .
(4.2)
Введем обозначение
 k  vk  u k
(4.3)
и, вычтя (6) из (4.2), найдем уравнение для k :
1   k  k  k   k ~rk ~rk k 
~ ~
  k 1   k rk rk  rk rk uk 
~
~
    g~  g        g .

k
rk

rk


rk
k

rk
rk

rk
Отсюда, как и прежде, для  k получим неравенство:
 k  1  ak   k 1  bk ,
где
 
ak  k k ,
(4.4)
1  k  k
k
~ ~
bk 
rk rk  rk rk u k 
1  k  k
~ ~
~
 rk g rk  g rk  rk  rk g rk .

 
 

Преобразуем выражения, стоящие в bk :
~ ~
rk rk  rk rk  rk Bk*  B* Bk  rk B* Bk  B  




 A*k  A* Ak  A*  Ak  A;
~
rk g~rk  g rk  rk B*k z k  z   Ak*  y k  y  ;
~
rk  rk g rk  rk B*k  B* z  Ak*  A* y .





 

Оценим нормы выражений в bk с помощью
условий аппроксимации (4.1):
a
bk  k rk hk  Bk  B  u k  l k  Ak  A  u k 
k


 rk  k Bk  sk Ak  rk hk z  l k y .
Так как Bk  B  h , Ak  A  l , где h , l
– границы последовательностей hk  и lk , а при
выполнении условий сходимости u k  c4 , то
 r
l  sk 
  bk .
bk  c5 a k  k hk   k   k
 k 
 k
Таким образом, последовательность
удовлетворяет неравенству
 k  1  ak   k 1  bk ,
(4.5)
 
k
(4.6)
где коэффициент ak определен в (4.4), а bk – в
(4.5).
Теорема 4.1. Пусть выполнены условия теоремы 3.1. Если последовательности {αk} и {rk}
удовлетворяют дополнительно условиям согласования с уровнями возмущений (4.1):
rk
l k  sk
hk   k   0, lim
 0,
(4.7)
k


k
k
то возмущенный метод (4.2) начиная из любого
начального приближения u0 сходится к нормальному решению x* задачи (1).
Доказательство. Из теоремы 3.1 следует,
что u k  x*  0 при k   . Поэтому в силу
lim
k 
неравенства vk  x*  vk  u k  u k  x*
для
доказательства теоремы достаточно установить
vk  u k   k  0 при k   .
Но последовательность
   удовлетворяет
k
неравенству (4.6), в котором из определения ak
(4.4) и первого условия из (3.4) следует, что
k
lim
k 
a
i
  , а из определения bk (4.5) и усло-
i 1
bk
 0 . Поэтому соak
гласно лемме из [10]  k  0 при k   , и
теорема доказана.
Приведем пример последовательностей {αk},
{rk}, удовлетворяющих всем условиям (2.2),
(2.3), (3.4) из теоремы 3.1 и условиям согласования (4.7) теоремы 4.1:
 k  1,  k  k  , rk  k r ,
вия (4.7) вытекает, что lim
k 
hk   k  k h , lk  sk  k l ,
1
если 0    ,   r  min 1, 2  5 , h  r   ,
3
l .
Список литературы
1. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 181 с.
2. Minamide N., Nakamura K. A restricted pseudoinverse and its application to cotrained minima //
SIAM J. Appl. Math. 1970. V. 19. P. 167–177.
3. Морозов В.А., Кирсанова Н.Н. Об одном
обобщении метода регуляризации // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1970.
Вып. 14. С. 40–45.
4. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987. 360 с.
5. Шафиев Р.А. К теории методов регуляризации
Тихонова–Лаврентьева // ДАН СССР. 1985. Т. 282.
№ 4. С. 804–808.
6. Шафиев Р.А. Псевдообращение операторов и
некоторые приложения. Баку: Элм, 1989. 152 с.
7. Бондарь Е.А., Шафиев Р.А. Непрерывный метод решения задачи связанного псевдообращения //
Вестник ННГУ. 2006. Вып. 1 (4). С. 4–13.
8. Альбер Я.И. Непрерывная регуляризация линейных операторных уравнений в гильбертовом пространстве // Математические заметки. 1968. Т. 4.
№ 5. С. 503–509.
Об итерационном аналоге непрерывного метода регуляризации задачи связанного псевдообращения
9. Ястребова И.Ю. Нормальное n-связанное псевдорешение уравнения и регулярные методы его вычисления / Н.Новгород: Нижегородский гос. пед. унт, 1999. Деп. ВИНИТИ 17.11.99, № 3388-В99.
195
10. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи
с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ
«Наука», 1993. 261 с.
ON AN ITERATIVE ANALOGUE OF THE CONTINUOUS REGULARIZATION METHOD FOR
A CONSTRAINED PSEUDOINVERSE PROBLEM
E.V. Baraboshkina, R.A. Shafiev
The article proposes an iterative method of constrained pseudoinverse problem regularization, which, like its originative continuous method, stabilizes sequences to the normal solution starting from any point of the Hilbert space. The conditions for the method convergence and stability to perturbations in the initial data of the problem are found.
Keywords: constrained pseudoinverse problem, normal pseudosolution, two-parameter regularization method, iterative
regularization method, iterative method convergence, stability of the iterative method.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
317 Кб
Теги
непрерывного, псевдообращения, аналоги, регуляризация, метод, итерационные, задачи, связанной
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа