close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об отсутствии собственных значений в спектре двумерных периодических операторов Дирака и Шредингера.

код для вставкиСкачать
Известия Института математики и информатики. Иевск. 2004. Є1(29)
УДК 517.958+517.984.5
Л.И. Данилов
danilovotf.pti.udm.ru
ОБ ОТСУТСТВИИ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
В С?ЕКТРЕ ДВУМЕРНЫХ ?ЕРИОДИЧЕСКИХ
О?ЕРАТОРОВ ДИРАКА И ШРЕДИНГЕРА
Ключевые слова:
операторы Шредингера и Дирака, спектр, периоди-
ческие электрический и магнитный потенциалы.
Abstrat. We prove the absene of eigenvalues in the spetrum of twodimensional periodi Dira operator with martix oe╞ients of the lass
L and strongly subordinate matrix potential. We also obtain onditions
for the absene of eigenvalues in the spetrum of two-dimensional periodi
Shrodinger operator with variable metri.
?
Введение
?усть M2 { пространство комплексных (2 ╫ 2) -матриц,
{ единичная матрица,
0 1
?
b1 =
1 0
,
0
?
b2 =
i
?i
0
,
1
?
b3 =
0
0
?1
Ib ? M2
{ матрицы ?аули. ?редполоим, что функции hjl ? L?(R2 ; R) ,
j, l = 1, 2 , являются периодическими с решеткой периодов ?
? R2 и 0 < ? 6 h11 (x)h22 (x) ? h12 (x)h21 (x) при почти всех (п.в.)
x ? R2 . Рассмотрим операторы Дирака
b0
D
=
2
X
j =1
?
bj ?i
?
?xj
b
, D
=
2
X
j =1
49
(hj 1 ?b1 + hj 2 ?b2 )
?i ?x? j ,
действующие в L2 (R2 ; C2 ) и имеющие область определения
b 0 ) = D (D
b ) = H 1 (R2 ; C2 ) . Справедливы оценки
D (D
b0 ?k2 6 kD?k
b 2 6 c2 kD
b0 ?k2 , ? ? H 1 (R2 ; C2 ) ,
c1 kD
(0.1)
где константы c1 > 0 и c2 > c1 зависят от функций hjl . Обозначим через L (R2 ) мноество периодических с решеткой периодов ? R2 функций W ? L2lo (R2 ; C) таких, что для любой
функции ? ? H 1 (R2 ) функция W ? принадлеит пространству
L2 (R2 ) и для любого ? > 0 существует константа C?, W > 0
такая, что для всех функций ? ? H 1 (R2 )
Если
kW ?kL2 (R2 ) 6 ? k??kL2 (R2 ;C2 ) + C?, W k?kL2 (R2 ) .
Vl ? L (R2 ) , l
= 0, 1, 2, 3 , то
b + Vb
D
= Db + V0 Ib +
3
X
l=1
Vl ?
bl
(0.2)
{ замкнутый оператор с областью определения D(Db + Vb ) =
= H 1 (R2 ; C2 ) ? L2 (R2 ; C2 ) ( Vb { матричный потенциал).
Следующая теорема является основным результатом данной
работы, касающимся периодического оператора Дирака.
hjl ? L? (R2 ; R) , j, l = 1, 2 , {
периодические с решеткой периодов ? R2 функции и существует число ? > 0 такое, что ? 6 h11 (x)h22 (x) ? h12 (x)h21 (x)
при п.в. x ? R2 . ?редполоим, что Vl ? L (R2 ) , l = 0, 1, 2, 3 .
Т е о р е м а 0.1.
Тогда оператор
?усть
(0.2) не имеет собственных значений.
Если в условиях теоремы 0.1 оператор (0.2) самосопряен, то
его спектр абсолютно непрерывен. Для самосопряенных периодических эллиптических дифференциальных операторов абсолютная непрерывность спектра следует из отсутствия собственных значений [1?. Это утвердение носит общий характер и справедливо таке для оператора Дирака Db + Vb (в последней ситуации доказательство приведено таке в [2?).
50
?усть G { мноество непрерывно дифференцируемых невозрастающих функций g : (0, +?) ? (0, +?) таких, что
Z 1
0
dr
r g (r )
< +?
и (g(r/2) ? g(r))(g(r))?1 ? 0 при r ? +0 . Обозначим через
L2 {g, } , g ? G , банахово пространство периодических с решеткой периодов ? R2 функций W ? L2lo (R2 ; C) , для которых
kW k2 2
L {g,}
= sup
x ? R2
Z
y : |x?y|?1
g(|x ? y|) |W (y )|2 d 2 y < +? .
Если g ? G , то g(r) ln 1r ? +? при r ? +0 , поэтому для любой функции W ? L2 {g, } функция W 2 принадлеит классу
Като K2 (см. [3?) и, следовательно, W ? L (R2 ) .
Оператор (0.2) в случае hjl ? C ?(R2 ) , j, l = 1, 2 , Vl ?
? C ? (R2 ; R) при l = 1, 2 и Vl , ?Vl /?xj ? L? (R2 ) при l = 0, 3
и j = 1, 2 рассматривался в [4?. В [5; 6? доказана абсолютная
непрерывность спектра оператора Db + Vb для постоянных функций hjl и периодических (с общей решеткой периодов ? R2 )
эрмитовых матричных функций Vb (x) = Vb ? (x) , x ? R2 , для
?
которых Vb ? Llo
(R2 ; M2 ) , ? > 2 (в частном случае, когда
V0 ? L?lo (R2 ; R) , ? > 2 , V3 ? m ? R и Vl ? 0 , l = 1, 2 , этот
результат получен в [7?). Более общие условия на периодические
вещественнозначные функции Vl , l = 0, 1, 2, 3 (при постоянных функциях hjl ), приведены в [8?: достаточно, чтобы функции
V02 ln(1+ |V0 |) , V32 ln(1+ |V3 |) и V12 lnq (1+ |V1 |) , V22 lnq (1+ |V2 |) для
некоторого q > 1 принадлеали пространству L1lo (R2 ) (тогда
Vl ? L (R2 ) , l = 0, 1, 2, 3 ). В [9? доказано отсутствие собственных значений в спектре оператора (0.2), если Vb ? L?lo (R2 ; M2 ) ,
? > 2 (и функции hjl удовлетворяют условиям теоремы 0.1). ?оследний результат был усилен в [10? (и приведен таке в [11?):
в [10? предполагается, что для периодического с решеткой периодов ? R2 матричного потенциала Vb выполняются условия
51
V0 , V3 ? L (R2 )
функции g ? G .
? L2 {g, } ? L (R2 )
и V1 , V2
для некоторой
Так как оператор Db + Vb ? ?Ib (где Ib { единичный оператор
в L2 (R2 ; C2 ) ), ? ? C , сводится к оператору Db + Vb при замене
V0 ?? ? V0 , то при доказательстве теоремы 0.1 достаточно доказать отсутствие собственного значения ? = 0 . Будем таке предполагать, что = Z2 (не изменяя вида оператора Db + Vb , моно
сделать соответствующую линейную замену переменных). Обозначим L(R2 ) =. LZ2 (R2 ) , K = [0, 1)2 . ?усть 0 < q 6 p < +? и
F > 0 , (p, q, F ) { мноество упорядоченных наборов {F, G, H}
периодических с целочисленной решеткой периодов Z2 функций из L? (R2 ; R) таких, что q 6
S G (x) 6 p , q 6 H(x) 6 p и
|F (x)| 6 F при п.в. x ? R2 ; = p,q,F (p, q, F ) . Умноая оператор Дирака (0.2) слева на (унитарную) матричную функцию
(h221 (x) + h222 (x))?1/2 (h22 (x)Ib ? ih21 (x)?b3 ) ,
x ? R2 ,
получим оператор
b + Vb
D
= (Gb?1 + F ?b2 )
?i ?x? 1
+ Hb?2
?i ?x? 2
+ Vb ,
(0.3)
для которого {F, G, H} ? и (периодический с решеткой периодов Z2 ) матричный потенциал Vb удовлетворяет условиям
теоремы 0.1. ?оэтому теорема 0.1 является непосредственным
следствием теоремы 0.2.
Т е о р е м а 0.2.
?усть
{F, G, H} ?
Vb (.) = V0 (.)Ib +
3
X
l=1
Vl (.)?
bl ,
,
Vl ? L(R2 ) , l = 0, 1, 2, 3 . Тогда оператор Дирака (0.3),
действующий в L2 (R2 ; C2 ) и имеющий областью определения
b + Vb ) класс Соболева H 1 (R2 ; C2 ) , обратим (т.е. у него нет
D (D
собственного значения ? = 0 ).
где
52
Будем далее коэффициенты Фурье функций
d = 1, 2 , обозначать через
?N
=
Z
? ? L1 (K ; Cd ) ,
?(x) e?2?i (N,x) d 2 x , N ? Z2 .
K
и He 1 (K ) { пространства функций f :
K ? C , периодические продоления которых (с решеткой периодов Z2 ) принадлеат C (R2 ) , C 1 (R2 ) и классу Соболева
1 (R2 ) соответственно; Ce0 (K ) , Ce 1 (K ) и H
e 1 (K ) { соответHlo
0
0
ствующие подпространства функций ? , для которых ?0 = 0 ;
e 1 (K ; C2 ) = (H
e 1 (K ))2 . Функции, определенные на (элементарH
ной) ячейке K , в дальнейшем будут таке отодествляться с
их периодическими продолениями на все пространство R2 . В
пространствах Cd , L2 (R2 ; Cd ) и L2 (K ; Cd ) , d = 1, 2 , нормы и
скалярные произведения вводятся обычным образом (как правило, без указания в обозначениях самих пространств), при этом
предполагается линейность скалярного произведения по второму
сомноителю; ? = (?/?x1 , ?/?x2 ) , mes { мера Лебега в R2 .
?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) . Для всех k = (k1 , k2 ) ? R2 и
? = (?1 , ?2 ) ? R2 опеределим операторы
b (k + i?) = (Gb
?1 + F ?
b2 )(k1 + i?1 ? i ?x? 1 ) + Hb
?2 (k2 + i?2 ? i ?x? 2 ) ,
D
?усть
e(K ) , C
e 1 (K )
C
действующие в L2 (K ; C2 ) , D(Db (k + i?)) = He 1 (K ; C2 ) . ?олоим
db▒ (k + i?) = (G ▒ iF )(k1 + i?1 ? i ?x? 1 ) ▒ iH(k2 + i?2 ? i ?x? 2 ) ,
e 1 (K ) ? L2 (K ),
D(db▒ (k + i?)) = H
b (k + i?) =
D
0
db+ (k + i?)
.
db▒ = db▒ (0);
!
db? (k + i?)
.
0
Существуют числа c1 = c1 (p, q, F ) > 0 и c2 = c2 (p, q, F )
такие, что для всех векторов k ? R2 и всех ? ? He 1 (K )
c1
2
X
j =1
k kj ? i
?
?xj
(0.4)
> c1
2
X
2
2
b
k kj ? i ?x? j ?k2 (0.5)
?k 6 kd▒ (k)?k 6 c2
j =1
53
(моно полоить c1 = q 6 p?2 (2q 2 + F 2 )?1 , c2 = 2(p2 + F 2 ) [10,
лемма 3.1?). Из (0.4) и (0.5) получаем, что для всех векторов
e 1 (K ; C2 )
k ? R2 и всех вектор-функций ? ? H
при этом
b0 (k)?k2 6 kD
b (k)?k2 6 c2 kD
b0 (k)?k2 ,
c1 kD
b0 (k)?k2
kD
=
2
X
j =1
(0.6)
k kj ? i ?x? j )?k2 .
Если k1 = ? , то kDb0 (k)?k > ? k?k , ? ? He 1 (K ; C2 ) . Из (0.6)
следует, что операторы Db (k) , k ? R2 , замкнуты. Если k 6? 2?Z2 ,
то область значений R(Db (k)) операторов Db (k) совпадает со всем
пространством L2 (K ; C2 ) , ker Db (k) = {0} и обратные операторы
b ?1 (k) компактны. Если k ? 2? Z2 , то R(D
b (k)) { (замкнутое)
D
2
2
подпространство в L (K ; C ) и dimoker Db (k) = dimker Db (k) = 2
(см., например, [10?).
Оператор Дирака Db + Vb (0.3) унитарно эквивалентен прямому интегралу
Z ?
2
(Db (k) + Vb ) (2d?k)2 ,
(0.7)
действующему в
2?K
Z
?
2?K
2
L2 (K ; C2 ) (2d?k)2
(вектор k = (k1 , k2 ) ? 2?K ? R2 называется квазиимпульсом). Унитарная эквивалентность устанавливается с помощью
преобразования Гельфанда (для периодического оператора Дирака см. [6; 12?). В (0.7) матричный потенциал Vb является оператором в L2 (K ; C2 ) , имеющим (так как Vl ? L(R2 ) , l = 0, 1, 2, 3 )
нулевую грань относительно операторов Db (k) , k ? 2?K ;
b (k) + Vb ) = D(D
b (k)) = H
e 1 (K ; C2 ).
D (D
54
Операторы
тегралам
b
D
Z
и
?
b0
D
2?K
таке унитарно эквивалентны прямым ин-
b (k) d2 k2
D
(2?)
и
Z
?
2?K
b0 (k) d2 k2
D
(2?)
соответственно, поэтому из (0.6) следуют неравенства (0.1) (после линейной замены переменных и, вообще говоря, с другими
константами c1 > 0 и c2 > c1 ). Так как матричный потенциал
Vb , рассматриваемый как оператор в L2 (K ; C2 ) , имеет нулевую
грань относительно операторов Db (k) , k ? R2 , и, следовательно, для всех k ? R2 \2?Z2 операторы Vb Db ?1 (k) компактны, то
из представления оператора Дирака Db + Vb (0.3) в виде прямого
интеграла (0.7) и аналитической теоремы Фредгольма вытекает,
что если ? = 0 { собственное значение оператора (0.3), то ? = 0 {
собственное значение операторов Db (k + i?)+ Vb (с областью определения D(Db (k + i?) + Vb ) = He 1 (K ; C2 ) ? L2 (K ; C2 ) ) для всех
k + i? ? C2 (более подробно см. [1? и [13, з XIII.16?). Следовательно, для доказательства теоремы 0.2 достаточно найти комплексный вектор k + i? ? C2 , для которого ker (Db (k + i?) + Vb ) = {0} .
?оэтому теорема 0.2 является следствием теоремы 0.3.
Т е о р е м а 0.3. ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) и
Vb (.) = V0 (.)Ib +
3
X
Vl (.)?
bl ,
l=1
2
где Vl (.) ? L(R ) , l = 0, 1, 2, 3 . Тогда найдутся
k ? , ? ? ? R2 , единичный вектор e ? R2 : |e| = 1 (для
векторы
которого
e1 > 0 ) и сколь угодно большие числа ╡
e > 0 такие, что для всех
2
e 1 (K ; C2 )
векторов k ? R : k1 = ? и всех вектор-функций ? ? H
справедливо неравенство
где
b (k + k ? + i(╡
k(D
ee + ? ? )) + Vb )?k > e?c ╡~ k?k ,
c = c(p, q, F ) > 0 .
Доказательство теоремы 0.3 приведено в з 2.
55
1.
Обозначения и вспомогательные утвердения
Обозначим через He 01 {g, Z2 } , g ?
функций ? He 01 (K ) , для которых
kkH~ 1 {g,Z2 }
0
G,
банахово пространство
=. k |?(.)| kL2 {g,Z2 } < +? .
Так как r?g(r) ? 0 при r ? +0 для любого ? > 0 , то
e 1 {g, Z2 } (влоение непрерывно). С другой стороны,
e 1 (K ) ? H
C
0
0
2
1
e0 (K ) и для всех ? H
e 1 {g, Z2 } выполняется оценe {g, Z } ? C
H
0
0
ка [10?
kkL? (K ) 6 c3 kkH~ 1 {g,Z2 } ,
0
где c3 = c3 (g) > 0 .
Т е о р е м а 1.1 ([10?). ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) и
g ? G . Тогда для любых функций C1 , C2 ? L2 {g, Z2 } моно (однозначно) найти такие векторы k, ? ? R2 и функции
, ? He 01 {g, Z2 } ? He 01 (K ) ? Ce(K ) , что умноение на функции
e i╡ и e ╡ для всех ╡ ? C не выводит за пределы пространe 1 (K ) (тогда операторы умноения на функции e i╡ и
ства H
матричные функции e ╡?^3 не выводят за пределы пространe 1 (K ; C2 ) ),
ства H
b (╡(k + i?)) e i╡ e ╡?^3 e ╡?^3 e?i╡ D
и при этом
= Db (0) + ╡(C1 ?b1 + C2 ?b2 )
max{kkL? (K ) , kkL? (K ) } 6 c1? (kC1 kL2 {g,Z2 } + kC2 kL2 {g,Z2 } ) ,
|k|2 + |?|2 6 c2? (kC1 k2L2 (K ) + kC2 k2L2 (K ) ) ,
c1? = c1? (p, q, F ; g) > 0 , c2? = c2? (p, q, F ) > 0 . Если C1 ▒ i C2 ?
? R(db▒ ) , то k = ? = 0 . Если C1 и C2 { вещественнозначные
функции, то ? = 0 и функции и таке являются вещегде
ственнозначными.
56
Т е о р е м а 1.2.
{F, G, H} ? (p, q, F ) . Тогда
существуют (единственные) вектор ?
e ? R2 и вещественно1
e
e
e 1 {g, Z2 } для
значные функции , ? H0 (K ) ? C (K ) ( , ? H
0
любой функции g ? G ) такие, что
1) для всех ╡ ? R умноение на функции e ╡ и матричные функции e i╡?^3 не выводит за пределы пространства
e 1 (K ; C2 ) ;
H
2) для всех k, ? ? R2 и ╡ ? R имеем
?усть
b (k + i? + i╡e
e i╡?^3 e ╡ D
?)e?╡ e i╡?^3 3)
= Db (k + i?) + i╡Hb?1 ; (1.1)
max{kkL? (K ) , kkL? (K ) } 6 c1? ,
c1?
= c?1 (p, q, F ) > 0
и
c?2
|e
?| 6 c?2 , где
= c?2 (p, q, F ) > 0.
Теорема 1.2, являющаяся частным случаем теоремы 1.1, используется при доказательстве теоремы 0.3.
Вещественнозначные функции , и вектор ?e ? R2 , определяемые в теореме 1.2, однозначно находятся из условия
idb+ ( ? i) = ?(G + iF )?
e1 ? iH(?
e2 + i) ,
являющегося следствием (1.1), причем ?e1 > 0 [9?. Если ╡ ? 2?Z ,
то оператор умноения на матричную функцию e?i╡?^3 (?x2 )
действует в L2 (K ; C2 ) (линейное многообразие He 1 (K ; C2 ) инвариантно относительно действия этого оператора). ?ри ╡ ? 2?Z ,
k, ? ? R2 имеем
b (k + i? + i╡e
b (k + i?)e ╡ e?i╡?^3 (?x2 ) .
?) = e?i╡?^3 (?x2 ) e?╡ D
D
(1.2)
Л е м м а 1.1 ([10?). ?усть {F, G, H} ? . Тогда для фу ? He 01 (K ) ? Ce (K ) , определяемой в теореме 1.2, при всех
нкции
??R
?усть
mes {x ? K : (x) ? x2 = ?} = 0 .
k ? R2
и
G▒
N (k ; ╡) =
╡ ? R.
Для всех
N ? Z2
обозначим
(k1 + 2?N1 )2 + (k2 + 2?N2 ▒ ╡)2 1/2 ;
57
+
GN (k; ╡) = min {G?
N (k ; ╡), GN (k ; ╡)} .
Если k1 = ? , то
полоим
GN (k; ╡) > ? .
k?k?
=
k?k?, ▒
=
Л е м м а 1.2.
всех векторов
X
N ?Z2
X
Z2
N?
Для всех функций
G2N (k; ╡) |?N |2
1/2
(G▒N (k; ╡))2 |?N |2
?усть
k ? R2 ,
{F, G, H} ?
всех чисел ╡ ?
e 1 (K ) выполняются оценки
??H
,
1/2
e 1 (K )
?? H
.
(p, q, F ) .
R
Тогда для
и всех функций
c1 k?k2?, ▒ 6 k(db▒ (k) + i╡H)?k2 6 c2 k?k2?, ▒ .
Лемма 1.2 является следствием оценок (0.5) (с теми е константами c1 = c1 (p, q, F ) > 0 и c2 = c2 (p, q, F ) > c1 ).
Для мноества O ? Z2 обозначим L(O) = {? ? L2 (K ) :
?N = 0 при N ? Z2 \O} , L(Z2 ) = L2 (K ) , L(?) = {0} ; Pb O { ортогональный проектор в L2 (K ) , ставящий в соответствие функциям ? ? L2 (K ) функции
Pb O ? =
X
?N e 2?i (N,x)
N ?O
( Pb? ? = 0 ); # O { число векторов конечного мноества O ? Z2 .
?ри a > 2? определим (непустые конечные) мноества
T ▒ (a) = {N ? Z2 : G▒
N (k ; ╡) 6 a}
(в приведенных обозначениях не отмечается зависимость от вектора k ? R2 и числа ╡ ? R , которые будут предварительно
задаваться).
Л е м м а 1.3 ([10?). Для кадой функции W ? L(R2 )
существуют число c4 (W ) > 0 и невозрастающая функция hW :
58
[2?, +?) ? [0, +?) , для которой hW (t) ? 0 при t ? +? , такие, что для всех ╡ > 4? справедливы следующие три утвердения:
1) для всех векторов
? ? L(
T▒
(╡/2))
k ?
R
2 : k1 = ?
kW ?k 6 c4 (W ) k?k?, ▒
и для всех функций
= c4 (W ) k?k? ;
6 a 6 ╡/2 , то для всех векторов k ?
функций ? ? L(T ▒ (╡/2)\T ▒ (a))
2) если
2?
R
2
и всех
kW ?k 6 hW (a)k?k? ;
3) для всех векторов
k ? R2 и всех функций
e 1 (K ) ? L(Z2 \(T + (╡/2) ? T ? (╡/2)))
??H
выполняется неравенство
kW ?k 6 3hW (╡) k?k? .
З а м е ч а н и е 1.1. Из пунктов 1) и 3) следует, что число c4 (W ) моно выбрать так, чтобы неравенство
kW ?k 6 c4 (W ) k?k?
было справедливо для всех ╡ > 4? , всех векторов k ? R2 : k1 = ?
и всех функций ? ? He 1 (K ) .
Следующая теорема усиливает теорему 6.2 из [10?, и ее доказательство непосредственно вытекает из доказательства этой
теоремы. Фактически в теореме 1.3 сформулировано то, что в
действительности доказано в [10, з 6? (при этом чтобы не вносить
каких-либо изменений в предлоенное в [10? доказательство теоремы 6.2, утвердения леммы 1.3 сформулированы так, как они
приведены в [10?).
Для произвольного мноества M ? ? N обозначим
Q (M ? ) =
lim
N ?+?
#{? ? M ? : ? 6 N }
N
59
.
Т е о р е м а 1.3. ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) , V▒ ?
e(K ) , для ко? L(R2 ) и { вещественнозначная функция из C
торой mes {x ? K : (x) ? x2 = ?} = 0 при любом ? ? R . Тогда
для любого числа a > 2? , для которого
2
max {h2V? (a), h2V+ (a)} 6 361 c1 +4 (max {c4c(1V? ),c4 (V+ )})2
(где c1 = c1 (p, q, F ) > 0 { число из неравенств (0.5) и леммы
1.2, а функции hV▒ и числа c4 (V▒ ) определены в лемме 1.3),
найдется мноество M = M (p, q, F ; F, G, H; ; V+ , V? ; a) ? N
такое, что Q (N\M) = 0 и для всех ╡ ? ? M (при ╡ > 2a ),
e 1 (K )
всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ?▒ ? H
справедлива оценка
k(db+ (k) + i╡H)?+ + e?2i╡ V? ?? k2 +
+k(db? (k) + i╡H)?? + e 2i╡ V+ ?+ k2 >
?
+
c2
> c61 kPb T (a) ?+ k2? + kPb T (a) ?? k2? + 6(c1 +4 (max {c4 1(V? ),c4 (V+ )})2 ) ╫
2 +
2 ?
╫ kPb Z \T (a) ?+ k2?, + + kPb Z \T (a) ?? k2?, ? .
Т е о р е м а 1.4. ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) , Ve0 ?
? L(R2 ) , Ve3 ? L(R2 ) и { вещественнозначная функция из
e(K ) , для которой mes {x ? K : (x) ? x2 = ?} = 0 при любом
C
? ? R . Тогда для любого числа a > 2? , для которого
c21
1
max
h2V~ ▒V~ (a) 6 36
~
c1 +4 (max {c4 (V0 ?V~3 ),c4 (V~0 +V~3 )})2
0 3
▒
,
(1.3)
найдется мноество
M
= M (p, q, F ; F, G, H; ; Ve0 + Ve3 , Ve0 ? Ve3 ; a) ? N
Q (N\M) = 0 и для всех ╡ ? ? M : ╡ > 2a , всех
k ? R2 : k1 = ? и всех вектор-функций
?+
e 1 (K ; C2 )
?=
?H
??
такое, что
векторов
60
справедлива оценка
b (k) + i╡Hb
k(D
?1 + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?
b3 ))?k2 >
c1 X b T ▒ (a)
>
kP
?▒ k2? +
6
▒
+ c1 +4 (max {c4 (V~0c?1V~3 ),c4 (V~0 +V~3 )})2
X
▒
2 \T ▒ (a)
kPb Z
?▒ k2?, ▒ .
Теорема 1.4 непосредственно вытекает из теоремы 1.3, если
полоить V▒ = Ve0 ▒ Ve3 , так как
b (k)+i╡Hb
D
?1 +e 2i╡?^3 (Ve0 Ib+Ve3 ?
b3 ) =
!
db? (k) + i╡H
e 2i╡ V+
.
e?2i╡ V?
db+ (k) + i╡H
W ? L2 (K ) при b > 0 определим функции
W (x) , если |W (x)| 6 b,
K ? x ? W (b; x) =
0 , в противном случае.
Для функций
W ? L(R2 ) ? L2 (K ) . Тогда сущеhW : [0, +?) ? [0, +?) , для
ствует невозрастающая функция e
hW (t) ? 0 при t ? +? , такая, что для всех ╡ ? R ,
которой e
e 1 (K ) (для
всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ? ? H
кадого из знаков + и ? ) справедлива оценка
Л е м м а 1.4.
?усть
k(W (.) ? W (b; .))?(.)k 6 e
hW (b) k?k?, ▒ , b > 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как W ? L(R2 ) , то (см.,
например, лемму 5.3 в [10?) для любого ? > 0 найдется число
C?,? W > 0 такое, что для всех ╡ ? R , всех векторов k ? R2 и
всех функций ? ? He 1 (K ) (и для кадого из знаков + и ? )
kW ?k 6 ? k?k?, ▒ + C?,? W k?k .
61
(1.4)
Для чисел
a > 2?
и функций
(a) = Pb T ▒ (a) ?,
?▒
e 1 (K )
??H
обозначим
(a) = Pb Z2 \T ▒ (a) ? ,
?
e▒
где T ▒ (a) = {N ? Z2 : G▒N (k; ╡) 6 a} (функции ?(▒a) и ?e(▒a)
зависят (кроме числа a ) таке от вектора k ? R2 и числа ╡
из R , но в их обозначениях это не отмечается). Справедливы
оценки
1 6 # T ▒ (a) < 6?a2 .
Для всех чисел b > 0 , a > 2? , ╡ ? R , всех векторов k ?
e 1 (K ) (так как в этом случае
? R2 : k1 = ? и всех функций ? ? H
?k?k 6 k?k?, ▒ ) имеем (для кадого из знаков)
k(W (.) ? W (b; .))?(.)k 6
(a)
(a)
6 k(W (.) ? W (b; .))?▒ (.)k + k(W (.) ? W (b; .))?
e▒ (.)k 6
(a)
6
?
6? a kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) k?(▒a) k + ? k?e(▒a) k?, ▒ + C?,? W k?e(▒a) k 6
6
q
Обозначим
e
hW (b) =
6
? a kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) + ? +
inf min
? > 0 a ? 2?
q
C?,? W
a
k?k?, ▒ .
6
? a kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) + ? +
Так как kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) ? 0 при
удовлетворяет требуемым условиям.
2.
(a)
6 kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) k?▒ kL? (K ) + kW ?
e▒ k 6
b ? +? ,
C?,? W
a
то функция
Доказательство теоремы 0.3
Определим при l = 1, 2 и
b > 0 функции
Vl (x) , если |Vl (x)| 6 b,
2
R ? x ? Vl (b; x) =
0 , в противном случае .
62
.
e
hW
В соответствии с леммой 1.4 (так как Vl ? L(R2 ) , l = 1, 2 ) выберем число b = b(p, q, F ; V1 , V2 ) > 0 так, чтобы для всех ╡ ? R ,
всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ? ? He 1 (K ) (для
кадого из знаков + и ? ) выполнялись неравенства
c1
k(Vl (.) ? Vl (b; .))?(.)k2 6 192
k?k2?, ▒ ,
l = 1, 2 ,
(2.1)
Так как Vl (b; .) ? L? (K ) (следовательно, Vl (b; .) ? L2 {g, Z2 } для
всех функций g ? G ) и kVl (b; .)kL? (K ) 6 b , l = 1, 2 , то из теоремы 1.1 следует, что существуют векторы k ? , ? ? ? R2 и функции
? , ? ? He 01 (K ) ? Ce(K ) (более того, ? , ? ? He 01 {g, Z2 } для люg ? G ) такие, что операторы умноения на функбой функции
?
▒i
ции e
и матричные функции e ▒?^3 ? не выводят за пределы
пространства He 1 (K ; C2 ) , для всех векторов k, ? ? R2
?
?
b (k + k ? + i(? + ? ? )) + Vb ) e i ? e ?^3 ?
e ?^3 e?i (D
= Db (k + i?) +
=
(2.2)
2
X
l=1
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + Ve0 Ib + Ve3 ?b3 ,
где Ve0 Ib + Ve3 ?b3 = e 2^?3 (V0 Ib + V3 ?b3 ) и, следовательно,
Ve0 = V0 h2 ? + V3 sh2 ? , Ve3 = V0 sh2 ? + V3 h2 ? ,
?
и при этом
max{k ? kL? (K ) , k ? kL? (K ) } 6 c1?? b ,
(2.3)
|k ? |2 + |? ? |2 6 2c2? b2 ,
где c1?? = c1?? (p, q, F ) > 0 и c2? = c2? (p, q, F ) > 0 (константа c2? определена в теореме 1.1). Из (2.3) получаем, что Ve0 , Ve3 ? L(R2 ) .
?усть , ? He 01 (K ) ? Ce (K ) и ?e ? R2 { вещественнозначные
функции и вектор, определяемые для функций F, G и H в теореме 1.2. Из равенства (1.1) для всех k ? R2 и ╡ ? R получаем
e
i╡?
^3 ╡
e
(Db (k + i╡e?)+
2
X
l=1
(Vl (.) ?Vl (b; .))?bl + Ve0 Ib+ Ve3 ?b3 ) e?╡ e i╡?^3 (2.4)
63
= Db (k) + i╡Hb?1 +
Обозначим
?0
2
X
l=1
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?b3 ) .
= 161 c1 c1 + 4(max{c4 (Ve0 ? Ve3 ), c4 (Ve0 + Ve3 )})2 ?1/2 .
Выберем число a = a(p, q, F ; Vb ) > 2? так, чтобы выполнялись
неравенство (1.3) (с рассматриваемыми функциями Ve0 и Ve3 ) и
неравенства
C??0 , Vl 6 ?0 a , l = 1, 2
(где константы C??0 , Vl взяты из оценки (1.4)). Тогда из леммы
1.1 и теоремы 1.4 следует, что существует мноество M ? N ,
зависящее от p , q , F , функций F , G , H и матричного потенциала Vb , такое, что Q(N\M) = 0 и для всех ╡ ? ?M , всех
векторов k ? R2 : k1 = ? и всех вектор-функций
?=
справедлива оценка
?+
??
e 1 (K ; C2 )
?H
b (k) + i╡Hb
k(D
?1 + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?
b3 ))?k2 >
X
▒
2 X kPb Z2 \T ▒ (a) ? k2 .
kPb T (a) ?▒ k2? + 128
> c61
▒ ?, ▒
3 ?0
▒
(2.5)
(2.6)
▒
С другой стороны, с помощью оценок (1.4) и (2.1) для всех векторфункций (2.5) получаем
2
2 X
X
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl ?(.)2 6 2 (Vl (.) ? Vl (b; .))?(.) 2 6
l=1
l=1
64
2 X
X
l=1 ▒
▒
k(Vl (.) ? Vl (b; .))(Pb T (a) ?▒ )(.)k2 +
64
+4
2 X
X
X
2 ▒
c1
kVl Pb Z \T (a) ?▒ k2 6 24
▒
kPb T (a) ?▒ k2?, ▒ +
▒
l=1 ▒
2
XX
2 ▒
2 ▒
+8
?20 kPb Z \T (a) ?▒ k2?, ▒ + (C??0 , Vl )2 kPb Z \T (a) ?▒ k2 6
l=1 ▒
X
X
▒
2 ▒
c1
kPb T (a) ?▒ k2?, ▒ + 32 ?20
kPb Z \T (a) ?▒ k2?, ▒
6 24
▒
▒
2 ▒
2 ▒
(использована оценка kPb Z \T (a) ?▒ k 6 a?1 kPb Z \T (a) ?▒ k2?, ▒ ).
?оэтому из (2.6) вытекает, что для всех ╡ ? ?M , всех векторов
k ? R2 : k1 = ? и всех вектор-функций (2.5)
2
X
D
b (k) + i╡Hb
?1 +
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib+ Ve3 ?b3 ) ?2 >
l=1
2
b (k) + i╡Hb
> 12 D
?1 + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?
b3 ) ? ?
2
X
?
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl ?2 >
l=1
c1
> 24
X
Pb T ▒ (a) ?▒ 2
▒
+ 323 ?20
?, ▒
X 2 ▒
Pb Z \T (a) ?▒ 2 >
?, ▒
▒
2 X k? k2 > 32 ?2 X G2 (k; ╡)|? |2 > 32 ? 2 ?2 k?k2 .
?
> 32
▒ ?, ▒
N
0
N
3 0
3 0
3
▒
N ? Z2
Так как kkL? (K ) 6 c?1 = c?1 (p, q, F ) (см. теорему 1.2), то из (2.4)
и полученных неравенств следует оценка
b (k + i╡e
k D
?) +
2
X
l=1
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + Ve0 Ib + Ve3 ?b3
?
?
> 4 ?23 ? ?0 e?2c1 ╡ k?k .
?k >
(2.7)
Наконец, (2.7) и (2.2) приводят к оценке
?
??
?
b (k + k ? + i(╡e
k D
? + ? ? )) + Vb ?k > 4 ?23? ?0 e?4c1 b e?2c1 ╡ k?k ,
65
справедливой для всех ╡ ? ?M , всех векторов k ? R2 : k1 = ? и
всех вектор-функций ? ? He 1 (K ; C2 ) . Для вектора ?e ? R2 имеем
?
e1 > 0 [9? и
?
c1
p+F
6 |e
?| 6
?p
c1
(см. доказательства леммы 4.1 и теоремы 4.1 и [10?), поэтому
осталось полоить e = ?e/|e?| и
c = c(p, q, F ) = 3c1? p?+cF1 .
?ри этом достаточно выбирать числа
?
╡
e ? ?|e
?|M ,
для которых
4c1?? b ? ln ( 4?32 ??0 ) 6 c?1 |╡?~~| .
Теорема доказана.
3.
Отсутствие собственных значений в спектре двумерного периодического оператора Шредингера
В этом и следующем разделах работы результаты о двумерном
периодическом операторе Дирака, приведенные в предыдущих
разделах, применяются при доказательстве отсутствия собственных значений в спектре двумерного периодического оператора
Шредингера. Будут таке существенно использованы утвердения из [10? и [11?.
?усть R2 ? x ? Gb (x) = (Gjl )j,l=1,2 { вещественная симметрическая полоительно определенная матричная функция (метриb G
b?1 ? L? (R2 ; M2 ) , R2 ? x ? A(x) = (A1 (x), A2 (x)) ?
ка), G,
? C2 { векторнозначная функция (векторный потенциал). Функции Gb и A предполагаются периодическими с решеткой периодов ? R2 , Aj ? L (R2 ) , j = 1, 2 . Рассмотрим полуторалинейную форму в L2 (R2 )
b A; ?, ?)
W (G,
=
2
X
j, l = 1
?
?
?
A
?i ?x? j ? Aj ?, Gjl ?i ?x
l
l
66
с областью определения Q(W ) = H 1 (R2 ) , ?, ? ? H 1 (R2 ) (черта
означает комплексное сопряение).
Обозначим через V мноество полуторалинейных форм
V (?, ?) в L2 (R2 ) (линейных по второму аргументу), ?, ? ?
? Q(V ) = H 1 (R2 ) , для которых
1) V (?(. ? ? ), ?(. ? ? )) = V (?, ?) для всех ?, ? ? H 1 (R2 ) и
всех ? ? (т.е. V { периодическая форма с решеткой периодов
? R2 );
2) V (e i(k,x) ?, ?) = V (?, e?i(k,x) ?) для всех k ? R2 (и всех
?, ? ? H 1 (R2 ) );
3) для любого ? > 0 существует число C? = C? (V ) > 0 такое,
что для всех ? ? H 1 (R2 )
|V (?, ?)| 6 ? k??k2L2 (R2 ;C2 ) + C? k?k2L2 (R2 ) .
(3.1)
Формы V ? V для функций ?, ? ? H 1 (R2 ) ? C0 (R2 ) (где
C0 (R2 ) { пространство финитных функций из C (R2 ) ) могут
иметь вид
Z
V (?, ?) = ?? d╡ ,
(3.2)
R2
где ╡ { комплексная периодическая с решеткой периодов борелевская мера (с локально конечной полной вариацией). Однако
не всякую форму V ? V моно представить в виде (3.2) [10, з 7?.
Если
Z
V (?, ?) = V ?? d 2 x , ?, ? ? H 1 (R2 ) ,
(3.3)
R2
где V { периодическая (с решеткой периодов ? R2 ) функция
из класса Като K2 , то V ? V [3; 14?.
?ри сделанных предполоениях относительно периодических функций Gb и A и в случае V ? V квадратичная форb A; ?, ?) + V (?, ?) , ? ? Q(W + V ) = H 1 (R2 ) ? L2 (R2 ) ,
ма W (G,
является замкнутой и секториальной. ?оэтому она породает
b (G
b; A, V ) в L2 (R2 ) с некоторой
m -секториальный оператор H
67
областью определения D(Hb (Gb; A, V )) ? H 1 (R2 ) [15? (если
b (G
b ; A, V )) , то для всех ? ? H 1 (R2 ) имеем
? D (H
Оператор
(?, Hb (Gb; A, V )?) = V (?, ?)).
b (G
b; A, V )
H
2
X
j, l = 1
? ?
моно формально записать в виде
?
? Al + V ,
?i ?x? j ? Aj Gjl ?i ?x
l
(3.4)
где V { периодический (обобщенный) скалярный потенциал, который, если является обычной (измеримой) функцией V : R2 ?
C (например, из класса Като K2 ), определяет форму V ? V
по формуле (3.3).
Следующая теорема является основным результатом данной
работы, относящимся к периодическому оператору Шредингера.
Т е о р е м а 3.1. ?усть Gb = (Gjl )j,l=1,2 { веществен-
ная симметрическая полоительно определенная матричная
b G
b ?1 ?
? R2 , G,
2
1
det Gb ? Hlo (R ) ,
функция, периодическая с решеткой периодов
?
L ? R2
(
; M2 ) . ?редполоим, что
?
?xj
det Gb ? L (R2 ) ,
j
= 1, 2 ,
Aj ? L (R2 ) , j = 1, 2 , V ? V .
b (G
b; A, V ) не имеет собственных значений.
Тогда оператор H
З а м е ч а н и е 3.1. Утвердение теоремы 3.1 остается в силе, если вместо форм V ? V рассматривать формы V
(с областью определения Q(V ) = H 1 (R2 ) ? L2 (R2 ) ), удовлетворяющие условиям 1) и 2) из определения мноества V , а
вместо условия 3) потребовать, чтобы оценка (3.1) выполнялась
для некоторого достаточно малого числа ? > 0 , зависящего от
, Gb и A (в этом случае оператор Шредингера Hb (Gb ; A, V ) таке определяется как m -секториальный оператор в L2 (R2 ) , породаемый (замкнутой и секториальной) квадратичной формой
b A; ?, ?) + V (?, ?) , ? ? Q(W + V ) = H 1 (R2 ) ? L2 (R2 ) ).
W (G,
68
З а м е ч а н и е 3.2. Если в условиях теоремы 3.1 Aj ,
j = 1, 2 , { вещественнозначные функции, а форма V эрмитова,
то оператор Hb (Gb ; A, V ) самосопряен и, следовательно (так как
оператор Hb (Gb ; A, V ) не имеет собственных значений), его спектр
абсолютно непрерывен [1?.
?усть Aj , j = 1, 2 , и V { вещественнозначные (периодические с решеткой периодов ? R2 ) функции. Двумерный периодический оператор Шредингера
2
X
j =1
?i ?x? j ? Aj
2
+V
, x ? R2 ,
(3.5)
рассматривался в работах [13; 16; 17?. В [18? доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (3.5) при V ? Lqlo (R2 ; R) ,
q
(R2 ; R2 ) , q > 1 . ?оследний результат был усилен в стаA ? L2lo
тье [8?, в которой предполагалось, что V ln(1 + |V |) ? L1lo (R2 )
и |A|2 lnq (1 + |A|) ? L1lo (R2 ) , q > 1 . В [14? исследовался
оператор (3.5) с потенциалом V из класса Като K2 (и при
A ? 0 ). ?ериодический оператор Шредингера (3.4) с переменной метрикой Gb впервые рассматривался А. Морамом [4? при
b ? C ? (R2 ; M2 ) , det G
b ? 1 , Aj ? C ? (R2 ; R) , j = 1, 2 , и
G
?
2
V ? L (R ; R) . В дальнейшем ?. Кучментом и С. Левендорским
[19? для случая Gb ? C m+? (R2 ; M2 ) , m ? Z+ , ? ? (0, 1) , было доказано существование периодических изотермических координат y (x) ? C m+1+? (R2 ; R2 ) , приводящих матричную функцию Gb к скалярному виду; их использование позволило ослабить ограничения на Gb , A и V , сведя рассматриваемую задачу к случаю постоянной матрицы Gb . ?ериодические изотермические координаты применялись в серии работ М.Ш. Бирманом,
Т.А. Суслиной и Р.Г. Штеренбергом. В [20? доказана абсолютная
непрерывность спектра оператора (3.4) при Gb ? W22q, lo (R2 ; M2 ) ,
q
(R2 ; R2 ) , q > 1 , V = V1 + ?? , где V1 { периодичеA ? L2lo
ская (с решеткой периодов ? R2 ) функция из пространства
q
(R2 ; R) , { периодическая (с той е решеткой периодов
Llo
69
) система кусочно-гладких кривых, ? { дельта-функция, сосредоточенная на , ? ? Lqlo (; R) . В последующих работах
[21; 22; 23? ослаблялись условия на функции Gb , A и V . В [23?
приведены условия, полученные Р.Г. Штеренбергом:
1 (R2 ) ,
det Gb ? Hlo
?
?xj
det Gb ? L(R2 ) , j = 1, 2 ,
(3.6)
|A|2 l(|A|) ? L1lo (R2 ) ,
(3.7)
q
(t) i=1 li (t) , m ? N , q > 1 , l1 (t) = 1 + ln(1 + t) ,
где l(t) = lm
li (t) = 1 + ln li?1 (t) , i = 2, . . . , m , t > 0 , и скалярный потенциал V определяется как обобщенная функция d╡/d 2 x , где ╡
{ периодический борелевский заряд, удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям (см. [22?). ?ри этом замыкание
(в L2 (R2 ) ) квадратичной формы
.
Qm?1
V (?, ?) =
Z
R2
|?|2 d╡ ,
? ? H 1 (R2 ) ? C0 (R2 ) ,
не обязательно ограничено относительно формы k??k2L2 (R2 ;C2 ) ,
? ? H 1 (R2 ) . Наконец, в замечательной работе [24? (см. таке
[25?) было ослаблено ограничение (3.7) на векторный потенциал
A : достаточно предполагать, что Aj ? L (R2 ) , j = 1, 2 . В данной работе применяется другой подход к исследованию двумерного периодического оператора Шредингера (3.4), не использующий периодическую замену координат, приводящую матричную
функцию (метрику) Gb(.) к скалярному виду, и опирающийся
на результаты о периодическом операторе Дирака. Этот подход
предлоен в [10? и использовался таке в [11? и [26?. ?ри этом
условие (3.6) на матричную функцию Gb (.) получается из приблиенной факторизации оператора Шредингера (при V ? 0 ), а
не как условие, обеспечивающее применение периодических изотермических координат. В [11? (см. таке [26?) доказано отсутствие собственных значений в спектре периодического оператора
70
Шредингера Hb (Gb ; A, V ) (формально записываемого в виде (3.4)),
если выполнены условия (3.6), V ? V и
Aj ? L2 {g, } ? L (R2 ) ,
j
= 1, 2 ,
(3.8)
для некоторой функции g ? G (форма V не обязательно эрмитова, а функции Aj , j = 1, 2 , выбираются комплекснозначными). В более ранней работе [10? накладывалось дополнительное условие на форму V : предполагалось, что существует неотрицательная форма V + ? V такая, что |V (?, ?)| 6 V + (?, ?)
для всех ? ? H 1 (R2 ) . Условие (3.8) на векторный потенциал A шире, чем условие (3.7). Для любого периодического (с
решеткой периодов ) векторного потенциала A : R2 ? C2 ,
удовлетворяющего условию |A|2 eg(|A|) ? L1lo (R2 ) , где функция
[0, +?) ? t ? eg (t) ? [0, +?) не убывает и функция (0, +?) ?
? t ? ge(t?1 ) принадлеит G (в частности, это справедливо, если
ge(.) = l(.) ), существует функция g ? G такая, что Aj ? L2 {g, } ,
j = 1, 2 [26?. В этой работе для периодического оператора Шредингера (3.4) предполагается (как и в [24?), что Aj ? L (R2 ) ,
j = 1, 2 .
?ри доказательстве теоремы 3.1 , делая линейную замену переменных, моно считать, что = Z2 , K = [0, 1)2 (при этом
условия, налоенные на функции Gb , A и форму V , не изменяются. Обозначим V =. VZ2 . Делая замену формы
V (?, ?) ? ?
Z
?? d 2 x ? V (?, ?) ,
?, ? ? H 1 (R2 ) ,
R2
где ? ? C , таке моно ограничиться только доказательством
обратимости оператора Hb (Gb; A, V ) . ?оэтому теорема 3.1 следует
из теоремы 3.2.
Т е о р е м а 3.2.
?усть
b
G
= (Gjl )j, l=1, 2
{ веществен-
ная симметрическая полоительно определенная матричная
функция, периодическая с решеткой периодов
71
Z
2 ? R2 , G,
b G
b ?1 ?
? L? (R2 ; M2 ) . ?редполоим, что
det Gb ? L(R2 ) ,
?
?xj
Aj ? L(R2 ) , j
Тогда оператор
ного значения
1 (R2 ) ,
det Gb ? Hlo
= 1, 2 ,
j
= 1, 2 ,
V ? V.
b (G
b; A, V ) обратим (т.е. у него нет собственH
? = 0 ).
Будем далее предполагать, что = Z2 и
k, ? ? R2 , Aj ? L(R2 ) , j = 1, 2 ,
=
2
X
j, l = 1
f(G,
b A; k + i?; ?, ?)
W
?i ?x? j ? Aj
+ kj ? i?j
K
= [0, 1)2 . ?усть
=
?
?
A
?, Gjl ?i ?x
?
+
k
+
i?
l
l
l
l
f) = H
e 1 (K ) .
{ полуторалинейная форма в L2 (K ) , ?, ? ? Q(W
Выберем любую функцию ? ? C ? (R) , для которой ?(? ) = 1
при ? 6 0 и ?(? ) = 0 при ? > 1 . ?олоим
?N (x) = ? (|x1 | ? N ) ? (|x2 | ? N ),
Для формы
L2 (K )
V ? V
e (?, ?)
V
N ? N,
x ? R2 .
определим полуторалинейную форму в
= lim (2N1 )2 V (?N ?, ?N ?) ,
N ?+?
(3.9)
= He 1 (K ) . ?редел в (3.9) существует и не зависит
от выбора функции ? [10? (функции ? и ? считаются периодически продоленными на все пространство R2 ). Из оценки (3.1)
для формы V следует, что для всех ? > 0 , всех векторов k ? R2
и всех функций ? ? He 1 (K )
e)
?, ? ? Q(V
2
e (?, ?)| 6 ? k(k ? i?)?k2 2
|V
L (K ;C2 ) + C? k?kL2 (K ) .
72
Т е о р е м а 3.3 ([26?). ?усть V ? V . Тогда для любого
? > 0 найдется число C?? = C?? (V ) > 0 такое, что для всех
e 1 (K )
векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ?, ? ? H
e (?, ?)| 6 ? k(k ? i?)?kL2 (K ;C2 ) k(k ? i?)?kL2 (K ;C2 ) +
|V
+C?? k?kL2 (K ) k?kL2 (K ) .
Из условия 2) в определении мноества V = VZ2 получаем
(см. [10?), что
e (f ?, ?) = V
e (?, f ?)
(3.10)
V
1
1
e
e
для всех функций f ? C (K ) (и всех ?, ? ? H (K ) ).
?ри условиях, налоенных на функции Gb , A и форму V ,
квадратичная форма
f(G,
b A; k + i?; ?, ?) + V
e (?, ?), ? ? Q(W
f+V
e) = H
e 1 (K ) ? L2 (K ),
W
для всех
k + i? ? C2
замкнута и секториальна. ?усть
b (G
b ; A, V ; k + i?)
H
{
m -секториальный оператор, породаемый этой формой [15?,
e 1 (K ) ? L2 (K ) . Оператор H
b (G
b; A, V ; k + i?)) ? H
b (G
b ; A, V )
D (H
унитарно эквивалентен прямому интегралу
действующему в
Z
?
2?K
Z
b; A, V ; k) d 2 k2 ,
b (G
H
(2?)
?
2?K
2
L2 (K ) (2d?k)2
(см. [10; 27; 28?). Так как операторы Hb (Gb; A, V ; k + i?) имеют компактную резольвенту, то для доказательства отсутствия в спектре оператора Hb (Gb; A, V ) собственного значения ? = 0 достаточно доказать (аналогично случаю периодического оператора
Дирака), что найдутся векторы k, ? ? R2 такие, что оператор
b (G
b ; A, V ; k + i?) обратим [1; 19; 28?. ?оэтому теорема 3.2 являH
ется следствием следующей теоремы.
73
Т е о р е м а 3.4.
?усть функции
b , A и форма V удоG
влетворяют условиям теоремы 3.2. Тогда найдутся такие векторы
k, ? ?
R
2,
что для любой ненулевой функции
e 1 (K )
??H
моно выбрать функцию
4.
такую, что
f(G,
b A; k + i?; ?, ?) + V
e (?, ?) 6= 0 .
W
e 1 (K )
??H
Теорема 4.1 и ее доказательство
?усть матричная функция R2 ? x ? Gb (x) ? M2 удовлетворяет
условиям теоремы 3.2. Определим функции F, G, H ? L? (R2 ; R)
так, что {F, G, H} ? и
G11
= F 2 + G2 ,
G22
= H2 ,
G12
= G21 = FH .
Тогда p{F, G, H} ? (p, q, F ) для некоторых чисел
b и, следовательно,
GH = det G
e 1 (K ) ,
GH ? H
? GH
?xj
? L(R2 ) , j
p, q
и
F
;
= 1, 2 .
Более того, для любого ? ? R умноение на функцию (FG ) ?
не выводит за пределы пространства He 1 (K ) и для всех функций
e 1 (K )
??H
(FG )??
?
?xj
(FG ) ? ? =
? ? GH
FG ?xj
?+
??
?xj
, j
= 1, 2 .
Вектор ?e = ?e(F, G, H) ? R2 и вещественнозначные функции
, ? He 01 (K ) ? Ce (K ) будем далее (в этом разделе) выбирать
(по функциям F , G и H ) в соответствии с теоремой 1.2. Обозначим (x) = (x) ? x2 , x ? K .
Т е о р е м а 4.1.
?усть функции
b , A и форма V удоG
влетворяют условиям теоремы 3.2. Тогда найдутся числа
и векторы
b A, V ) > 0,
C (G,
k0
b A)
= k0 (G,
?
кие, что для всех векторов
╡0
b A, V ) > 0
= ╡0 (G,
b A) ? R2 та?0 = ?0 (G,
2
0
k ? R : k1 + k1 = ? , всех чисел
R
2
74
и
e 1 (K ; C2 ) ,
╡ > ╡0 и кадой вектор-функции ? ? H
для которой ?
b1 ? = ? (т.е. ?1 = ?2 ), моно найти такую
╡ ? 2? N
:
ненулевую вектор-функцию
?
что
=
?1
?2
e 1 (K ; C2 ) ,
?H
2
X
f(G,
b A; k ? i?0 + i╡e
e (?s , ?1 ) >
W
?; ?s , ?1 ) + V
s=1
b A, V ) kD
b0 (k + k0 )e i╡?^3 e?╡ ?k ╖ kD
b0 (k + k0 )e?i╡?^3 e ╡ ?k .
> C (G,
Так как для всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех векторфункций ? ? He 1 (K ; C2 ) справедлива оценка kDb0 (k)?k > ? k?k ,
то из теоремы 4.1 непосредственно следует теорема 3.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 4.1. Для вектор-функций
e 1 (K ; C2 ) и чисел ╡ ? 2? Z будем обозначать
?, ? ? H
?╡?
= e i╡?^3 e?╡ ? ,
?╡?
= e?i╡?^3 e ╡ ? .
?олоим Qb = Q0 Ib + Q3 ?b3 , где Ql ? L(R2 ) , l = 0, 3 , Ib ? M2 {
единичная матрица; Qb? = Q0 Ib + Q3 ?b3 . Определим полуторалинейные формы
b; ?, ?)
Rj (Q
??
??
b ),
= (Qb? ?, ?i ?x
) ? (?i ?x
, Q?
j
j
j
= 1, 2 ,
e 1 (K ; C2 )
e 1 (K ; C2 ) ? L2 (K ; C2 ) . Если ?, ? ? H
?, ? ? Q(Rj ) = H
и ?b1 ? = ? , то для всех ╡ ? 2?Z выполняются равенства [10?
?
b; ?, ?) = Rj (Q
b; ? ? , ?
Rj (Q
╡ b1 ?╡ ) , j
= 1, 2 .
(4.1)
Л е м м а 4.1 ([10?). ?усть Ql ? L(R2 ) , l = 0, 3 . Тогда
b) > 0 такое,
для любого ? > 0 существует число C??? = C??? (Q
?
2
?
что для всех векторов k ? R : k1 = ? и всех вектор-функций
e 1 (K ; C2 ) справедливы неравенства
?, ? ? H
b0 (k ? )?k ╖ kD
b0 (k ? )?k + C ?? k?k ╖ k?k , j
b; ?, ?)| 6 ? kD
|Rj (Q
?
75
= 1, 2 .
k?
Л е м м а 4.2.
? R2
╡ ? 2? Z , всех векторов
e 1 (K ; C2 ) , для которых
и всех вектор-функций ? ? H
Для всех чисел
?
b1 ? = ? , имеем
b0 (k ? )e i╡?^3 ?k = kD
b0 (k ? )e?i╡?^3 ?k .
kD
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как для всех вектор-функций ? ? He 1 (K ; C2 ) (см., например, [10, теорема 3.2?)
?
?xj
и
e?i╡?^3 ?
?xj
? ? L2 (K ; C2 )
e i╡?^3 ? = i╡b
?3
то при условии ?b1 ? = ? получаем
?
?xj
?+
??
?xj
, j
= 1, 2 ,
2
?
? =
?
b1 ? ?x
?
b
2
1
2
?
?
?
b
?
?
b
= kDb0 (k ? )?k2 + ╡2 ?x
2 1 ?x1 2 ? =
2
b
?
?
?
= D0 (k ) ? i╡ ?x2 ?b1 ? ?x1 ?b2 ? = kDb0 (k ? )e?i╡?^3 ?k2 .
b0 (k ? )e i╡?^3 ?k2
kD
4.3.
= b0 (k ? ) + i╡
D
?
?x2
Следствием равенства (4.1) и лемм 4.1 и 4.2 является лемма
? L(R2 ) , l = 0, 3 . Тогда для
b) > 0 (то е, что
C??? = C??? (Q
и в лемме 4.1) такое, что для всех векторов k ? ? R2 : k1? = ? ,
e 1 (K ; C2 ) :
всех чисел ╡ ? 2? Z и всех вектор-функций ?, ? ? H
?
b1 ? = ? справедливы неравенства
Л е м м а 4.3. ?усть Ql
любого ? > 0 существует число
b0 (k ? )?╡? k╖kD
b0 (k ? )?╡? k + C??? k?╡? k╖k?╡? k , j
b; ?, ?)| 6 ? kD
|Rj (Q
76
= 1, 2 .
K, P ? L(R2 ) . Тогда для любоe? = C
e? (K, P ) > 0 такое, что
го
число C
?
2
?
для всех векторов k ? R : k1 = ? и всех вектор-функций
e 1 (K ; C2 )
?, ? ? H
Л е м м а 4.4.
? > 0 найдется
?усть
b0 (k ? )?k ╖ kD
b0 (k ? )?k + C
e? k?k ╖ k?k .
kK?k ╖ kP?k 6 ? kD
Доказательство леммы 4.4 аналогично доказательству леммы
2.1 в [10?.
Обозначим
b (A; k + i?) = D
b (k + i?) ? (Gb
?1 + F ?
b2 )A1 ? Hb
?2 A2
D
(оператор Db (k + i?) определяется по функциям F , G , H во введении), D(Db (A; k + i?)) = D(Db (k + i?)) = He 1 (K ; C2 ) ? L2 (K ; C2 ) .
Для всех k + i? ? C2 и ?, ? ? He 1 (K ; C2 ) справедливо равенство
(где A = (A1 , A2 ) )
2
X
s=1
f(G,
b A; k + i?; ?s , ?s )?
W
(4.2)
?
?
b
b (A; k ? i?) GH ?, 1 D
?(D
GH (A; k + i?) GH ?) =
2 2
+G ? GH + F ? GH ; ?, ? ?
? 2i R1 F GH
?x1
G ?x2
GH
H ? GH
?,
?
?
? 2i R2 FG ??x
+
;
G ?x2
1
b3 ; ?, ?) + iR2 (GHA1 ?
b3 ; ?, ?)?
?iR1 (GHA2 ?
? GH
1 1 ? GH ?, 1 ?GH ? ?
GH
?,
A
?
b
?
+
?,
A
?
b
?
?
? ??x
2 3
1 3
?x2
4 H ?x1
H ?x1
1
1 F ? GH + H ? GH ?, 1 F ? GH + H ? GH ?
? 14 GH
?x1
?x2
GH
?x1
?x2
(правая часть приведенного равенства не зависит от комплексного вектора k + i? ? C2 ). Выраая в последних четырех слагаемых правой части равенства (4.2) вектор-функции ? и ? через
вектор-функции ?╡? и ?╡? , ╡ ? 2?Z , из равенства (4.2) с помощью лемм 4.3 и 4.4 получаем теорему 4.2.
77
Т е о р е м а 4.2. Для любого числа ? > 0 существует
b A) > 0 , что для всех векторов k, ? ? R2
такое число C?? = C?? (G,
?
2
?
и k ? R : k1 = ? , всех чисел ╡ ? 2? Z и всех вектор-функций
e 1 (K ; C2 ) : ?
?, ? ? H
b1 ? = ? выполняется неравенство
2
X
f(G,
b A; k + i? + i╡e
?; ?s , ?s )?
W
s=1
?
?
1 D
b (A; k ? i? ? i╡e
b (A; k + i? + i╡e
? (D
?) GH ?, GH
?) GH ?) 6
b0 (k ? )? ? k + C ? k? ? k ╖ k? ? k .
b0 (k ? )? ? k ╖ kD
6 ? kD
╡
╡
?
╡
╡
Т е о р е м а 4.3. Существуют векторы k0 , ?0 ? R2 и
e > 0 , зависящие от функций G
b и A , такие, что для
число C
любого числа ╡ ? 2? Z , любого вектора k ? R2 , для которого
e 1 (K ; C2 ) моно
k1 + k10 = ? , и любой вектор-функции ? ? H
e 1 (K ; C2 ) такую, что
найти ненулевую вектор-функцию ? ? H
(Db (A; k + i?0 ? i╡e?)
?
?
1 D
b (A; k ? i?0 + i╡e
GH ?, GH
?) GH ?) >
b0 (k + k0 )?╡? k .
e kD
b0 (k + k0 )?╡? k ╖ kD
>C
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (1.2) при k, ? ? R2 (и
при ╡ ? 2?Z , = ? x2 ) для всех вектор-функций ?, ? ?
e 1 (K ; C2 ) вытекает равенство
?H
(Db (A; k ? i? ? i╡e?)
?
?
?
1 D
b (A; k + i? + i╡e
GH ?, GH
?) GH ?) =
?
(4.3)
1 e?2i╡?^3 D
b (A; k + i?) GH ? ? ) .
= (Db (A; k ? i?) GH ?╡? , GH
╡
Определим (как и при доказательстве теоремы 0.3) при j = 1, 2
и b > 0 функции
2
R ? x ? Aj (b; x) =
Aj (x) ,
0
,
78
если |Aj (x)| 6 b,
в противном случае .
Так как Aj ? L(R2 ) , j = 1, 2 , и для всех векторов
всех вектор-функций ? ? He 1 (K ; C2 )
b0 (k ? )?k2
kD
=
2
X
j =1
k(kj? ? i ?x? j ) ?k2
=
X
N?
Z2
k? ?
R
2 и
|k ? + 2?N |2 |?N |2 ,
то из леммы 1.4 (в условиях которой достаточно ограничиться
только случаем ╡ = 0 ) и оценок (0.6) следует, что моно выбрать число b = b(p, q, F ; A) > 0 такое, что для всех векторов
e 1 (K ; C2 ) выполk ? ? R2 : k1? = ? и всех вектор-функций ? ? H
няются неравенства
b (A(.) ? A(b; .); k ? ) ? D
b (k ? ) ?k =
k D
(4.4)
= k (Gb?1 + F ?b2 )(A1 (.) ? A1 (b; .)) + Hb?2 (A2 (.) ? A2 (b; .)) ?(.)k 6
b (k ? )?k ,
6 12 kD
b (k ? ) ?k =
b (A(.) ? A(b; .); k ? ) ? D
k D
(4.5)
= k (Gb?1 + F ?b2 )(A1 (.) ? A1 (b; .)) + Hb?2 (A2 (.) ? A2 (b; .)) ?(.)k 6
b (k ? )?k .
6 12 kD
Имеем kAj (b; .)kL? (R2 ) 6 b , j = 1, 2 . ?оэтому из теоремы
1.1 следует, что существуют векторы k0 , ?0 ? R2 и функции
0 , 0 ? He 01 (K ) ? Ce(K ) (более того, 0 , 0 ? He 01 {g, Z2 } для всех
функций g ? G ), зависящие от функций Gb и A , такие, что
max {k0 kL? (K ) , k0 kL? (K ) } 6 c5 b ,
(4.6)
|k0 |2 + |?0 |2 6 c6 b2 ,
(4.7)
где c5 = c5 (p, q, F ) > 0 и c6 = c6 (p, q, F ) > 0 , умноение на
функции e ▒i0 и матричные функции e ▒?^3 0 не выводит за пределы пространства He 1 (K ; C2 ) и для всех векторов k, ? ? R2
b (A(b; .); k + i?) = e ?^3 0 e?i0 D
b (k + k0 + i? + i?0 )e i0 e ?^3 0
D
79
и, следовательно, таке
b (A(b; .); k ? i?) = e ?^3 0 e?i0 D
b (k + k0 ? i? ? i?0 )e i0 e ?^3 0 .
D
?олоим k ? = k + k0 . Будем выбирать векторы
которых k1? = k1 + k10 = ? . Обозначим
?╡??
= e i0 e ?^3 0
?
GH ?╡? ,
?╡??
= e i0 e ?^3 0
?
k ?
R
2 , для
GH ?╡? .
Из равенства (4.3) получаем
?
1 D
b (A; k ? i?0 + i╡e
GH ?, GH
?) GH ?) =
(4.8)
1 e 2^?3 (0 ?i╡
) D
b (A(.) ? A(b; .); k ? )? ?? ) .
= (Db (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡?? , GH
╡
(Db (A; k + i?0 ? i╡e?)
?
Так как k1? = ? , то ker Db (k ? ) = {0} и R(Db (k ? )) = L2 (K ; C2 ) .
Отсюда и из (4.4), (4.5) следует, что таке
и
ker Db (A(.) ? A(b; .); k ? ) = ker Db (A(.) ? A(b; .); k ? ) = {0}
b (A(.) ? A(b; .); k ? )) = R(D
b (A(.) ? A(b; .); k ? )) = L2 (K ; C2 )
R (D
(при этом D(Db (A(.) ? A(b; .); k ? )) = D(Db (A(.) ? A(b; .); k ? )) =
= He 1 (K ; C2 ) ). Будем далее для кадой векторной функции ?
из He 1 (K ; C2 ) выбирать такую вектор-функцию ? ? He 1 (K ; C2 )
(которая зависит таке от ╡ ? 2?Z , k ? и функций Gb и A (а
таке от числа b = b(p, q, F ; A) )), что
b (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡??
D
1 e 2^?3 (0 ?i╡
) D
b (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡????
= GH
(для ненулевой вектор-функции
нулевая). Имеем
?
вектор-функция
b (k ? )? ? k 6 e 2 c5 b b (k ? ) e?i0 e??^3 0
kD
e??^3 0 e i0 D
╡
80
?
таке не-
?1
GH
?╡?? =
(4.9)
1 ? ?? = e 2 c5 b Db (?A(b; .); k ? + k0 ? i?0 ) ?GH
╡,
b (k ? ) e?i0 e??^3 0
b (k ? )? ? k 6 e 2 c5 b kD
e??^3 0 e i0 D
╡
Так как
?1
GH
1 ? ?? = e 2 c5 b Db (?A(b; .); k ? + k0 + i?0 ) ?GH
╡ .
Aj ? L(R2 ) , j
? (GH)?1/2
?xj
= 1, 2 , (GH)?1/2 ? He 1 (K ) ,
= ? 12 (GH)?3/2
и для всех вектор-функций
? ?1
?xj
GH
? GH
?xj
e 1 (K ; C2 )
??H
? = ? 12 (GH)?3/2
? GH
?xj
?+
?╡?? =
(4.10)
? L(R2 )
??
?1
GH ?xj
, j
= 1, 2 ,
то из оценок (4.9) и (4.10) (см. таке (4.7)) следует, что сущеb A) > 0 такое, что
ствует число c7 = c7 (G,
b (k ? )? ? k 6 c7 kD
b (k ? )? ?? k ,
kD
╡
╡
b (k ? )? ? k 6 c7 kD
b (k ? )? ?? k .
kD
╡
╡
(4.11)
Используя оценки (0.6), (4.4), (4.5), (4.6) и (4.11), из (4.8) получаем
(Db (A; k + i?0 ? i╡e?)
?
?
1 D
b (A; k ? i?0 + i╡e
GH ?, GH
?) GH ?) >
b (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡?? k >
b (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡?? k ╖ kD
> p?2 e?2 c5 b kD
b (k ? )?╡?? k >
b (k ? )?╡?? k ╖ kD
> 14 p?2 e?2 c5 b kD
b (k ? )? ? k ╖ kD
b (k ? )? ? k >
> 14 (pc7 )?2 e?2 c5 b kD
╡
╡
b0 (k ? )? ? k ╖ kD
b0 (k ? )? ? k .
> 14 c1 (pc7 )?2 e?2 c5 b kD
╡
╡
Осталось полоить Ce = 14 c1 (pc7 )?2 e?2 c5 b .
Из теоремы 3.3 и теоремы 8.5 из [10? (которая вытекает из
равенства (3.10) и леммы 4.2) непосредственно следует теорема
4.4.
81
Т е о р е м а 4.4. ?усть
найдется число C?? = C?? (V ) > 0
V ? V . Тогда для любого ? > 0
(то е, что и в теореме 3.3)
k ? ? R2 : k1? = ? , всех чисел
e 1 (K ; C2 ) : ?
и всех вектор-функций ?, ? ? H
b1 ? = ?
такое, что для всех векторов
╡ ? 2? Z
справедливо неравенство
2
X
e
b0 (k ? )?╡? k + C?? k?╡? k ╖ k?╡? k .
b0 (k ? )?╡? k ╖ kD
V (?s , ?s ) 6 ? kD
s=1
Л е м м а 4.5 ([10; 11?). Равномерно по всем векторам
из R2 : k1? = ? и всем ненулевым векторным функциям ?
e 1 (K ; C2 ) , для которых ?
b1 ? = ? , имеем
H
при
2?N
?╡?
+?
тричной функцией
b0 (k ? )? ? k
kD
╡
?
?
k?╡ k
+?
(расходимость в
b ).
G
(4.12)
k?
из
(4.12)
определяется ма-
Для завершения доказательства теоремы 4.1 осталось воспользоваться (учитывая оценку kDb0 (k ? )?╡? k > ? k?╡? k ) теоремами 4.2, 4.3 и 4.4 и леммой 4.5.
Список литературы
1. Kuhment P. Floquet theory for partial dierential equations. Basel:
Birkhauser Verlag, 1993.
2. Данилов Л.И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. VI. М.: ВИНИТИ, 1996. 45 с. Деп. в ВИНИТИ 31.12.96.
Є3855-В96.
3. Цикон Х., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с
прилоениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.:
Мир, 1990. 408 с.
4. Morame A. Absene of singular spetrum for a perturbation of a twodimensional Laplae-Beltrami operator with periodi eletro-magneti
potential // J. Phys. A: Math. Gen. 1998. Vol. 31. P. 7593-7601.
82
5. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора Дирака // Теор. и мат. физика. 1999. Т. 118, Є1. С. 3-14.
6. Birman M.Sh., Suslina T.A. The periodi Dira operator is absolutely
ontinuous // Integr. Equat. and Operator Theory. 1999. Vol. 34. P. 377395.
7. Данилов Л.И. Спектр оператора Дирака с периодическим потенциалом. III. М.: ВИНИТИ, 1992. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 10.07.92.
Є2252-В92.
8. Лапин И.С. Абсолютная непрерывность спектра двумерных периодических магнитных операторов Шредингера и Дирака с потенциалами из классов Зигмунда // ?робл. мат. анал. С?бГУ. С?б.,
2001. Вып. 22. C. 74-105.
9. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. II. М.: ВИНИТИ, 2001. 60 с.
Деп. в ВИНИТИ 09.04.01. Є916-В2001.
10. Данилов Л.И. О спектре двумерных периодических операторов
Шредингера и Дирака // Изветия Ин-та матем. и информ. УдГУ.
Иевск, 2002. Вып. 3(26). C. 3-98.
11. Данилов Л.И. О спектре двумерного периодического оператора
Шредингера // Теор. и мат. физика. 2003. Т. 134, Є3. С. 447-459.
12. Данилов Л.И. Оценки резольвенты и спектр оператора Дирака с
периодическим потенциалом // Теор. и мат. физика. 1995. Т. 103,
Є1. С. 3-22.
13. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.
Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 428 с.
14. Shen Z. Absolute ontinuity of periodi Shrodinger operators with
potentials in the Kato lass // Illinois J. Math. 2001. Vol. 45, Є3.
P. 873-893.
15. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
740 с.
16. Hempel R., Herbst I. Bands and gaps for periodi magneti Hamiltonians. Preprint ESI, Є162. Vienna, 1994.
17. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Двумерный периодический магнитный
гамильтониан абсолютно непрерывен // Алгебра и анализ. 1997.
Т. 9, Є1. С. 32-48.
18. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. Абсолютная непрерывность двумерного периодического магнитного гамильтониана с разрывным векторным потенциалом // Алгебра и анализ. 1998. Т. 10, Є4. С. 1-36.
83
19. Kuhment P., Levendorskii S. On the spetra of periodi ellipti
operators // Trans. Amer. Math. So. 2001. Vol. 354, Є2. P. 537-569.
20. Бирман М.Ш., Суслина Т.А., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного оператора Шредингера с дельта-потенциалом, сосредоточенным на периодической системе кривых // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, Є6. С. 140-177.
21. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность двумерного магнитного периодического оператора Шредингера с электрическим потенциалом типа производной от меры // Зап. науч. семин. ?ОМИ.
2000. Т. 271. С. 276-312.
22. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного
периодического оператора Шрeдингера с полоительным электрическим потенциалом // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13, Є4. С. 196228.
23. Суслина Т.А., Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра
магнитного оператора Шредингера с метрикой в двумерном периодическом волноводе // Алгебра и анализ. 2002. Т. 14, Є2. С. 159-206.
24. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного
периодического оператора Шрeдингера с сильно подчиненным магнитным потенциалом // Зап. науч. семин. ?ОМИ. 2003. Т. 303.
С. 279-320.
25. Штеренберг Р.Г. Абсолютная непрерывность спектра двумерного периодического оператора Шрeдингера: Автореф. дис. ... канд.
физ.-мат. наук. С?б, 2003.
26. Данилов Л.И. Об абсолютной непрерывности спектра периодических операторов Шредингера и Дирака. III. М.: ВИНИТИ, 2002.
20 с. Деп. в ВИНИТИ 22.10.02, Є1798-В2002.
27. Shen Z. On absolute ontinuity of the periodi Shrodinger operators
// Int. Math. Res. Noties. 2001. Є1. P. 1-31.
28. Бирман М.Ш., Суслина Т.А. ?ериодический магнитный гамильтониан с переменной метрикой. ?роблема абсолютной непрерывности
// Алгебра и анализ. 1999. Т. 11, Є2. С. 1-40.
84
?ем будут таке отодествляться с
их периодическими продолениями на все пространство R2 . В
пространствах Cd , L2 (R2 ; Cd ) и L2 (K ; Cd ) , d = 1, 2 , нормы и
скалярные произведения вводятся обычным образом (как правило, без указания в обозначениях самих пространств), при этом
предполагается линейность скалярного произведения по второму
сомноителю; ? = (?/?x1 , ?/?x2 ) , mes { мера Лебега в R2 .
?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) . Для всех k = (k1 , k2 ) ? R2 и
? = (?1 , ?2 ) ? R2 опеределим операторы
b (k + i?) = (Gb
?1 + F ?
b2 )(k1 + i?1 ? i ?x? 1 ) + Hb
?2 (k2 + i?2 ? i ?x? 2 ) ,
D
?усть
e(K ) , C
e 1 (K )
C
действующие в L2 (K ; C2 ) , D(Db (k + i?)) = He 1 (K ; C2 ) . ?олоим
db▒ (k + i?) = (G ▒ iF )(k1 + i?1 ? i ?x? 1 ) ▒ iH(k2 + i?2 ? i ?x? 2 ) ,
e 1 (K ) ? L2 (K ),
D(db▒ (k + i?)) = H
b (k + i?) =
D
0
db+ (k + i?)
.
db▒ = db▒ (0);
!
db? (k + i?)
.
0
Существуют числа c1 = c1 (p, q, F ) > 0 и c2 = c2 (p, q, F )
такие, что для всех векторов k ? R2 и всех ? ? He 1 (K )
c1
2
X
j =1
k kj ? i
?
?xj
(0.4)
> c1
2
X
2
2
b
k kj ? i ?x? j ?k2 (0.5)
?k 6 kd▒ (k)?k 6 c2
j =1
53
(моно полоить c1 = q 6 p?2 (2q 2 + F 2 )?1 , c2 = 2(p2 + F 2 ) [10,
лемма 3.1?). Из (0.4) и (0.5) получаем, что для всех векторов
e 1 (K ; C2 )
k ? R2 и всех вектор-функций ? ? H
при этом
b0 (k)?k2 6 kD
b (k)?k2 6 c2 kD
b0 (k)?k2 ,
c1 kD
b0 (k)?k2
kD
=
2
X
j =1
(0.6)
k kj ? i ?x? j )?k2 .
Если k1 = ? , то kDb0 (k)?k > ? k?k , ? ? He 1 (K ; C2 ) . Из (0.6)
следует, что операторы Db (k) , k ? R2 , замкнуты. Если k 6? 2?Z2 ,
то область значений R(Db (k)) операторов Db (k) совпадает со всем
пространством L2 (K ; C2 ) , ker Db (k) = {0} и обратные операторы
b ?1 (k) компактны. Если k ? 2? Z2 , то R(D
b (k)) { (замкнутое)
D
2
2
подпространство в L (K ; C ) и dimoker Db (k) = dimker Db (k) = 2
(см., например, [10?).
Оператор Дирака Db + Vb (0.3) унитарно эквивалентен прямому интегралу
Z ?
2
(Db (k) + Vb ) (2d?k)2 ,
(0.7)
действующему в
2?K
Z
?
2?K
2
L2 (K ; C2 ) (2d?k)2
(вектор k = (k1 , k2 ) ? 2?K ? R2 называется квазиимпульсом). Унитарная эквивалентность устанавливается с помощью
преобразования Гельфанда (для периодического оператора Дирака см. [6; 12?). В (0.7) матричный потенциал Vb является оператором в L2 (K ; C2 ) , имеющим (так как Vl ? L(R2 ) , l = 0, 1, 2, 3 )
нулевую грань относительно операторов Db (k) , k ? 2?K ;
b (k) + Vb ) = D(D
b (k)) = H
e 1 (K ; C2 ).
D (D
54
Операторы
тегралам
b
D
Z
и
?
b0
D
2?K
таке унитарно эквивалентны прямым ин-
b (k) d2 k2
D
(2?)
и
Z
?
2?K
b0 (k) d2 k2
D
(2?)
соответственно, поэтому из (0.6) следуют неравенства (0.1) (после линейной замены переменных и, вообще говоря, с другими
константами c1 > 0 и c2 > c1 ). Так как матричный потенциал
Vb , рассматриваемый как оператор в L2 (K ; C2 ) , имеет нулевую
грань относительно операторов Db (k) , k ? R2 , и, следовательно, для всех k ? R2 \2?Z2 операторы Vb Db ?1 (k) компактны, то
из представления оператора Дирака Db + Vb (0.3) в виде прямого
интеграла (0.7) и аналитической теоремы Фредгольма вытекает,
что если ? = 0 { собственное значение оператора (0.3), то ? = 0 {
собственное значение операторов Db (k + i?)+ Vb (с областью определения D(Db (k + i?) + Vb ) = He 1 (K ; C2 ) ? L2 (K ; C2 ) ) для всех
k + i? ? C2 (более подробно см. [1? и [13, з XIII.16?). Следовательно, для доказательства теоремы 0.2 достаточно найти комплексный вектор k + i? ? C2 , для которого ker (Db (k + i?) + Vb ) = {0} .
?оэтому теорема 0.2 является следствием теоремы 0.3.
Т е о р е м а 0.3. ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) и
Vb (.) = V0 (.)Ib +
3
X
Vl (.)?
bl ,
l=1
2
где Vl (.) ? L(R ) , l = 0, 1, 2, 3 . Тогда найдутся
k ? , ? ? ? R2 , единичный вектор e ? R2 : |e| = 1 (для
векторы
которого
e1 > 0 ) и сколь угодно большие числа ╡
e > 0 такие, что для всех
2
e 1 (K ; C2 )
векторов k ? R : k1 = ? и всех вектор-функций ? ? H
справедливо неравенство
где
b (k + k ? + i(╡
k(D
ee + ? ? )) + Vb )?k > e?c ╡~ k?k ,
c = c(p, q, F ) > 0 .
Доказательство теоремы 0.3 приведено в з 2.
55
1.
Обозначения и вспомогательные утвердения
Обозначим через He 01 {g, Z2 } , g ?
функций ? He 01 (K ) , для которых
kkH~ 1 {g,Z2 }
0
G,
банахово пространство
=. k |?(.)| kL2 {g,Z2 } < +? .
Так как r?g(r) ? 0 при r ? +0 для любого ? > 0 , то
e 1 {g, Z2 } (влоение непрерывно). С другой стороны,
e 1 (K ) ? H
C
0
0
2
1
e0 (K ) и для всех ? H
e 1 {g, Z2 } выполняется оценe {g, Z } ? C
H
0
0
ка [10?
kkL? (K ) 6 c3 kkH~ 1 {g,Z2 } ,
0
где c3 = c3 (g) > 0 .
Т е о р е м а 1.1 ([10?). ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) и
g ? G . Тогда для любых функций C1 , C2 ? L2 {g, Z2 } моно (однозначно) найти такие векторы k, ? ? R2 и функции
, ? He 01 {g, Z2 } ? He 01 (K ) ? Ce(K ) , что умноение на функции
e i╡ и e ╡ для всех ╡ ? C не выводит за пределы пространe 1 (K ) (тогда операторы умноения на функции e i╡ и
ства H
матричные функции e ╡?^3 не выводят за пределы пространe 1 (K ; C2 ) ),
ства H
b (╡(k + i?)) e i╡ e ╡?^3 e ╡?^3 e?i╡ D
и при этом
= Db (0) + ╡(C1 ?b1 + C2 ?b2 )
max{kkL? (K ) , kkL? (K ) } 6 c1? (kC1 kL2 {g,Z2 } + kC2 kL2 {g,Z2 } ) ,
|k|2 + |?|2 6 c2? (kC1 k2L2 (K ) + kC2 k2L2 (K ) ) ,
c1? = c1? (p, q, F ; g) > 0 , c2? = c2? (p, q, F ) > 0 . Если C1 ▒ i C2 ?
? R(db▒ ) , то k = ? = 0 . Если C1 и C2 { вещественнозначные
функции, то ? = 0 и функции и таке являются вещегде
ственнозначными.
56
Т е о р е м а 1.2.
{F, G, H} ? (p, q, F ) . Тогда
существуют (единственные) вектор ?
e ? R2 и вещественно1
e
e
e 1 {g, Z2 } для
значные функции , ? H0 (K ) ? C (K ) ( , ? H
0
любой функции g ? G ) такие, что
1) для всех ╡ ? R умноение на функции e ╡ и матричные функции e i╡?^3 не выводит за пределы пространства
e 1 (K ; C2 ) ;
H
2) для всех k, ? ? R2 и ╡ ? R имеем
?усть
b (k + i? + i╡e
e i╡?^3 e ╡ D
?)e?╡ e i╡?^3 3)
= Db (k + i?) + i╡Hb?1 ; (1.1)
max{kkL? (K ) , kkL? (K ) } 6 c1? ,
c1?
= c?1 (p, q, F ) > 0
и
c?2
|e
?| 6 c?2 , где
= c?2 (p, q, F ) > 0.
Теорема 1.2, являющаяся частным случаем теоремы 1.1, используется при доказательстве теоремы 0.3.
Вещественнозначные функции , и вектор ?e ? R2 , определяемые в теореме 1.2, однозначно находятся из условия
idb+ ( ? i) = ?(G + iF )?
e1 ? iH(?
e2 + i) ,
являющегося следствием (1.1), причем ?e1 > 0 [9?. Если ╡ ? 2?Z ,
то оператор умноения на матричную функцию e?i╡?^3 (?x2 )
действует в L2 (K ; C2 ) (линейное многообразие He 1 (K ; C2 ) инвариантно относительно действия этого оператора). ?ри ╡ ? 2?Z ,
k, ? ? R2 имеем
b (k + i? + i╡e
b (k + i?)e ╡ e?i╡?^3 (?x2 ) .
?) = e?i╡?^3 (?x2 ) e?╡ D
D
(1.2)
Л е м м а 1.1 ([10?). ?усть {F, G, H} ? . Тогда для фу ? He 01 (K ) ? Ce (K ) , определяемой в теореме 1.2, при всех
нкции
??R
?усть
mes {x ? K : (x) ? x2 = ?} = 0 .
k ? R2
и
G▒
N (k ; ╡) =
╡ ? R.
Для всех
N ? Z2
обозначим
(k1 + 2?N1 )2 + (k2 + 2?N2 ▒ ╡)2 1/2 ;
57
+
GN (k; ╡) = min {G?
N (k ; ╡), GN (k ; ╡)} .
Если k1 = ? , то
полоим
GN (k; ╡) > ? .
k?k?
=
k?k?, ▒
=
Л е м м а 1.2.
всех векторов
X
N ?Z2
X
Z2
N?
Для всех функций
G2N (k; ╡) |?N |2
1/2
(G▒N (k; ╡))2 |?N |2
?усть
k ? R2 ,
{F, G, H} ?
всех чисел ╡ ?
e 1 (K ) выполняются оценки
??H
,
1/2
e 1 (K )
?? H
.
(p, q, F ) .
R
Тогда для
и всех функций
c1 k?k2?, ▒ 6 k(db▒ (k) + i╡H)?k2 6 c2 k?k2?, ▒ .
Лемма 1.2 является следствием оценок (0.5) (с теми е константами c1 = c1 (p, q, F ) > 0 и c2 = c2 (p, q, F ) > c1 ).
Для мноества O ? Z2 обозначим L(O) = {? ? L2 (K ) :
?N = 0 при N ? Z2 \O} , L(Z2 ) = L2 (K ) , L(?) = {0} ; Pb O { ортогональный проектор в L2 (K ) , ставящий в соответствие функциям ? ? L2 (K ) функции
Pb O ? =
X
?N e 2?i (N,x)
N ?O
( Pb? ? = 0 ); # O { число векторов конечного мноества O ? Z2 .
?ри a > 2? определим (непустые конечные) мноества
T ▒ (a) = {N ? Z2 : G▒
N (k ; ╡) 6 a}
(в приведенных обозначениях не отмечается зависимость от вектора k ? R2 и числа ╡ ? R , которые будут предварительно
задаваться).
Л е м м а 1.3 ([10?). Для кадой функции W ? L(R2 )
существуют число c4 (W ) > 0 и невозрастающая функция hW :
58
[2?, +?) ? [0, +?) , для которой hW (t) ? 0 при t ? +? , такие, что для всех ╡ > 4? справедливы следующие три утвердения:
1) для всех векторов
? ? L(
T▒
(╡/2))
k ?
R
2 : k1 = ?
kW ?k 6 c4 (W ) k?k?, ▒
и для всех функций
= c4 (W ) k?k? ;
6 a 6 ╡/2 , то для всех векторов k ?
функций ? ? L(T ▒ (╡/2)\T ▒ (a))
2) если
2?
R
2
и всех
kW ?k 6 hW (a)k?k? ;
3) для всех векторов
k ? R2 и всех функций
e 1 (K ) ? L(Z2 \(T + (╡/2) ? T ? (╡/2)))
??H
выполняется неравенство
kW ?k 6 3hW (╡) k?k? .
З а м е ч а н и е 1.1. Из пунктов 1) и 3) следует, что число c4 (W ) моно выбрать так, чтобы неравенство
kW ?k 6 c4 (W ) k?k?
было справедливо для всех ╡ > 4? , всех векторов k ? R2 : k1 = ?
и всех функций ? ? He 1 (K ) .
Следующая теорема усиливает теорему 6.2 из [10?, и ее доказательство непосредственно вытекает из доказательства этой
теоремы. Фактически в теореме 1.3 сформулировано то, что в
действительности доказано в [10, з 6? (при этом чтобы не вносить
каких-либо изменений в предлоенное в [10? доказательство теоремы 6.2, утвердения леммы 1.3 сформулированы так, как они
приведены в [10?).
Для произвольного мноества M ? ? N обозначим
Q (M ? ) =
lim
N ?+?
#{? ? M ? : ? 6 N }
N
59
.
Т е о р е м а 1.3. ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) , V▒ ?
e(K ) , для ко? L(R2 ) и { вещественнозначная функция из C
торой mes {x ? K : (x) ? x2 = ?} = 0 при любом ? ? R . Тогда
для любого числа a > 2? , для которого
2
max {h2V? (a), h2V+ (a)} 6 361 c1 +4 (max {c4c(1V? ),c4 (V+ )})2
(где c1 = c1 (p, q, F ) > 0 { число из неравенств (0.5) и леммы
1.2, а функции hV▒ и числа c4 (V▒ ) определены в лемме 1.3),
найдется мноество M = M (p, q, F ; F, G, H; ; V+ , V? ; a) ? N
такое, что Q (N\M) = 0 и для всех ╡ ? ? M (при ╡ > 2a ),
e 1 (K )
всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ?▒ ? H
справедлива оценка
k(db+ (k) + i╡H)?+ + e?2i╡ V? ?? k2 +
+k(db? (k) + i╡H)?? + e 2i╡ V+ ?+ k2 >
?
+
c2
> c61 kPb T (a) ?+ k2? + kPb T (a) ?? k2? + 6(c1 +4 (max {c4 1(V? ),c4 (V+ )})2 ) ╫
2 +
2 ?
╫ kPb Z \T (a) ?+ k2?, + + kPb Z \T (a) ?? k2?, ? .
Т е о р е м а 1.4. ?усть {F, G, H} ? (p, q, F ) , Ve0 ?
? L(R2 ) , Ve3 ? L(R2 ) и { вещественнозначная функция из
e(K ) , для которой mes {x ? K : (x) ? x2 = ?} = 0 при любом
C
? ? R . Тогда для любого числа a > 2? , для которого
c21
1
max
h2V~ ▒V~ (a) 6 36
~
c1 +4 (max {c4 (V0 ?V~3 ),c4 (V~0 +V~3 )})2
0 3
▒
,
(1.3)
найдется мноество
M
= M (p, q, F ; F, G, H; ; Ve0 + Ve3 , Ve0 ? Ve3 ; a) ? N
Q (N\M) = 0 и для всех ╡ ? ? M : ╡ > 2a , всех
k ? R2 : k1 = ? и всех вектор-функций
?+
e 1 (K ; C2 )
?=
?H
??
такое, что
векторов
60
справедлива оценка
b (k) + i╡Hb
k(D
?1 + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?
b3 ))?k2 >
c1 X b T ▒ (a)
>
kP
?▒ k2? +
6
▒
+ c1 +4 (max {c4 (V~0c?1V~3 ),c4 (V~0 +V~3 )})2
X
▒
2 \T ▒ (a)
kPb Z
?▒ k2?, ▒ .
Теорема 1.4 непосредственно вытекает из теоремы 1.3, если
полоить V▒ = Ve0 ▒ Ve3 , так как
b (k)+i╡Hb
D
?1 +e 2i╡?^3 (Ve0 Ib+Ve3 ?
b3 ) =
!
db? (k) + i╡H
e 2i╡ V+
.
e?2i╡ V?
db+ (k) + i╡H
W ? L2 (K ) при b > 0 определим функции
W (x) , если |W (x)| 6 b,
K ? x ? W (b; x) =
0 , в противном случае.
Для функций
W ? L(R2 ) ? L2 (K ) . Тогда сущеhW : [0, +?) ? [0, +?) , для
ствует невозрастающая функция e
hW (t) ? 0 при t ? +? , такая, что для всех ╡ ? R ,
которой e
e 1 (K ) (для
всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ? ? H
кадого из знаков + и ? ) справедлива оценка
Л е м м а 1.4.
?усть
k(W (.) ? W (b; .))?(.)k 6 e
hW (b) k?k?, ▒ , b > 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как W ? L(R2 ) , то (см.,
например, лемму 5.3 в [10?) для любого ? > 0 найдется число
C?,? W > 0 такое, что для всех ╡ ? R , всех векторов k ? R2 и
всех функций ? ? He 1 (K ) (и для кадого из знаков + и ? )
kW ?k 6 ? k?k?, ▒ + C?,? W k?k .
61
(1.4)
Для чисел
a > 2?
и функций
(a) = Pb T ▒ (a) ?,
?▒
e 1 (K )
??H
обозначим
(a) = Pb Z2 \T ▒ (a) ? ,
?
e▒
где T ▒ (a) = {N ? Z2 : G▒N (k; ╡) 6 a} (функции ?(▒a) и ?e(▒a)
зависят (кроме числа a ) таке от вектора k ? R2 и числа ╡
из R , но в их обозначениях это не отмечается). Справедливы
оценки
1 6 # T ▒ (a) < 6?a2 .
Для всех чисел b > 0 , a > 2? , ╡ ? R , всех векторов k ?
e 1 (K ) (так как в этом случае
? R2 : k1 = ? и всех функций ? ? H
?k?k 6 k?k?, ▒ ) имеем (для кадого из знаков)
k(W (.) ? W (b; .))?(.)k 6
(a)
(a)
6 k(W (.) ? W (b; .))?▒ (.)k + k(W (.) ? W (b; .))?
e▒ (.)k 6
(a)
6
?
6? a kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) k?(▒a) k + ? k?e(▒a) k?, ▒ + C?,? W k?e(▒a) k 6
6
q
Обозначим
e
hW (b) =
6
? a kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) + ? +
inf min
? > 0 a ? 2?
q
C?,? W
a
k?k?, ▒ .
6
? a kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) + ? +
Так как kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) ? 0 при
удовлетворяет требуемым условиям.
2.
(a)
6 kW (.) ? W (b; .)kL2 (K ) k?▒ kL? (K ) + kW ?
e▒ k 6
b ? +? ,
C?,? W
a
то функция
Доказательство теоремы 0.3
Определим при l = 1, 2 и
b > 0 функции
Vl (x) , если |Vl (x)| 6 b,
2
R ? x ? Vl (b; x) =
0 , в противном случае .
62
.
e
hW
В соответствии с леммой 1.4 (так как Vl ? L(R2 ) , l = 1, 2 ) выберем число b = b(p, q, F ; V1 , V2 ) > 0 так, чтобы для всех ╡ ? R ,
всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ? ? He 1 (K ) (для
кадого из знаков + и ? ) выполнялись неравенства
c1
k(Vl (.) ? Vl (b; .))?(.)k2 6 192
k?k2?, ▒ ,
l = 1, 2 ,
(2.1)
Так как Vl (b; .) ? L? (K ) (следовательно, Vl (b; .) ? L2 {g, Z2 } для
всех функций g ? G ) и kVl (b; .)kL? (K ) 6 b , l = 1, 2 , то из теоремы 1.1 следует, что существуют векторы k ? , ? ? ? R2 и функции
? , ? ? He 01 (K ) ? Ce(K ) (более того, ? , ? ? He 01 {g, Z2 } для люg ? G ) такие, что операторы умноения на функбой функции
?
▒i
ции e
и матричные функции e ▒?^3 ? не выводят за пределы
пространства He 1 (K ; C2 ) , для всех векторов k, ? ? R2
?
?
b (k + k ? + i(? + ? ? )) + Vb ) e i ? e ?^3 ?
e ?^3 e?i (D
= Db (k + i?) +
=
(2.2)
2
X
l=1
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + Ve0 Ib + Ve3 ?b3 ,
где Ve0 Ib + Ve3 ?b3 = e 2^?3 (V0 Ib + V3 ?b3 ) и, следовательно,
Ve0 = V0 h2 ? + V3 sh2 ? , Ve3 = V0 sh2 ? + V3 h2 ? ,
?
и при этом
max{k ? kL? (K ) , k ? kL? (K ) } 6 c1?? b ,
(2.3)
|k ? |2 + |? ? |2 6 2c2? b2 ,
где c1?? = c1?? (p, q, F ) > 0 и c2? = c2? (p, q, F ) > 0 (константа c2? определена в теореме 1.1). Из (2.3) получаем, что Ve0 , Ve3 ? L(R2 ) .
?усть , ? He 01 (K ) ? Ce (K ) и ?e ? R2 { вещественнозначные
функции и вектор, определяемые для функций F, G и H в теореме 1.2. Из равенства (1.1) для всех k ? R2 и ╡ ? R получаем
e
i╡?
^3 ╡
e
(Db (k + i╡e?)+
2
X
l=1
(Vl (.) ?Vl (b; .))?bl + Ve0 Ib+ Ve3 ?b3 ) e?╡ e i╡?^3 (2.4)
63
= Db (k) + i╡Hb?1 +
Обозначим
?0
2
X
l=1
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?b3 ) .
= 161 c1 c1 + 4(max{c4 (Ve0 ? Ve3 ), c4 (Ve0 + Ve3 )})2 ?1/2 .
Выберем число a = a(p, q, F ; Vb ) > 2? так, чтобы выполнялись
неравенство (1.3) (с рассматриваемыми функциями Ve0 и Ve3 ) и
неравенства
C??0 , Vl 6 ?0 a , l = 1, 2
(где константы C??0 , Vl взяты из оценки (1.4)). Тогда из леммы
1.1 и теоремы 1.4 следует, что существует мноество M ? N ,
зависящее от p , q , F , функций F , G , H и матричного потенциала Vb , такое, что Q(N\M) = 0 и для всех ╡ ? ?M , всех
векторов k ? R2 : k1 = ? и всех вектор-функций
?=
справедлива оценка
?+
??
e 1 (K ; C2 )
?H
b (k) + i╡Hb
k(D
?1 + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?
b3 ))?k2 >
X
▒
2 X kPb Z2 \T ▒ (a) ? k2 .
kPb T (a) ?▒ k2? + 128
> c61
▒ ?, ▒
3 ?0
▒
(2.5)
(2.6)
▒
С другой стороны, с помощью оценок (1.4) и (2.1) для всех векторфункций (2.5) получаем
2
2 X
X
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl ?(.)2 6 2 (Vl (.) ? Vl (b; .))?(.) 2 6
l=1
l=1
64
2 X
X
l=1 ▒
▒
k(Vl (.) ? Vl (b; .))(Pb T (a) ?▒ )(.)k2 +
64
+4
2 X
X
X
2 ▒
c1
kVl Pb Z \T (a) ?▒ k2 6 24
▒
kPb T (a) ?▒ k2?, ▒ +
▒
l=1 ▒
2
XX
2 ▒
2 ▒
+8
?20 kPb Z \T (a) ?▒ k2?, ▒ + (C??0 , Vl )2 kPb Z \T (a) ?▒ k2 6
l=1 ▒
X
X
▒
2 ▒
c1
kPb T (a) ?▒ k2?, ▒ + 32 ?20
kPb Z \T (a) ?▒ k2?, ▒
6 24
▒
▒
2 ▒
2 ▒
(использована оценка kPb Z \T (a) ?▒ k 6 a?1 kPb Z \T (a) ?▒ k2?, ▒ ).
?оэтому из (2.6) вытекает, что для всех ╡ ? ?M , всех векторов
k ? R2 : k1 = ? и всех вектор-функций (2.5)
2
X
D
b (k) + i╡Hb
?1 +
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib+ Ve3 ?b3 ) ?2 >
l=1
2
b (k) + i╡Hb
> 12 D
?1 + e 2i╡?^3 (Ve0 Ib + Ve3 ?
b3 ) ? ?
2
X
?
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl ?2 >
l=1
c1
> 24
X
Pb T ▒ (a) ?▒ 2
▒
+ 323 ?20
?, ▒
X 2 ▒
Pb Z \T (a) ?▒ 2 >
?, ▒
▒
2 X k? k2 > 32 ?2 X G2 (k; ╡)|? |2 > 32 ? 2 ?2 k?k2 .
?
> 32
▒ ?, ▒
N
0
N
3 0
3 0
3
▒
N ? Z2
Так как kkL? (K ) 6 c?1 = c?1 (p, q, F ) (см. теорему 1.2), то из (2.4)
и полученных неравенств следует оценка
b (k + i╡e
k D
?) +
2
X
l=1
(Vl (.) ? Vl (b; .))?bl + Ve0 Ib + Ve3 ?b3
?
?
> 4 ?23 ? ?0 e?2c1 ╡ k?k .
?k >
(2.7)
Наконец, (2.7) и (2.2) приводят к оценке
?
??
?
b (k + k ? + i(╡e
k D
? + ? ? )) + Vb ?k > 4 ?23? ?0 e?4c1 b e?2c1 ╡ k?k ,
65
справедливой для всех ╡ ? ?M , всех векторов k ? R2 : k1 = ? и
всех вектор-функций ? ? He 1 (K ; C2 ) . Для вектора ?e ? R2 имеем
?
e1 > 0 [9? и
?
c1
p+F
6 |e
?| 6
?p
c1
(см. доказательства леммы 4.1 и теоремы 4.1 и [10?), поэтому
осталось полоить e = ?e/|e?| и
c = c(p, q, F ) = 3c1? p?+cF1 .
?ри этом достаточно выбирать числа
?
╡
e ? ?|e
?|M ,
для которых
4c1?? b ? ln ( 4?32 ??0 ) 6 c?1 |╡?~~| .
Теорема доказана.
3.
Отсутствие собственных значений в спектре двумерного периодического оператора Шредингера
В этом и следующем разделах работы результаты о двумерном
периодическом операторе Дирака, приведенные в предыдущих
разделах, применяются при доказательстве отсутствия собственных значений в спектре двумерного периодического оператора
Шредингера. Будут таке существенно использованы утвердения из [10? и [11?.
?усть R2 ? x ? Gb (x) = (Gjl )j,l=1,2 { вещественная симметрическая полоительно определенная матричная функция (метриb G
b?1 ? L? (R2 ; M2 ) , R2 ? x ? A(x) = (A1 (x), A2 (x)) ?
ка), G,
? C2 { векторнозначная функция (векторный потенциал). Функции Gb и A предполагаются периодическими с решеткой периодов ? R2 , Aj ? L (R2 ) , j = 1, 2 . Рассмотрим полуторалинейную форму в L2 (R2 )
b A; ?, ?)
W (G,
=
2
X
j, l = 1
?
?
?
A
?i ?x? j ? Aj ?, Gjl ?i ?x
l
l
66
с областью определения Q(W ) = H 1 (R2 ) , ?, ? ? H 1 (R2 ) (черта
означает комплексное сопряение).
Обозначим через V мноество полуторалинейных форм
V (?, ?) в L2 (R2 ) (линейных по второму аргументу), ?, ? ?
? Q(V ) = H 1 (R2 ) , для которых
1) V (?(. ? ? ), ?(. ? ? )) = V (?, ?) для всех ?, ? ? H 1 (R2 ) и
всех ? ? (т.е. V { периодическая форма с решеткой периодов
? R2 );
2) V (e i(k,x) ?, ?) = V (?, e?i(k,x) ?) для всех k ? R2 (и всех
?, ? ? H 1 (R2 ) );
3) для любого ? > 0 существует число C? = C? (V ) > 0 такое,
что для всех ? ? H 1 (R2 )
|V (?, ?)| 6 ? k??k2L2 (R2 ;C2 ) + C? k?k2L2 (R2 ) .
(3.1)
Формы V ? V для функций ?, ? ? H 1 (R2 ) ? C0 (R2 ) (где
C0 (R2 ) { пространство финитных функций из C (R2 ) ) могут
иметь вид
Z
V (?, ?) = ?? d╡ ,
(3.2)
R2
где ╡ { комплексная периодическая с решеткой периодов борелевская мера (с локально конечной полной вариацией). Однако
не всякую форму V ? V моно представить в виде (3.2) [10, з 7?.
Если
Z
V (?, ?) = V ?? d 2 x , ?, ? ? H 1 (R2 ) ,
(3.3)
R2
где V { периодическая (с решеткой периодов ? R2 ) функция
из класса Като K2 , то V ? V [3; 14?.
?ри сделанных предполоениях относительно периодических функций Gb и A и в случае V ? V квадратичная форb A; ?, ?) + V (?, ?) , ? ? Q(W + V ) = H 1 (R2 ) ? L2 (R2 ) ,
ма W (G,
является замкнутой и секториальной. ?оэтому она породает
b (G
b; A, V ) в L2 (R2 ) с некоторой
m -секториальный оператор H
67
областью определения D(Hb (Gb; A, V )) ? H 1 (R2 ) [15? (если
b (G
b ; A, V )) , то для всех ? ? H 1 (R2 ) имеем
? D (H
Оператор
(?, Hb (Gb; A, V )?) = V (?, ?)).
b (G
b; A, V )
H
2
X
j, l = 1
? ?
моно формально записать в виде
?
? Al + V ,
?i ?x? j ? Aj Gjl ?i ?x
l
(3.4)
где V { периодический (обобщенный) скалярный потенциал, который, если является обычной (измеримой) функцией V : R2 ?
C (например, из класса Като K2 ), определяет форму V ? V
по формуле (3.3).
Следующая теорема является основным результатом данной
работы, относящимся к периодическому оператору Шредингера.
Т е о р е м а 3.1. ?усть Gb = (Gjl )j,l=1,2 { веществен-
ная симметрическая полоительно определенная матричная
b G
b ?1 ?
? R2 , G,
2
1
det Gb ? Hlo (R ) ,
функция, периодическая с решеткой периодов
?
L ? R2
(
; M2 ) . ?редполоим, что
?
?xj
det Gb ? L (R2 ) ,
j
= 1, 2 ,
Aj ? L (R2 ) , j = 1, 2 , V ? V .
b (G
b; A, V ) не имеет собственных значений.
Тогда оператор H
З а м е ч а н и е 3.1. Утвердение теоремы 3.1 остается в силе, если вместо форм V ? V рассматривать формы V
(с областью определения Q(V ) = H 1 (R2 ) ? L2 (R2 ) ), удовлетворяющие условиям 1) и 2) из определения мноества V , а
вместо условия 3) потребовать, чтобы оценка (3.1) выполнялась
для некоторого достаточно малого числа ? > 0 , зависящего от
, Gb и A (в этом случае оператор Шредингера Hb (Gb ; A, V ) таке определяется как m -секториальный оператор в L2 (R2 ) , породаемый (замкнутой и секториальной) квадратичной формой
b A; ?, ?) + V (?, ?) , ? ? Q(W + V ) = H 1 (R2 ) ? L2 (R2 ) ).
W (G,
68
З а м е ч а н и е 3.2. Если в условиях теоремы 3.1 Aj ,
j = 1, 2 , { вещественнозначные функции, а форма V эрмитова,
то оператор Hb (Gb ; A, V ) самосопряен и, следовательно (так как
оператор Hb (Gb ; A, V ) не имеет собственных значений), его спектр
абсолютно непрерывен [1?.
?усть Aj , j = 1, 2 , и V { вещественнозначные (периодические с решеткой периодов ? R2 ) функции. Двумерный периодический оператор Шредингера
2
X
j =1
?i ?x? j ? Aj
2
+V
, x ? R2 ,
(3.5)
рассматривался в работах [13; 16; 17?. В [18? доказана абсолютная непрерывность спектра оператора (3.5) при V ? Lqlo (R2 ; R) ,
q
(R2 ; R2 ) , q > 1 . ?оследний результат был усилен в стаA ? L2lo
тье [8?, в которой предполагалось, что V ln(1 + |V |) ? L1lo (R2 )
и |A|2 lnq (1 + |A|) ? L1lo (R2 ) , q > 1 . В [14? исследовался
оператор (3.5) с потенциалом V из класса Като K2 (и при
A ? 0 ). ?ериодический оператор Шредингера (3.4) с переменной метрикой Gb впервые рассматривался А. Морамом [4? при
b ? C ? (R2 ; M2 ) , det G
b ? 1 , Aj ? C ? (R2 ; R) , j = 1, 2 , и
G
?
2
V ? L (R ; R) . В дальнейшем ?. Кучментом и С. Левендорским
[19? для случая Gb ? C m+? (R2 ; M2 ) , m ? Z+ , ? ? (0, 1) , было доказано существование периодических изотермических координат y (x) ? C m+1+? (R2 ; R2 ) , приводящих матричную функцию Gb к скалярному виду; их использование позволило ослабить ограничения на Gb , A и V , сведя рассматриваемую задачу к случаю постоянной матрицы Gb . ?ериодические изотермические координаты применялись в серии работ М.Ш. Бирманом,
Т.А. Суслиной и Р.Г. Штеренбергом. В [20? доказана абсолютная
непрерывность спектра оператора (3.4) при Gb ? W22q, lo (R2 ; M2 ) ,
q
(R2 ; R2 ) , q > 1 , V = V1 + ?? , где V1 { периодичеA ? L2lo
ская (с решеткой периодов ? R2 ) функция из пространства
q
(R2 ; R) , { периодическая (с той е решеткой периодов
Llo
69
) система кусочно-гладких кривых, ? { дельта-функция, сосредоточенная на , ? ? Lqlo (; R) . В последующих работах
[21; 22; 23? ослаблялись условия на функции Gb , A и V . В [23?
приведены условия, полученные Р.Г. Штеренбергом:
1 (R2 ) ,
det Gb ? Hlo
?
?xj
det Gb ? L(R2 ) , j = 1, 2 ,
(3.6)
|A|2 l(|A|) ? L1lo (R2 ) ,
(3.7)
q
(t) i=1 li (t) , m ? N , q > 1 , l1 (t) = 1 + ln(1 + t) ,
где l(t) = lm
li (t) = 1 + ln li?1 (t) , i = 2, . . . , m , t > 0 , и скалярный потенциал V определяется как обобщенная функция d╡/d 2 x , где ╡
{ периодический борелевский заряд, удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям (см. [22?). ?ри этом замыкание
(в L2 (R2 ) ) квадратичной формы
.
Qm?1
V (?, ?) =
Z
R2
|?|2 d╡ ,
? ? H 1 (R2 ) ? C0 (R2 ) ,
не обязательно ограничено относительно формы k??k2L2 (R2 ;C2 ) ,
? ? H 1 (R2 ) . Наконец, в замечательной работе [24? (см. таке
[25?) было ослаблено ограничение (3.7) на векторный потенциал
A : достаточно предполагать, что Aj ? L (R2 ) , j = 1, 2 . В данной работе применяется другой подход к исследованию двумерного периодического оператора Шредингера (3.4), не использующий периодическую замену координат, приводящую матричную
функцию (метрику) Gb(.) к скалярному виду, и опирающийся
на результаты о периодическом операторе Дирака. Этот подход
предлоен в [10? и использовался таке в [11? и [26?. ?ри этом
условие (3.6) на матричную функцию Gb (.) получается из приблиенной факторизации оператора Шредингера (при V ? 0 ), а
не как условие, обеспечивающее применение периодических изотермических координат. В [11? (см. таке [26?) доказано отсутствие собственных значений в спектре периодического оператора
70
Шредингера Hb (Gb ; A, V ) (формально записываемого в виде (3.4)),
если выполнены условия (3.6), V ? V и
Aj ? L2 {g, } ? L (R2 ) ,
j
= 1, 2 ,
(3.8)
для некоторой функции g ? G (форма V не обязательно эрмитова, а функции Aj , j = 1, 2 , выбираются комплекснозначными). В более ранней работе [10? накладывалось дополнительное условие на форму V : предполагалось, что существует неотрицательная форма V + ? V такая, что |V (?, ?)| 6 V + (?, ?)
для всех ? ? H 1 (R2 ) . Условие (3.8) на векторный потенциал A шире, чем условие (3.7). Для любого периодического (с
решеткой периодов ) векторного потенциала A : R2 ? C2 ,
удовлетворяющего условию |A|2 eg(|A|) ? L1lo (R2 ) , где функция
[0, +?) ? t ? eg (t) ? [0, +?) не убывает и функция (0, +?) ?
? t ? ge(t?1 ) принадлеит G (в частности, это справедливо, если
ge(.) = l(.) ), существует функция g ? G такая, что Aj ? L2 {g, } ,
j = 1, 2 [26?. В этой работе для периодического оператора Шредингера (3.4) предполагается (как и в [24?), что Aj ? L (R2 ) ,
j = 1, 2 .
?ри доказательстве теоремы 3.1 , делая линейную замену переменных, моно считать, что = Z2 , K = [0, 1)2 (при этом
условия, налоенные на функции Gb , A и форму V , не изменяются. Обозначим V =. VZ2 . Делая замену формы
V (?, ?) ? ?
Z
?? d 2 x ? V (?, ?) ,
?, ? ? H 1 (R2 ) ,
R2
где ? ? C , таке моно ограничиться только доказательством
обратимости оператора Hb (Gb; A, V ) . ?оэтому теорема 3.1 следует
из теоремы 3.2.
Т е о р е м а 3.2.
?усть
b
G
= (Gjl )j, l=1, 2
{ веществен-
ная симметрическая полоительно определенная матричная
функция, периодическая с решеткой периодов
71
Z
2 ? R2 , G,
b G
b ?1 ?
? L? (R2 ; M2 ) . ?редполоим, что
det Gb ? L(R2 ) ,
?
?xj
Aj ? L(R2 ) , j
Тогда оператор
ного значения
1 (R2 ) ,
det Gb ? Hlo
= 1, 2 ,
j
= 1, 2 ,
V ? V.
b (G
b; A, V ) обратим (т.е. у него нет собственH
? = 0 ).
Будем далее предполагать, что = Z2 и
k, ? ? R2 , Aj ? L(R2 ) , j = 1, 2 ,
=
2
X
j, l = 1
f(G,
b A; k + i?; ?, ?)
W
?i ?x? j ? Aj
+ kj ? i?j
K
= [0, 1)2 . ?усть
=
?
?
A
?, Gjl ?i ?x
?
+
k
+
i?
l
l
l
l
f) = H
e 1 (K ) .
{ полуторалинейная форма в L2 (K ) , ?, ? ? Q(W
Выберем любую функцию ? ? C ? (R) , для которой ?(? ) = 1
при ? 6 0 и ?(? ) = 0 при ? > 1 . ?олоим
?N (x) = ? (|x1 | ? N ) ? (|x2 | ? N ),
Для формы
L2 (K )
V ? V
e (?, ?)
V
N ? N,
x ? R2 .
определим полуторалинейную форму в
= lim (2N1 )2 V (?N ?, ?N ?) ,
N ?+?
(3.9)
= He 1 (K ) . ?редел в (3.9) существует и не зависит
от выбора функции ? [10? (функции ? и ? считаются периодически продоленными на все пространство R2 ). Из оценки (3.1)
для формы V следует, что для всех ? > 0 , всех векторов k ? R2
и всех функций ? ? He 1 (K )
e)
?, ? ? Q(V
2
e (?, ?)| 6 ? k(k ? i?)?k2 2
|V
L (K ;C2 ) + C? k?kL2 (K ) .
72
Т е о р е м а 3.3 ([26?). ?усть V ? V . Тогда для любого
? > 0 найдется число C?? = C?? (V ) > 0 такое, что для всех
e 1 (K )
векторов k ? R2 : k1 = ? и всех функций ?, ? ? H
e (?, ?)| 6 ? k(k ? i?)?kL2 (K ;C2 ) k(k ? i?)?kL2 (K ;C2 ) +
|V
+C?? k?kL2 (K ) k?kL2 (K ) .
Из условия 2) в определении мноества V = VZ2 получаем
(см. [10?), что
e (f ?, ?) = V
e (?, f ?)
(3.10)
V
1
1
e
e
для всех функций f ? C (K ) (и всех ?, ? ? H (K ) ).
?ри условиях, налоенных на функции Gb , A и форму V ,
квадратичная форма
f(G,
b A; k + i?; ?, ?) + V
e (?, ?), ? ? Q(W
f+V
e) = H
e 1 (K ) ? L2 (K ),
W
для всех
k + i? ? C2
замкнута и секториальна. ?усть
b (G
b ; A, V ; k + i?)
H
{
m -секториальный оператор, породаемый этой формой [15?,
e 1 (K ) ? L2 (K ) . Оператор H
b (G
b; A, V ; k + i?)) ? H
b (G
b ; A, V )
D (H
унитарно эквивалентен прямому интегралу
действующему в
Z
?
2?K
Z
b; A, V ; k) d 2 k2 ,
b (G
H
(2?)
?
2?K
2
L2 (K ) (2d?k)2
(см. [10; 27; 28?). Так как операторы Hb (Gb; A, V ; k + i?) имеют компактную резольвенту, то для доказательства отсутствия в спектре оператора Hb (Gb; A, V ) собственного значения ? = 0 достаточно доказать (аналогично случаю периодического оператора
Дирака), что найдутся векторы k, ? ? R2 такие, что оператор
b (G
b ; A, V ; k + i?) обратим [1; 19; 28?. ?оэтому теорема 3.2 являH
ется следствием следующей теоремы.
73
Т е о р е м а 3.4.
?усть функции
b , A и форма V удоG
влетворяют условиям теоремы 3.2. Тогда найдутся такие векторы
k, ? ?
R
2,
что для любой ненулевой функции
e 1 (K )
??H
моно выбрать функцию
4.
такую, что
f(G,
b A; k + i?; ?, ?) + V
e (?, ?) 6= 0 .
W
e 1 (K )
??H
Теорема 4.1 и ее доказательство
?усть матричная функция R2 ? x ? Gb (x) ? M2 удовлетворяет
условиям теоремы 3.2. Определим функции F, G, H ? L? (R2 ; R)
так, что {F, G, H} ? и
G11
= F 2 + G2 ,
G22
= H2 ,
G12
= G21 = FH .
Тогда p{F, G, H} ? (p, q, F ) для некоторых чисел
b и, следовательно,
GH = det G
e 1 (K ) ,
GH ? H
? GH
?xj
? L(R2 ) , j
p, q
и
F
;
= 1, 2 .
Более того, для любого ? ? R умноение на функцию (FG ) ?
не выводит за пределы пространства He 1 (K ) и для всех функций
e 1 (K )
??H
(FG )??
?
?xj
(FG ) ? ? =
? ? GH
FG ?xj
?+
??
?xj
, j
= 1, 2 .
Вектор ?e = ?e(F, G, H) ? R2 и вещественнозначные функции
, ? He 01 (K ) ? Ce (K ) будем далее (в этом разделе) выбирать
(по функциям F , G и H ) в соответствии с теоремой 1.2. Обозначим (x) = (x) ? x2 , x ? K .
Т е о р е м а 4.1.
?усть функции
b , A и форма V удоG
влетворяют условиям теоремы 3.2. Тогда найдутся числа
и векторы
b A, V ) > 0,
C (G,
k0
b A)
= k0 (G,
?
кие, что для всех векторов
╡0
b A, V ) > 0
= ╡0 (G,
b A) ? R2 та?0 = ?0 (G,
2
0
k ? R : k1 + k1 = ? , всех чисел
R
2
74
и
e 1 (K ; C2 ) ,
╡ > ╡0 и кадой вектор-функции ? ? H
для которой ?
b1 ? = ? (т.е. ?1 = ?2 ), моно найти такую
╡ ? 2? N
:
ненулевую вектор-функцию
?
что
=
?1
?2
e 1 (K ; C2 ) ,
?H
2
X
f(G,
b A; k ? i?0 + i╡e
e (?s , ?1 ) >
W
?; ?s , ?1 ) + V
s=1
b A, V ) kD
b0 (k + k0 )e i╡?^3 e?╡ ?k ╖ kD
b0 (k + k0 )e?i╡?^3 e ╡ ?k .
> C (G,
Так как для всех векторов k ? R2 : k1 = ? и всех векторфункций ? ? He 1 (K ; C2 ) справедлива оценка kDb0 (k)?k > ? k?k ,
то из теоремы 4.1 непосредственно следует теорема 3.4.
Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 4.1. Для вектор-функций
e 1 (K ; C2 ) и чисел ╡ ? 2? Z будем обозначать
?, ? ? H
?╡?
= e i╡?^3 e?╡ ? ,
?╡?
= e?i╡?^3 e ╡ ? .
?олоим Qb = Q0 Ib + Q3 ?b3 , где Ql ? L(R2 ) , l = 0, 3 , Ib ? M2 {
единичная матрица; Qb? = Q0 Ib + Q3 ?b3 . Определим полуторалинейные формы
b; ?, ?)
Rj (Q
??
??
b ),
= (Qb? ?, ?i ?x
) ? (?i ?x
, Q?
j
j
j
= 1, 2 ,
e 1 (K ; C2 )
e 1 (K ; C2 ) ? L2 (K ; C2 ) . Если ?, ? ? H
?, ? ? Q(Rj ) = H
и ?b1 ? = ? , то для всех ╡ ? 2?Z выполняются равенства [10?
?
b; ?, ?) = Rj (Q
b; ? ? , ?
Rj (Q
╡ b1 ?╡ ) , j
= 1, 2 .
(4.1)
Л е м м а 4.1 ([10?). ?усть Ql ? L(R2 ) , l = 0, 3 . Тогда
b) > 0 такое,
для любого ? > 0 существует число C??? = C??? (Q
?
2
?
что для всех векторов k ? R : k1 = ? и всех вектор-функций
e 1 (K ; C2 ) справедливы неравенства
?, ? ? H
b0 (k ? )?k ╖ kD
b0 (k ? )?k + C ?? k?k ╖ k?k , j
b; ?, ?)| 6 ? kD
|Rj (Q
?
75
= 1, 2 .
k?
Л е м м а 4.2.
? R2
╡ ? 2? Z , всех векторов
e 1 (K ; C2 ) , для которых
и всех вектор-функций ? ? H
Для всех чисел
?
b1 ? = ? , имеем
b0 (k ? )e i╡?^3 ?k = kD
b0 (k ? )e?i╡?^3 ?k .
kD
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как для всех вектор-функций ? ? He 1 (K ; C2 ) (см., например, [10, теорема 3.2?)
?
?xj
и
e?i╡?^3 ?
?xj
? ? L2 (K ; C2 )
e i╡?^3 ? = i╡b
?3
то при условии ?b1 ? = ? получаем
?
?xj
?+
??
?xj
, j
= 1, 2 ,
2
?
? =
?
b1 ? ?x
?
b
2
1
2
?
?
?
b
?
?
b
= kDb0 (k ? )?k2 + ╡2 ?x
2 1 ?x1 2 ? =
2
b
?
?
?
= D0 (k ) ? i╡ ?x2 ?b1 ? ?x1 ?b2 ? = kDb0 (k ? )e?i╡?^3 ?k2 .
b0 (k ? )e i╡?^3 ?k2
kD
4.3.
= b0 (k ? ) + i╡
D
?
?x2
Следствием равенства (4.1) и лемм 4.1 и 4.2 является лемма
? L(R2 ) , l = 0, 3 . Тогда для
b) > 0 (то е, что
C??? = C??? (Q
и в лемме 4.1) такое, что для всех векторов k ? ? R2 : k1? = ? ,
e 1 (K ; C2 ) :
всех чисел ╡ ? 2? Z и всех вектор-функций ?, ? ? H
?
b1 ? = ? справедливы неравенства
Л е м м а 4.3. ?усть Ql
любого ? > 0 существует число
b0 (k ? )?╡? k╖kD
b0 (k ? )?╡? k + C??? k?╡? k╖k?╡? k , j
b; ?, ?)| 6 ? kD
|Rj (Q
76
= 1, 2 .
K, P ? L(R2 ) . Тогда для любоe? = C
e? (K, P ) > 0 такое, что
го
число C
?
2
?
для всех векторов k ? R : k1 = ? и всех вектор-функций
e 1 (K ; C2 )
?, ? ? H
Л е м м а 4.4.
? > 0 найдется
?усть
b0 (k ? )?k ╖ kD
b0 (k ? )?k + C
e? k?k ╖ k?k .
kK?k ╖ kP?k 6 ? kD
Доказательство леммы 4.4 аналогично доказательству леммы
2.1 в [10?.
Обозначим
b (A; k + i?) = D
b (k + i?) ? (Gb
?1 + F ?
b2 )A1 ? Hb
?2 A2
D
(оператор Db (k + i?) определяется по функциям F , G , H во введении), D(Db (A; k + i?)) = D(Db (k + i?)) = He 1 (K ; C2 ) ? L2 (K ; C2 ) .
Для всех k + i? ? C2 и ?, ? ? He 1 (K ; C2 ) справедливо равенство
(где A = (A1 , A2 ) )
2
X
s=1
f(G,
b A; k + i?; ?s , ?s )?
W
(4.2)
?
?
b
b (A; k ? i?) GH ?, 1 D
?(D
GH (A; k + i?) GH ?) =
2 2
+G ? GH + F ? GH ; ?, ? ?
? 2i R1 F GH
?x1
G ?x2
GH
H ? GH
?,
?
?
? 2i R2 FG ??x
+
;
G ?x2
1
b3 ; ?, ?) + iR2 (GHA1 ?
b3 ; ?, ?)?
?iR1 (GHA2 ?
? GH
1 1 ? GH ?, 1 ?GH ? ?
GH
?,
A
?
b
?
+
?,
A
?
b
?
?
? ??x
2 3
1 3
?x2
4 H ?x1
H ?x1
1
1 F ? GH + H ? GH ?, 1 F ? GH + H ? GH ?
? 14 GH
?x1
?x2
GH
?x1
?x2
(правая часть приведенного равенства не зависит от комплексного вектора k + i? ? C2 ). Выраая в последних четырех слагаемых правой части равенства (4.2) вектор-функции ? и ? через
вектор-функции ?╡? и ?╡? , ╡ ? 2?Z , из равенства (4.2) с помощью лемм 4.3 и 4.4 получаем теорему 4.2.
77
Т е о р е м а 4.2. Для любого числа ? > 0 существует
b A) > 0 , что для всех векторов k, ? ? R2
такое число C?? = C?? (G,
?
2
?
и k ? R : k1 = ? , всех чисел ╡ ? 2? Z и всех вектор-функций
e 1 (K ; C2 ) : ?
?, ? ? H
b1 ? = ? выполняется неравенство
2
X
f(G,
b A; k + i? + i╡e
?; ?s , ?s )?
W
s=1
?
?
1 D
b (A; k ? i? ? i╡e
b (A; k + i? + i╡e
? (D
?) GH ?, GH
?) GH ?) 6
b0 (k ? )? ? k + C ? k? ? k ╖ k? ? k .
b0 (k ? )? ? k ╖ kD
6 ? kD
╡
╡
?
╡
╡
Т е о р е м а 4.3. Существуют векторы k0 , ?0 ? R2 и
e > 0 , зависящие от функций G
b и A , такие, что для
число C
любого числа ╡ ? 2? Z , любого вектора k ? R2 , для которого
e 1 (K ; C2 ) моно
k1 + k10 = ? , и любой вектор-функции ? ? H
e 1 (K ; C2 ) такую, что
найти ненулевую вектор-функцию ? ? H
(Db (A; k + i?0 ? i╡e?)
?
?
1 D
b (A; k ? i?0 + i╡e
GH ?, GH
?) GH ?) >
b0 (k + k0 )?╡? k .
e kD
b0 (k + k0 )?╡? k ╖ kD
>C
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из (1.2) при k, ? ? R2 (и
при ╡ ? 2?Z , = ? x2 ) для всех вектор-функций ?, ? ?
e 1 (K ; C2 ) вытекает равенство
?H
(Db (A; k ? i? ? i╡e?)
?
?
?
1 D
b (A; k + i? + i╡e
GH ?, GH
?) GH ?) =
?
(4.3)
1 e?2i╡?^3 D
b (A; k + i?) GH ? ? ) .
= (Db (A; k ? i?) GH ?╡? , GH
╡
Определим (как и при доказательстве теоремы 0.3) при j = 1, 2
и b > 0 функции
2
R ? x ? Aj (b; x) =
Aj (x) ,
0
,
78
если |Aj (x)| 6 b,
в противном случае .
Так как Aj ? L(R2 ) , j = 1, 2 , и для всех векторов
всех вектор-функций ? ? He 1 (K ; C2 )
b0 (k ? )?k2
kD
=
2
X
j =1
k(kj? ? i ?x? j ) ?k2
=
X
N?
Z2
k? ?
R
2 и
|k ? + 2?N |2 |?N |2 ,
то из леммы 1.4 (в условиях которой достаточно ограничиться
только случаем ╡ = 0 ) и оценок (0.6) следует, что моно выбрать число b = b(p, q, F ; A) > 0 такое, что для всех векторов
e 1 (K ; C2 ) выполk ? ? R2 : k1? = ? и всех вектор-функций ? ? H
няются неравенства
b (A(.) ? A(b; .); k ? ) ? D
b (k ? ) ?k =
k D
(4.4)
= k (Gb?1 + F ?b2 )(A1 (.) ? A1 (b; .)) + Hb?2 (A2 (.) ? A2 (b; .)) ?(.)k 6
b (k ? )?k ,
6 12 kD
b (k ? ) ?k =
b (A(.) ? A(b; .); k ? ) ? D
k D
(4.5)
= k (Gb?1 + F ?b2 )(A1 (.) ? A1 (b; .)) + Hb?2 (A2 (.) ? A2 (b; .)) ?(.)k 6
b (k ? )?k .
6 12 kD
Имеем kAj (b; .)kL? (R2 ) 6 b , j = 1, 2 . ?оэтому из теоремы
1.1 следует, что существуют векторы k0 , ?0 ? R2 и функции
0 , 0 ? He 01 (K ) ? Ce(K ) (более того, 0 , 0 ? He 01 {g, Z2 } для всех
функций g ? G ), зависящие от функций Gb и A , такие, что
max {k0 kL? (K ) , k0 kL? (K ) } 6 c5 b ,
(4.6)
|k0 |2 + |?0 |2 6 c6 b2 ,
(4.7)
где c5 = c5 (p, q, F ) > 0 и c6 = c6 (p, q, F ) > 0 , умноение на
функции e ▒i0 и матричные функции e ▒?^3 0 не выводит за пределы пространства He 1 (K ; C2 ) и для всех векторов k, ? ? R2
b (A(b; .); k + i?) = e ?^3 0 e?i0 D
b (k + k0 + i? + i?0 )e i0 e ?^3 0
D
79
и, следовательно, таке
b (A(b; .); k ? i?) = e ?^3 0 e?i0 D
b (k + k0 ? i? ? i?0 )e i0 e ?^3 0 .
D
?олоим k ? = k + k0 . Будем выбирать векторы
которых k1? = k1 + k10 = ? . Обозначим
?╡??
= e i0 e ?^3 0
?
GH ?╡? ,
?╡??
= e i0 e ?^3 0
?
k ?
R
2 , для
GH ?╡? .
Из равенства (4.3) получаем
?
1 D
b (A; k ? i?0 + i╡e
GH ?, GH
?) GH ?) =
(4.8)
1 e 2^?3 (0 ?i╡
) D
b (A(.) ? A(b; .); k ? )? ?? ) .
= (Db (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡?? , GH
╡
(Db (A; k + i?0 ? i╡e?)
?
Так как k1? = ? , то ker Db (k ? ) = {0} и R(Db (k ? )) = L2 (K ; C2 ) .
Отсюда и из (4.4), (4.5) следует, что таке
и
ker Db (A(.) ? A(b; .); k ? ) = ker Db (A(.) ? A(b; .); k ? ) = {0}
b (A(.) ? A(b; .); k ? )) = R(D
b (A(.) ? A(b; .); k ? )) = L2 (K ; C2 )
R (D
(при этом D(Db (A(.) ? A(b; .); k ? )) = D(Db (A(.) ? A(b; .); k ? )) =
= He 1 (K ; C2 ) ). Будем далее для кадой векторной функции ?
из He 1 (K ; C2 ) выбирать такую вектор-функцию ? ? He 1 (K ; C2 )
(которая зависит таке от ╡ ? 2?Z , k ? и функций Gb и A (а
таке от числа b = b(p, q, F ; A) )), что
b (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡??
D
1 e 2^?3 (0 ?i╡
) D
b (A(.) ? A(b; .); k ? )?╡??
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
366 Кб
Теги
спектр, двумерные, шредингер, оператора, дирака, отсутствии, значение, периодических, собственных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа