close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной наилучшей квадратурной формуле для приближённого вычисления криволинейного интеграла первого рода.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2012, том 55, №9
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Л.Г.Файзмамадова
ОБ ОДНОЙ НАИЛУЧШЕЙ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЕ ДЛЯ
ПРИБЛИЖЁННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛА
ПЕРВОГО РОДА
Горно-металлургический институт Таджикистана
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 20.03.2012 г.)
В работе вычислены точные оценки погрешности наилучших квадратурных формул для приближённого вычисления криволинейных интегралов первого рода для некоторых классов дифференцируемых функций.
Ключевые слова: квадратурные формулы – градиент – вектор коэффициентов – вектор уз
лов.
1. В серии работ [1-3] рассматривается вопрос приближѐнного вычисления криволинейных
интегралов первого рода для различных классов функций, определѐнных на заданной кривой  , по
которой вычисляется криволинейный интеграл. Здесь мы продолжим исследование в этом направлении и для некоторых классов функций и классов кривых находим наилучшие квадратурные формулы.
Следуя указанным работам, введѐм в рассмотрение квадратурную формулу


N
f ( M )ds   pk f ( M k )  RN ( f )
(1)
k 1
где f (M )  f ( x y) , M k   , k  1 N . Сумму
N
p
k 1
k
f ( M k ) , состоящую из линейной комбинации
конечного числа значений подынтегральной функции, назовѐм квадратурной суммой, а P  { pk }kN1 ,
M  {M k }kN1 – векторами коэффициентами и векторами узлами, RN ( f )  RN ( f  P M ) – погрешность квадратурной формулы (1) на функцию f , заданную и определѐнную вдоль кривой  .
Если на кривой  установлено положительное направление так, что положение точки
M  M ( x y) на кривой определяется длиною дуги s  AM  отсчитываемой от начальной точки A ,
то, как хорошо известно, кривая  параметрически выразится уравнениями
x  x(s) y  y(s) 0  s  L
(2)
Адрес для корреспонденции: Файзмамадова Лолазор Гадомамадовна. 735730, Республика Таджикистан, Согдийская область, г. Чкаловск, ул. Московская, 6, Горно-металлургический институт Таджикистана.
E-mail: lola-0771@mail.ru
701
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №9
В этом случае функция f ( x y)  f ( x(s) y(s)) и квадратурная формула (1) при помощи разбиения отрезка [0,L] точками
0  s1  s2    sN 1  sN  L
запишется в виде
L

N
f ( x( s) y (s))ds   pk f  x(sk ) y (sk )   RN  f { pk }{sk } 
(3)
k 1
0
При фиксированном N формула (3) задается векторами-коэффициентами P  { pk }kN1 и узлами
S  {sk }kN1 и еѐ остаток
L
N
0
k 1
RN ( f  P S )   f ( x( s) y ( s))ds   pk f  x(sk ) y (sk )  
(4)
имеет вполне определѐнное числовое значение.
Если M – некоторый класс функций { f ( x(s) y(s)} , определѐнных в точках кривой  с параметрическими уравнениями (2) и интегрируемых как сложная функция F (s)  f ( x(s) y(s)) параметра s [0 L] , то за величину, характеризующую точную оценку погрешности на всем классе M
на заданной кривой  , примем величину
RN (M P S )  sup  RN ( f  P S )  f  M
(5)
Пусть NQ ( L) – класс плоских спрямляемых кривых {} с непрерывной кривизной, распо2
2
2
ложенных в области D  {( x y )  x  y  L } , длина которых не более L.
Обозначим через Wp(1) ( K  Q)  W (1) Lp ( K  Q) , 1  p   – класс функций { f ( x(s) y(s))} , у
которых почти всюду в области Q существуют частные производные
f f
с ограничением

x y
1 p
 L f x f y p 
gradf ( x() y ()) L
 
  
ds 
p [ 0 L ]
 0 x s y s



 K
где, как обычно,
 f ( x( s) y ( s))   f ( x( s) y ( s)) 
gradf ( x( s) y ( s))  

 
x
y

 

2
2
2
 dx   dy 
     1
 ds   ds 
при условии, что 
702
2
Математика
Л.Г.Файзмамадова
(1)
Через W0(1)
 p ( K  Q) обозначим множество функций f Wp ( K  Q) удовлетворяющих усло-
вию f ( x(0) y(0))  0 Всюду далее под M , подразумевая класс Wp(1) ( K  Q) или W0(1)
 p ( K  Q) за
величину, характеризующую наибольшую погрешность квадратурной формулы (3) на классе функций M и классе NQ ( L) , длина которых не превосходит L , следует взять величину
RN (M NQ ( L) P S )  sup RN (M P S )    NQ ( L) 
(6)
Если A – множество всевозможных векторов ( P S ) – коэффициентов и узлов формулы (6), то требуется найти величину
N (M NQ ( L))  inf RN (M NQ ( L) P S )  ( P S )  A 
(7)
Если существуют векторы коэффициентов и узлов ( P (0)  S (0) )  { pk0 }kN1 {sk0 }kN1   для которых выполняется равенство
N (M NQ ( L))  RN (M NQ ( L) P0  S 0 )
0
0
то квадратурная формула (3) с вектором ( P  S ) называется наилучшей (или оптимальной ) квадра-
(P0  S 0 )
турной формулой на классах функций W0(1)
 p ( K  Q) , 1  p   и кривых NQ ( L) , а вектор
называется наилучшим или оптимальным вектором коэффициентов и узлов.
В этой заметке мы приводим решение сформулированной задачи (7) для случая p  1 2 .
Теорема. Среди всех квадратурных формул вида (3) наилучшей на классах функций
W0(1)
 p ( K  Q) при p  1 2 и p   и кривых NQ ( L)) является формула
L
 f  x(s) y(s)  ds 
0

N
2L

2 N  1 k 1
  2kL   2kL  
f  x
 y 
   RN ( f )
  2N 1   2N  1  
При этом точная оценка погрешности формулы (8) на указанных классах функций и кривых равна
KL2
N (W ( K  Q) NQ ( L)) 

(2 N  1) 3
(1)
01
KL3 2
N W ( K  Q) NQ ( L)  

(2 N  1) 3
(1)
0 2
N W0(1)
 ( K  Q ) N Q ( L )  
703
KL2

2(2 N  1)
(8)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №9
Доказательство. Для произвольной функции f W0(1)
 p ( K  Q) , 1  p   как сложной функции F (s)  f ( x(s) y(s)) переменной s [0 L] удовлетворяющей условию f ( x(0) y(0))  0 справедливо интегральное представление
 f ( x( s) y ( s)) dx f ( x(s)) y (s ) dy 
f ( x(t ) y (t ))   
 
   (t  s)0 ds

x
ds

y
ds 
0
h
(9)
где
(t  s)0  1 если t  s 0 если t  s
Подставляя формулу (9) в квадратурную формулу (3), согласно равенству (4), погрешность формулы
представим в виде
 f ( x(s) y( s)) dx f ( x(s)) y( s) dy 
RN ( f )   
 
   ( s)ds
x
ds
y
ds 
0
L
(10)
где ядро (s) определено равенством
N
( s)  L  s   pk ( sk  s )0 
k 1
Оценивая правую часть равенства (12), согласно неравенству Гѐльдера и учитывая тождество
(dx  ds ) 2  (dy  ds ) 2  1 , для произвольной функции f W0(1)
 p ( K  Q) , 1  p   получаем оценку
сверху
1 p
1 q
 L f x f y p   L

q
RN ( f )   
  
ds      ( s)  ds  
 0 x s y s
 0



1 p
1 q
L
 L

p
    gradf  ds      (s) q ds  
0
 0

1 q
L

1 1
 K    ( s) q ds     1 1  q  
p q
0

(11)
Докажем, что существует функция f0 W0(1)
 p ( K  Q) для которой (11) обращается в равенство.

В самом деле, рассмотрим кривую  NQ ( L) с параметрическими уравнениями   x  s  2 ,
y  s  2 ; 0  s  L и положим f 0 ( x( s) y ( s)) 
x(s)
y(s)
0
0
  (t )dt  
704
 (t )dt  где
Математика
Л.Г.Файзмамадова
1
L
 p  q 1 
K 
q
 (t ) 
  ( s)  ds   (t ) sgn(t )
2  0

m
 ( s )  L  2s 
  s   (s)

pk (sk  2s)0  



 2
k 1
Покажем, что функция f0 W0(1)
 p ( K  Q) . Имеем:
f 0 ( x( s) y( s)) 
f 0 x f 0 y
 
   ( x( s))  x( s)   ( y( s) y( s)) 
x s y s
 s  1
 s  1
 s 

 
 2 



 2 2
 2 2
 2
 p
q




1
L




0
 K   ( s) 
 s 



 2
 p
q




q 1
 s 
sgn


 2
1
L




0
 K   ( s) 
 ( s)
q 1
sgn( s)
(12)
Отсюда получим
f 0 ( x( s) y( s))
Lp [0 L ]
 gradf ( x( s) y( s))
p
Lp [0 L ]

1
L
 L
q
 K    ( s)  ds     ( s) ( q 1) p ds 
0
 0
p
1
L
 L
q
 K    (s)  ds     (s) q ds  K p 
0
 0
p
(13)
Этим включение f0 W0(1)
 p ( K  Q) доказано.
C другой стороны, с учѐтом (12) и(13) из равенства (10) будем иметь
L
RN ( f 0 )   f 0 ( x( s) y ( s))  ( s)ds 
0
1 q
L

 K    ( s) q ds   1  q  
0

Таким образом, из равенства (14) сразу следует, что
705
(14)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2012, том 55, №9
1 q
L

RN W ( K  Q) NQ ( L) P S   K    (s) q ds   1  q  
0

(1)
0 p
и задача состоит в отыскании величины
1 q
L


 
q
N W ( K  Q) NQ ( L)   inf  K    ( s)  ds   ( P S ) 


 0
(1)
0 p


A 


(15)
Вычисляя инфимум равенства (15) при q   21 в соответствии с результатами из монографии [4] и работы [5] получим утверждение теоремы.
Поступило 27.03.2012 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
5.
Вакарчук С.Б. – Укр матем. журнал. 1986, т.38, 5, с. 643-645.
Шабозов М.Ш., Мирпоччоев Ф.М. – ДАН РТ, 2010, т.53, №6, с. 415-419.
Сангмамадов Д.С. – ДАН РТ, 2011, т.54, №9, с. 709-714,
Никольский С.М. – Квадратурные формулы. – М.:Наука, 1988.
Шайдаева Т.А. – Тр. Мат. ин-та АН СССР, 1959, т.53, с. 313-341.
Л.Г.Файзмамадова
ОИД БА ФОРМУЛАЊОИ КВАДРАТУРИИ БЕЊТАРИН БАРОИ
ЊИСОБКУНИИ ТАЌРИБИИ ИНТЕГРАЛЊОИ КАЧЊАТТАИ ЉИНСИ ЯКУМ
Донишкадаи кўњї-металлургии Тољикистон
Дар маќола бањои аниќи сањви формулањои квадратурии бењтарин барои њисобкунии
таќрибии интеграли каљхаттаи љинси якум барои баъзе синфи функсияњои дифференсиронидашаванда њисоб карда шудааст.
Калимањои калидї: формулањои квадратурї – градиент – вектори коэффитсиентњо – вектори
гирењњо.
L.G.Fayzmamadova
ON THE BEST QUADRATIC FORMULA FOR APPROXIMATE CALCULATION
OF CURVILINEAR INTEGRAL OF FIRST KING
Institute of Mining and Smelting of Tajikistan
In this paper are calculation an exact estimates of error of quadratic formulas for approximate calculation of curvilinear integrals of first kind for some differential classes of functions. .
Key words: quadratic formula – gradient – coefficient’s vector – nodus vector.
706
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
327 Кб
Теги
первого, интеграл, рода, вычисления, формула, наилучшее, одной, приближённого, квадратурные, криволинейного
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа