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Об оптимальности особых по компонентам управлений в системах Гурса - Дарбу.

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ћ атематические проблемы управлени¤
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”ƒ 517.977
ќЅ ќѕ“»ћјЋ№Ќќ—“» ќ—ќЅџ’ ѕќ ќћѕќЌ≈Ќ“јћ
”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»… ¬ —»—“≈ћј’ √”–—ј ? ƒј–Ѕ”
Ў.Ў. ёсубов
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?????л??м?? ???ц??? ??????????? ?????м?? г??????л?ч????? ?????????
2
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(1)
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t ? T,
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x ? X,
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(2)
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w(t, x) = (w1(t, x), ..., w r (t, x)), 0 ? r0 ? r, r0 + r1 = r;
1
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? ??ч????? м???????? д??????м?? ?????л????
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r
u(t, x) = (v(t, x), w(t, x))' ? U ? R ,
(t, x) ? D.
(3)
CONTROL SCIENCES є 5 ? 2014
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ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
???м? ??г?, ???д??л?г??м, ч?? ?????ц?? ??ч???? U дл? ???д?г? v ?? r1-м????? ????????????
??л????? ???????м м????????м.
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?????м? ???д??л?г?????, ч?? ???д?м? д??????м?м? ?????л???ю (v(t, x), w(t, x))' ?????????????
?д?????????? ????лю??? ??????????? ??ш????
z(t, x) ??д?ч? (1), (2), ????д?л????? ?? D.
??д?ч? ???люч????? ? м???м???ц?? ????ц????л?
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????м?ль????? ?????г? ? ??????г? ????д???.
?????д?м ???м??, ? ??????м ????????????, ч??
???м?????? ????????? ????ль????? [2?15] ? д??????м?м? ?????л???ю, ?д??л??????ю??м? ??л???ю м????м?м?, ??ль?? ???люч??ь ?? ч??л? ??????д????? ?? ????м?ль????ь.
??????. ????ь м???м????????? ????ц????л
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(4)
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???????????, ? (v(t, x), w(t, x), z(t, x)) ? ????м?ль??м ???ц????м.
????ь (v(t, x), w(t, x), z(t, x)) ? ?????????????
д??????м?? ???ц??? ? ??д?ч? (1)?(4). ???д?м
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H(t, x, p(t, x), v, w, ?(t, x)) ?
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? f(t, x, p(t, x), v(t, x), w(t, x)),
fp(t, x) ? fp(t, x, p(t, x), v(t, x), w(t, x)) ? ?. д.
?д??ь ?(t, x) ? n-м????? ??????-????ц?? ??????????? ????м?????, ????д?л??м?? ??????ш????м
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4
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i = 1,2,
t ? T,
(5)
x ? X,
U = {(u1, u2)': u1 = 0, ±1, u2 ? (?1, 1)}.
???л?д??м ?? ????м?ль????ь д??????м?? ?????л????
(u1, u2)' = (0, 0)'. ???????????ю??? ???м? ?????л???ю ??ш???? ?????м? (5) z1(t, x) ? z2(t, x) ? 0, (t, x) ? D. ??м?ль?????? ?????м? ?м??? ??д H(t, x, p, v, w, ?) ? ?1|u1| +
4
+ ?2(u2z1t + 2 u 2 ), ? ?????м? ??????????? ?????????
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4
??????г??? ????л??????: ?uH = ?2 u 2 ? 0, ? ????ль????
????? [2?14] ???м????ь ? ???м? ???м??? ??ль??. ? д??г?? ???????, м???? ???????ь, ч?? ? ????ль???? ??????
[15] ?????л?ю? ?????л???? (0, 0)' ? ч??л? ??????д?????
?? ????м?ль????ь.
????м ??????м, ч???? ??л?ч??ь д???л????ль??ю
?????м?ц?ю ?? ????м?ль????? ???л?д??м?г? ?????л???? (0, 0)', ????? ????? ??????д?м?? ??л???? ????м?ль?????.
??ль д????? ?????? ???люч????? ? ????д? ????? ??????д?м?? ??л???? ????м?ль????? ? ????? ?л?ч???.
2. Ќ≈ќЅ’ќƒ»ћџ≈ ”—Ћќ¬»я ќѕ“»ћјЋ№Ќќ—“»
ќ—ќЅџ’ ѕќ ќћѕќЌ≈Ќ“јћ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»…
..., z(Tk, Xk))/?zi,
????ь (v(t, x), w(t, x), z(t, x)) ? ?????????????
д??????м?? ???ц??? ? ??д?ч? (1)?(4). ????д? ?
???ц????м (v(t, x), w(t, x), z(t, x)) ????м????м д??г?? д??????м?? ???ц???: ( v (t, x) = v(t, x) + ?v(t, x),
гд? Ђ'ї ????ч??? ????????????????, ? м????ц?????ц?? ?(t, x; ?, s) ? ??ш???? ????г??ль??г?
?????????
w (t, x) = w(t, x) + ?w(t, x), z (t, x) = z(t, x) + ?z(t, x)).
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?(t, x; ?, s) = E +
t
t x
?S(v, w) = ? ? ? [ ? v H(t, x) + H'w(t, x)?w(t, x) +
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x
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s
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+ --- ?p'(t, x)Hpp(t, x)?p(t, x) +
2
? ? ?(t, x; ?, ?)fz(?, ?)d?d? +
+ ? ?(t, x; ?, s) f z (?, s)d? +
?
x
? ?(t, x; ?, ?) fzt (?, ?)d?,
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 5 ? 2014
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3
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+ ?p'(t, x)Hpw(t, x)?w(t, x) +
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1
+ --- ?w'(t, x)Hww(t, x)?w(t, x) +
2
1
+ --- (?p'(t, x) ? v Hpp(t, x)?p(t, x) +
2
+ 2?p'(t, x) ? v Hpw(t, x)?w(t, x) +
t x
||?z(t, x)|| ? c ?
? x
||?zt(t, x)|| ? c ? ? || ? u f(t, s)||ds +
? x0
+ ?w'(t, x) ? v Hww(t, x)?w(t, x) +
2
+ o([||?p(t, x)|| + ||?w(t, x)||] )]dtdx +
1
+ --2
+
2
k
? ? ( z ( T 1, X 1 ), ..., z ( T k, X k ) )
- ?
?z'(Ti, Xi) ----------------------------------------------------------------------?z i ? z j
i, j = 1
?
?
? ?z(Tj, Xj)) + o ?
?
k
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i=1
2
?z ( T i, X i )
?
?,
?
(6)
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t ? T,
(t, x) ? D,
x ? X,
(7)
?
r(t, x) = ? v fw(t, x)?w(t, x) + ? v fz(t, x)?z +
+ ? v f z (t, x)?zt + ? v f z (t, x)?zx + o(||?z(t, x)|| +
t
x
+ ||?zt(t, x)|| + ||?zx(t, x)|| + ||?w(t, x)||);
(8)
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t x
?z(t, x) =
? ? ?(t, x; ?, s)( ?v f(?, s) +
t0 x0
+ fw(?, s)?w(?, s) + r(?, s))d?ds,
x
?zt(t, x) =
? ?(t, x; t, s)( ?v f(t, s) + fw(t, s)?w(t, s) +
x0
? ? ?(t, x; ?, s)( ?v f(?, s) +
t
?zx(t, x) =
t x
+ r(?, x))d? +
? ? ?(t, x; ?, s)( ?v f(?, s) +
t0 x0
+ fw(?, s)?w(?, s) + r(?, s))d?ds,
4
(9)
? ?(t, x; ?, x)( ?v f(?, x) + fw(?, x)?w(?, x) +
t0
?
? t
||?zx(t, x)|| ? c ? ? || ? u f(?, x)||d? +
? t0
(10)
t x
?
t0 x0
?
? ? || ?u f(?, s)||d?ds ? ,
(t, x) ? D
(11)
? ??л???? м????м?м? ??????г???
?vH(t, x) ? H(t, x, p(t, x), v, w(t, x), ?(t, x)) ?
? H(t, x, p(t, x), v(t, x),
w(t, x), ?(t, x)) ? 0, (v, w(t, x))' ? U,
(t, x) ? [t0, t1) ? [x0, x1).
(12)
??????? 1 [15]. ???? ?????????? ??????????
(v(t, x), w(t, x))' ????????????? ??????? (11), ?? ???
??? ????????????? ? ?????? (1)?(4) ??????????,
????? ??????????? ??????? ???????? ? ??????
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w'Hww(t, x)w ? 0, w ? R ,
(t, x) ? [t0, t1) ? [x0, x1) ?.
(13)
??м???м, ч?? ?? ???люч??? ???м??????ь ?????д???? ??л???? ????м?ль????? (12) ? (13).
???????????. ???????м?? ?????л???? (v(t, x),
w(t, x))', ?д??л??????ю??? ??л????м (11)?(13), ??????м ?????м ?? ??м??????? v ? ?м??л? ????ц???
м????м?м? ??????г??? ? ?????м ?? ??м???????
w ? ?л????ч????м ?м??л?, ??л? ?????????? м???????? U0 ? U ?????, ч?? ????л??ю??? ??л????
(14)
r1
t0 x0
+ fw(?, s)?w(?, s) + r(?, s))d?ds,
t0 x0
?vH(t, x) = 0, (v, w(t, x))' ? U0,
t x
+ r(t, s))ds +
?
? ? || ?u f(?, s)||d?ds ? ,
Hw(t, x) = 0,
x
+ ? v f(t, x) + fw(t, x)?w(t, x) + r(t, x),
t x
гд? c = const > 0.
?? ????????? (6) ?л?д?ю? ???л?г ?????????
??л???
гд? ?z(t, x) ? ??ш???? ??д?ч?:
t
? || ?u f(?, s)||d?ds,
t0 x0
w'Hww(t, x)w = 0, w ? R ,
(t, x) ? [t0, t1) ? [x0, x1),
(15)
гд? U0/{(v(t, x), w(t, x))' } ? ?, (t, x) ? D.
????, ч?? ??? ????л????? ??л???? (14), (15)
????ц?? м????м?м? ??????г??? (12) ? ??л????
?????д?? ? ?л??ш? (13) ?????д?ю??? ? ?? д?ю?
??????? ?????м?ц?? ?? ????м?ль????? ???л?д??м?г? ?????л????. ?????м? ?????ю??? д???л????ль??? ???л?д??????.
CONTROL SCIENCES є 5 ? 2014
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ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
?л? ??л?ч???? ????? ??????д?м?? ??л???? ????м?ль????? ?????ц?ю ?????л???? (v(t, x), w(t, x))'
????д?л?м ? ??д?
?v(t, x) =
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ч?? ?? ????????? (18) ?л?д??? ???????????
2
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2
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(16)
? 0, ( t, x ) ? D\ { ( ? ? ac?, ? ] ? [ ?, ? + ? 2 ) },
2
? ??w ( t, x ), ( t, x ) ? [ ?, t 1 ] ? [ ?, ? + ? ),
?w(t, x) = ?
, (17)
? 0, ( t, x ) ? D\ { [ ?, t 1 ] ? [ ?, ? + ? 2 ) },
2
гд?
a1(?, ?; v) ? ?v H z' (?, ?)?v f(?, ?) +
x
+ ?v f'(?, ?)?1(?, ?)?v f(?, ?),
b1(?, ?; w) ? w'( H wz (?, ?) +
x
+ f w' (?, ?)?1(?, ?))fw(?, ?)w.
r1
?? ???ч????м? ?? R , ? > 0 ? д??????ч?? м?л??
ч??л?, ????? ч?? t0 < ? ? ac? < ? < t1, x0 ? ? < ? +
???л?г?ч?? д??????????? ???????????
2
2
a a2(?, ?; v) + 2ab?v f'(?, ?)( H z
гд?
a2(?, ?; v) ? ?v H z' (?, ?)?v f(?, ?) +
x
+ ?v f'(?, ?)?2(?, ?)?v f(?, ?),
b2(?, ?; w) ? w'( H wz (?, ?) +
x
+ f w' (?, ?)?2(?, ?))fw(?, ?)w,
x
+ ?v f'(?, ?)?1(?, ?)?v f(?, ?)) + 2ac?v f'(?, ?) ?
? ?'(t, ?; ?, ?)
?
x zx
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?
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(t, ?) ? ?(t, ?; ?, ?) ?
? fw(?, ?)?w(?, ?)d? + H z
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(t, ?)?w(?, ?) dt +
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(t, ?)?w(t, ?) dt ? 0,
(18)
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?
????м ??????м, д???????
??????? 2. ???? (v(t, x), w(t, x))' ? ?????? ?? ?????????? v ? ?????? ???????? ????????? ?????????? ? ?????? ?? ?????????? w ? ???????????? ??????
??????????? ?????????? ? ?????? (1)?(4), ?? ?????
???????? (v(t, x), w(t, x), z(t, x)) ??????????? ???????
2
a a1(t, x; v) + 2ab?v f'(t, x)( H z
? Hz
? Hz
(t, x) +
2
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(t, ?)?(t, ?; ?, ?)dt.
??л??, ??л?г?? c = ?1 > 0 ?
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? 0, t ? [ ?, ? + b? 1 ),
ѕ – ќ Ѕ Ћ ≈ ћ џ ” ѕ – ј ¬ Ћ ≈ Ќ » я є 5 ? 2014
(19)
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2
a a2(t, x; v) + 2ab?v f'(t, x)( H z w (t, x) +
t
+ ?2(t, x)fw(t, x))w + b b2(t, x; w) ? 0
t
?
xw
+ ?1(t, x)fw(t, x))w + b b1(t, x; w) ? 0,
2
?1(?, ?) = ? ?'(t, ?; ?, ?) H z
(?, ?) +
2
2 2
?
xw
+ ?2(?, ?)fw(?, ?))w + b b2(?, ?; w) ? 0,
a c (?v H z' (?, ?)?v f(?, ?) +
t1
(?, ?) +
+ ?1(?, ?)fw(?, ?))w + b b1(?, ?; w) ? 0,
гд? a > 0, c > 0 ? ???????ль??? ч??л?,
(v, w(t, x)) ? U, (t, x) ? D, ?w(t, x), (t, x) ? D, ???????ль??? ????ч??-??????????? ??????-????ц??
+ ? < x1, (v(t, x), w(t, x) + ??w(t, x))' ? U, (t, x) ? D,
(?, ?) ? ??ч?? ????????????? ????ц?? (v(t, x),
w(t, x))'.
? ??л? ????м?ль????? ?????г? ?? ??м??????? v
? ?м??л? ????ц??? м????м?м? ??????г??? ? ?????г? ?? ??м??????? w ? ?л????ч????м ?м??л? ?????л???? (v(t, x), w(t, x))', ? ?ч???м ????????? (9),
(10), (16) ? (17) ? ???м?л? (6) ?м??м
xw
(20)
r1
??? ???? a > 0, b > 0, (v, w(t, x))' ? U0, w ? R ,
(t, x) ? (t0, t1) ? (x0, x1). ?
?? ??л???? (19) ? (20) ????????
?????????. ?л? ????м?ль????? ?????г? ?? ??м??????? v ? ?м??л? ????ц??? м????м?м? ??????г??? ? ?????г? ?? ??м??????? w ? ?л????ч????м
5
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ћј“≈ћј“»„≈— »≈ ѕ–ќЅЋ≈ћџ ”ѕ–ј¬Ћ≈Ќ»я
?м??л? ?????л???? (v(t, x), w(t, x))' ? ??д?ч? (1)?(4)
??????д?м?, ч???? ????л??л??ь ???????????
a1(t, x; v) ? 0,
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xw
b1(t, x; w) ? 0,
(t, x) + ?1(t, x)fw(t, x))w ?
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a 1 ( t, x; v )?b 1 ( t, x; w ) ,
?
?
a2(t, x; v) ? 0,
b2(t, x; w) ? 0,
?v f'(t, x)( H z w (t, x) + ?2(t, x)fw(t, x))w ?
t
a 2 ( t, x; v )?b 2 ( t, x; w ) ,
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(21)
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??? ???? (v, w(t, x))' ? U0, w ? R , (t, x) ? (t0, t1) ?
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CONTROL SCIENCES є 5 ? 2014
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