close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной параболической обратной задаче с данными Коши на боковой поверхности цилиндра.

код для вставкиСкачать
Боричевская А. Г., Пятков С. Г. Об одной параболической обратной задаче с данными Коши…
ВЕСТНИК ЮГОРСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2011 г. Выпуск 3 (22). С. 65–71
УДК 519.85; 621.391
ОБ ОДНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ
С ДАННЫМИ КОШИ НА БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
А. Г. Боричевская, С. Г. Пятков
Введение
В работе рассматривается краевая задача вида:
ut − Lu = f 0 ( x, t )q( x′, t ) + f1 ( x, t ),( x, t ) ∈ Q = G × (0, T ),
(1)
u t =0 = u0 ( x), u s = q( x, t ),
(2)
где G – ограниченная область в R n с гладкой границей Г , S = Г × (0, T ), x′ = ( x1 , x2 ,..., xn −1 ) и
Lu = ∑ i , j =1 aij ( x, t )u xi x j + ∑ i =1 bi ( x, t )u xi + c( x, t )u – эллиптический оператор. Мы ищем решеn
n
ние u задачи (1), (2) и частично неизвестную функцию q( x′, t ) , входящую в правую часть
уравнения (1). Условия переопределения для нахождения неизвестной функции q( x′, t ) имеют вид:
∂u
∂xn
= ψ ( x, t ),
(3)
s0
где S0 = Г 0 × (0, T ) и Г 0 – часть границы области G, описываемая уравнением xn = φ ( x′)( x′ ∈ Ω) .
Второе условие в (2) и условие (3) также можно переписать в виде:
u s = q( x, t ),
∂u
= ψ ( x, t ),
∂n s
0
где функция ψ вычисляется через q( x, t ) ,ψ ( x, t ) . Однако задание условий в виде (2), (3) позволяет сформулировать все условия на данные в более простом виде. Считаем, что функция
q( x′, t ) известна для ( x, t ) ∈ Q′ = {( x, t ) ∈ Q : x′ ∉ Ω′} , где Ω′ – строго внутренняя подобласть
области Ω′ и неизвестна для оставшейся части цилиндра Q .
В данной работе мы рассматриваем вопрос об оценках устойчивости решения (u, q) задачи (1)–(3). Решение ищется в пространствах Гельдера C 2+α ,1+α /2 (Q ) . Предполагается, что
данные задачи (1)–(3) и коэффициенты уравнения принадлежат соответствующим классам
Гельдера. Проблемы вида (1)–(3) и близкие к ним возникают при описании процессов тепломассопереноса, диффузионных процессов, процессов фильтрации и во многих других областях. Подобные задачи в случае, когда условия переопределения вида (3) заданы не на границе цилиндра, а на некоторых внутренних многообразиях (в частности, на плоскостях, пересекающих G ), рассматривались в работах Ю. Я. Белова, Ю. Е. Аниконова и ряда других авторов (см. [4, 6] и имеющуюся там библиографию). Довольно подробно задачи вида (1)–(3) были исследованы в случае n = 1 [3, 8–12]. В частности, теоремы существования и оценки устойчивости в пространствах Гельдера могут быть найдены в монографии М. Иванчова [3].
Что касается многомерной ситуации, – имеются лишь отдельные результаты [7, 8]. В частности, в [7] была рассмотрена аналогичная задача и получена оценка устойчивости решений в
случае, когда область G имеет вид G = D × (d1 , d 2 ), а в качестве множества Г 0 берется основание цилиндра G , т. е. множество D × {d1} . Такая задача проще с точки зрения исследова-
65
Моделирование сложных систем
ния. Отметим монографии [1–5], где изложено много результатов, касающихся обратных параболических задач, и имеется достаточно полная библиография.
1. Условия на данные и формулировка основных результатов
Перейдем к изложению результатов. Пространства Гельдера, используемые в работе,
можно определить следующим образом. Для β , γ ∈ (0,1) положим:
v
β
= sup x1, x2 ∈ G, t ∈ (0, T ), v( x1, t ) − v( x2 , t ) / x1 − x2 ,
β ,0
v
γ
0,γ
v
= supt1,t2 ∈ (0, T ), x ∈ G, v( x, t1 ) − v( x, t2 ) / t1 − t ,
β ,γ
= v
β ,0
+ v
0,γ
, v C β ,γ (Q ) = v C (Q ) + v
β ,γ
.
Соответственно, для β , γ ∈ (0,1) , норму в С 2+ β ,1+γ (Q ) можно определить так:
v C 2+β ,1+γ (Q ) = vt
+
Dα v
C β ,γ (Q ) ∑ α = 2
n
C β ,γ (Q )
+ ∑ vxi
i =1
1+ β ,1+γ
2
C
(Q )
+ v C β ,γ (Q ) .
Приведем условия на данные задачи. Считаем, что G область ограничена, Г ∈ С 2+α для
некоторого α ∈ (0,1) и φ ∈ C 2+α (Ω) . Далее фиксируем это α .
Мы предполагаем, что оператор L эллиптичен, т. е. найдется постоянная δ1 > 0 такая, что:
n
∑ ai, j ( x, t )ξiξ j ≥ δ1 ξ
i , j =1
2
∀( x, t ) ∈ Q, ∀ξ ∈ℜn .
Далее мы предположим, что:
Обозначим
{
ai, j , bi , c ∈ Cα ,α /2 (Q),(i, j = 1, 2,...n) ,
(4)
u0 ∈ C 2+α (G ), f 0 , f1 ∈ Cα ,α /2 (Q).
(5)
}
G0δ = ( x′, xn ) : x′ ∈Ω, xn − φ ( x′) < δ , Gδ (Ω) = G ∩ G0δ , Qδ = Gδ × (0, T ), Qδγ = Gδ × (0, γ ),
Qδ = QδT , Qγ = G × (0, γ ), S γ = ∂G × (0, γ ), Q0γ = Ω× (0, γ ), S0γ = Г 0 × (0, γ ).
Дополнительно к (4), (5) мы потребуем, что существует постоянная δ1 > 0 такая, что:
ai, jxn , bixn , cxn ∈ Cα ,α /2 (Qδ ),(i, l = 1, 2,..., n) ,
(6)
u0 xn ∈ C 2+α (Gδ ), f 0 xn , f1xn ∈ Cα ,α /2 (Qδ ),
f 0 ( x′,φ ( x′), t ) ≠ 0∀x′ ∈Ω,φ ∈ C 2+α (Ω).
(7)
Граничные данные q,ψ удовлетворяют условиям:
q ∈ C 2+α ,1+α /2 (S ),ψ ∈ C 2+α ,1+α /2 ( S0 ).
(8)
Полагая в (1), что x′ ∈ Ω′, xn = φ ( x′), t = 0 и используя краевые условия, найдем для таких
точек величину q ( x′, 0) :
q( x′,0) = (qt − Lu0 − f1 ( x,0)) / f 0 ( x,0), x′ ∈Ω′, xn = φ ( x′).
Таким образом, неизвестная величина q( x′, 0)( x′ ∈ Ω′) определяется из данных задачи.
Тогда условия согласования запишутся в виде:
66
Боричевская А. Г., Пятков С. Г. Об одной параболической обратной задаче с данными Коши…
qt − Lu0 = f 0 ( x,0)q( x′,0) + f1 ( x,0), x ∈ Г ,
(9)
ψ t − ∂ xn Lu0 = f 0 xn ( x,0)q( x′,0) + f1xn ( x,0), x ∈ Г 0 ,
(10)
q( x,0) Г = u0 ( x) Г ,ψ ( x,0) Г = u0 xn
0
Г0
.
(11)
Найдем ε -окрестность множества Ωε множества Ω′ такую, что Ωε ⊂ Ω, ε < δ и постро-
{
им множество Gε′ = ( x′, xn ) ∈ G : x′ ∈ Ωε , xn − φ ( x′) < ε } . Положим Qε′ = Gε′ × (0, T ).
Теорема 1. Пусть выполнены условия (4)–(11). Тогда задача об определении функции
q( x′, t ) сводится к уравнению Фредгольма второго рода. Найдется постоянная c > 0 такая,
что справедлива оценка устойчивости:
u C 2+α ,1+α /2 (Q ) + uxn
+ u0 xn
C 2+α ,1+α /2 (Qε′ )
C 2+α (Gδ )
+ q Cα ,α /2 (Q′ ) ≤ C ( f
Cα ,α /2 (Q )
0
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S ) + ψ
C 2+α ,1+α /2 ( S0 )
+ f xn
Cα ,α /2 (Qδ )
+ u0
C 2+α (G )
+
+ q Cα ,α /2 (Qγ ∩Q′) ) ,
где Q0′ = Ω′ × (0, T ) .
2. Доказательство основных результатов
Приведем некоторые вспомогательные леммы.
Лемма 1. Пусть v( x, t ) ∈ C β , β / 2 (Q γ )( β ∈ (0,1)) и v( x, 0) = 0 . Тогда существует постоянная
c(α , β ) такая, что при 0 ≤ α < β имеем:
v Cα ,α /2 (Qγ ) ≤ c(α , β ) v C β ,β /2 (Qγ ) γ ( β −α )/2 .
Утверждение вытекает из интерполяционных неравенств и определения нормы в пространстве Гельдера.
Рассмотрим вспомогательное уравнение:
ut − Lu = f ( x, t ),( x, t ) ∈ Q,
(12)
где L-эллиптический оператор с коэффициентами класса C 2+α ,1+α /2 (Q ) .
Лемма 2 [13, 14]. Пусть Г ∈ C 2+α , u0 ∈ C 2+α (G ), q ∈ C 2+α ,1+α /2 ( S ), f ∈ C α ,α /2 (Q ) и выполнены
условия согласования (равенство (9), где в правой части стоит f ( x, 0) , и первое из равенств
(11)). Тогда существует единственное решение задачи (12), (2) из класса u ∈ C 2+α ,1+α /2 (Q ) и
справедлива оценка:
u C 2+α ,1+α /2 (Q ) ≤ C ( f
Cα ,α /2 (Q )
+ u0
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S ) ) .
C 2+α (G )
(13)
Лемма 3. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда найдется не зависящая от γ ∈ (0, T )
постоянная C0 > 0 такая, что решение задачи (12), (2) удовлетворяет оценке:
u C 2+α ,1+α /2 (Qγ ) ≤ C ( f
Доказательство. Положим:
Cα ,α /2 (Qγ )
+ u0
C 2+α (G )
⎧ f ( x, t ), t ≤ γ ,
fγ = ⎪⎨
⎪⎩ f ( x, γ ), t ∈ (γ , T ).
Имеем
fγ
Cα ,α /2 (Q )
≤ f
67
Cα ,α /2 (Qγ )
.
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) ).
Моделирование сложных систем
Аналогично пусть:
⎧q( x, t ), t ≤ γ ,
qγ = ⎪⎨
⎪⎩q( x, γ ) + (t − T )qt ( x, γ ), t ∈ (γ , T ).
Тогда qγ ∈ C 2+α ,1+α /2 ( S ) и очевидно, что найдется постоянная C > 0, независящая от
γ ∈ (0, T ) такая, что:
qγ
C 2+α ,1+α /2 ( S )
≤ C q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) .
Пусть uγ решение задачи (12), (2) с правой частью fγ и граничным условием qγ . Тогда
по лемме 2 получим неравенство:
uγ
C 2+α ,1+α /2 (Qγ )
≤ uγ
C 2+α ,1+α /2 (Q )
≤ C1 ( f
≤ C ( fγ
Cα ,α /2 (Qγ )
+ u0
Cα ,α /2 (Q )
+ u0
C 2+α (G )
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S ) ) ≤
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) ).
C 2+α (G )
В силу единственности решения первой начально-краевой задачи uγ = u на [ 0, γ ] ( u –
решение задачи (12), (2)). Тогда утверждение вытекает из полученного неравенства.
Доказательство теоремы 1. Пусть (u, q( x′, t )) – решение обратной задачи (1), (2), (3), из
класса указанного в теореме 1. Построим функцию φ ( x) ∈ C0∞ (G0δ (Ω)) (такую, что φ ( x) = 1
для x ∈ Ω1 ), где Ω1 ⊂ Ω и Ω′ ⊂ Ω1 .Тогда функция v = (uφ ) xn является обобщенным решением уравнения:
vt − Lv = ( f φ ) xn −
∂
⎡ L,φ ⎤⎦ u + Lxn v = f 2 ,
∂xn ⎣
где [ L, φ ] u = L(φ u ) − φ Lu и Lxn – оператор L , коэффициенты которого продифференцированы по переменной xn . Определение обобщенного решения уравнения может быть найдено в
§ 3 гл. 1 в [13].
Построим область G1 такую, что G1 ⊂ Gδ (Ω), G1 имеет границу класса C 2+α и
sup pφ ∩ G ⊂ G1 . Тогда функция v есть обобщенное решение задачи:
vt − Lv = f 2 , v( x,0) = (φ u0 ) xn , v
s1
= φψ + φx1ψ = ψ ,
(14)
где S1 = ∂G1 × (0, T ) . В силу свойств обобщенных решений (см. гл. 3 в [13], v ∈ C 2+α ,1+α /2 (Q1 ) ,
(Q1 = G1 × (0, T )) . В силу леммы 3 существует постоянная C > 0 :
v C 2+α ,1+α /2 (Qγ ) ≤ C ( (φ u0 ) xn
1
C 2+α (Gδ )
+ψ
C 2+α ,1+α /2 ( S0γ )
+ f2
Cα ,α /2 (Qγ )
,
(15)
где Q1γ = G1 × (0, γ ) и постоянная C > 0 не зависит от γ ∈ [ 0, T ] . Само решение u в силу леммы 3 удовлетворяет оценке:
u C 2+α ,1+α /2 (Qγ ) ≤ C ( f
Cα ,α /2 (Q )
+ u0
C 2+α (G )
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) ).
(16)
Используя определение функции f 2 и оценку (16) из (15) получим оценку:
uxn
C 2+α ,1+α /2 (Q1γ )
≤ C ( u0
C 2+α (G )
+ f1 Cα ,α /2 (Qγ ) + f1xn
+ u0 xn
Cα ,α /2 (Qδγ )
C 2+α (Gδ )
+ψ
C 2+α ,1+α /2 ( S0γ )
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) +
) + C1 ( q Cα ,α /2 (Qγ ) ) + q Cα ,α /2 (Qγ ∩Q′) ),
(17)
0
где все постоянные в правой части не зависят от γ . Аналогично (16) переписывается в виде:
68
Боричевская А. Г., Пятков С. Г. Об одной параболической обратной задаче с данными Коши…
u C 2+α ,1+α /2 (Qγ ) ≤ C ( u0
C 2+α (G )
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) + + f1 Cα ,α /2 (Qγ ) + q Cα ,α /2 (Qγ ) ).
(18)
0
Сделаем в уравнении (1) замену xn = φ ( x′), x′ ∈ Ω . Получим равенство:
f 0 ( x′,φ ( x′), t )q( x′, t ) = Lu ( x′,φ ( x′), t ) − f1 ( x′,φ ( x′), t ).
(19)
Запишем представление для правой части. Имеем:
u ( x′,φ ( x′), t ) = q( x′, t ), uxn ( x′,φ ( x′), t ) = ψ ( x′, t ).
Отсюда получим, что:
uxi + uxnφxi = qxi , (i ≤ n −1) ,
u xi x j + uxi xnφx j + u xn x j φxi + uxnφxi x j + uxn xnφxiφx j = qxi x j , (i, j ≤ n − 1) ,
u xn x j + u xn xnφx j = ψ x j , ( j ≤ n − 1).
Таким образом, производные вида:
u xi x j ( x′,φ ( x′), t ), uxi xn ( x′,φ ( x′), t ) , (i, j ≤ n − 1)
выражаются через производные от известных функций и через производную u xn xn от функции u . Подставляя эти представления для производных в (19), получим равенство:
1
⎡a u
+ L (q,ψ ) ⎤⎦ ,
f 0 ( x,φ ( x′), t ) ⎣ nn xn xn 1
q( x′, t ) =
(20)
где L1 (q,ψ ) – известный линейный дифференциальный оператор от q и ψ и ann – некоторая
функция. По условию, функция f 0 ( x, φ ( x′), t ) отлична от нуля и существует постоянная
δ 0 > 0 : f 0 ( x′, φ ( x′), t ) ≥ δ 0 > 0, ∀x′ ∈ Ω, ∀t ∈ (0, T ) . Используя определение нормы в пространстве C α ,α /2 , получим неравенство:
q Cα ,α /2 (Qγ ) ≤ C2 uxn xn ( x′,φ ( x′), t )
1
Cα ,α /2 (Q0γ )
+ C1 ( ψ
C 2+α ,1+α /2 ( S0γ )
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) ) , (21)
где постоянные C1 , C2 не зависят от γ ≤ T . Первое слагаемое в правой части можем оценить
через C3 u xn
C1+α ,(1+α )/2 (Q0γ )
. Эту норму будем оценивать используя интерполяционные нера-
венства (см. пункт 4.5.21 в [15]):
θ
1−θ
u Cα ( G ) ≤ C u Cα ( G ) u C γ ( G ) ,
где β < α < γ ,θβ + (1 − θ )γ = α ,θ ∈ (0,1) .
Имеем, что:
u xn
1+α ,(1+α )/2
C
γ
( Q1 )
= u xn
1+α ,0
C
≤ C2 utxn
γ
( Q1 )
+ u xn
1−θ
C (Qγ
1
)
C
0,(1+α )/2
γ 1−θ u xn
γ
( Q1 )
≤ C u xn
θ
C 2+α ,1+α /2 (Q1γ )
θ
C
2+α ,0
γ
( Q1 )
u xn
1−θ
γ
C ( Q1 )
≤ C3γ 1/(2+α ) u xn
+ C1 u xn
θ
C
0,1+α /2
C 2+α ,1+α /2 (Q1γ )
γ
( Q1 )
u xn
1−θ
C ( Q1γ )
≤
.
Таким образом, получим оценку:
uxn
C1+α ,(1+α )/2 (Q1γ )
≤ C3γ 1/(2+α ) u xn
C 2+α ,1+α /2 (Q1γ )
.
(22)
Используя (17), (18), выведем оценку:
uxn
C 2+α ,1+α /2 (Q1γ )
≤ C ( u0
C 2+α (G )
+ u0 xn
C 2+α (Gδ )
69
+ψ
C 2+α ,1+α /2 ( S0γ )
+ q C 2+α ,1+α /2 ( S γ ) +
Моделирование сложных систем
f1 Cα ,α /2 (Qγ ) + f1xn
Cα ,α /2 (Qδγ )
) + C1 ( q Cα ,α /2 (Qγ ) + q Cα ,α /2 (Qγ ∩Q′) ),
(23)
0
где все постоянные в правой части не зависят от γ . Из (22), (23) получим неравенство:
uxn
≤ C2γ 1/(2+α ) q C 2+α ,1+α /2 (Qγ ) + C3 ,
C1+α ,(1+α )/2 (Q1γ )
(24)
1
где постоянная C3 содержит нормы известных величин из (23). Используя (24) в правой части (21) получим оценку:
q( x′, t ) Cα ,α /2 (Qγ ) ≤ C4γ 1/(2+α ) q( x′, t ) Cα ,α /2 (Qγ ) + C5 .
0
(25)
0
Выберем γ таким образом, чтобы C6γ 1/(2+α ) =
1
. Тогда оценка (25) перепишется в виде:
2
q( x′, t ) Cα ,α /2 (Qγ ) ≤ 2C5
(26)
0
где C5 = C ( u0
C 2+α ( G )
+ u0 xn
C 2+α ( Gδ )
+ψ
C 2+α ,1+α /2 ( S0γ )
+ q
C 2+α ,1+α /2 ( S γ )
+ f1
Cα ,α /2 ( Qγ )
+ f1xn
Cα ,α /2 ( Qδγ )
)иC –
некоторая постоянная, не зависящая от γ . Отметим, что постоянная C4 в (25) не зависит от
γ . Используя (26) в (17), (18), получим неравенство:
u xn
C 2+α ,1+α /2 ( Q1γ )
+ u
C 2+α ,1+α /2 ( Q1γ )
≤ C6 ( u0
C 2+α ( G )
+ f1 Cα ,α /2 (Qγ ) + f1xn
+ u0 xn
Cα ,α /2 (Qδγ )
C 2+α ( Gδ )
+ψ
C 2+α ,1+α /2 ( S0γ )
+ q Cα ,α /2 (Qγ ∩Q′) ) .
+ q
C 2+α ,1+α /2 ( S γ )
+
(27)
Из (26), (27) вытекает искомая оценка из теоремы 1 на промежутке [ 0, γ ] . Далее мы повторяем рассуждения на промежутках ( γ , 2γ ] , ( 2γ ,3γ ] и т. д. За конечное число шагов мы получим требуемую оценку.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
Kozhanov, A. I. Composite type equations and inverse problems. – Utrecht : VSP. – 1999. – 171 p.
Isakov, V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. – Springer-Verlag, Berlin. –
1998. – 284 p.
3. Ivanchov, M. Inverse problems for equation of parabolic type. Math. Studies. Monograph Series. – V. 10. – Lviv : WNTL Publishers. – 2003. – 250 p.
4. Belov, Ya. Ya. Inverse problems for parabolic equations. – Utrecht : VSP. – 2002.
5. Prilepko, A. I. , Orlovsky, D. G., and Vasin, I. A. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics. – New-York : Marcel Dekker, Inc. – 1999. – 709 p.
6. Anikonov, Yu. E. and Belov, Yu. Ya. Determining of two unknown coefficients of parabolic
type equation // J. Inv. Ill-Posed Problems. – V. 9. – No. 5. – 2001. – P. 469–488.
7. Iskenderova, A. D. and Akhundov, A. Ya. Inverse problem for a linear system of parabolic equations. Dokl. Mathematics. – 2009. – Vol. 79. – No. 1. – Pp. 73–75.
8. Ikehata, M. An inverse source problem for the heat equation and the enclosure method // Inverse Problems. – V. 23. – 2007. – P. 183–202.
9. Саяхов, Ф. Л. Некоторые задачи теплопроводности и акустическое взаимодействие с
электромагнитными диэлектриками [Текст] / Ф. Л. Саяхов, Г. П. Смирнов, М. А. Фатыхок // Инженерно-физич. журн. – 1981. – Т. 41. – № 5. – С. 916–921.
10. Dinh Nho Hao. A non-characteristic Cauchy problem for linear parabolic equations and related
inverse problems: I. Solvability. Inverse problems // Inverse problems. – 1994. – V. 10. –
P. 295–315.
70
Боричевская А. Г., Пятков С. Г. Об одной параболической обратной задаче с данными Коши…
11. He Guo-qiang, Meng Ze-hong. A Newton type iterative method for heat-conduction inverse
problems // Applied Mathematics and Mechanics. – 2007. – V. 28(2). – P. 531–539.
12. Иванчов, М. Об определении двух зависящих от времени коэффициентов в параболическом уравнении [Текст] / М. Иванчов // Сиб. мат. журнал. – 2002. – Т. 43. – № 2. –
С. 406–413.
13. Ладыженская, О. А. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа
[Текст] / О. А. Ладыженская, В. А. Солонников, Н. Н. Уральцева. – М. : Наука, 1967.
14. Крылов, Н. В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах
Гельдера [Текст] / Н. В. Крылов. – Новосибирск : Научная книга, 1998.
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
332 Кб
Теги
боковой, обратное, кошик, одной, цилиндр, данными, поверхности, задачи, параболические
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа