close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения колебаний мембраны.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №3
МАТЕМАТИКА
УДК 517.946
З.Н.Махмадуллоев
ОБ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 13.04.2006 г.)
1. Рассмотрим в прямоугольной области QТ
R R
0,1 следующую нело-
O, T , R
кальную смешанную задачу:
U tt
U x, y , t
U x, y , 0
U 0, y, t
f x, y , t ,
x, y , t
x, y , U t x , y , 0
U x, 0, t
U x 0, y, t
0,
x, y
QT
x, y , x, y
R, t
U x 1, y, t , U y x, 0, t
R R; R
0;1
(1)
O, T ,
U y x,1, t , t
0;1
при всех значениях остальных переменных.
Отметим, что краевые условия задачи (1) являются нелокальными. Аналогичные задачи в одномерном (по пространственным переменным) случае для управления теплопроводности возникли в работах А.А. Самарского и Н.И. Ионкина по физике плазмы. [1]
Наша цель заключается в том, чтобы найти классическое решение несамосопряженной (в силу граничных условий) смешанной задачи (1) и доказать для нее существование,
единственность и непрерывную зависимость классического решения задачи (1) от начальных
функций
и
и от правой части уравнения f в различных нормах.
Отметим, что одномерный случай этой задачи впервые был рассмотрен М.Исматовым
в [2].
Вышеприведенную задачу мы будем решать методом Фурье (разделения переменных).
С этой целью рассмотрим следующую редукцию этой задачи:
(2)
U x, y, t V x, y, t W x, y, t ,
где V(x,y,t) и W(x,y,t) соответственно являются решениями следующих несамосопряженных
задач для однородного и неоднородного уравнений колебаний мембраны:
2
V
V x, y, t , x, y, t QT
t2
V x, y , 0
x, y , Vt
x, y , 0
и
x , y , x, y
R R
V 0, y, t
0, Vx 0, y, t
Vx 1, y, t ,
y, t
R
0, T
V x, 0, t
0, Vy x, 0, t
Vy x,1, t ,
x, t
R
0, T
(3)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №3
2
W
W x, y , t
f x, y, t , x, y, t QT
t2
W x, y, 0 Wt , x, y, 0 0, x, y R R
(4)
W 0, y, t
0, Wx 0, y, t
Wx 1, y, t ,
y, t
R
0, T
W x, 0, t
0, Wy x, 0, t
Wy x,1, t ,
x, t
R
0, T
Разыскивая решение задачи (3) в виде произведения
V x, y, t
для нахождения
x, y
(5)
R t ,
x, y после разделения переменных получим следующую несамосопря-
женную задачу на собственные значения:
x, y
x, y
0, x, y
R R
0, y
0,
x
0, y
x
1, y , y
x, 0
0,
y
x, 0
y
x,1 , x R
(6)
R
Наряду с несамосопряженной задачей (6) рассмотрим также и соответствующую сопряженную с нею задачу:
x, y
x, y
0, x, y
R R
0, y
1, y ,
x
1, y
0, y
x, 0
x,1 ,
y
x,1
0, x R
(7)
R
Отметим, что смешанные задачи (3) и (4) впервые были рассмотрены в работе [3]
М.Исматова. Кроме того, смешанные задачи вида (3) и (4) для уравнения теплопроводности
были рассмотрены и подробно исследованы в работе [4] М.Исматова.
Известно [3], что собственные значения и собственные функции задачи (6) имеют вид
0
0,0
0,
k ,m
2 k
2
2
2 m ,
(8)
x, y x y, k ,m sin2k x sin2m y
Последовательность собственных функции (8) не образует ортогональную систему, и
0
0,0
эта последовательность не образует полную систему и базиса в пространстве L2 R R . С
этой целью, следуя работе В.А.Ильина [5], дадим следующее
О п р е д е л е н и е 1. Под собственной функцией задачи (6), отвечающей собственному
значению , понимается не равная тождественно нулю функция
жит классу C1
C2
,
x, y , которая принадле-
R R и является регулярным решением задачи (6).
Аналогично под присоединѐнной функцией порядка p (p=1,2,…), отвечающей тому же
и собственной функции
x, y , понимается вещественная функция  x, y , которая принадлежит классу C1
C2
и с точностью до ненулевого постоянного множителя Р яв-
ляется регулярным решением уравнения
 x, y
 x, y Р x, y
и удовлетворяет граничным условиям задачи (6) (явный вид постоянной Р указывается ниже).
216
Математика
З.Н.Махмадуллоев
Известно [3], что задача (6) имеет следующие присоединѐнные функции:
 x, y sin2 kx ycos 2m y,
2 k,2 m 1
k,m
x, y
k,m
x cos 2k x sin2m y
2 k 1,2 m x, y

x cos2k x y cos2m y,
k,m x, y
2 k 1,2 m 1
где
k ,m
, k ,m ,
k ,m

, k ,m соответственно удовлетворяют уравнениям
k ,m


k ,m
k ,m k ,m
x, y
Pm
k ,m
x, y , Pm
4 m ,
k ,m
k ,m k ,m
x, y
Pk
k ,m
x, y , Pk
4 k ,
x, y
Pk k ,m


k ,m
k ,m k ,m
Отметим, что при k,m=0, т.е. при
нѐнная функция
0,0
0,
k ,m k ,m
Pm
k ,m
x, y , k , m 1, 2,...
0 и Р
0,0
(10)
0 (например, при Р=1) присоеди-
x, y не существует.
Систему всех собственных и присоединенных функций задачи (6) переобозначали
следующим образом:
x, y
0,0

x y,
x, y
2 k ,2 m
sin2 kx sin2 my
sin2 kx y cos 2 my,
2 k ,2 m 1
2 k 1,2 m
x cos 2k x sin 2 my

2 k 1,2 m 1
k ,m
x, y
(11)
;
y cos 2 kx y cos 2 my
При этом видно, что при k , m 0 каждому собственному значению
k ,m
соответствует
одна собственная и три присоединенные функции (различные комбинации k+m = m+k не
учитываются).
Собственные значения и система собственных и присоединѐнных функций задачи (7)
имеют вид:
0,0
Z 0,0 x, y
2 2,
k ,m
k ,m
2k
2
2m
2
,
1
x, y
4cos 2k x 4cos 2m y Z 2 k
4 1 x sin2k x 4cos 2m y Z k , m
1,2 m
x, y
4cos 2k x 4 1 y sin2m y
Z 2 k ,2 m
Z 2k
0,
0,0
Z 2 k ,2 m x, y
2 k 1,2 m 1
x, y
1,2 m 1
(12)
Z k ,m

4 1 x sin 2k x 4 1 y sin 2m y Z k ,m ,
где присоединѐнные функции Zk ,m
Z2k ,2m 1 , Zk ,m
Z2 k
1,2 m
, Zk ,m
Z2k ,2m соответственно удов-
летворяют следующим уравнениям:
Zk ,m
k ,m
Zk , m
k ,m
Zk ,m
Pk Zk ,m
(13)
Zk ,m
PmZk ,m
(14)
и
Zk ,m k ,m Zk ,m PmZk ,m
и граничным условиям задачи (7).
Имеют место лемма и теорема 1 из работы [3].
217
Pk Zk ,m
(15)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №3
Решение задачи (3) разложим в биортогональный ряд по системе собственных и присоединенных функций задачи (6), т.е.
V x, y , t
C0,0 t
x, y
0,0
C2 k ,2 m t
x, y
2 k ,2 m
(16)
k ,m 1
C2 k ,2 m
t
1
x, y
2 k ,2 m 1
x, y C2 k
2 k 1,2 m
t
1,2 m
C2 k
t
1,2 m 1
2 k 1,2 m 1
x, y ,
где Ck ,m t , k , m 0,1, 2,... - неопределенные коэффициенты, подлежащие определению,
точнее
1 1
C0,0 t
1 1
V x, y Z 0,0 x, y dxdy; C2 k ,2 m t
V Z 2 k ,2 m x, y dxdy ,
0 0
0 0
1 1
C2 k
1,2 m
t
1 1
VZ 2 k
x, y dxdy; C2 k ,2 m
1,2 m
t
1
VZ 2 k ,2 m
0 0
1
x, y dxdy;
(17)
0 0
I I
C2 k
t
1,2 m 1
VZ 2 k
x, y dxdy;
1,2 m 1
0 0
Методом Фурье для формального решения несамосопряженной смешанной задачи (3)
получим следующее выражение:
V x, y , t
cos
2 k 1,2 m 1
2 k 1,2 m 1
t
k ,m
k ,m 0
Pk t
2
2 k 1,2 m 1
2
t
3Pk Pm
2 k ,m
t cos
k ,m
2 k ,2 m 1
k ,m
t Pm
k ,m
2 k ,2 m 1
1 sin
2 k 1,2 m
2 k 1,2 m 1
2
t
2
t sin
Pm
k ,m
t
Pm
t
2 k ,2 m 1
2 k 1,2 m
k ,m t
2 k 1,2 m
1 cos
2 k 1,2 m
где
t
2 k 1,2 m
x, y
(18)
k ,m t
1 sin
k ,m t
2 k 1,2 m
Pk Pmt
4 k2,m
2 k 1,2 m 1
Pk Pmt 2
4
k ,m
k ,m
sin
2
2 k ,2 m
k ,m
2 k 1,2 m
Pk
Pk Pm
Pm
t
k ,m
Pk
2 k ,2 m 1
cos
k ,m
k ,m
k ,m
2
sin
k ,m
2 k 1,2 m 1
2
k ,m
k ,m t
1 cos
Pmt
1
k ,m
1
t
2 k 1,2 m
x, y
2 k 1,2 m 1
2
2 k 1,2 m
k ,m
2 k ,2 m
sin
2
k ,m
2 k ,2 m 1
tPm
1
t
Pk
1
t
x, y
2 k 1,2 m 1
2
k ,m
cos
k ,m
2 k ,2 m 1
Pm
2 k 1,2 m
2 k ,2 m
2 k 1,2 m 1
k ,m
k ,m
1
2
cos
k ,m
sin
2 k 1,2 m 1
t
k ,m
k ,m
Pk t
2 k ,2 m 1
Sin
k ,m
3
2
k ,m
t
( Pm
2 k ,2 m 1
Pk
3Pk Pm
2 k 1,2 m
4
2
k ,m
k ,m
x, y ,
2 k ,2 m,
...,
2 k 1,2 m 1
и
2 k ,2m,
...,
2k 1,2m 1
– коэффициенты биортогонального разложения (18)
и определяются соответственно по формулам
218
Математика
З.Н.Махмадуллоев
, Z 2 k ,2m ,
2 k ,2 m
, Z2k
2 k 1,2 m
1,2 m
, Z 2k ,2m
2 k ,2 m 1
,
2 k 1,2 m 1
Здесь (,) – означает скалярное произведение в L2
1
, Z2 k
,
(19)
1,2 m 1
, где
0;1
0;1 а
к
= -4к
2. Обоснование метода Фурье для классического решения однородного уравнения.
В этом пункте нами будет найдено близкое к окончательным условиям существование
классического решения первой смешанной задачи (3) в классах непрерывных функций
С к QТ и в классах Соболева С.Л. W2 QT при целых положительных значениях .
А именно, имеет место
Теорема 1. Пусть в задаче (3) начальные функции
x, y и
x, y удовлетворяют
следующим условиям:
1.
x, y в области G
R R обладает непрерывными производными до четвертого
порядка и такова, что функции
x, y ,
,
2
в классическом смысле удовлетворяют
граничным условиям задачи (6).
2.
x, y в области G обладает непрерывными производными до третьего порядка
и такова, что функции
,
в классическом смысле удовлетворяют граничным условиям
задачи (6).
Тогда ряд (18) и ряды, полученные из (18) почленным дифференцированием дважды по
t, сходятся абсолютно и равномерно во всей замкнутой области QT
R R
O, T , а ряды,
полученные двукратным почленным дифференцированием из (18) по любым переменным x, y
и t, сходятся абсолютно и равномерно в любой подобласти Q Т
всех t
O, T области QT при
0 . При этом сумма ряда (18) определяет классическое решение смешанной задачи
(3).
Замечание 1. Основное условие сходимости 1) – 2) этой теоремы могут быть обобщены следующим образом:
1) функция
x, y в области
обладает непрерывными производными третьего по-
рядка и суммируемыми с квадратом обобщенными производными четвертого порядка и
функция
такова, что все производные, указанные в требовании 1) теоремы 1, удовлетворя-
ют соответствующему однородному краевому условию задачи (6) в обобщенном смысле (т.е.
в среднем);
2) функция
x, y в области
обладает непрерывными производными второго по-
рядка и суммируемыми с квадратом обобщенными производными третьего порядка и функция
такова, что все производные, указанные в требовании 2) теоремы 1, удовлетворяют
219
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2006, том 49, №3
соответствующему однородному краевому условию задачи (6) в обобщенном смысле (т.е. в
среднем).
В заключение выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю
М.Исматову за постановку задачи и помощь в работе.
Таджикский государственный университет коммерции
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
5.
Поступило 5.04.2006 г.
Ионкин Н.И. – Дифференц. уравн., 1977, т.13, №2, с. 244-304.
Исматов М. – ДАН ТаджССР, 1985, т.28, №5, с.427-430.
Исматов М. – ДАН ТаджССР, 1985, т.28, №11, с.619-622.
Исматов М. – ДАН ТаджССР, 1991, т.34, №11.
Ильин В.А. – Успехи матем. наук, 1960, т.15, №2(92), с.97-154.
З.Н.Мањмадуллоев
ДАР БОРАИ ЯК МАСЪАЛАИ КАНОРИИ ЃАЙРИЛОКАЛЇ БАРОИ
МУОДИЛАИ ЛАПИШЊОИ МЕМБРАНА
Дар маќола барои муодилаи лапишњои мембрана, мављудияти њалли классикии
як масъалаи омехтаи ѓайрилокалї исбот карда шудааст . Дар айни замон њалли масъала
дар намуди ќатори биортогоналии Фурье дученака аз рўи системаи функсияњои хос ва
њамроњшудаи онњо ёфта шудааст.
Z.N.Mahmadulloev
ON THE ONE NON-LOCAL BOUNDARY PROBLEMS FOR EDUATION OF
VIBRATION MEMBRANE
In the articl for the eduation of vibration membrane, the presence of classical solution of the
composite and non-local proposion is is indentified membrane.
At the present moment the solution of th composition is found on the aspect of biortogonal
Furie doublemeasural range on the base of their system of proper and junctional functions.
220
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
434 Кб
Теги
уравнения, одной, мембраны, краевой, колебания, задачи, нелокальные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа