close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об отображении с минимальной емкостью разреза.

код для вставкиСкачать
7. Гасымов М. Г., Магеррамов А. М. О кратной полноте системы собственных и
присоединенных функций одного класса дифференциальных операторов //Докл. АН
Азерб. ССР. 1974. Т. 30, ќ 12. С. 912.
8. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Тр. семин. им. И. Г. Петровского. М. :
Изд-во Моск. ун-та. 1983. ќ 9. С. 190229.
9. Вагабов А. И. Введение в спектральную теорию дифференциальных операторов. Ростов н/Д : Изд-во Рост. ун-та. 1994. 160 с.
10. Рыхлов В. С. Кратная полнота собственных функций обыкновенного дифференциального полиномиального пучка // Исследования по теории операторов : cб.
стат. / БНЦ УрО АН СССР. Уфа. 1988. С. 128140.
11. Рыхлов В. С. Кратная полнота корневых функций одного класса пучков дифференциальных операторов // Математика. Механика : cб. науч. тр. Саратов : Изд-во
Сарат. ун-та, 2013. Вып. 15.
УДК 517.54
К. А. Самсонова
ОБ ОТОБРАЖЕНИИ С МИНИМАЛЬНОЙ
ЕМКОСТЬЮ РАЗРЕЗА
Настоящая статья посвящена решению экстремальной задачи о минимальной емкости разрезов в верхней полуплоскости H = {z ? C : =z >
> 0} и проходящих через заданные точки Ak ? H, k = 1, . . . , n. Обозначим через ?k , k = 1, . . . , n, разрезы в H, соединяющие точки Ak с вещественной осью R. Пусть конформное отображение f : H\
n
S
?k ?? H
k=1
?2
имеет гидродинамическую нормировку f (z) = z + zb + O(|z| ), |z| ? ?.
n
S
Тогда число b называется ѕемкостью
?k относительно Hї [1].
k=1
Рассмотрим экстремальную задачу о минимуме емкости
n
S
?k отно-
k=1
сительно H.
Теорема. Минимальная емкость
n
S
?k относительно верхней по-
k=1
луплоскости H для разрезов ?1 , . . . , ?n в H, соединяющих заданные точки Ak ? H, k = 1, . . . , n, с вещественной осью R, достигается только
в том случае, когда все ?1 , . . . , ?n являются отрезками, перпендикулярными к R.
Доказательство. Предположим, что кривые ?k задаются параметрическими уравнениями:
?k = {z ? C : z = ?k (t), 0 ? t ? T }, ?k (T ) = Ak .
69
Обратная к f (z) функция g := gT отображает H на H \
творяет дифференциальному уравнению Левнера
n
S
?k и удовле-
k=1
n
?2?k
dgt (w) X
=
, g0 (w) = w ? H,
dt
gt (w) ? uk (t)
(1)
k=1
где ?1 , . . . , ?n положительные числа,
n
P
?k = 1 [2], а u1 , . . . , un ? непре-
k=1
рывные управляющие функции на [0, T ]. Функции gt , 0 ? t ? T, допусS
кают непрерывные продолжения на H R.
Используя результаты работы [3], дадим эквивалентную двойственную формулировку рассмотренной экстремальной задачи: для решения
gt (w) уравнения (1), uk (0) = ak , k = 1, . . . , n, c заданными соотношени<? (T )
ями =?k1 (T ) , k = 2, . . . , n найти max=?1 (T ) = maxgT (u(T )).
Формализуем задачу как задачу оптимального управления. Введем
x1 (t) = <gt (w), x2 (t) = =gt (w). С помощью обратного уравнения Левнера получим динамическую систему:
n
dx1 X
2(uk (t) ? x1 )
=
?k 2
, x1 (0) = 0,
dt
x1 + x22 ? 2uk (t)x1 + u2k (t)
k=1
n
2x2
dx2 X
, x2 (0) = 0, k = 1, . . . , n.
=
?k 2
dt
x1 + x22 ? 2uk (t)x1 + u2k (t)
k=1
По принципу максимума Понтрягина оптимальное управление
k = 1, . . . , n, поставленной задачи при всех t ? 0 доставляет абсолютный максимум функция Гамильтона:
u?k (t),
H(t, x, ?, uk ) =
n
X
?k (
k=1
+
x21
+
2(uk (t) ? x1 )
?1 +
x21 + x22 ? 2uk (t)x1 + u2k (t)
x22
2x2
?2 ), k = 1, . . . , n,
? 2uk (t)x1 + u2k (t)
где вектор ? = (?1 , ?2 ) является решением сопряженной гамильтоновой
системы:
d?1
?H
=?
=
dt
?x1
=2
n
X
k=1
?k
?1 (x22 ? x21 + 2uk (t)x1 ? u2k (t)) + ?2 (2x1 x2 ? 2x2 uk (t))
,
(x21 + x22 ? 2uk (t)x1 + u2k (t))2
70
d?2
?H
=?
=
dt
?x2
=2
n
X
?k
k=1
?1 (2x2 uk (t) ? 2x1 x2 ) ? ?2 (x21 ? x22 ? 2uk (t)x1 + u2k (t))
,
(x21 + x22 ? 2uk (t)x1 + u2k (t))2
k = 1, . . . , n,
с начальными условиями ?1 (0) = ?1 , ?2 (0) = ?2 и условием трансверсальности ?1 (T ) = 0.
Так как
?H
d?1
?H
=
, то из условия
|u =u? = 0, получаем
?uk
dt
?uk k k
d?1
|u =u? = 0, k = 1, . . . , n, что с учетом условия трансверсальности
dt k k
дает ?1 (t) ? 0. Тогда функция Гамильтона примет следующий вид:
H=
n
X
k=1
?k
x21
+
x22
2x2 ?2
, k = 1, . . . , n.
? 2uk (t)x1 + u2k (t)
?H
|u =u? = 0 означает, что uk ? = x1 , то есть первое уравнение
?uk k k
dx1
динамической системы
|uk =u?k = 0, откуда следует, что x1 (t) ? 0, а
dt
значит, и u?k (t) ? 0, k = 1, . . . , n. ?k выбираются так, чтобы выполнялись
<? (T )
заданные соотношения =?k1 (T ) , k = 2, . . . , n.
Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект ќ 14-01-91370).
Для нее
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Rohde S., Wong C. Halfplane capacity and conformal radius // Proc. Amer. Math.
Soc., to appear, eprint arXiv:1201.5878.
2. Prokhorov D. V. Reachable set methods in extremal problems for univalent
functions. Saratov University, 1993.
3. Schleissinger S. On driving functions generating quasislits in the chordal
LoewnerKufarev equation // Complex Variables and Elliptic Equations, 2014,
DOI:10.1080/17476933.2014.904296
71
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
355 Кб
Теги
разрезы, емкостью, отображений, минимальное
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа