close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об одном свойстве отображений полуплоскости на области с симметрией переноса.

код для вставкиСкачать
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Март
№ 290
2006
МАТЕМАТИКА
УДК 517.54
И.А. Александров, Л.С. Копанева
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ОТОБРАЖЕНИЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ НА ОБЛАСТИ
С СИММЕТРИЕЙ ПЕРЕНОСА
Указывается точное значение ординаты выпуклости вдоль мнимой оси на классе X2π.
Пусть X2π – множество всех голоморфных однолистных в верхней полуплоскости Π + = { z ∈ C : Im z > 0}
отображений f : Π+ → C таких, что область D = f (Π+)
есть односвязная область типа полуплоскости с симметрией переноса вдоль вещественной оси,
f (z + 2kπ) = f (z) + 2kπ, k ∈ Z ,
и
lim ( f ( z ) − z ) = 0, z = x + iy ∈ Π + .
y →∞
Образом
полуплоскости
Π +q = { z ∈ C :Im z > q} ,
q > 0, при отображении f ∈ X 2π в w-плоскость является область Dq( f ) с аналитической ориентированной
границей Γ q ( f ) = {w ∈ C : w = f ( x + iq )} , x ∈ R . Из работы [1] следует, что кривая Γ q ( f ) , f ∈ X 2π , 0 < q < ∞,
лежит в полосе
{
}
q
q
Ω q = w ∈ C :2ln ⎛⎜ 2sh ⎞⎟ ≤ Im w ≤ 2ln ⎛⎜ 2ch ⎞⎟
2⎠
2⎠
⎝
⎝
и, очевидно, совпадает сама с собой при сдвиге вдоль
вещественной оси w-плоскости на 2π.
Назовем область Dq( f ) выпуклой вдоль мнимой
оси, если ее пересечение с любой вертикальной прямой связно. Для такой области угол, составленный касательной к Γ q ( f ) в точке w0 ∈ Γ q ( f ) и горизонπ
тальной прямой {w ∈ C :Im w = Im w0} , меньше . По2
π
−1
этому arg f ′ ( z0 ) < , z0 = f ( w0 ) .
2
Наша задача состоит в нахождении всех q, при которых области Dq( f ), f ∈ X 2π , будут выпуклыми
вдоль мнимой оси. Легко видеть, что существует такое q0, что при q0<q<∞ для любой функции f ∈ X 2π
область Dq( f ) выпукла вдоль мнимой оси, но при
q < q0 существует f ∈ X 2π , отображающая полуплос-
кость Π +q на область, не являющуюся выпуклой вдоль
мнимой оси. Число q0 назовем ординатой выпуклости
вдоль мнимой оси для X2π.
Для нахождения q0 воспользуемся методом параметрических представлений.
В классе X2π существует плотный относительно
′
равномерной сходимости внутри Π+ подкласс X 2π
функций, даваемых формулой f ( z) = lim (ζ (τ, z) − iτ) ,
τ→∞
где ζ(τ, z) есть решение дифференциального уравнения
d ζ ( τ, z )
λ ( τ ) − ζ ( τ, z )
, ζ ( 0, z ) = z ∈ Π + ,
= ctg
(1)
dτ
2
при условии, что отображение λ: [0,∞)→R, λ = λ(τ),
непрерывно [2].
Теорема 1 [1]. На классе X2π справедлива оценка
y
arg f ′ ( z0 ) ≤ lncth 0 ,
(2)
2
где z0 = x0 + iy0 ∈ Π + и фиксировано.
Доказательство. При фиксированном τ ∈ ( 0, ∞ )
решение ζ(τ, z) уравнения (1) голоморфно относительно z в Π+. Почленно дифференцируя по z равенстd ζ ( τ, z )
λ ( τ ) − ζ ( τ, z )
во
= ctg
и затем полагая z = z0,
dτ
2
получим
λ ( τ) − ζ ( τ, z0 )
d
1
ln ζ ′z ( τ, z0 ) = sin −2
.
dτ
2
2
Отсюда интегрированием по τ от 0 до ∞ с учетом
условия ζ ′z ( 0, z ) = 1 и равенства f ′ ( z ) = lim ζ ′z ( τ, z )
τ→∞
находим
ln f ′ ( z0 ) =
Пусть
∞
λ ( τ ) − ζ ( τ, z0 )
1
dτ .
sin −2
2 ∫0
2
ρ = ρ ( τ ) = ρ ( τ, z0 ) = e − Im ζ ( τ, z0 ) ,
s = s ( τ ) = s ( τ, z0 ) = e −i ( λ ( τ) − Re ζ ( τ, z0 )) .
В равенстве
d ζ ( τ, z0 ) 1 + ρ ( τ, z0 ) s ( τ, z0 )
=i
1 − ρ ( τ, z0 ) s ( τ, z0 )
dτ
отделим мнимую часть. Получим
d Im ζ 1 − ρ2
,
=
dτ
1 − ρs 2
или, что то же самое,
d ρ ( τ)
1 − ρ2 ( τ )
.
= −ρ ( τ )
dτ
1 − ρ ( τ) s ( τ) 2
Отсюда следует строгое убывание отображения ρ(τ)
на (0, ∞), очевидно, от ρ ( 0) = e − Im z0 до нуля, посколь9
ку lim ρ ( τ ) = lim ρ ( τ, z0 ) = 0 . Осуществляя переход от
τ→∞
τ→∞
τ и ζ к переменным ρ и s в интеграле
∞
∫ sin
0
−2
λ ( τ ) − ζ ( τ, z0 )
dτ ,
2
u (ζ ) =
получим для ln f ′ ( z0 ) формулу
ω
ω
s ( ρ, z0 ) d ρ
ρd ρ
+ 2∫
,
2
−
ρ
ρ
1
,
s
z
(
)
1
0
0
0 −ρ
ln f ′ ( z0 ) = −2 ∫
где ω = e − Im z0 = e− y0 . Из нее следует, что
ω
arg f ′ ( z0 ) = −2 ∫
Im s ( ρ, z0 ) d ρ
0 1 − 2ρ Re s
(ρ, z0 ) + ρ2
.
Обратимся к оценке интеграла на множестве всех
комплекснозначных функций s(ρ), 0 < ρ < e − y0 ,
имеющих модуль, равный единице. Поскольку абсолютные величины max f ′ ( z0 ) и min f ′ ( z0 ) одинаковы, то ограничимся отысканием max f ′ ( z0 ) , для чего
1− u2
,
1 − 2ρu + ρ 2
где u = cos α ( ρ ) = Re s , 0 ≤ u ≤ 1. Функция g(u) в точке
2ρ
u0 =
∈ [0,1] имеет максимум, и он равен
1 + ρ2
1
. Непосредственными вычислениями
g ( u0 ) =
1 − ρ2
′ , а значит, и на X2π.
приходим к оценке (2) на X 2π
Теорема доказана.
Оценка (2) – точная. В этом можно убедиться на
примере функции
1+ ζ0
1
− i ln 4 + i ln 1 − ς 0 2 + i ln ⎛⎜ ν + 2 + ⎞⎟ ,
f ( z ) = z0 + ln
1− ζ0
ν⎠
⎝
найдем максимум отображения g ( u ) =
(
)
где
1 + u ( ζ ) ⎛1 + ζ 0
ν = ν (ζ ) =
⎜
1 − u ( ζ ) ⎝1 − ζ 0
ζ0 − ζ
ζ0 − ζ0 2 ζ
i
u (ζ ) ⎞
⎟ ,
u (ζ) ⎠
, ζ = eiz , ζ 0 = eiz0 , ζ 0 = e− y0 ,
′ .
принадлежащей классу X 2π
Теорема 2. Ордината выпуклости вдоль мнимой
оси для класса X2π равна
π
q0 = lncth = 0, 422…
(3)
4
Доказательство. Из точности оценки (2) и строгой монотонности относительно y0, 0 < y0 < ∞, правой
q π
части оценки (2) следует, что lncth 0 = . Отсюда
2 2
имеем (3). Теорема доказана.
В заключение заметим, что теорему 1 и приведенный выше пример можно получить, используя следующую вариационную теорему.
Теорема 3. Для функции f ∈ X 2π существует такое семейство функций f (z, ε), ε > 0, f (z, 0) = f (z), что
m
f ( z ) − f ( zk ) ⎞
f ( z , ε ) = f ( z ) + ε∑ ⎡⎢ Ak f ′2 ( zk ) ⎛⎜ ctg
+i⎟+
2
⎝
⎠
k =1 ⎣
⎛
z − zk ⎞
z z −1 ⎞⎤
+ Ak ⎛⎜ f ′ ( z) ctg
+ i ⎟ + Ak ⎜ f ′ ( z) ctg k
+ i ⎟⎥ + o (ε, z) ,
2
2 zk
⎝
⎠
⎝
⎠⎦
где zk , k = 1,…, m, m ∈ N , – точки в Π+; Ak – произвольные комплексные постоянные; о(ε, z) – малая более высокого порядка, чем ε, на любом замкнутом ограниченном множестве из Π+.
Указанная в теореме 3 вариационная формула на
классе X2π аналогична вариационной формуле Шиффера – Голузина в классе S (см., например, [3. С. 87]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Копанева Л.С. Экстремальные задачи в классе отображений с симметрией переноса // Вестник ТГУ. 2000. № 269. С. 43 – 45.
2. Александров И.А., Копанева Л.С. Левнеровские семейства отображений полуплоскости на области с симметрией переноса // Вестник
ТГУ. 2004. № 284. С. 5 – 7.
3. Александров И.А. Методы геометрической теории аналитических функций. Томск: ТГУ, 2001. 230 с.
Статья представлена кафедрой и лабораторией математического анализа механико-математического факультета Томского государственного университета, поступила в научную редакционную коллегию «Математика» 10 декабря 2004 г.
10
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
317 Кб
Теги
переносу, области, одной, свойства, отображений, симметрия, полуплоскости
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа