close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об оптимальных квадратурных формулах для вычисления криволинейных интегралов.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2013, том 56, №2
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов
ОБ ОПТИМАЛЬНЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ
КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Институт математики им.А.Джураева АН Республики Таджикистан
Рассматривается задача оптимизации погрешности квадратурных формул для приближѐнного вычисления криволинейных интегралов первого рода на классах функций и кривых, задаваемых
модулями непрерывности. Даѐтся точное решение этой задачи на широких классах функций m переменных, определѐнных вдоль кривой интегрирования.
Ключевые слова: криволинейные интегралы первого рода – кубатурная формула – вектор коэффициентов и узлов – модуль непрерывности – оптимальная квадратурная формула – погрешность.
В работе рассматривается задача о приближѐнном вычислении криволинейных интегралов
первого рода для некоторых классов функций и классов пространственных кривых, задаваемых модулями непрерывности.
Пусть функция f ( M )  f ( x1  x2 … xm ) определена и интегрируема вдоль кривой   Rm и
J ( f )   f ( M )dt   f ( x1 x2 … xm )dt 

(1)

Предположим, что на кривой  установлено положительное направление так, что положение
точки M  M ( x1  x2 … xm ) на кривой может быть определено длиной дуги t  AM  отсчитываемой
от начальной точки A Тогда кривая  параметрически выразится уравнениями
x1  1 (t ) x2  2 (t )… xm  m (t ) (0  t  L)
а
функция
f ( x1  x2 … xm )
заданная
в
точках
кривой,
сведѐтся
(2)
к
сложной
функции
f 1 (t )2 (t )…m (t )  от переменной t В этом случае интеграл (1) запишется в виде следующего
определѐнного интеграла
L
J ( f )   f 1 (t ) 2 (t )… m (t ) dt 
(3)
0
Всякая квадратурная формула
N
J ( f )  LN ( f  P T )   pk f (1 (tk ) 2 (tk )… m (tk ))
(4)
k 1
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе,
ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
93
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №2
для приближѐнного вычисления интеграла (3) задаѐтся векторами коэффициентов P  { pk }kN1 и векторами узлов T  {tk  0  t1  … t N  L} где p1  p2 … pN — произвольные действительные числа.
При фиксированном N  1 через  будем обозначать множество векторов коэффициентов и узлов
( P T ) либо некоторое его подмножество, определяемое теми или иными ограничениями на коэффициенты и узлы формулы (4) (например, требование точности формулы (4) на многочлены заданной
степени и др.).
Погрешность квадратурной формулы (4) обозначим
 RN ( f  P T )  J ( f )  N ( f  P T )  
Если M — некоторый класс функций { f (1 (t )  2 (t )…  m (t ))} определѐнных в точках
кривой  и интегрируемых, как сложная функция параметра t на отрезке [0 L] то за величину,
характеризующую точную оценку погрешности, примем величину
RN (M P T )  sup   RN ( f  P T )  f  M
Пусть N( L) — класс кривых  заданных параметрическими уравнениями (2), длина которых не превосходит L Наибольшую погрешность квадратурной формулы (4) всего класса функций
M на классе кривых N( L) обозначим
RN (M N( L) P T )  sup{RN (M P T )    N( L)}
Для того чтобы получить оптимальную квадратурную формулу на классах функций M и
кривых
N( L)
потребуем,
чтобы
формула
(4)
была
f (1 (t ) 2 (t )… m (t ))  const то есть чтобы выполнялось равенство
точна
N
p
k 1
k
N (M N( L))  inf RN (M N( L) P T )  ( P T )  
для
функции
 L Нижнюю грань
(5)
по аналогии с определением из монографии [1], будем называть оптимальной оценкой погрешности
квадратурной формулы (4) на классах функций M и кривых N( L) Если существует вектор
( P 0  T 0 )   для которого
N (M N( L))  RN (M N( L) P0  T 0 )
то этот вектор определяет наилучшую квадратурную формулу вида (4) в смысле С.М.Никольского [1]
на классах функций M и кривых N( L)
В данной работе исследуются квадратурные формулы (4) с произвольными векторами коэффициентов P  { pk }kN1 и векторами узлов
T  {tk  0  t1  t2 … t N  L}
94
Математика
М.Ш.Шабозов
H   H  [0 L] — множество функций
  Обозначим через
принадлежащих множеству
 (t )  C[0 L] удовлетворяющих условию
  (t  )   (t  )    t   t    t   t   [0 L]
где  ( ) — заданный модуль непрерывности, то есть неубывающая полуаддитивная функция, в
нуле равная нулю. Через H
1 …m
[0 L] обозначим класс гладких кривых   R m  заданных парамет-
рическими уравнениями (2), у которых координатные функции i (t )  H i [0 L] i  1 2… m то
есть i (t ) — непрерывные на отрезке [0 L] функции, имеющие мажорантой модуля непрерывности
 (i   ) заданный модуль непрерывности i ( )
Решения
экстремальной
задачи
(5)
зависит
от
выбора
метрики
в
Rm 
Если
M   M ( x1  x2 … xm )  Rm  M   M ( x1  x2 … xm )  Rm  то введѐм в рассмотрение следующие метрики:
a) хэмминговорасстояние 1 ( M   M  ) 
b) евклидоворасстояние  2 ( M  M ) 


m
 x  x

i
i 1
 m

 

 i


 i 1


i

i
x x

1 2
2
 
 


c) расстояниеМинковского 3 (M   M  )  max  xi  xi  
1i m
Через M обозначим класс функций f ( M )  f ( x1  x2 … xm ) определѐнных на кривых
H
1 …m


и для любых двух точек M  M   удовлетворяющих условию
 f ( M  )  f ( M  )   ( M   M  )


где  ( M  M ) есть одно из перечисленных выше расстояний a) – c).
Таким
образом,
будем
писать
f (M )  M1 
если
для
M   M     H 1 …m выполняется неравенство
m
 f ( M )  f ( M )    xi  xi 


i 1
   i (t  )  i (t  )   i  t   t    t   t   [0 L]
m
m
i 1
i 1
а если f (M )  M2  то имеем
1 2
m

 f ( M )  f ( M )   i2  t   t     t   t   [0 L]
 i 1



95
любых
двух
точек
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №2
Аналогичным образом будем писать f (M )  M3  если
 f (M  )  f (M  )  max i ( t   t  ) t   t  [0 L]
1i m
В принятых обозначениях сформулируем основной результат работы.
Теорема 1. Среди всех квадратурных формул вида (4) с произвольными векторами коэффициентов и узлов ( P T ) , T  {tk  0  t1  … t N  L} P  { pk }kN1 наилучшей для классов функций
Mi  (i  1 2 3) и кривых H
1 …m
является формула средних прямоугольников
L
 f  (t )…
1
m
(t ) dt 
0

L N

N k 1
  2k  1 
 2k  1  
f  1 
L  … m 
L    RN ( f )
 2N  
  2N 
(6)
При этом для погрешности формулы (6) на классах функций Mi  (i  1 2 3) и кривых
H
1 …m
справедливы точные оценки




N M 1  H




N M  2  H
1 …m
1 …m




m L  (2 N )
 (2 N )
i 1
L  (2 N )




 (2 N )

0




 N M 3  H
1 …m
 (2 N )

0
i (t )dt 
(7)
0
1 2
m 2 
 i (t )  dt 
 i 1

(8)
max  (t)dt
(9)
L  (2 N )





1i  m
i
Доказательство теоремы 1 базируется на следующей лемме, являющейся несложной модификацией леммы 2 из [2].
Лемма. Пусть  i (t ) (i  1 2… m) — неубывающие для 0  t  L функции. При фиксированном N   каждому вектору
T  {tk  0  t1  t2  … t N  L}
сопоставим функции
m
g1 (T  t )  min  i ( t  tk ) (0  t  L)
1 k  N
i 1
m
g 2 (T  t )  min  i2 ( t  tk
1 k  N
 i 1
96
1 2

)   (0  t  L)

Математика
М.Ш.Шабозов
g 3 (T  t )  min max i ( t  tk ) (0  t  L)
1 k  N 1i  m
Тогда, если T 0  {tk0  tk0  (2k 1) L  (2N ) k  1 2… N} то для любого вектора T справедливо неравенство
L
g
0
L
j
(T  t )dt   g j (T 0  t )dt  j  1 2 3
0
f (1 (t )… m (t )) определѐнных на кривых
Пусть M2 i (i  1 2 3) – класс функций
  H 1 …m и, для которых в любых точках t [0 L] и (t   ) [0 L] выражение
 f (1 (t   )… m (t   ))  f (1 (t   )… m (t   )) 
2 f (1 (t )… m (t )) 
не превосходит соответственно
1 2
m
2  (  ) 2 i2 ( 
i 1
 i 1

)   2 max i (  )
1i  m

m
2
i
Для этих классов функций справедлива следующая
Теорема 2. Среди всех квадратурных формул вида (4) с произвольными векторами коэффициентов и узлов ( P T )   наилучшей для классов Mi  M2 i и кривых H
1 …m
является формула
(6). При этом для погрешности формулы (6) на указанных классах функций и кривых справедливы
равенства
N (M2 i  H 1 …m )  N (Mi  H 1 …m ) (i  1 2 3)
(12)
где значения правой части равенства (12) при i  1 2 3 соответственно определяются соотношениями (7)-(9).
В случае, когда i (t )   (t ) i  1 2… m 0  t  L класс кривых H
Имеет место следующее утверждение.
Следствие. В условиях теорем 1 и 2 справедливы равенства

N (M 2 1  H m)  

N 
M 1  H
 
m 
L  (2 N )
 2mN

 (t )dt
0
N (M 2 2  H m)  N  M 2  H
 
m 
L  (2 N )

2 mN
 (t )dt
0
N (M 2 3  H m)  N  M 3  H
 
m   2 N
L  (2 N )

0
97
 (t )dt
1 …m
обозначим H m
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2013, том 56, №2

В частности, для класса Гѐльдера при  (t )  Kt ( K  0 0    1) 
N (M 2 1  KH m ) 
KmL 1

(  1)(2 N )
K mL 1
N (M2 2  KH m ) 

(  1)(2 N )

N (M 2 3  KH m ) 
KL 1

(  1)(2 N )
Отметим, что доказанные теоремы 1 и 2 являются обобщением для случая m переменных соответствующих результатов из [4].
Поступило 23.11.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1.
2.
3.
4.
Никольский С.М. Квадратурные формулы. – М.:Наука, 1979.
Корнейчук Н.П. — Матем. заметки, 1968, т.3, 5, с.565-576.
Hardy G.G., Littlewood J.E. and Polya G. Inequality. — Cambridge University Press. 2nd ed. 1952.
Шабозов М.Ш., Сангмамадов Д.С. — ДАН РТ, 2012, т.55, 11, с.847-852.
М.Ш.Шабозов
ДАР БОРАИ ФОРМУЛАЊОИ КВАДРАТУРИИ ОПТИМАЛЇ БАРОИ
ЊИСОБКУНИЊОИ ИНТЕГРАЛЊОИ КАЉХАТТА
Институти математикаи ба номи А.Љураеви Академияи илмњои Љумњурии Тољикистон
Дар маќола масъалаи оптимизатсиякунонии хатогии формулањои квадратурї барои
таќриби њисоб намудани интегралњои каљхаттаи љинси якум барои синфи функсияњо ва синфи
хатњои каљ, ки ба воситаи модулњои бефосилагї дода шудаанд, дида баромада шудааст. Њалли
аниќи ин масъала барои синфњои васеъи функсияњои m таѓйирёбанда, ки дар ќад-ќади хатњои
каљ муайянанд, ёфта шудааст.
Калимањои калидї: интегралњои каљхаттаи љинси якум – формулаи кубатурї – вектор
коэффисиентњо ва вектор гирењо – модули бефосилагї – формулаи квадратурии оптималї –
хатогї.
98
Математика
М.Ш.Шабозов
M.Sh.Shabozov
ABOUT THE OPTIMAL QUADRATURE FORMULAS FOR CALCULATION OF
CURVILINEAR INTEGRALS
A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic Tajikistan
Consider the problem of optimization of quadrature formula for approximate computation curvilinear integral of the first kind on classes functions and curved given by the modulus of continuity. The exact
solution of this problem on wide classes functions m-variable defined along curve integration is given.
Key words: the curvilinear integral of the first kind – cubature formula – the vector of coefficient and vector
nodes – modulus of continuity – the optimal quadrature formula – error.
99
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
353 Кб
Теги
интеграл, оптимальное, вычисления, формула, квадратурные, криволинейных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа