close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об ограниченности множества допустимых траекторий в задаче с интегральным критерием качества.

код для вставкиСкачать
УДК 517.977
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МНОЖЕСТВА ДОПУСТИМЫХ
ТРАЕКТОРИЙ В ЗАДАЧЕ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ
КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА
c
°2009
М.В. Кабанко, А.Г. Плохов
Кабанко М.В. – канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
математического анализа и прикладной математики,
kabankom@mail.ru;
Плохов А.Г. – канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры
математического анализа и прикладной математики,
plohovag@yandex.ru
Курский государственный университет
Для задачи оптимального управления с интегральным критерием качества рассматриваются условия, при которых множество допустимых траекторий, доставляющих критерию
качества конечное значение является, равномерно ограниченным.
Ключевые слова: оптимальное управление, интегральный критерий качества.
Рассмотрим задачу оптимального управления
ẋ = F (x, u, t),
(1)
x(t0 ) = x0 ∈ H,
(2)
ZT
J=
ϕ(x(t), u(t), t)dt,
(3)
t0
где F : Rn × U × [t0 , T ] −→ Rn , U = {u ∈ Rm |kuk ≤ K}, K > 0,
K − const,
µ m ¶ 12
P 2
kuk =
ui , ϕ : Rn × U × [t0 , T ] −→ R, t0 ≥ 0, T ≥ t0 , T ∈ R.
i=1
Будем предполагать также, что функция F удовлетворяет условиям
Каратеодори: то есть F непрерывна по x и u при фиксированных t и
измерима по t при фиксированных x и u, а функция ϕ непрерывна по
своим переменным и ϕ(0, 0, t) ≡ 0. В качестве допустимых управлений
будем рассматривать измеримые на [t0 , T ] функции u(t), такие что u(t) ∈
U , t ∈ [t0 , T ].
Известно, что в проблеме существования решения задачи оптимального управления важным является условие ограниченности множества
достижимости
¯
¾
½
¯
H = x = x(x0 , t0 , u(t), t)¯¯x0 ∈ H, t ∈ [t0 , T ], u(t) ⊂ U .
Будем предполагать, что F удовлетворяет условию (A):
kF (x, u, t)k ≤ h(A)m(t) для x таких, что kxk ≤ A, где h(A) – непрерывная функция, а m(t) ≥ 0 измеримая на [t0 , ∞) функция, существенная верхняя грань которой m∗ на [t0 , ∞) конечна. В работе [1] ограниченность H доказана при выполнении условия kF (x, u, t)k ≤ C(x2 + 1),
где C − const; в работе [2] – при выполнении условия
h(A)
A→+∞ A
lim
< +∞.
Однако в теоремах существования оптимального управления для задач с интегральным критерием качества требование равномерной ограниченности допустимых траекторий (требование ограниченности множества H) является излишне жестким: достаточно чтобы было равномерно
ограничено множество траекторий, доставляющих критерию качества (3)
значения, не превышающие некоторого числа.
Будем считать, что функция ϕ удовлетворяет условию (B):
существует функция ω(ε) > 0 такая, что ϕ(x, u, t) ≥ ω(ε) при kxk ≥
ε > 0 для всех допустимых управлений u(t) ∈ U , t ∈ [t0 , T ].
Теорема 1. Пусть F удовлетворяет условию (A), ϕ – условию (B)
и пусть существует допустимое управление ux0 (t), доставляющее критерию качества (3) значение J(x0 , ux0 (t)) ≤ J < +∞ и
ω( 2ε )ε
lim
> J.
ε→+∞ 2h(ε)m∗
(4)
Тогда множество допустимых траекторий системы (1), доставляющих критерию качества (3) значения J(x0 , ux0 (t)) ≤ J, равномерно
ограничено.
Доказательству теоремы предпошлем доказательство леммы.
Лемма 1. Пусть выполняются условия теоремы и пусть ε > 0
– некоторое число, такое что, kx0 k < 2ε . Тогда, если решение x =
x(x0 , t0 , u(t), t) системы дифференциальных уравнений (1) таково, что
в некоторый момент времени t∗ > to
kx(x0 , t0 , u(t∗ ), t∗ )k = ε,
то для данного решения справедлива оценка критерия качества (3)
ω( 2ε )ε
J(x0 , u) =
.
2h(ε)m∗
(5)
Доказательство. Обозначим
S(ε) = {x ∈ Rn |kxk < ε}
Пусть t < t∗ – наибольший момент времени такой, что
kx(x0 , t0 , u(t), t)k = 2ε . Такой момент времени t существует в силу непрерывности kx(x0 , t0 , u(t), t)k и условий kx0 k < 2ε и kx(x0 , t0 , u(t∗ ), t∗ )k = ε.
Обозначим x∗ = x(x0 , t0 , u(t∗ ), t∗ ) и x = x(x0 , t0 , u(t), t). Очевидно, что
kx − x∗ k ≥ 2ε .
Для решения x(x0 , t0 , u(t), t) системы дифференциальных уравнений
(1) имеем
Zt∗
x∗ − x = F (x(x0 , t0 , u(t), t), u(t), t)dt,
t
откуда
ε
≤ kx − x∗ k ≤ h(ε)m∗ (t∗ − t),
2
поэтому
ε
,
(6)
2h(ε)m∗
то есть траектория x = x(x0 , t0 , u(t), t) находится в области S(ε) \ S( 2ε ) в
ε
течение времени не меньшего, чем 2h(ε)m
∗.
Так как существует число ω( 2ε ) такое, что ϕ(x, u, t) > ω( 2ε ) при kxk ≥ 2ε ,
то для траектории x = x(x0 , t0 , u(t), t), имея в виду (6) и неотрицательность функции ϕ(x, u, t), получим
t∗ − t ≥
ZT
J=
ZT
ϕ(x(t), u(t), t)dt >
t0
t0
ω( 2ε )ε
ϕ(x(t), u(t), t)dt ≥
,
2h(ε)m∗
что и доказывает лемму.
Доказательство теоремы 1. Выберем число ε0 > 0 так, что kx0 k < ε20
и
ω( ε20 )ε0
> J.
2h(ε0 )m∗
Предположим, что утверждение теоремы не выполняется. Тогда найдется допустимая траектория x = x(x0 , t0 , ux0 (t), t) системы дифференциальных уравнений (1) такая, что kx(x0 , t0 , ux0 (t∗ ), t∗ )k = ε0 в некоторый
момент времени t∗ ∈ [t0 , T ] и тогда
ω( ε20 )ε0
J(x0 , ux0 ) ≤ J <
.
2h(ε0 )m∗
Но так как в этом случае, согласно лемме 1,
ω( ε20 )ε0
J(x0 , ux0 ) >
,
2h(ε0 )m∗
то полученное противоречие и доказывает теорему.
Пример. Рассмотрим следующую задачу оптимального управления
ẋ = ax5 + u(t);
(7)
x(t0 ) = x0 , . . . , x(T ) = 0;
(8)
ZT
x4 + u2 (t))dt,
J=
(9)
t0
где a − const, kuk ≤ K, K > 1.
Легко видеть, что систему (7) можно перевести в начало координат
допустимым управлением за время не большее, чем T − t0 из точек x0 ∈
G1 ∩ G2 , где
s
½
¾
K −1
n
n
5
G1 = {x ∈ R |kxk ≤ T − t0 }, G2 = x ∈ R |kxk ≤
,
|a|
и для значения качества(9) выполняется оценка
J ≤ (x40 + K 2 )(T − t0 ) = µ.
Тогда, если выполняется неравенство
x40 + K 2 ≤
1
,
32|a|(T − t0 )
множество траекторий, доставляющих критерию качества значение не
большее, чем µ, равномерно ограничено. Тогда с учетом известных теорем существования оптимального управления (см., например, [3]) можно
сделать вывод о разрешимости задачи (7)–(9)
Библиографический список
1. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления / Э.Б. Ли,
Л. Маркус. М. : Наука, 1972. 632 с.
2. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования /А.Ф. Филиппов // Вестник МГУ, Сер. матем, мех., астрон.,
физ., хим. 2 (1959). – С. 25–32.
3. Roxin E. The existence of optimal control / E. Roxin // Michigan Math.
J., 9 (1962). – С. 109–119.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
319 Кб
Теги
ограниченности, критериев, интегральная, допустимое, множества, качества, траектория, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа