close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной иерархической игре со случайными факторами.

код для вставкиСкачать
2. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969.
УДК 519.2
И. А. Кузнецова
ОБ ОДНОЙ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ ИГРЕ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ФАКТОРАМИ
Иерархические игры это модели конфликтных ситуаций с неравноправными участниками [1]. Исследование таких игр проводилось, в частности, в работах [27]. В настоящей работе предполагается, что функция
выигрыша обоих игроков зависят от случайного фактора, находится наибольший гарантированный результат первого игрока и его оптимальная
стратегия при данном предположении. Случай зависимости от случайного фактора только функции выигрыша второго игрока исследовался
в [5], похожая постановка задачи для частного случая двух неопределенных факторов и квадратичных функций выигрыша игроков рассматривалась в [6].
Рассмотрим систему ? = (X, Y, I, F, G), где X множество стратегий первого игрока, Y множество стратегий второго игрока, I =
= {1, . . . , i, . . . , n} множество неопределенных факторов, F : X Ч Y Ч
Ч I ? R функция выигрыша первого игрока, G : X Ч Y Ч I ? R функция выигрыша второго игрока. Кроме того, на множестве I задано
распределение вероятностей, т. е. набор чисел p1 , . . . , pi , . . . , pn , удовлетворяющий условиям pi ? 0, i = 1 . . . n,
n
P
pi = 1. Здесь pi , i = 1 . . . n i=1
вероятность того, что неопределенный фактор примет значение i. Будем
считать, что множества X и Y конечны.
Рассмотрим
следующее информационное
расширение данной игры.
Пусть ?? = ?1 , ?2 Ч Y, I, F? , G? , где ?1 = {?1 }, ?1 : Y ? 2X , ?2 = {?2 },
?2 : 2X ? X , причем при всех T ? X выполняется условие ?2 (T ) ? T ,
функции F? и G? задаются соотношениями
F? (?1 , (?2 , y), i) = F (?2 (?1 (y)), y, i),
G?(?1 , (?2 , y), i) = G(?2 (?1 (y)), y, i).
Здесь первый игрок передает второму право выбора x в определенных
пределах. Оптимальность такого расширения показана в [7].
Для наибольшего гарантированного результата первого игрока при
такой постановке задачи справедливо равенство
39
?(??) = max
?1 ??1
n
X
pi
i=1
min
(?2 ,y)?Mi (?1 )
F (?2 (?1 (y)), y, i),
где
Mi (?1 ) = {(?20 , y 0 ) : G(?20 (?1 (y 0 )), y 0 , i) = max G(?2 (?1 (y)), y, i),
(?2 ,y)
i = 1 . . . n.
Далее данная вариационная задача с ограничениями сводится к экстремальной задаче на исходных множествах, также находится оптимальная стратегия первого игрока.
Теорема. Справедливо равенство ?(??) = ?0 , где
?0 =
n
X
max
((x1 ,y1 ),...,(xi ,yi ),...,(xn ,yn ))?T0
pi F (xi , yi , i),
i=1
T0 = {((x1 , y1 ), . . . , (xi , yi ), . . . , (xn , yn )) : ?i = 1, . . . , n; ?j = 1, . . . n;
i
(xj , yj ) ? (xi , yi ); ?y ? Y
?x ? X ?i = 1, . . . , n;
i
(x, y) ? (xi , yi )}, (1)
i
(x0 , y 0 ) ? (x00 , y 00 ) ? G(x0 , y 0 , i) < G(x00 , y 00 , i)
или
G(x0 , y 0 , i) = G(x00 , y 00 , i), F (x0 , y 0 , i) ? F (x00 , y 00 , i).
Доказательство. Возьмем ?1 ? ?1 и точки (xi , yi ), i = 1 . . . n, удо-
влетворяющие условиям
G(xi , yi , i) = max G(?2 (?1 (y)), y, i),
(?2 ,y)
F (xi , yi , i) =
min
(?2 ,y)?Mi (?1 )
F (?2 (?1 (y)), y, i), i = 1, . . . , n
Очевидно, что ((x1 , y1 ), . . . , (xi , yi ), . . . , (xn , yn )) ? T0 , откуда вытекает выполнение неравенства ?(??) ? ?0 .
Докажем
противоположное
неравенство.
Выберем
вектор
((x01 , y10 ), . . . , (x0i , yi0 ), . . . , (x0n , yn0 )) ? T0 , максимизирующий на множестве T0 функцию
равенством
n
P
pi F (xi , yi , i), и зададим отображение ?01 : Y ? 2X
i=1
40
(
x0i ,
если y = yi0 ,
0
?1 (y) =
0
??
1 (y), если y 6= yi ,
(2)
где для функции ??
1 выполнено соотношение
i
0 0
(??
1 (y), y) ? (xi , yi ), ?y ? Y,
?i = 1, . . . , n.
(3)
Существование такой функции следует из определения множества T0 . Условия (1)(3) обеспечивают справедливость при всех
((x1 , y1 ), . . . , (xi , yi ), . . . , (xn , yn )) ? T0 неравенства
n
X
pi F (?2 (?01 (y)), y, i)
i=1
?
n
X
pi F (xi , yi , i)
i=1
откуда вытекает неравенство ?(??) ? ?0 , причем очевидно, что стратегия ?01 является оптимальной.
Теорема доказана.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гермейер Ю. Б. Игры с непротивоположными интересами. М. : Наука, 1976.
2. Кукушкин Н. С., Морозов В. В. Теория неантагонистических игр. М. : Изд-во
Моск. ун-та, 1977
3. Кононенко А. Ф. Роль информации о функции цели противника в играх двух
лиц с фиксированной последовательностью ходов // ЖВМ и МФ. 1973. Т. 13, ќ 2.
C. 311317.
4. Родюков А. В., Тараканов А. Ф. О решении иерархической игры при неопределенности с суммарным риском игроков // Известия РАН. Теория и системы уравнений. 2007. ќ 5. C. 1117.
5. Кузнецова И. А. Иерархические игры со случайными факторами // Математика. Механика. : сб. научн. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2004. Вып. 6. C. 7779.
6. Кузнецова И. А. Иерархические игры с квадратичными функциями выигрыша // Математика.Механика. : сб. научн. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012.
Вып. 14. C. 4245.
7. Шолпо И. А. Исследование операций. Теория игр. Саратов : Изд-во Сарат.
ун-та, 1983.
41
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
339 Кб
Теги
иерархических, игре, случайных, одной, факторам
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа