close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об операциях над группами и над полугруппами.

код для вставкиСкачать
Раздел I.
Алгебра и геометрия
Здесь
1
10. Если
. Возможны следующие случаи.
2
1
, то S
4
0
3S 1
6 , откуда в силу теоремы следует, что поверхность K
при неоднородном условии (7), (8) (а также при условии (7 ), (8 )) допускает нетривиальное б.м.
изгибание класса
20. Если
1
4
H0 .
1 , то S
S
2
2 , откуда следует, что поверхность K жестка в классе
H 0 при условии (7), (8), но допускает нетривиальное б.м. изгибание класса H c1 ,c2 при том же
условии.
Пример 2 (см [5], гл. 17). Купол K* с тремя вертикальными и одним горизонтальным краями. Здесь
1
2
i
1 i 1,, 6 .
2
В этом случае S S
6 , откуда в силу теоремы 6 следует, что поверхность K* при неоднородном условии (7), (8), а также при смещенном
условии (7 ), (8 ), допускает нетривиальное б.м.
изгибание класса
H0 .
Рис. 2
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Векуа И.Н. Системы дифференциальных уравнений 1-го порядка эллиптического типа и граничные
задачи с применением теории оболочек // Математический сб. 1952. Т. 31. № 2. С. 217–314.
2. Тюриков Е.В. Краевые задачи теории б.м. изгибаний поверхностей // Математический сборник.
1977. № 3 (7). С. 445–462.
3. Тюриков Е.В. Об одном расширенном классе б.м. изгибаний регулярных выпуклых поверхностей //
Владикавказский математический журнал. 2005. Т. 7. № 1. С. 61–66.
4. Тюриков Е.В. Об одной граничной задаче теории б.м. изгибаний поверхнос // Владикавказский математический журнал. 2007. Т. 9. № 1. С. 62–68.
5. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Физматгиз, 1976.
6. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции М.: Физматгиз, 1959.
7. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1968.
М. А. Фридман
ОБ ОПЕРАЦИЯХ НАД ГРУППАМИ И НАД ПОЛУГРУППАМИ
В теории групп хорошо известны операции прямого и свободного умножения групп, позволяющие во многих случаях существенно упростить исследование групп, сводя его к исследованию
свойств групп сомножителей. Так, например, прямые умножения групп позволили полностью
описать класс абелевых групп с конечным числом образующих. Известная теорема Бэра и Леви
утверждает, что никакая группа не может быть одновременно разложимой в свободные и в прямое
произведение подгрупп, отличных от единичных. С другой стороны, несмотря на это существенное различие, эти операции обладают некоторыми общими свойствами, важными для использования при исследовании свойств групп. Так, они коммутативны и ассоциативны, заданные групп
77
Вестник ТГПИ
Естественные науки
I , изоморфно вложены в их свободные и прямое произведение, причем, что крайне
A ,
важно, порождает последние. Кроме этого, эти операции правильны в том смысле, что если
I
A , – прямое произведение групп A ,
ресекающие подмножества
I , а множество индексов I разбито на два непе-
I1 и I 2 , то фактор-группа
I
A
I2
изведению
A ,
I
A
N1
, изоморфны прямому про-
I 2 . Аналогично и для свободного произведения: если N1
нормальный делитель группы
I
A
A , , порожденный подгруппой A
изоморфна группе
A
I1 –
I1 , то фактор-группа
A . Это так называемый усиленный постулат правильности,
I2
в частном случае, когда множество I состоит из двух элементов, – постулат правильности).
Позднее были обнаружены и многие другие общие свойства прямых и свободных умножений групп.
Крупнейший советский алгебраист А.Г. Курош (1908–1971) в связи с той важной ролью
в теории групп операций прямого и свободного умножений в 1937 году сформулировал задачу
отыскания аналогичных теоретико-групповых конструкций и в случае существования последних –
указать все такие операции и провести их классификацию [1], [2, 424–425].
Задачу о существовании таких умножений групп впервые решил О.Н. Головин, указавший
и исследовавший счетную серию операций на классе групп, названных автором нильпотентными
[3]–[6]. Вскоре известный ленинградский алгебраист Е.С. Ляпин указал еще одну операцию, отличающуюся от нильпотентных умножений [11], а автор этих строк построил и исследовал обширный класс новых таких операций [12]–[21], английский математик З. Моран ввел в рассмотрение
и исследовал так называемые вербальные операции на классе групп, существенно обобщающие
нильпотентные умножения [22]–[24]. Со временем стали появляться и многие другие операции.
Сам О.Н. Головин определил и исследовал весьма обширный класс поливербальных операций над
группами ([8]–[10]) включающий в себя многие известные операции.
Естественно возникла необходимость исследования методов построения таких операций.
Было сформулировано само понятие точной операции на классе групп и с целью обозрения накопившихся к этому времени умножений групп был сформулирован ряд постулатов, которым удовлетворяют или не удовлетворяют исследуемые операции [6]. В частности, помимо упоминавшихся
выше постулатов усиленной правильности, ассоциативности и коммутативности, рассматривались, наряду с другими, постулаты Мальцева и Маклейна, а также постулат о единичных сомножителях.
Определение точной операции на классе групп можно, согласно А.Г. Курошу, сформулировать следующим образом: рассматривается класс абстрактных групп, (т. е. изоморфные группы
отождествлены) операция
ных),
 сопоставляет каждому семейству групп G (не обязательно различ-
I , вполне определенную группу G

I
G .
Отметим, что в случае конечного множества индексов
G
G1  G2  ...Gn . Операция  называется точной, если для всех
:G
I
1,2,..., n
пишут так же
I заданы мономорфизмы
G , причем группа G порождается всеми подгруппами G
,
I . Постулат
Мальцева (А.И. Мальцев (1911–1967) – выдающийся советский математик, автор фундаментальных работ во многих областях современной алгебры, математической логики): пусть
'
78
I,
I , их подгруппы, соответственно,  – точная операция
произвольно выбранные группы, A ,
на классе групп. Тогда подгруппа
A ,
A' ,
I , порожденная подгруппами A' ,
I , в группе
Раздел I.
I
Алгебра и геометрия
I , т. е. A' ,
A , является  – произведением подгрупп A' ,

I
I
A' .
Операцию  , удовлетворяющую постулату Мальцева, называют мальцевской.
А.И. Мальцев высказал предложение о том, что единственными ассоциативными мальцевскими точными операциями на классе групп являются классические операции прямого и свободного умножений. Эта гипотеза А.И. Мальцева подтвержденная для обширных классов точных
операций, тем не менее оказалась ошибочной. Совсем недавно в очень глубокой и содержательной
работе «Строго вербальные произведения групп и проблема А.И. Мальцева об операциях над
группами», опубликованной в Трудах Московского математического общества (т. 54), построил
пример точной ассоциативной мальцевской операции, отличающейся от прямого и свободного
умножений. Отметим, что семействам мальцевских операций посвящена работа [30].
Постулат Маклейна (С. Маклейн (р. 1909 году) – американский математик, один из создателей гомологической алгебры и теории категорий) утверждает: если
группы

– нормальный делитель, порожденный в группе
I,
A ,
– нормальный делитель
I

, то
I
I
A

изоморфна
A
A подгруппами
,
.
I
Операции удовлетворяющие постулату Маклейна, называют маклейновскими.
Постулат о единичных сомножителях заключается в том, что удаление единичных множителей не влияет на точное произведение групп. Известно что операции прямого и свободного умножения групп являются не только коммутативными, ассоциативными, но также удовлетворяющими постулатам, отмеченным выше.
Отметим, что если группы A
групп
I , и через
A ,
x
I
A и F
A – прямое и свободное произведения
I
(G ) обозначена совокупность всех соотношений в каждой группе G
и через D – декартова группа свободного произведения
1
1
всеми коммутаторами a a a a ,
разующих
I
,
A и системой соотношений
шений
,
систем отношений
I
,
I
I
A , т. е. подгруппа, порожденная
, то группу A можно задать системой об, где
(A )
– совокупность всех соотно-
, а группу F относительно той же системы образующих
I,
(A ) .
Согласно определению точной операции
соотношения из
≠
I,
I
( A2 ) . Это означает, что
 , в группе G
(G)
I
(A )

I
A должны выполняться все
, где
– некоторое множе-
ство отношений между образующими.
Непосредственный анализ показывает, что правильность точной операции означает включение
, и при этом, разный выбор подмножеств
множества
определяет разнообразные правильные точные операции, обязательно коммутативные и удовлетворяющие постулату
о единичных сомножителях. Что же касается выполнимости других постулатов, то это определяется самим выбором множества отношений
.
Понятия операции и точной операции на классе групп естественным образом переносится
на класс полугрупп: стоит только в соответствующих определениях термин «группа» заменить
термином «полугруппа». Столь же естественно формулируются постулаты Мальцева, Маклейна
усиленной правильности и правильности. Напомним их формулировки для точных операций.
Пусть на классе полугрупп задана операция  , сопоставляющая каждому семейству полугрупп
A ,
I , полугруппу

I
A . Говорят, что операция  , удовлетворяет:
79
Вестник ТГПИ
Естественные науки
а) усиленному постулату правильности – если для всякого семейства полугрупп
и разбиения множества индексов на два подмножества
и A
I1 и I 2 , полугруппы
I
A ,
A
I1
I 2 не имеют общих элементов.
б) постулату Мальцева – если для любого семейства
'
соответственно полугруппа A ,
I , полугруппы

I
I , и любых их полугрупп A '
A ,
в) постулату Маклейна – если для любого семейства полугрупп

, порожденная в полугруппе
I

A совпадает с полугруппой
A , конгруэнциями
A' ;
I , конгруэнция
A ,
, в полугруппах
I
I , всегда
A ,
совпадает с конгруэнцией.

Как и в случае правильных точных операций над группами, полугруппа
I
щаяся правильным точным произведением полугрупп
но системы образующих
I
жество соотношений вида
,
,
I , может быть задана относитель-
A ,
A системой отношений
A , являю-
(A )
I
I,
, где
– некоторое мно-
.
Определим, используя идеи задания T -умножений и вербальных умножений групп, два
класса точных операций над полугруппами.
Будем считать, что на классе полугрупп задан закон T , выделяющий в каждой полугруппе
A два подмножества T1 ( A) и T2 ( A) , каждое из которых является характеристической, т. е. выдерживающей все автоморфизмы подполугруппой или пустым множеством. Пусть, далее,
( w , w' ),
алфавитом
M – некоторое множество пар слов свободной полугруппы W x над счетным
x1 , x2 ,... . Слова w и w ' назовем уравновешенными, если количества вхож-
X
дений одних и тех же букв алфавита в каждое из них одинаково.
Для свободного произведения
F
A семейства полугрупп обозначим через
I
ми-
нимальную конгруэнцию, порожденную в полугруппе F бинарным отношением, состоящим из
всех пар значений слов
w , w' ,
M , получаемых подстановкой в них вместо одной и той же
буквы алфавита любых элементов из
Tj (A ) ;
I
,
Ti ( A ) ,
I , и вместо остальных – любых элементов из
i, j 1, 2;
Определение: Фактор-полугуппа F
I и обозначается через
T
I
называется
T
– произведением полугрупп
A ,
A , а сама операция, сопоставляющая каждому семейству по-
лугрупп их
T -произведение – T -умножением ( T -операцией) полугрупп.
В работах [26] и [27] приводится ряд свойств T -умножений. В частности, устанавливает-
ся, что:
T -умножение является точной операцией на классе полугрупп;
2) T -умножение полугрупп удовлетворяет усиленному постулату правильности;
3) T -умножение полугрупп удовлетворяет постулату о склеиваенности автоморфизмов,
:A
A ,
утверждающему, что каждая система автоморфизмов
I , продолжается до
1)
автоморфизма
80
T -произведения полугрупп A ,
I . Однако, соответствующее утверждение
Раздел I.
Алгебра и геометрия
для эндоморфизмов полугрупп неверно, о чем свидетельствует построенный пример.
Тем не менее, были найдены условия склеиваемости системы эндоморфизмов
:A
I , в эндоморфизм
A ,
необходимо и достаточно, чтобы
деляющих соотношений
I
эндоморфизмах
T -произведения полугрупп A ,
T -произведение полугрупп A было задано с помощью опре'
(A )
, где
'
– совокупность следствий системы из
при
. В частности, если для каждой полугруппы A и любого эндоморфизма
A справедливо включение Ti ( A)
:A
I : для этого
Ti ( A) , i
1, 2, то
T -умножение полугрупп
удовлетворяет постулату о склеиваемости эндоморфизмов. Определим еще один класс операций
над полугруппами (См. [8]). Пусть, как и ранее,
V
v x1 ,..., xn (
X
x1 , x2, ..., xn ,...
счетный алфавит,
M – некоторое множество слов в этом алфавите, A – полугруппа.
)
Определение. Вербальной полугруппой
V (A) полугруппы A называется полугруппа по-
лугруппы A , порожденная «всеми значениями» v
лучаемых при замене букв x1 ,..., x n (
)
1
,...,
n( )
всех слов v
x1 ,..., xn (
)
, по-
произвольными элементами полугруппы A .
Непосредственно ясно, что вербальная подполугруппа характеристична (т. е. допускает все
автоморфизмы полугруппы A ).
Далее, пусть A – полугруппа,
ством V
v ( x1 ,..., xn ( n ) )
V (A) – ее вербальная подполугруппа, определяемая множе( A) – минимальная конгруэнция в A , порожденная би-
M ,
нарным отношением, состоящим из всех пар ( a, b ), где
a, b V ( A) .
Введем в рассмотрение еще одно важное для дальнейшего понятия.
Пусть
I , семейство полугрупп, F
A ,
I
A их свободное произведение, D(F )
– конгруэнция в F , порожденная бинарным отношением, состоящим из всех пар вида
,
T
I
,
,
. Ее называют декартовой для свободного произведения
I,
A .
Понятия вербальной подполугруппы и вербальной конгруэнции позволяют следующим образом определить операцию над классе полугрупп, именуемую в дальнейшем вербальным умножением: пусть
полугрупп,
V – некоторое множество слов в счетном алфавите X , A ,
F
груэнция,
I
A их свободное произведение, D(F ) – соответствующая декартова кон-
(F ) – вербальная конгруэнция в полугруппе F – конгруэнция в F , порожденная
пересечением бинарных отношений
(F ) и D(F ) .
Определение. Фактор-полугруппу
A ,
I , – семейство
I , и обозначим через
же через A
1
A
2
...
v
I
F
назовем вербальным
V -произве-дением полугрупп
A , в случае конечного множества I
1
,
2
,...
n
– так-
An.
В работе [28] установлено, что:
1) вербальное
V -умножение является точной операцией на классе полугруппы;
2) вербальное V -умножение удовлетворяет усиленному постулату правильности;
3) вербальное V -умножение подчиняется постулату о склеиваемости автоморфизмов;
81
Вестник ТГПИ
Естественные науки
4) вербальное
V -умножение удовлетворяет постулату Маклейна;
5) вербальное V -умножение тогда и только тогда удовлетворяет постулату Мальцева, когда
она совпадает с операцией прямого или свободного умножения полугрупп.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Курош А.Г. Пути развития и некоторые очередные проблемы теории бесконечных групп. 1937.
С. 5–15.
2. Курош А.Г. Теории групп. 3-е изд. М., 1967.
3. Головин О.Н. Об ассоциативных операциях на множестве групп: Докл. АН СССР, 1947, 58. № 7.
C. 1257–1260.
4. Головин О.Н. Нильпотентные произведения групп // Математический сборник. 1950. 27(69) № 3.
С. 427–454.
5. Головин О.Н. Метабелевы произведения групп // Математический сборник. 1951. 28(70) № 2.
С. 431–444.
6. Головин О.Н. К вопросу об изоморфизме нильпотентных разложений группы // Математический
сборник. 1951. 28(70) № 2. С. 445–452.
7. Головин О.Н. Политождественные соотношения в группах: Докл. АН СССР, 1962, 145. № 5. С. 967–
970.
8. Головин О.Н. Политождественные соотношения в группах и определяемые ими операции на классе
всех групп: Тр. Моск. матем. общества, 1963. Вып. 12. С. 413–435.
9. Головин О.Н. Функторные операции на классе всех групп: Докл. АН СССР, 1963, 149. № 4. С. 42–45.
10. Головин О.Н. Структура поливербальных операций: Докл. АН СССР, 1963, 153. № 6. С. 1238–
1241.
11. Ляпин Е.С. Полные действия в классах ассоциативных систем и групп // Уч. зап. Ленинград. пед.
ин-та им. А.И. Герцена, 1949, 86. С. 93–106.
12. Фридман М.А. О полукоммутативных умножениях: Докл. АН СССР, 1956, 190. № 4. С. 740–712.
13. Фридман М.А. Полукоммутативные умножения групп и некоторые их свойства // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1956. Вып. 3. С. 112–142.
14. Фридман М.А. Условие ассоциативности полукоммутативного умножения любого множества
групп // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1956. Вып. 3. С. 143–148.
15. Фридман М.А. Элементы конечного прядка, центр полукоммутативного произведения. Решение
проблемы тождества для полукоммутатиивных произведений групп // Уч. зап. Глазовского пед.
ин-та, 1956. Вып. 3. С. 155–167.
16. Фридман М.А. Конкретные ассоциативные коммуникативные умножения групп // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1956. Вып. 3. С. 168–183.
17. Фридман М.А. К одному вопросу о вполне правильных операциях на классе групп // Усп. матем.
наук. 1959, 14. № 3. С. 181–183.
18. Фридман М.А. О коммутанте полукоммутативного произведения групп // Уч. зап. Глазовского
пед. ин-та, 1959. Вып. 6. С. 53–56.
19. Фридман М.А. Распространение одной теоремы Бэра и Леви на полукоммутативные умножения
групп // Уч. зап. Глазовского пед. ин-та, 1956. Вып. 6. С. 67–71.
20. Фридман М.А. Несколько новых классов конкретных ассоциативных Т-умножений групп // Усп.
матем. наук. 1961, 16. № 2 (98). С. 207.
21. Фридман М.А. Два класса конкретных ассоциативных Т-умножений: Докл. и сообщения науч.
конф. физ.-мат. и естественных ф-тов Удмурдского пед. ин-та. Ижевск, 1965. С. 36–41.
22. Moran S. Associative operations on groups. Proc. London Mat. Soc. I – (3), 1956. (6) № 24. S. 581–596.
II – (3), 1958. 8, № 32. S. 548-568. III. – (3), 1959. 9, № 34. S. 287–317.
23. Moran S. Note on a guestion of Malcew. – Bull. Acad. Polonaise Sciences, Ser. Sciences math., astr. et
phijs., 1961. 9, № 12. S. 853–855.
24. Moran S. Properties of N-multiplications u N*-multiplications. J. London, math. Soc., 1961. S. 36, 193–
210.
25. Головин О.Н., Бронштейн М.А. Аксиоматическая классификация точных операций / Избр. вопросы алгебры и логики. Новосибирск, 1973. С. 40–96.
26. Широков А.С. Об операциях на классе полугрупп // Математические модели физических процессов и их свойства: Сб. науч. тр. Таганрог, 1999. С. 59–60.
27. Широков А.С. О некоторых точных операциях на классе полугрупп // Сборник научных работ
преподавателей и аспирантов математических кафедр ТГПИ. Таганрог, 1999. С. 71–77.
82
Раздел I.
Алгебра и геометрия
28. Фридман М.А. О вербальных операциях над полугруппами / Математические модели физических
процессов: Сб. науч. тр. Таганрог, 2003. С. 121–127.
29. Генов Г.К. Новые семейства мальцевских операций // Мат. сб. 1968. 77 (119). № 3. С. 437–460.
83
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
381 Кб
Теги
над, полугруппами, группами, операция
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа