close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одной полезной оценке пуассоновских сумм для моделей риска.

код для вставкиСкачать
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
УДК 519
ОБ ОДНОЙ ПОЛЕЗНОЙ ОЦЕНКЕ ПУАССОНОВСКИХ СУММ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ
РИСКА
c
°
Г. А. Тырыгина
Ключевые слова: пуассоновская сумма; нормальная аппроксимация; оценка.
Аннотация: Применимые на практике оценки точности нормальной аппроксимации для распределений
пуассоновских сумм могут быть полезными в некоторых моделях риска.
При исследовании распределения остатка средств R страховой компании по страховому портфелю из N договоров можно получить, что
R=r+
N
X
i=1
Zi ?
N
X
Yi ,
i=1
где r начальный капитал по страховому портфелю, Zi страховая премия, Yi величина выплат.
При этом N может быть как детерминированной, так и случайной величиной. Представляет
интерес случай, когда N случайная величина. Пусть N = N? случайная величина, имеющая
распределение Пуассона с параметром ?, ? > 0.
Формализация приведјнной ситуации и некоторых других приводит к математическим моделям с пуассоновской суммой
S? = X1 + X2 + · · · + XN? ,
где X1 , X2 , . . . независимые одинаково распределјнные случайные величины. Причјм случайные величины N? , X1 , X2 , . . . независимы при каждом ?.
Для расчјта требуемых вероятностных показателей в рамках математических моделей, связанных с той или иной схемой страхования, можно привлекать результаты, полученные в теории
предельных теорем. В [2] доказана асимптотическая нормальность пуассоновских сумм:
µ
¶
S? ? a?
< x ? ?(x) (? ? ?)
P p
?(a2 + ? 2 )
при условии существования M X12 .
Здесь ?(x) стандартное нормальное распределение,
M S? = ?a, где a = M X1
p
?
DS? ? ?(a2 + ? 2 ), где ? 2 = DX1 .
При решении задач, связанных с большими рисками, приходится иметь дело с распределениями, для которых не существуют моменты третьего порядка, а существуют моменты порядка
2 + ? , где 0 < ? < 1. Следовательно, представляет интерес случай, когда
M X1 = a, DX1 = ? 2 , M |X1 |2+? < ?, 0 < ? < 1.
Приведјм практически применимые оценки точности нормальной аппроксимации для распределения пуассоновской суммы [1].
815
ISSN 1810-0198. Вестник ТГУ, т. 14, вып. 4, 2009
Если M X1 = a, DX1 = ? 2 , M |X1 |2+? < ?, 0 < ? < 1, то
!
Ї
Ї Г
Ї
Ї
S
?
?a
M |X1 |2+?
?
Ї
supЇP p
< x ??(x)ЇЇ6 C(?) ·
,
(2+?)
?
x
?(a2 + ? 2 )
(a2 + ? 2 ) 2 · ? 2
где
1? 2?
2
C(?) =
µ
¶
2+?
·? 2
?(1 + ?)(2 + ?)
В [1] найдены числовые значения
?
0,05
0,10
0,15
0,20
C(?) 0,2876 0,2592 0,2352 0,2141
.
0,25
0,1935
0,30
0,1791
0,35
0,1645
0,70
0,0970
?
C(?)
0,40
0,1515
0,45
0,1399
0,50
0,1294
0,55
0,1201
0,60
0,1116
0,65
0,1040
?
C(?)
0,75
0,0907
0,80
0,0850
0,85
0,0797
0,90
0,0750
0,95
0,0706
1,00
0,0665
ЛИТЕРАТУРА
1. Королјв В.Ю., Шевцова И.Г. О точности нормальной аппроксимации. II // Теория вероятностей и еј применение. 2005. Т. 50. Вып. 3. С. 555-564.
2. Королјв В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами // Теория вероятностей и еј применение. 1994. Т. 39. Вып. 2. С. 313-333.
Abstract: Normal approximation accurity estimaties poisson sums applied to practice might be benecial
in the risk models.
Keywords: Poisson sum; normal approximation; estimate.
Тырыгина Галина Алексеевна
Galina Tyryguina
к. ф.-м. н., доцент
candidate of phys.-math. sciences,
Тольяттинский государственный университет senior lecturer
Россия, Тольятти
Tolyatti State University
e-mail: Galex@tltsu.ru
Russia, Tolyatti
e-mail: Galex@tltsu.ru
816
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
353 Кб
Теги
риски, суммы, полезно, оценки, пуассоновских, одной, моделей
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа