close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об оптимальном многомаршрутном сканировании для космических аппаратов дистанционного зондирования Земли.

код для вставкиСкачать
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №6, 2013
МЕХАНИКА И МАШИНОСТРОЕНИЕ
УДК 629.786:528.8
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ МНОГОМАРШРУТНОМ СКАНИРОВАНИИ
ДЛЯ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ ДИСТАНЦИОННОГО ЗОНДИРОВАНИЯ ЗЕМЛИ
© 2013 Ю.Н. Горелов1, В.Е. Юрин2, 3
1
Институт проблем управления сложными системами РАН, г. Самара
2
Самарский государственный университет
3
ФГУП ГНП РКЦ «ЦСКБПрогресс», г. Самара
Поступила в редакцию 18.11.2013
Рассматривается задача оптимального многомаршрутного сканирования района зондирования для
оптикоэлектронных космических аппаратов дистанционного зондирования Земли. Кратко изложены
элементы теории оптимальных покрытий и в рамках ее математической модели рассмотрен вариант
постановки задачи оптимального покрытия полосами двумерных областей с произвольными грани
цами. Приведена полная математическая модель одиночного маршрута съёмки в режиме “push broom”
(«заметания»). Дана постановка новой прикладной задачи многомаршрутного сканирования района
зондирования на основе математической модели теории оптимальных покрытий.
Ключевые слова: космический аппарат, дистанционное зондирование, маршрут съемки, матема
тическая модель, полоса сканирования, оптимальное покрытие, радиус покрытия, система
покрывающих «центров».
min ( x , yk )  c .
ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНЫХ ПОКРЫТИЙ
k 1,2,..., n
Значительное число прикладных техничес
ких задач может быть сведено к постановке в тер
минах теории оптимальных покрытий [1, 2] и
многие из них охватываются следующей матема
тической моделью. Пусть заданы два замкнутых
и ограниченных множества X и Y , а также
определена функция ( x , y ) x  X и y  Y ,
которая непрерывна, неотрицательна и
выпукла на X при любых y  Y . Выделим в
Y некоторую конечную систему его элементов –
точек (или «центров» [2]) yk  Y , k  1, 2,..., n ,
или { yk }n  Y . Каждому «центру» yk  Y и
заданному числу c  0 в X можно поставить
в с о о т в е т с т в и е н е к о т о р о е п о д м н ож ест во
Ec ( yk )  { x  X : ( x , yk )  c} .
По определению [1, 2], система { yk }n  Y
«покрывает» множество X с радиусом c  0 ,
если имеет место:
n
X   Ec ( yk ) ,
(1)
k 1
то есть для каждого x  X выполняется условие
Горелов Юрий Николаевич, доктор технических наук,
профессор, заместитель директора по научной работе.
E&mail: yungor07@mail.ru
Юрин Виталий Евгеньевич, аспирант, первый заместитель
начальника отдела. E&mail: csdb@samtel.ru
(2)
Если при этом функцию ( x , y ) интерпре
тировать как некоторое условное расстояние от
точки x  X до «центра» y  Y , то (2) будет
означать, что «расстояние» от точки x  X до
ближайшего «центра» не будет превосходить зна
чения c  0 . Число c в (1) и (2) – радиус покры
ти я (множества X сист емой « цен тров»
{ yk }n  Y ( n  1 )).
Для кажд ого «ц ент ра» y p  { yk }n  Y
( 1  p  n ) в X можно выделить подмножество
D( y p )  {x  X : ( x, y p )  ( x, yk ), k  1,2,..., n, k  p} ,
которое называют областью Дирихле (или обла
стью «влияния» соответствующего «центра» [2]).
Размеры области Дирихле для p го «центра»
определяются следующим образом:
Ap  Ap ( y p )  max ( x , y p ) ,
xD ( y p )
и, соответственно, «центр» y p  { yk }n  Y на
зывается неулучшаемым, если не существует
сколь угодно близкого к нему «центра» ~
y p  Y [2]
~
~
(то есть || y p  y p ||  0 , где || () || – некоторая
норма в Y ), такого, что при замене им «центра»
y p  Y размеры области Дирихле убывают, то
ес ть A p ( ~
y )  A p ( y p ) . Если указанн ый
~ p
«центр» y p  Y существует, то y p  Y является
улучшаемым «центром», а процедура его замены на
~y  Y тогда называется улучшением «центра»
p
y p  Y . В [1] доказано, что каждый улучшаемый
«центр» с помощью некоторой процедуры (не
140
Механика и машиностроение
прерывного) улучшения можно заменить на не
улучшаемый «центр». Соответственно, любая
система «центров» { yk }n  Y ( n  1 )), которая
содержит хотя бы один улучшаемый «центр»
yq  { yk }n  Y , может быть заменена, начиная,
например, с y q , некоторой системой неулучшае
мых «центров» { yˆ k }n  Y с помощью какойлибо
процедуры улучшения для каждого «центра»
y p  { yk }n  Y ( 1  p  n ) .
В рамках приведенной математической мо
дели можно сформулировать следующую зада
чу, называемую задачей о минимальном радиусе
покрытия [1, 2].
Задача 1. Требуется выбрать такую систему
n «центров» { yk }n  Y ( n  1 ), чтобы условие
(1) выполнялось для наименьшего радиуса по
крытия c  0 .
Эта задача рассмотрена в [2], где для ее реше
ния предложен сходящийся алгоритм улучшения
системы «центров». Можно также сформулиро
вать взаимную задачу к данной, а именно, задачу
о минимальной системе «центров» в Y , покры
вающую множество X для заданного радиуса
покрытия.
Задача 2. Требуется для заданного радиуса
покрытия c  0 выбрать такую систему «цент
ров» { yk }n  Y , чтобы условие (1) выполнялось
для наименьшего числа n .
Указанные задачи 1 и 2 являются основными
задачами теории оптимальных покрытий, особен
ности которых существенно зависят: вопервых,
от характера множеств X и Y , а также от вида и
свойств функции ( x , y ) , и, вовторых, от содер
жания решаемых задач.
следующее обобщение указанной задачи. Пусть
множество X – ограниченная часть поверхнос
ти общего земного эллипсоида G , образом кото
рой является однозначно и взаимно непрерывно
от обр ажаю щ аяся в X об ласть плоскости
V X  V , где V – плоскость, представляющая
собой, например, одну из основных картографи
ческих проекций в виде проекции поверхности
G на цилиндрическую поверхность. Соответ
ственно, здесь Y задается в виде множества, со
впадающего с X , а функция ( x , y ) задается
длиной геодезической кривой, которая соединя
ет точки x , y  X . Несмотря на то, что решение
основных задач теории оптимальных покрытий
в этом случае оказывается значительно более
трудоемко, но, тем не менее, это позволяет рас
смотреть новые подходы к решению ряда задач
высшей геодезии.
Спектр прикладных задач теории оптималь
ных покрытий существенно обогащается в том
случае, когда множества X и Y не только устро
ены более сложным образом, но их элементами
являются объекты различного вида. В связи с
этим рассмотрим следующий вариант постано
вок основных задач теории оптимальных покры
тий. Пусть X  V – ограниченная область плос
2
кости V  R , ее элементы суть точки x  V , а
множество Y – множество прямых P  V . Со
ответственно, функцию ( x , y ) можно ввести
как расстояние от точки x  X до прямой
L  P , проходящей через точку x 0 V в направ
лении единичного орта l 0 V , то есть здесь
L  L( x 0 , l 0 ) , а именно:
( x , y )  min ( x, x 0  l 0)  ( x, L) . (3)
R 1
К ПОСТАНОВКЕ ОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ОПТИМАЛЬНЫХ ПОКРЫТИЙ
Простейшие варианты постановок основных
задач теории оптимальных покрытий имеют ме
сто в случае, когда множества X и Y суть отрез
1
ки прямой, то есть X , Y  R , а ( x , y )  | x  y |
( x, y  [ a, b],    a  b   ). При иных вари
антах задания функции ( x , y ) здесь уже воз
можны содержательные постановки многих при
кладных задач. То же самое имеет место и в тех
случаях, когда множества X и Y более сложно
устроены. Например, в [2] рассмотрен сходящий
ся алгоритм решения задачи о минимальном ра
диусе покрытия, в которой множества X , Y и
фу нкция ( x , y ) задаю тся т ак: м нож ест во
2
X  V – единичный квадрат плоскости V  R ,
система покрывающих «центров» – система то
чек { yk }n V , а функция ( x , y ) является евк
лидовой нормой на плоскости V . К этой поста
новке можно свести ряд важных прикладных за
дач [2]. В связи с этим представляет интерес
С учетом (3) и вида множеств X и Y можно
сформулировать следующую задачу, аналогич
ную задаче о минимальном радиусе покрытия.
Задача 3. Требуется выбрать такую систему
n «центров» {Lk }n  P ( n  1 ), чтобы условие
типа (1):
n
X   Eh ( Lk ) ,
(4)
k 1
выполнялось для наименьшего значения h  0 ,
гд е E h ( Lk )  { x  X : ( x , Lk )  h } – полоса
покрытия для «центра» Lk  P , h  0 – «ради
ус покрытия» или, с учетом геометрического ха
рактера множеств X и P , полуширина полосы
покрытия.
Соответственно, можно сформулировать вза
имную задачу к данной задаче.
Задача 4. Для заданной полуширины поло
сы покрытия h  0 требуется выбрать такую си
стему «центров» {Lk }n  P , чтобы условие (4)
выполнялось для наименьшего числа n .
141
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №6, 2013
Очевидно, что «центру» L p {Lk }n  P
( 1  p  n ) в X отвечает такая область Дирихле:
D(Lp) {xX : (x, Lp) (x, Lk ), k 1,2,..., n, k  p},
а ее размеры определяются так:
Ap  Ap ( L p )  max ( x, L p ) .
алгоритма последовательного их улучшения.
Неединственность решения задачи обусловлена
избыточной симметрией области X . Если же ее
задать в виде, например, прямоугольного тре
угольника с единичными катетами (рис. 2), то по
лучим следующее единственное решение задачи:
xD ( L p )
Соответственно, L p {Lk }n  P будет не
улучшаемым «центр», если не существует сколь
~
угодно близкого к нему «центра» L p  P , для
~
ко тор ого A p ( L p )  A p ( L p ) . Здесь малость
«расстояния» между парой таких «центров» под
разумевается в смысле малости угла между пря
~ ~ ~
мыми L p ( x
0 , l 0 ) и L p ( x 0 , l 0 ) при условии, что
x 0 , x 0  X .
С целью иллюстрации к задаче 3 рассмотрим
следующий пример ее постановки и решения.
Пусть множество X – единичный квадрат плос
кости, а система покрывающих его «центров»
представляет собой совокупность трех прямых
{L1 , L 2 , L3} . Очевидно, что в этом случае проце
дура улучшения для такой системы «центров»
тривиальна и, в конечном счете, будет получена
следующая неулучшаемая система «центров»
{Lˆ1 , Lˆ 2 , Lˆ 3 } , где
Lˆk ( x k , l k ) ,
k  1, 2,3 , x 1  col ( x1 , x 2 ) 
x3 
l k  col(0,1) ,
 16 ,0  , x 2   12 , 0 ,
 56 , 0  и hmin  16 (рис. 1).
Кроме того, можно найти еще одно решение
эт ой же задач и с hmin  1 , а им енн о:
6
x1 
x2 
 
x3 
 
 
x2
x2 
2
2
,
 12 , 0 ,

2
,
2
k  1, 2,3 ,
x3 
2
; очевидно, что значение
12
 56 , 0 
д ля
hmin опреде
ляется минимальным характерным размером
области X .
В более общем случае в рассматриваемой за
даче в качестве множества Y можно выбрать
множество кривых L  M определенного вида,
например, кривых, обладающих какимилибо
специальными свойствами, а именно: гладких
или кусочногладких кривых, кривых без само
пересечения и ограниченной кривизны и т.п.
Соответственно, тогда для процедуры улучшения
такой системы «центров» следует ввести опре
деленного вида операцию варьирования кривых.
Кстати, нетрудно показать, что в рассматривав
шемся выше примере замена множества P на
некоторое множество M на решение задачи не по
влияет. Тем не менее, если вместо (3) ввести дру
гую функцию «расстояний» между точками
x  X и «центрами» {Lk }n  M , то, в зависимос
ти от содержания задачи, ее решение может ока
заться в значительной степени нетривиальным.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
МАРШРУТА СЪЁМКИ И УСЛОВИЯ
ЕГО СКАНИРОВАНИЯ
0, 56 . Вариант решения зада
чи здесь зависит как от задания начальной сис
темы «центров» {L1 , L 2 , L3} , так и от принятого
 16 , 0  ,
hmin 
l k  col(1, 0) , k  1, 2,3 , а также x 1  0, 16 ,
0, 12 ,

l k  col 
Lˆk ( x k , l k ) ,
Предваряя постановку задачи многомарш
рутного сканирования заданного района зонди
рования, вначале сформируем необходимую для
1
x2
X
1
l3
l2
l1
1
6
1
3
1
2
2
3
5
6
1
l3
l2
l1
0
X
2
2
x1
0
Рис. 1.
1
6
1
1
2
5
3
2
3
6
Рис. 2.
142
1
x1
Механика и машиностроение
этого математическую модель маршрута съёмки в
режиме “push broom” («заметания») с помощью
оптикоэлектронной аппаратуры зондирования
современных КА [3, 4]. Итак, первое и основное
необходимое условие сканирования маршрута
съёмки имеет следующий вид [5]:
rЛВ  rМ  rКА ,
(5)
где rКА – радиусвектор КА (в гринвичской сис
теме координат), rМ – радиусвектор централь
ной линии маршрута съёмки, а r ЛВ – радиус
вектор линии визирования (ЛВ), которая задаёт
требуемое положение оптической оси аппарату
ры зондирования КА в пространстве. В условии
(5) радиусвектор r КА определяется кинемати
ческим уравнением движения КА rКА  rКА ( t ) ,
получаемым из решения дифференциальных
уравнений его орбитального движения, радиус
вектор rМ задается векторфункцией дуговой ко
ординаты s , которая отсчитывается вдоль цент
ральной линии маршрута съёмки: rМ  rМ ( s) ,
то есть rЛВ в (5), вообще говоря, векторфунк
ция двух аргументов: r ЛВ  r ЛВ ( t , s ) . Поэтому
выполнение этого условия в каждый момент вре
мени сканирования маршрута съемки требует
явного задания закона сканирования s  s (t ) .
Кроме центральной линии в виде пространствен
ной кривой L  L ( s )  L( rМ ( s )) , в модель марш
рута съёмки необходимо включить еще модель ап
проксимации части физической поверхности
Земли (района зондирования) некоторой повер
хностью Ф  Ф (r ) , по крайней мере, в пределах
полосы сканирования, определяемой полосой
захвата аппаратуры зондирования КА. Очевид
но, ч то при эт ом должн о и мет ь м ест о:
L  Ф (rМ ( s )) , то есть L  Ф . Закон сканиро
вания s  s (t ) можно получить как решение
дифференциального уравнения
ds
 v М ( t , s) ,
dt
s (t 0 )  0 ,
f sin 
(7)
vМ ,
D
~
~
г д е D ( t )  D ( t , s ( t )) , D ( t , s )  | r ЛВ (t , s ) | ,
~ ( t, s ) – у го л м е ж д у τ ( s ) – к а с а  (t)  
тельным ортом к L и ортом ЛВ –
eЛВ (t )  eЛВ (t , s (t )) , а f – параметр аппарату
ры зондирования. Так как w обычно задаётся в
виде некоторой программы w (t ) , то с учетом (7)
тогда можно определить v М ( t , s) в (6), то есть
w
получить, в конечном счете, из решения уравне
ния (6) закон сканирования s  s (t ) . Поскольку
~
D ( t, s)
v M ( t, s) 
~ ( t , s ) w ( t ) , постольку уравне
f sin 
ние (6), как основное уравнение закона сканиро
вания, можно переписать так:
ds
dt
 P ( t , s ) w (t ) , s ( t 0 )  0 ,
(8)
~
D ( t, s)
где P ( t , s ) 
~ ( t , s ) . Очевидно, что при
f s in 
w (t )  0 имеет место
ds
 0 , то есть решение
dt
уравнения (8) s  s (t ) – строго монотонно
возрастающая функция ( t  t 0 ). В силу усло
вий сканирования с вектором скорости v М опре
деленным образом связан орт нормали, который
задает требуемое положение плоскости сектора
сканирования аппаратуры зондирования [5]:
v~D ( t , s )
e~D ( t , s)  ~
v D ( t , s) ,
где
v~D ( t , s )  e~ЛВ ( t , s)  [ v M ( t , s)  e~ЛВ ( t , s )] ,
(6)
а также орт, который определяет требуемое
положение линейки ПЗС [4, 5]:
где t 0 – момент времени начала сканирования, а
v М – модуль вектора скорости скольжения кон
ца радиусвектора ЛВ, который определяется
так: v М  v М d rМ / d s . Вектор скорости v М
определяется следующими необходимыми усло
виями сканирования [5]: вопервых, это совмеще
ние оси аппаратуры зондирования КА с ЛВ, и,
вовт оры х, пропор цион альность проекц ии
вектора v М на фокальную плоскость аппарату
ры зондирования заданной скорости бега изобра
жения текущей точки центральной линии марш
рута съёмки w , которая должна быть ортого
нальна приемной линейке ПЗС [35]. С учетом
этих условий зависимость между v М и w  |w |
имеет следующий вид [5]:
e~ ( t , s )  e~ЛВ ( t , s )  e~D ( t , s ) .
~ ( t , s ), e~ ( t , s), e~ ( t , s) ,
Тройка ортов: e
ЛВ
D

задаёт требуемую ориентацию КА в пространстве
относительно сканируемого маршрута съёмки.
Для синтеза программы углового движения КА
при сканировании маршрута съёмки необходимо
также (при условии совмещения осей его связан
ной системы координат с осями, задаваемыми ука
занной тройкой) определить вектор потребной
~
угловой скорости КА ω КА ( t , s ) . Его компоненты
в гринвичской системе координат вычисляются по
формулам, указанным в [5].
Таким образом, модель маршрута съёмки,
с учетом приведённых необходимых условий ска
нирования, представляется центральной линией
143
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №6, 2013
L  L(s ) и моделью рельефа района зондирова
ния в виде аппроксимирующей его поверхности
Ф  Ф (r ) . К ним следует также присоединить
основное уравнение закона сканирования марш
рута съёмки (8).
ром r  Ф (в гринвичской системе координат),
то проекция этой точки на поверхность G будет
задаваться радиусвектором ~
r ~
r ( B , L ,0 )  G .
Связь между r и r устанавливается с помощью
модели поверхности Ф в виде модели рельефа
района зондирования:
H  Ф( B, L) ,
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО
МНОГОМАРШРУТНОГО СКАНИРОВАНИЯ
РАЙОНА ЗОНДИРОВАНИЯ В РЕЖИМЕ
“PUSH BROOM” («ЗАМЕТАНИЯ»)
Переходя к постановке задачи оптимально
го многомаршрутного сканирования района
зондирования, дополнительно введем в рассмот
рение необходимые для этого модели. Вначале
рассмотрим соответствующие модели для поло
сы сканирования, «заметаемой» на поверхнос
ти Ф  Ф (r ) сектором сканирования аппарату
ры зондирования КА S  S (r ) , который опре
деляется так [5]: начало в центре масс КА (задано
радиусвектором rКА ); плоскость, в которой он
лежит, задается нормалью e D , а его границы
задаются крайними ЛВ (левой и правой по
направлению сканирования маршрута съёмки),
составляющими с центральной ЛВ, то есть с r ЛВ
( e ЛВ ), угол 0 , равный половине угла сектора
захвата аппаратуры зондирования ( 0   [3]);
2
орты этих ЛВ вычисляются так:
(l )
e ЛВ
 e ЛВ cos  0  (e D  e ЛВ ) sin  0 ;
(r )
e ЛВ
 e ЛВ cos  0  (e D  e ЛВ ) sin  0 .
С поверхностью Ф  Ф (r ) сектор сканиро
вания S  S (r ) пересекается по элементарной
“полоске” (линии) Q  Q (r ) [5], которая пере
секает центральную линию маршрута съёмки
при r  r М ( s (t )) . При заданных маршруте съём
ки L (s ) , моменте начала его сканирования t 0 и
законе сканирования s  s (t ) , а также при за
данном уравнении движения К А в ви де
rКА  rКА ( t ) , крайние ЛВ сектора S будут вы
черчивать на поверхности Ф левую и правую
границы полосы сканирования Π  Π ( r ) отно
си тельно L , а и мен но:  Π ( l )   Π ( l ) ( r ) и
 Π ( r )   Π ( r ) ( r ) ; остальные части границы
Π – на момент начала сканирования и на момент
его окончания – будут задаваться элементар
 Π (0)  Q ( r (t 0 ))
ными
«п о л о с к а м и »
и
(f)
Π
 Q (r (t f )) для соответствующих момен
тов времени. Проекции центральной линии мар
шрута съёмки L и полосы сканирования Π на
поверхность общего земного эллипсоида G оп
~
~
ределяют кривую L и область Π , ограничен
ную соответствующими проекциями границ Π ,
~ (r )
~ (0)
~(f)
~
, Π
и Π
. По
а именно:  Π ( l ) ,  Π
скольку r  r ( B , L , H ) , где B , L , H – геодезичес
кие координаты точки, задаваемой радиусвекто
(9)
которую здесь можно рассматривать как уравне
ние поверхности Ф  Ф (r ) в явном виде, а также
как соответствующую параметризацию этой по
верхности [6]. Далее модель маршрута съёмки
(при заданных rКА  rКА ( t ) и s  s (t ) ), пред
ставленную его центральной линией L и поло
сой сканирования Π , будем называть физичес
кой моделью, а модель маршрута съёмки в виде
~
проекций L и Π на эллипсоид G , то есть L и
~
Π , – геодезической моделью (или моделью в гео
дезических координатах), в состав которой сле
дует также включить и модель рельефа (9).
С учетом (9) для поверхности Ф можно вве
сти векторную параметризацию в виде [6]:
r  f ( B, L) ,
а векторное уравнение кривой L  Ф в прост
ранстве тогда можно записать в виде
r  ψ () ,
где  – параметр, а ψ ()  f (1 (),  2 ()) . Ли
нии L на Ф в плоской области V отвечает ее
образ в виде параметризованной кривой l , урав
нения которой имеют вид
B  1() ; L  2 () ;
(10)
они называются внутренними уравнениями кри
вой L на Ф [6]. Соответственно, и для
G можно
~ ~
записать векторное уравнение r  f ( B, L) , где
~
r  G – радиусвектор точки, которая является
проекцией точки с радиусвектором r . Тогда
~
линию L  G в пространстве также можно за
дать векторным уравнением
~
~ () ,
r ψ
~
~
~
где ψ ()  f (1 (),  2 ()) . Образом L в обла
~
сти V будет кривая l . Очевидно, что она будет
описываться уравнениями (10) и, стало быть,
~
кривые l и l в области V совпадают, а уравне
ния (10) также будут внутренними уравнениями
~
и для кривой L на G .
Введение естественной параметризации цен
тральной линии маршрута съёмки и ее проекции
на поверхность общего земного эллипсоида при
~ ~
s)
формирования моделей L  L (s ) и L  L ( ~
(здесь ~
s – дуговая координата, отсчитываемая
~
от начала кривой L , которому соответствует
начало центральной линии маршрута съёмки
s тре
L (0) ), а также указание связи между s и ~
144
Механика и машиностроение
бует вычисления дифференциалов дуг на поверх
ностях Ф и G , а именно:
2
  dB 2
 dL   2
 dB  dL 
ds 2  E 
  d ;
G

  2F 
 d   
 d   d 
  d  
 ~  dB 2 ~  d L 2  2
d~
s 2  E 
 G
  d ,
 d   
  d  
2
 f 
 f
 , F  
где E  
 B
 B 
  f

  L
 f

 , G  

 L



2
~ 2
~ 2
 f 
~  f 



и E 
 B  , G   L  – коэффициенты пер




вых квадратичных форм, соответственно, для
~
поверхностей Ф и G (здесь F
 0 , так как геоде
зические координаты B, L образуют на G орто
гональную систему) [6]. Очевидно, что естествен
ная параметризация геодезической модели марш
s ) более удобна для
рута съёмки (с параметром ~
задания и описания его основных элементов и ха
рактеристик. В конечном счете, исключение па
~ ~
раметра  в r  ψ () и r  ψ () доставляет ис
~
комую связь: s   (s ) . В свою очередь, естест
венная параметризация физической модели
маршрута съёмки вводится тогда, когда необхо
димо найти закон его сканирования из решения
(10) и сформировать соответствующую програм
му углового движения КА, а также при вычисле
нии какоголибо показателя качества сканирова
ния маршрута съёмки с учетом рельефа района
зондирования [5].
В дополнение к образу центральной линии
маршрута съёмки в виде кривой l в области V
~
введем также образ полос сканирования Π и Π
в виде области VΠ  V , границы которой опре
деляются внутренними уравнениями для левой,
правой, начальной и конечной границ Π (или
района зондирования в виде заданной области
~
X  G , образом которой в V является V X  V ;
~
вовторых, множество «центров» Y  G , с эле
ментами в виде гладких кривых без самопересе
~
чений и ограниченной кривизны M  Y  G . На
каждой такой кривой будет указываться какая
либо «начальная» точка m 0  M , от которой
~ ) в направлении скани
вдоль кривой M  M (s
рования отсчитывается дуговая координата ~
s.
Кроме того, введем также функцию «расстояния»
~
~
от точек x  X до кривых M  Y , определяя ее
как наименьшую длину геодезической кривой (на
~
поверхности G ), соединяющую x  X с точкой
m (~
s x )  M , то есть ( x , M )  ( x , m ( sx )) , где
~
s x – дуговая координата точки
m (~
s x )  M , наи
~
более близкой к точке x  X  G . Если ξ  V X
~
– образ точки x  X , а μ ()  VY  V – образ
~ )  M , то и в области V можно также
кривой m (s
ввест и ф ун кци ю « расстояни я» , п рин яв
( ξ , μ )  ( ξ , μ (  ))  ( x , M ) , где значение
параметра  соответствует значению ~
sx .
~
Итак, выделим в Y некоторую
конечную
си
~
M

Y
стему «центров»
,
,
или
k

1,
2,...,
n
k
~
{M k }n  Y , указав для каждого из них «началь
(k )
ную» точку m 0  M k и направление отсчета
дуговой координаты ~
s . Кроме того, введем
(k )
t  [t (0k ) , t (fk ) ]
(ли бо
s (k )  s (k ) ( t ) ,
~
s ( k )   1 ( s ( k ) ( t )) ). Очевидно, что из условий
k
физической реализуемости необходимо, чтобы
n
 [t (0k ) , t (fk ) ]   , и, если «центры» перену
k 1
мерованы в п орядке сканирования соот вет
ствую щи х и м мар шр ут ов съём ки , т о долж но выполняться еще одно условие:
n 1
 (t (0k 1)  t (fk ) )  Tmin , где Tmin – суммарное
~
Π ). В связи с этим необходимо отметить, что гра
ницы полосы сканирования для заданного марш
рута съёмки, вообще говоря, зависит от выбора
начального момента времени сканирования t 0 и
закона сканирования s  s (t ) или ~
s   1 ( s ( t )) .
Поэтому ширина полосы сканирования (точнее,
ее максимальная полуширина), вообще говоря,
будет варьироваться соответствующим образом.
Поскольку ее поперечные размеры определяют
ся, в первую очередь, постоянным углом сектора
захвата аппаратуры зондирования, постольку в
качестве радиуса покрытия далее будет рассмат
риваться параметр 0 .
Переходя непосредственно к постановке за
дачи, введем в рассмотрение: вопервых, модель
(k )
интервалы [t 0 , t f ] и законы сканирования
k 1
минимально допустимое время, необходимое для
перенацеливания аппаратуры зондирования КА
на межмаршрутных интервалах. На выбор «на
(k )
чальных» точек m 0  M k ( k  1,2,..., n ) также
накладываются такие ограничения, чтобы на
~ (0)
чальные элементарные «полоски»  Π k
нахо
дились за пределами района зондирования
~
X  G , а при выборе законов сканирования и
(k )
(k )
интервалов [t 0 , t f ] то же самое должно обес
~(f)
печиваться и для  Π k . Очевидно, что с учетом
145
Известия Самарского научного центра Российской академии наук, т. 15, №6, 2013
указанных ограничений для системы «центров»
~
{M k }n  Y , для заданной траектории полёта
КА rКА  rКА ( t ) и заданном параметре  0  0 ,
~
рассматриваемом как «радиус покрытия» для X ,
каждому такому «центру» можно поставить в
~
соответствие подмножество в X в виде пересе
чения района зондирования и k й полосы ска

~
нирования: E  ( M k )  x  X
0
 Π k , и для
~
~
каждого «центра» M p  {M k }n  Y ( 1  p  n )
~
в X можно указать его область Дирихле
~
D ( M p )  { x  X : ( x , M p ) 
 ( x , M k ), k  1,2,..., n, k  p} ,
размеры которой можно определить так:
Ap  Ap ( M p ) 
max
x D ( M p )
( x , M p ) .
~
По оп ределению , сист ема {M k }n  Y
~
покрывает множество X с радиусом  0  0 , если
выполняется условие:
~
X
n
E
k 1
0
(M k ) ,
(11)
то есть каждая точка района зондирования
~
x  X в этом случае будет принадлежать хотя
~
бы од ной и з п олос скан ир ования Π k
( k  1, 2,..., n ).
Теперь можно сформулировать следующую
задачу, которая аналогична задаче о минималь
ном радиусе покрытия (задача 1 или задача 3), а
также взаимную к ней задачу. ~
Задача 5. Для заданного X требуется выб
~
рать такую систему n «центров» {M k }n  Y
( n  1 ), чтобы условие (11) для него выполнялось
с наименьшим значением  0  0 .
Соответственно, можно сформулировать и
взаимную задачу к данной задаче.
Задача 6. Для заданного параметра  0  0
требуется выбрать такую систему «центров»
~
{M k }n  Y , чтобы условие (11) выполнялось
для наименьшего числа n .
Таким образом, в терминах теории оптималь
ных покрытий сформулированы основные задачи
оптимального многомаршрутного сканирования
произвольного района зондирования, характерные
размеры которого существенно превышают шири
ну полосы захвата оптикоэлектронной аппарату
ры зондирования КА ДЗЗ.
произвольными границами. Постановку дан
ной задачи отличает применение математичес
кой модели теории оптимальных покрытий за
данных областей некоторой системой «цент
ров» [1, 2] и их выбор в виде множества гладких
или кусочногладких кривых без самопересече
ния и ограниченной кривизны, моделирующих
проекции центральных маршрутов съёмки на
поверхность общего земного эллипсоида. Сфор
мулированы основные варианты задачи, кото
р ые ан алоги ч ны е зад ачам о ми н им альном
радиусе покрытия и о минимальном числе
«центров». При этом в качестве радиуса покры
тия принят угол захвата сектора сканирования
аппаратуры зондирования КА. В рамках поста
новки рассматриваем ой задачи приведены
общие модели для произвольных маршрутов
съёмки, которые допускают учет рельефа райо
на зондирования при построении полос скани
рования для них. Решение задачи многомарш
рутного сканирования районов зондирования
необходимо для формирования программы
управления угловым движением КА ДЗЗ, в том
числе для оптимизации соответствую щего
паттерна управления [7]. Кратко изложены
элементы основной математической модели
теории оптимальных покрытий. Также приве
дены примеры более сложных вариантов зада
ния покрываемого множества и множества
«центров» при постановке основной задачи о
минимальном радиусе покрытия.
Исследование проведено при поддерж ке
РФФИ, проекты № 13&08&97019 р_поволжье_а и
№ 13&08&97002 р_поволжье_а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Рассмотрена постановка задачи многомарш
рутного сканирования в режиме “push broom”
(«заметания») [35] районов зондирования c
7.
146
Пиявский С.А. Об оптимизации сетей // Известия АН
СССР. Техническая кибернетика, 1968. № 1. С.6880.
Брусов В.С., Пиявский С.А. Вычислительный
алгори тм оп тимального п окрытия областей
плоскости // Журнал ВМ и МФ. 1971. Т. 11. №
2. С.304312.
Лебедев В.В., Гансвинд И.Н. Проектирование систем
космического мониторинга / Основы дистанцион
ного зондирования. М.: Техносфера, 2006. 336 с.
Бакланов А.И. Системы наблюдения и мониторинга.
М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. 234 с.
Горелов Ю.Н., Данилов С.Б., Мантуров А.И., Пермя&
ков А.В. Оптимальное управление сканированием
маршрутов съемки для КА дистанционного зонди
рования Земли // Общерос. научнотехн. журнал
“Полет”. 2009. № 9. С.4955.
Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.:
Наука, 1990. 672 с.
Горелов Ю.Н., Данилов С.Б., Курганская Л.В., Манту&
ров А.И., Морозова М.В., Соллогуб А.В. Оптимиза
ция управления сканированием для геометрически
сложных маршрутов съемки при дистанционном
Механика и машиностроение
зондировании Земли из космоса // Сб. тр. XX
С.Петербургской междунар. конф. по интегрирован
ным навигационным системам. СПб.: ГНЦ РФ
ЦНИИ “Электроприбор”, 2013. С.212220.
ABOUT THE OPTIMAL MULTIROUTE SENSING PROBLEM
FOR THE EARTH REMOTE'SENSING SATELLITES
© 2013 Yu.N. Gorelov1, V.E. Yurin2, 3
1
Institute for the Control of Complex Systems of RAS, Samara
2
Samara State University
3
Federal State Unitary Enterprise
“State Research and Production Space Rocket Center “TsSKBProgress”, Samara
The article deals with the problem of optimal multiroute sensing of survey areas by the Earth remote
sensing spacecraft. The elements of the optimal coatings theory are summarized in this paper. Also it is
reviewed the problem’s statement variant of the optimal coating by strips of twodimensional domains
with arbitrary boundaries as part of that theory. The complete mathematical model of the single route in
the “push broom”mode is given. It is formulated a new application task of multiroute sensing area survey
based on a mathematical model of the optimal coatings theory.
Keywords: spacecraft, remote sensing, the mathematical model, scan line, optimal coverage, coverage
range, the covering “centers” system.
Yury Gorelov, Doctor of Technics, Deputy Director for Science.
E&mail: yungor07@mail.ru
Vitaly Yurin, Graduate Student, Deputy Chief of Department.
E&mail: yurin.vit@yandex.ru
147
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
11
Размер файла
412 Кб
Теги
земля, оптимальное, зондирование, многомаршрутном, дистанционное, аппаратов, космическое, сканирование
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа