close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об оптимальном управлении периодически нестационарным обобщенным автоматом в нечетких условиях.

код для вставкиСкачать
УДК 519.71
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 4
Е. Н. Мосягина
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕСТАЦИОНАРНЫМ ОБОБЩЕННЫМ АВТОМАТОМ В НЕЧЕТКИХ
УСЛОВИЯХ
1. Введение. В работах Р. Беллмана, Л. Заде [1] и С. А. Орловского [2] рассмотрена задача принятия оптимальных решений по воздействию на стационарный детерминированный абстрактный конечный автомат при нечетко определенной цели и простых нечетких ограничениях на входные символы. В настоящей работе подобная общая задача
исследуется применительно к принципиально новой автоматной модели — периодически нестационарному обобщенному детерминированному конечному автомату [3],
функционирующему в более сложных нечетких условиях.
2. Исследуемая автоматная модель. Периодически нестационарным обобщенным детерминированным конечным автоматом Ap d будем называть систему
Ap d = { X ( ) , A ( T ) , Y ( T ) , a i o , f ( T ) , f ( T ) , t Q , T ) ,
T
(1)
где tQ —длина предпериода, T — период повторения параметров структуры автомата, т = т ( t ) — структурный номер такта, который определяется через текущий номер такта t
= 0,1 , 2 . . . следующим образом:
Т
Т
т(t) = It
Т ( ) 1 ( t - tQ
=
при t < ^
- 1)(modT) + tQ + 1 при t > t Q ,
(2)
X ( T ) , Y ( T ) —алфавиты входных (управляющих) и выходных символов, допустимых в г-ом такте, r = l , t o + T , Atyr^—множество состояний автомата в т-ом такте, т = 0 , t o + T ,
A ( t o + T ) = A(to\ A^ = { a i o } ; f ( T \ ^т)-функции переходов и выходов автомата в т-ом структурном такте, f ( T ( t ) ) = f ( T ( t ) ) ( a i t - 1 , x s t ) = ait, l(T( t ) ) = f ( T ( t ) ) ( a i t _ 1 , x s t ) = y it, где a i t _ 1 G
A(T( t —1 ) ) , a u G A(T( t ) ) , x s t G X ( T ( t ) ) , yl t G Y( T ( t ) ) .
В начальный момент времени t = 0 параметры структуры автомата (1) задаются алфавитом A(Q). Далее, согласно (2), с момента времени t = 1 до t = tQ структура автомата (1)
определяется алфавитами X ( T ) , Y ( T ) , A(T) и функциями f ( T ) , f ( T ) при т = t , а с момента времени t = tQ + 1 — меняется периодически с периодом T и определяется этими
алфавитами и функциями при т = (t — tQ — 1)(modT) + tQ + 1.
3. Нечеткие ограничения и нечеткая цель. В каждом текущем такте t на входной управляющий символ автомата (1) накладывается нечеткое ограничение C t = C T ( t ) ,
—
являющееся нечетким множеством в ( A ( T —1 ) x Y ( T 1 ) ) x X ( T ) с функцией принадлежности /jT( ( a i , y i ) , x s ) , a i G A(T—1 ) , y i G Y ( T —1 ) , x s G X ( T ) , принимающей значения из
интервала [0,1]. Кроме того для фиксированного структурного такта т = N > tQ автомата (1) задается нечеткая цель — нечеткое множество GN, определяемое функциями
принадлежности p N ( a i ) и ļ j , N ( y i ) , a i G A ( N ) , y i G Y ( N ) , и коэффициентами Aili G [0,1] относительной важности ai перед yi .
G
© E. H. Мосягина, 2007
G
4. Постановка задачи. Задан периодически нестационарный автомат Ap d, структурный такт т = N и нечеткая цель, определяемая функциями принадлежности P G N ( a i N ) ,
ļ j , N ( y i N ) и коэффициентами Aili, Au G [0,1]. Кроме того на входные управляющие символы автомата наложены нечеткие ограничения С^т\(а1, y i ) , x s ) , т = l , t o + Т . Задача
заключается в нахождении множества максимизирующих решений для текущих тактов tN = N + nT, n = 0,1 , . . . , под которым понимается множество входных управляющих
последовательностей (слов в алфавите X = UT X( T ) ), каждая из которых строится при условии достижения максимально возможной степени принадлежности заданной цели с
учетом полученных решений на предыдущих этапах.
5. Метод решения задачи. Прежде всего преобразуем заданную нечеткую цель GN в нечеткое множество в A(N) x Y( N ) . В этом случае функция принадлежности P G N ( a i N , y i N )
нечеткой цели G N определяется как выпуклая комбинация функций принадлежности P G N ( a i N ) и P G N ( y i N ) следующим образом:
G
P G N ( a i N , y i N ) = A i i P G N ( a i N ) + ( 1 - A i i ) P G N ( y i N ) , A u G [0,1 ] .
(3)
Решение поставленной задачи начнем с нахождения максимизирующего решения для автомата Ap d с начальным состоянием ai0 и фиксированным временем окончания
процесса tN = N + nT при n = 0. Искомое решение, аналогично представленному в [1], определим как нечеткое множество D — пересечение нечетких ограничений с заданной
целью:
D = C Q П C 1 П . . . П C N — 1 n G N . Пусть wQ = x s 1 , . . . , x s N — управляющее воздействие, тогда
PD (wQ ) = min(P1 (ai 0 ,xs 1 ), . . . , P N ( ( a i N - 1 , y i N - 1 ) , x s N ) , P G N ( a i N , y i N ) ) .
Необходимо найти последовательности wQ , максимизирующие PD . Представим решение в виде x St+1 = Kt+i(a,it,yit), t = 0,N — 1, где 7rt+i —принятое правило выбора
x St+1 в зависимости от ( a i t , y i t ) . Для получения как n t + 1 , так и максимизирующего решения, которое обозначим wM, можно применить метод обратных итераций [1]:
PD
(wQf)
=
= max m axmin(P1 (ai 0 x ) , . . . , P N ( ( a i N - 1 , y i N - 1 ) , x s N ) , P G N ( f ( N ) , < f ( N ) ) ) , ( 4 )
X
S1 ,---,xSN
—
1
x
SN
где ( f ( N \^ ( N ) ) = ( a i N , y i N ) = ( f ( N ) ( a i N — 1 , x s N ) , V ( N ) ( a i N — 1 , x s N ) ) . Обозначим
P GN—1
(a
i
N — 1
,
y iN—1
)
=
m axmn(PN
Xs
((a
i
N— 1
,
y iN
— 1
),
x
s
N
),
P GN
(f
N ),
¥ >(N)) ) .
N
Тогда равенство (4) приводится к виду
P D ( w M ) = i:nax m1n(P1 (a,i0 x) , . . . , P N— 1 ( ( a iN — 2 , y iN — 2 ) , x s N —1 ) , P GN — 1 ( a iN — 1 , y iN — 1 ) ) .
Xs
1 ,---XsN—1
Повторяя процесс обратных итераций, получаем систему рекуррентных уравнений, которая дает решение задачи:
PG
N
—v (ai N—v
=
,y i N — v )
max min(PN
=
— v+1((aiN
— V
,
yi
N—v ),xsN—v+1
) , P GN—v+1
(a
iN—v+1
^N—v+1
) ) , (5)
Xs
N—v+1
где ( f ( N v+1\ tp(N 1^+1>) = { a i N _ v + 1 , y i N _ v + 1 ) , V = 1, N . Максимизирующее решение wff получается последовательной максимизацией величин ļj,GN-v (aiN-v, yiN-v). Обозначим
множество таких решений через ZoN, а соответствующее им значение функции po(wff) через Jj,Qо.
Теперь будем рассматривать периодическую часть автомата (1) как новый автомат A'pd. Зафиксируем время окончания процесса tN = N + T, n = 1. В качестве начальных
состояний выберем состояния, достигаемые автоматом (1) в момент времени tN = N при wM G ZoN. Максимизирующие решения для нового автомата находятся аналогичным
образом. Обозначим их через ZN(N+T), а значение функции |D ( w M ) , соответственно, через J j, Q i. Затем ищутся максимизирующие решения Z ( N +т )(N+2T) для автомата A'pd
с фиксированным временем окончания процесса tN = N + 2T, n = 2 и начальными состояниями, которые были достигнуты автоматом Apd при tN = N + T, и т. д. Алгоритм
повторяется до тех пор, пока не найдутся такие значения к — 1 , к, при которых конечные состояния a,N+(k-i)T и a,N+kT совпадут.
В общем случае для t = N + nT, n = 0 , 1 , 2 , . . . , множество управляющих слов, обеспечивающих достижение максимизирующих решений в заданных условиях, будет
определяться регулярным выражением
Z
= Z0N
U Z0NZ N ( N +T) U
...
U Z0N
. . . Z*N+(k-1)T)(N +kT).
Для каждого wM G Z, \wM \ = tN = N + nT, значение функции принадлежности результата заданной цели определяется выражением
6. Пример. Задан автомат Apd, у которого to = 2, T =
и выходов у
3, а алфавиты входных и выходных символов X( т ) , Y( т ) , множество состояний А ( т ) и функции переходов f( т )
(т),
1, 5, задаются следующими таблицами:
(/(1),у(1))
ар
ai
(/(3)^(3))
Xl
(ai,yi)
Xl
(a1,y2)
X2
(a2,y1)
X2
(a> 2 , y 2
X3
(a1,y1)
X3
а2
(a3,y
1)
( а 3 ,У 3 )
)
(7)
3
(a1,y1
)
(а1,У
з)
(/(2)^(2))
ai
«2 (/(4),У(4))
X2
(a2,y1)
(a>2,yi)
X2
(a2,y1)
ai
X4
(a2,y3)
(а1, У 4)
X4
(a2,y3)
ai
(/(5)^(5))
X2
(a2,y1)
X5
X6
(a1,y3)
(a1,y3)
a>2
аз
( a 2 , y 1 )(6 ( a 2 , y 1
) )
( a i , y4)
(ai,y4)
a>2
(аиУз
)
(a2, y i)
(a2,
y 3)
Для структурного такта т = N = 3 > t o = 2 задана нечеткая цель,
определяемая функциями принадлежности |G3 (ai3), IG3 ( y i 3 ) и
коэффициентами \ц:
\i
Jh
а\
1
4
а2 а3
агз
ai
MG3(^i3) Ж"
2 5
У2
Уз
Y~
1
2
0
—
i
6
a>2
аз
Vi
0,6
0,3
Mc3(^3)
з
ž/i
У2
Уз
0,8
0,4
0,9
где «—» соответствует недостижимым комбинациям (a,i,yi) в ( 6 ) . Также заданы нечеткие ограничения Cr на
входные символы в структурных тактах r = 1, 5:
Таблица 1. (n = 0, tN = 3)
где /лт = /лт((aiT-1, yiT-1), xST). Требуется найти множество максимизирующих решений при t = N + n ■
T = 3 + n ■ 3, n = 0 , 1 , . . .
Сначала по формуле (3), используя (7), определим значения функции принадлежности нечеткой цели:
/лаз (ai3 ,yi3).
Затем определим максимизирующее решение для случая n = 0, t = 1, 2, 3. Подставляя полученные значения (9) в
формулу (5), находим PGt и nt+1. Результаты расчетов представлены в табл. 1.
Максимизирующим решением будет единственное слово Z03 = x1x2x3, порождающее последовательность
состояний аоа1а2а1 и приводящее к значению функции принадлежности заданной цели ^G0 = 0, 7.
Далее, в качестве нового автомата A'pd рассматривается периодическая часть автомата Apd с фиксированным
временем окончания процесса tN = 6, n = 1. Функция принадлежности заданной цели PG^ = PG3 определяется
выражением (9). В качестве начального состояния берется состояние а1, достигнутое автоматом Apd в момент времени tN = 3. Как и в предыдущем случае задача решается последовательным применением формулы (5).
Результаты расчетов представлены в табл. 2.
Максимизирующим решением для автомата A' d является Z36 = x2x5x3, которое порождает последовательность
состояний a1a2a2a1. Значение функции принадлежности заданной цели определяется как JiQ i = 0, 8.
На этом анализ заканчивается, поскольку совпали конечные состояния при к — 1 = n = 0 и к = n = 1.
Таким образом, максимизирующим решением для автомата A d ( 1 ) является множество управляющих воздействий
p
p
Z = ZoaU Z03Z 3ļ = Z03(e U
6
Z 3ļ ) = Z 03 Z l6 = x1x2x3[x2x5x3] *, j GM = min[JG o ,J G 1 ] = min[0, 7; 0, 8] = 0, 7.
6
Summary
E. N. Mosyagina. On the optimal control of a periodically nonstationary generalized automaton under fuzzy conditions.
The problem of sequential optimal decision making on the control of a periodically nonstationary generalized automaton with fuzzy defined
goal in a general view and fuzzy restrictions on the choice of controlling is solved. The example of solving is given.
Литература
1. Беллман Р., Заде Л. Принятие решений в расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. М.: Мир,
1976. С. 172-215.
2. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации. М.: Наука, 1981. 206 с.
3. Пономарева А. Ю., Чирков М. К. Оптимизация обобщенных автоматов с периодически меняющейся структурой. СПб., 2000. 91 с.
Статья поступила в редакцию 17 мая 2007 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
470 Кб
Теги
оптимальное, условия, нечеткие, обобщенные, управления, периодических, нестационарные, автоматов
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа