close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Об устойчивости листовых инвариантных множеств двумерных периодических систем.

код для вставкиСкачать
2012
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 1
Вып. 4
МАТЕМАТИКА
УДК 517.938
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ
ЛИСТОВЫХ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ
ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ∗
Н. А. Бегун
С.-Петербургский государственный университет,
аспирант, matandmeh@gmail.com
Вопросы, связанные с устойчивостью слабо гиперболических инвариантных множеств, являются одними из основных в современной теории дифференциальных уравнений. Имеется ряд ставших уже классическими результатов в этой области (см. [1],
[2]). В этих работах делалось предположение о том, что нейтральное и устойчивое
подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию
Липшица. В то же время известно, что подобное ограничение является весьма существенным. В этой работе изучается проблема устойчивости инвариантных множеств двумерных периодических систем, для которых выполнение условия Липшица
не предполагается.
1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
ẋ = X(t, x),
(1.1)
где t ∈ R, x ∈ R2 , а X — это C 1 -функция, действующая из R3 в R2 . Предполагается,
что существует число ω > 0 такое, что
X(t + ω, x) = X(t, x).
Обозначим через x(t, t0 , x0 ) максимально продолженное решение системы (1.1),
удовлетворяющее условию x(t0 , t0 , x0 ) = x0 .
Заметим, что в силу периодичности мы можем провести факторизацию t ∼ t +
kw, k ∈ Z, и рассматривать систему на Ξ = S × R2 (цилиндрическое пространство),
где S — окружность длины ω.
∗ Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (грант № 2010-1.1-111-128-033).
c Н. А. Бегун, 2012
3
Обозначим через Φ(t, t0 , x0 ) фундаментальную матрицу линейной системы
ẋ =
∂X(t, x(t, t0 , x0 ))
x,
∂x
(1.2)
удовлетворяющую условию Φ(t0 , t0 , x0 ) = I, где I — тождественный оператор на R2 .
Будем говорить, что система (1.2) слабо гиперболична на интервале J ⊂ R с
константами a, λ1 и λ2 , если λ2 < λ1 , λ1 > 0, a ≥ 1 и существуют дополняющие
друг друга линейные подпространства U n (t, t0 , x0 ) и U s (t, t0 , x0 ), dim U n (t, t0 , x0 ) = 1,
такие, что
Φ(t, t0 , x0 )U s (t0 , t0 , x0 ) = U s (t, t0 , x0 ),
Φ(t, t0 , x0 )U n (t0 , t0 , x0 ) = U n (t, t0 , x0 )
для любого t ∈ J и если x̄ ∈ U s (τ, t0 , x0 ), то
|Φ(t, t0 , x0 )Φ−1 (τ, t0 , x0 )x̄| ≤ a|x̄|e−λ1 (t−τ ) для t ≥ τ, t, τ ∈ J,
(1.3)
и если x̄ ∈ U n (τ, t0 , x0 ), то
|Φ(t, t0 , x0 )Φ−1 (τ, t0 , x0 )x̄| ≤ a|x̄|e−λ2 (t−τ ) для t ≤ τ, t, τ ∈ J.
(1.4)
Линейное подпространство U s (t0 , x0 ) = U s (t0 , t0 , x0 ) называется устойчивым линейным подпространством, линейное подпространство U n (t0 , x0 ) = U n (t0 , t0 , x0 ) —
нейтральным линейным подпространством.
Пусть K ∈ Ξ — компактное интегральное множество системы (1.1). Положим
Kt0 = {x ∈ R2 : (t0 , x) ∈ K}. Множество K будем называть слабо гиперболическим,
если выполнены следующие два условия:
(1) линейная система (1.2) слабо гиперболична на R с константами a, λ1 и λ2 для
любой точки (t0 , x0 ) ∈ K;
(2) существует r > 0 такое, что при любых (t0 , x0 ) ∈ K существует 1-мерный
b 0 , x0 ) ⊂ Kt0 радиуса r такой, что
диск D(t
b 0 , x0 );
(i) x0 — центральная точка D(t
b
(ii) если x ∈ D(t0 , x0 ), то в точке (t0 , x) линейное подпространство U n (t0 , x) каb 0 , x0 );
сается диска D(t
b x(t, t0 , x0 ))} является
(iii) множество D(t0 , x0 ) = {(t, x) : |t − t0 | < r, x ∈ D(t,
локально интегральным.
Заметим, что в этой работе мы не предполагаем липшицеву зависимость
U n (t0 , x0 ) от x0 , теряя, очевидно, при этом свойство единственности дисков. Вместо
липшицевости мы потребуем выполнения следующего условия:
b 1 (t0 , x0 ) и D
b 2 (t0 , x0 ) суть два диска в точке (t0 , x0 ) со свойствами
(iv) если D
b
b 2 (t0 , x0 ).
(i),(ii),(iii) то D1 (t0 , x0 ) = D
Известно, что если K является слабо гиперболическим, то существует α > 0
такое, что ∠(U s (t0 , x0 ), U n (t0 , x0 )) > α для любых (t0 , x0 ) ∈ K.
Для (t0 , x0 ) ∈ K определим множества Υ1 (t0 , x0 ), Υ2 (t0 , x0 ), . . . , Υ(t0 , x0 ) следующим образом:
[
[
D(t, x), Υi+1 (t0 , x0 ) =
D(t, x) для i ≥ 1,
Υ1 (t0 , x0 ) =
(t,x)∈D(t0 ,x0 )
(t,x)∈Υi (t0 ,x0 )
Υ(t0 , x0 ) =
∞
[
i=1
4
Υi (t0 , x0 ).
Множество Υ(t0 , x0 ) будем называть листом, проходящим через (t0 , x0 ). В том
случае, когда нам не важна точка (t0 , x0 ), будем обозначать лист просто Υ.
2. Наряду с системой (1.1) рассмотрим ее возмущение
ẏ = X(t, y) + Y (t, y),
(2.1)
где Y — это C 1 -функция, действующая из R3 в R2 .
Обозначим через y(t, t0 , x0 ) максимально продолженное решение системы (2.1),
удовлетворяющее условию y(t0 , t0 , x0 ) = x0 .
Теорема. Пусть K — компактное слабо гиперболическое инвариантное множество системы (1.1), (t′ , x′ ) ∈ K, Υ — лист, проходящий через (t′ , x′ ); тогда для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что если kY kC 1 ≤ δ, то существует непрерывное
отображение h : Υ −→ Ξ, удовлетворяющее условиям
(0) если h(t0 , x0 ) = (t1 , y1 ), то t1 = t0 ;
(1) |h(t, x) − (t, x)| ≤ ε;
(2) ΥY = h(Υ) — интегральное множество системы (2.1);
(3) линейная система
dy
∂(X(t, y(t, t0 , y0 )) + Y (t, y(t, t0 , y0 )))
=
y
dt
∂y
(2.2)
слабо гиперболична при любых (t0 , y0 ) ∈ ΥY ;
(4) нейтральное подпространство UYn (t0 , y0 ) системы (2.2) касается множеb 0 , x0 )) в точке (t0 , y0 ) где (t0 , y0 ) = h(t0 , x0 ).
ства h(t0 , D(t
Доказательство. Пусть σ таково, что 11σ = min(λ1 , λ1 − λ2 ). Зафиксируем
T > 0, для которого
e−(λ1 −σ)T ≤
sin(α/4)
,
1000a2
e−(λ1 −3σ)T ≤
sin(α/5)
.
500a2
(2.3)
Очевидно, что найдется c, 0 < c ≤ 1/10, такое, что для любого вектора ζ, удовлетворяющего неравенству
∠(U n (t0 , x0 ), ζ) ≤ cα, (t0 , x0 ) ∈ K,
(2.4)
выполнено
α
, 0 ≤ t − t0 ≤ 2T,
(2.5)
4
cα
∠(U n (t, t0 , x0 ), Φ(t, t0 , x0 )ζ) ≤
, T ≤ t − t0 ≤ 2T.
(2.6)
256
Обозначим N (t0 , x0 ) ⊂ R2 × {t = t0 }, (t0 , x0 ) ∈ K, — 1-мерное подпространство,
перпендикулярное U n (t0 , x0 ) в точке (t0 , x0 ).
По выбранному c зафиксируем r1 > 0 такое, что для любых (t0 , x0 ), (t0 , x1 ) ∈ K
b 0 , x0 ), выполнено
таких, что |x0 − x1 | ≤ r1 и x1 ∈ D(t
∠(U n (t, t0 , x0 ), Φ(t, t0 , x0 )ζ) ≤
∠(U n (t0 , x0 ), x0 − x1 ) ≤ cα,
1
,
10
cα
∠(U n (t0 , x0 ), U n (t0 , x1 )) ≤
,
20
sin ∠(U n (t0 , x0 ), x0 − x1 ) ≤
(2.7)
(2.8)
(2.9)
5
sin(∠(U n (t0 , x0 ), U n (t0 , x1 ))) ≤
1
.
20
(2.10)
Из теоремы Перрона об устойчивом многообразии нам известно, что для любой точки (t0 , x0 ) ∈ K существует 1-мерный диск Dp (t0 , x0 ) (так называемый диск
Перрона) такой, что если x1 ∈ Dp (t0 , x0 ), то
|x(t, t0 , x1 ) − x(t, t0 , x0 )| ≤ 2a |x1 − x0 | e−(λ1 −σ)(t−t0 ) ,
t ≥ t0 .
(2.11)
Известно также, что радиус b диска Dp (t0 , x0 ) не зависит от (t0 , x0 ), и диск
D (t0 , x0 ) сколь угодно мало (при должном выборе b) отличается от U s (t0 , x0 ). Зафиксируем такое χ, что диски Dp (t, x), (t, x) ∈ D(t0 , x0 ), образуют расслоение в χокрестности диска D(t0 , x0 ). Существование χ доказано в [3].
Далее нашей задачей будет построение системы координат в окрестности листа
Υ. Мы рассмотрим два типа листов и построим координаты для каждого из них.
b x).
Зафиксируем (0, x) ∈ Υ. Обозначим через x1 и x2 «граничные» точки диска D(0,
b
Рассмотрим соседний диск D(0, x̃) с центром в x̃ и крайними точками x3 и x2 . Понятно, что этот процесс мы можем продолжить, рассмотрев диски с крайними точками
x4 и x3 , x5 и x4 и так далее. К первому типу мы отнесем те листы, у которых каждый
последующий диск не пересекает ни один из предыдущих, ко второму типу — те, у
которых такое пересечение существует.
Сначала построим координаты для листов первого типа. Будем считать, что
r ≤ r1 /2. Зафиксируем (0, x) ∈ Υ. Обозначим через x1 и x2 «граничные» точки диска
b x). Предположим, что N (0, x1 ) и N (0, x2 ) пересекаются в точке O. Проведем пряD(0,
мую через точки O и x и обозначим ее M (0, x)(в том случае, если N (0, x1 ) и N (0, x2 ) не
пересекаются, в качестве M (0, x) мы берем прямую, параллельную N (0, x1 ) и N (0, x2 ),
проходящую через x). Заметим, что в силу (2.9) и (2.10)
p
∠(N (0, x), M (0, x)) ≤
cα
,
10
sin(∠(N (0, x), M (0, x))) ≤
1
.
10
Рассмотрим треугольник Oxx2 . Несложно показать, что
|x − x2 |/sin(∠xOx2 ) = |Ox|/sin(∠xx2 O). Из этого, учитывая (2.8) и (2.10), следует,
что |Ox| ≥ 17r.
b x). Проведем прямую через точки O и x̄ и обоРассмотрим теперь x̄ ∈ D(0,
значим ее M (0, x̄). Рассмотрим треугольник Oxx̄. Очевидно, что |Ox̄|/sin(∠x̄xO) =
|Ox|/sin(∠xx̄O). Из этого, с учетом (2.8) и (2.10), следует, что |Ox̄| ≥ 10r.
b x) мы можем ввести координаты (v, u),
Таким образом, в окрестности диска D(0,
b
где v ∈ D(0, x), u ∈ M (0, v) и |u| < 10r.
b x̃) с центром в x̃ и крайними точками x3
Теперь рассмотрим соседний диск D(0,
b x).
и x2 . Координаты на нем мы можем ввести тем же самым образом, что и на D(0,
Этим же способом мы введем координаты на всех последующих дисках. Таким образом мы построим координаты на уровне t = 0.
Теперь будем строить координаты на уровне t = t̃. Заметим, что при изменении
времени мы можем через промежуток t = kω пересечь ту область, на которой уже
были построены координаты (такое может случиться в силу того, что пространство
Ξ является цилиндрическим).
В том случае, если вышеупомянутое пересечение не происходит, мы ровно таким
b x), введем координаты на D(
b t̃, x(t̃, 0, x)). После этого
же образом, как и на диске D(0,
6
b t̃, x(t̃, 0, x)) и так далее. Таким обрамы построим координаты на диске, соседним с D(
зом, повторяя рассуждения, изложенные выше, мы построим координаты на уровне
t = t̃.
В том случае, если через промежуток t = kω произойдет пересечение с областью,
на которой уже построены координаты, мы можем рассматривать множество
{(t, r(t))} ∈ K, t ∈ [0, kw],
такое, что r(0) = r(kω) = x, r(t) — непрерывная функция (т. е. точка x соединена сама
b x) строить координаты на D(
b t̃, r(t̃)).
с собой), и после построения координат на D(0,
Теперь перейдем к изучению второго типа листов. Напомним, что в этом случае,
объединяя диски на уровне t = 0, мы получаем замкнутую кривую. Обозначим ее
e x). Докажем сначала, что в этом случае найдется такое k ∈ N, что через время
D(0,
e x) перейдет сама в себя. Предположим противное. Введем обозначение
kω кривая D(0,
e i = x(iω, 0, D(0,
e x)), i ∈ Z.
D
Рассмотрим множество K0 = {x ∈ R2 : (0, x) ∈ K}.
Зафиксируем число η : 0 < η < χ. В силу компактности K существует такое
число N ∈ N, что множество K0 не может пересекаться более чем с N непересекаe 0, D
e 1, . . . , D
e N −1 . Эти кривые, в
ющимися шарами радиуса η. Рассмотрим кривые D
силу нашего предположения и в силу единственности дисков, не могут пересекаться.
e i, D
e j ).
Введем обозначение I = {0, 1, . . . , N − 1}. Обозначим также θ = mini,j∈I dist(D
b ∈ N, что если x̃ принадлежит η-окрестности кривой D
e i , i ∈ Z,
Выберем такое число N
b ω, 0, x̃), x(N
b ω, 0, D
e i )) < θ.
то dist(x(N
e b,D
e b ,...,D
e b
Рассмотрим кривые D
−N
−N +1
−N +N −1 .
Несложно видеть, что их η-окрестности не пересекаются, иначе мы бы получили,
ei, D
e j ) < θ. Но это, очевидно, противоречит тому, что множество K0
что mini,j∈I dist(D
не может пересекаться более чем с N непересекающимися шарами радиуса η.
e x) перейдет
Таким образом, найдется такое k ∈ N, что через время kω кривая D(0,
сама в себя. Так же, как и в случае с листами первого типа, мы можем рассмотреть
множество {(t, r(t))} ∈ K, t ∈ [0, kw], такое, что r(0) = r(kω) = x, r(t) — непрерывная
функция.
e x)), t ∈ [0, kω]. ОбоОбозначим через Lt длину замкнутой кривой x(t, 0, D(0,
значим также L = maxt∈[0,kω] Lt , l = mint∈[0,kω] Lt . Рассмотрим такое M ∈ N, что
L/(2M) < r1 .
b t̃, r(t̃)), t̃ ∈
Теперь мы можем построить координаты на каждом из дисков D(
[0, kw], тем же способом, каким мы строили координаты для листов первого типа,
только в качестве радиуса диска мы будем брать Lt̃ /(2M ). После этого, очевидно, мы
сможем построить координаты на всем уровне t = t̃. Заметим, что каждая из кривых
e x)), t̃ ∈ [0, kω], будет представлять из себя объединение M дисков радиуса
x(t̃, 0, D(0,
Lt̃ /(2M ) < r1 и их граничных точек. Заметим также, что существует и минимальный
радиус r̄ = l/(2M). В этих обозначениях после замены r̄ на r все оценки, полученные
для листов первого типа, окажутся верными и для листов второго типа.
Мы построили координаты в окрестности листа Υ. Положим β = min(χ/2, r) и
определим для каждой (t0 , x0 ) ∈ K множество
n
o
b 0 , x0 ), y ∈ M (t0 , x), |y| ≤ β .
Γ(t0 , x0 , β) = x + y : x ∈ D(t
7
Рассмотрим отображение
удовлетворяющее
b 0 , x0 ),
ϕ = ϕ(t0 ,x0 ) : Γ(t0 , x0 , β) −→ D(t
(2.12)
b 0 , x0 ),
x ∈ D(t
(2.13)
ϕ(x + y) = x,
y ∈ M (t0 , x).
Вообще говоря, отображение ϕ(t0 ,x0 ) зависит от (t0 , x0 ), но для упрощения записи
мы будем обозначать его проcто ϕ. Предполагается, что расположение точки (t0 , x0 )
напрямую следует из контекста. Заметим, что отображение ϕ является липшицевым с
константой L̄ = 8/3. Доказательство этого утверждения мы опустим. Заметим также,
что угол между M (t, x1 ) и M (t, x2 ) меняется липшицево с константой G = 1/(10r).
Рассмотрим точки t0 , x1 и y0 такие, что (t0 , x1 ) ∈ K и |y0 − x1 | ≤ β. При достаb 0 , x1 ) такое, что y0 ∈ Dp (t0 , x0 ). Это следует из
точно малом β существует x0 ∈ D(t
p
того, что диски D (t, x), (t, x) ∈ D(t0 , x0 ) образуют расслоение в β-окрестности диска
D(t0 , x0 ). Уменьшая, если это необходимо, β, мы получаем
|x0 − y0 | ≤
|y0 − x1 |
.
sin(α/3)
(2.14)
Вернемся теперь к нелинейной системе (1.1). Зафиксируем c̄, 0 ≤ c̄ ≤ 1, для
которого выполнены следующие три условия.
Во-первых, для любой точки (t0 , x0 ) ∈ K и y0 : |y0 − x0 | ≤ c̄β выполнено
β
x(t, t0 , y0 ) ∈ Γ t, x(t, t0 , x0 ),
, 0 ≤ t − t0 ≤ 2T.
(2.15)
4
Заметим, что при достаточно малом c̄ и y0 : |y0 − x0 | ≤ c̄β линейная система (1.2)
слабо гиперболична на интервале 0 ≤ t − t0 ≤ 2T с константами 2a, λ1 − σ и λ2 + σ.
Это означает, что отображения (t, x) −→ U n,s (t, x), (t, x) ∈ K, имеют непрерывное
продолжение на c̄β-окрестность K.
Второе условие на c̄ — это выполнение неравенства
cα
1000
∠(U n,s (t0 , x0 ), U n,s (t0 , y0 )) ≤
(2.16)
при (t0 , x0 ) ∈ K, |x0 − y0 | ≤ c̄β.
В-третьих, для любых (t0 , x0 ) ∈ K, |x0 − xi | ≤ c̄β, i = 1, 2, таких что
∠(U n (t0 , x0 ), x1 − x2 ) ≤ cα, должны выполняться
∠(U n (t, x(t, t0 , x0 )), x(t, t0 , x1 ) − x(t, t0 , x2 )) ≤
∠(U n (t, x(t, t0 , x0 )), x(t, t0 , x1 ) − x(t, t0 , x2 )) ≤
α
,
3
cα
,
128
0 ≤ t − t0 ≤ 2T,
T ≤ t − t0 ≤ 2T.
b 0 , x1 )
Рассмотрим (t0 , x1 ) ∈ K и y0 : |y0 − x1 | ≤ c̄β. Рассмотрим также x0 ∈ D(t
p
такое, что y0 ∈ D (t0 , x0 ). Заметим, что при 0 ≤ t − t0 ≤ 2T
|x(t, t0 , y0 ) − ϕ(x(t, t0 , y0 ))| ≤ 2 |x(t, t0 , x0 ) − x(t, t0 , y0 )| .
8
Теперь, учитывая (2.11) и (2.14), получаем, что
|x(t, t0 , y0 ) − ϕ(x(t, t0 , y0 ))| ≤ 2 |x(t, t0 , x0 ) − x(t, t0 , y0 )| ≤
≤
4a|y0 − x1 | −(λ1 −σ)(t−t0 )
e
,
sin(α/3)
0 ≤ t − t0 ≤ 2T.
(2.17)
Из (2.3) и (2.17) следует, что
4a|y0 − x1 | sin(α/4)
≤
sin(α/3) 1000a2
|y0 − x1 |
≤
, T ≤ t − t0 ≤ 2T.
200
|x(t, t0 , y0 ) − ϕ(x(t, t0 , y0 ))| ≤
(2.18)
Мы выбрали T, c, r, β и c̄. Положим 0 < ε ≤ c̄β. Будем считать также, что 0 <
ε ≤ sin(cα/32)/(2G).
Зафиксируем δ > 0, при котором выполнены следующие пять условий.
(1) Если (t0 , x0 ) ∈ K и |y0 − x0 | < ε, то
|y(t, t0 , y0 ) − x(t, t0 , y0 )| ≤
ε
,
3(L̄ + 1)
(2) Если (t0 , x0 ) ∈ K и |y0 − x0 | < ε, то
β
y(t, t0 , y0 ) ∈ Γ t, x(t, t0 , x0 ),
,
2
0 ≤ t − t0 ≤ 2T.
0 ≤ t − t0 ≤ 2T.
(2.19)
(2.20)
(3) Обозначим через Ψ(t, t0 , y0 ) фундаментальную матрицу линейной системы
(2.2), удовлетворяющую условию Ψ(t0 , t0 , y0 ) = I. Заметим, что если (t0 , x0 ) ∈ K,
|x0 − y0 | ≤ c̄β, то при достаточно малом δ линейная система (2.2) слабо гиперболична
на интервале 0 ≤ t − t0 ≤ 2T с константами 3a, λ1 − 2σ, λ2 + 2σ. Обозначим через
UYn (t0 , y0 ) и UYs (t0 , y0 ) нейтральное и устойчивое подпространства системы (2.2) на
промежутке 0 ≤ t − t0 ≤ 2T.
Выберем δ таким, что при (t0 , x0 ) ∈ K и |y0 − x0 | < c̄β
∠(UYn,s (t0 , y0 ), U n,s (t0 , y0 )) ≤
cα
.
1000
(2.21)
Уменьшая, если это необходимо, δ, мы можем добиться, чтобы для любого вектора η такого, что ∠(UYn (t0 , y0 ), η) ≤ cα, было выполнено
2α
, 0 ≤ t − t0 ≤ 2T,
5
cα
∠(UYn (t, y(t, t0 , y0 )), Ψ(t, t0 , y0 )η) ≤
, T ≤ t − t0 ≤ 2T.
64
∠(UYn (t, y(t, t0 , y0 )), Ψ(t, t0 , y0 )η) ≤
(2.22)
b 0 , x0 ), yi ∈
(4) Рассмотрим xi и yi , i = 0, 1, такие, что (t0 , x0 ) ∈ K, x1 ∈ D(t
M (t0 , xi ), i = 0, 1, |x1 − x0 | ≤ ε, |y0 − x0 | ≤ ε, |y1 − x1 | ≤ ε. При достаточно малом δ и
∠(UYn (t0 , y0 ), y1 − y0 ) ≤ cα выполнено
α
,
2
cα
∠(UYn (t, y(t, t0 , y0 )), y(t, t0 , y1 ) − y(t, t0 , y0 )) ≤
,
50
∠(UYn (t, y(t, t0 , y0 )), y(t, t0 , y1 ) − y(t, t0 , y0 )) ≤
0 ≤ t − t0 ≤ 2T,
(2.23)
T ≤ t − t0 ≤ 2T.
(2.24)
9
(5) Мы можем, уменьшая δ, добиться того, чтобы для каждых (t0 , x0 ) ∈ K,
|x0 − y0 | ≤ c̄β существовал 1-мерный диск Перрона DYp (t0 , y0 ) такой, что для любого
y1 ∈ Dp (t0 , y0 ) выполнено
|y(t, t0 , y1 ) − y(t, t0 , y0 )| ≤ 4a |y1 − y0 | e−(λ1 −3σ)(t−t0 ) ,
0 ≤ t − t0 ≤ 2T.
Теперь рассмотрим (t0 , x0 ) ∈ K и y0 такие, что |x0 − y0 | ≤ ε. Из (2.20) следует, что
y(t, t0 , y0 ) ∈ Γ(t, x(t, t0 , x0 ), β/2), 0 ≤ t − t0 ≤ 2T.
Из (2.18) и (2.19), в свою очередь, следует, что
|y(t, t0 , y0 ) − ϕ(y(t, t0 , y0 ))| ≤
≤ |y(t, t0 , y0 ) − x(t, t0 , y0 )|+|x(t, t0 , y0 ) − ϕ(x(t, t0 , y0 ))|+|ϕ(x(t, t0 , y0 )) − ϕ(y(t, t0 , y0 ))| ≤
ε
ε
ε
203
≤
+
+ L̄
=
ε < ε, T ≤ t − t0 ≤ 2T.
600
3(L̄ + 1) 200
3(L̄ + 1)
В итоге,
|y(t, t0 , y0 ) − ϕ(y(t, t0 , y0 ))| ≤ ε,
T ≤ t − t0 ≤ 2T.
(2.25)
Рассмотрим множество Q, состоящее из непрерывных функций f : Υ → R2 ,
удовлетворяющих следующим трем условиям:
(1) f (t, x) ∈ M (t, x) при всех (t, x) ∈ Υ;
(2) |f (t, x)| ≤ ε при всех (t, x) ∈ Υ;
(3) f (t, x) локально липшицева по второй переменной на листе Υ с константой l,
удовлетворяющей условию
l ≤ tg((3/4)cα) < 1.
Другими словами, для любой точки (t0 , x0 ) ∈ Υ существует ε1 = ε1 (t0 , x0 , f ) < ε
b 0 , x0 ).
такое, что |f (t0 , x0 ) − f (t0 , x1 ))| ≤ l |x0 − x1 | при |x0 − x1 | ≤ ε1 , x1 ∈ D(t
Введем метрику на Q следующим образом:
d(f1 , f2 ) = sup (|f1 (t, x) − f2 (t, x)|).
(t,x)∈Υ
Рассмотрим f ∈ Q, (t0 , x0 ) ∈ K и y0 = x0 + f (t0 , x0 ). Для каждого τ : 0 ≤ τ ≤ 2T
определим f¯τ = Aτ f :
f¯τ (t0 + τ, ϕ(y(t0 + τ, t0 , y0 ))) = y(t0 + τ, t0 , y0 ) − ϕ(y(t0 + τ, t0 , y0 )).
Заметим, что f¯τ определена корректно (доказательство мы опустим).
Покажем, что f¯τ ∈ Q при T ≤ τ ≤ 2T . Непрерывность f¯τ напрямую следует из
непрерывности f и непрерывности отображения x0 −→ ϕ(y(t0 + τ, t0 , y0 )). Свойство
(1) является очевидным. Свойство (2) следует из (2.25). Осталось доказать свойство
b 0 , x0 ), yi = xi + f (t0 , xi ), i = 0, 1.
(3). Рассмотрим (t0 , x0 ) ∈ K, x1 ∈ D(t
Введем обозначения ȳi = y(t0 + τ, t0 , yi ), x̄i = ϕ(y(t0 + τ, t0 , yi )). Из определения следует, что ȳi = x̄i + f¯τ (t0 + τ, x̄i ). Из открытости отображения x1 −→ x̄1
следует существование ε1 = ε1 (t0 + τ, x̄1 , f¯τ ), 0 < ε1 ≤ ε, такого, что для любоb 0 , x1 ),
го x̄0 , удовлетворяющего |x̄1 − x̄0 | ≤ ε1 (t0 + τ, x̄1 , f¯τ ), существует x0 ∈ D(t
|x1 − x0 | ≤ ε1 (t0 , x1 , f) ≤ ε, такое, что x̄0 = ϕ(y(t0 + τ, t0 , y0 )).
Оценим, теперь f¯τ (t0 + τ, x̄1 ) − f¯τ (t0 + τ, x̄0 ) . Заметим, что ȳ1 − ȳ0 = (x̄0 − ȳ0 ) +
(x̄1 − x̄0 )+(ȳ1 − x̄1 ). Обозначим через P n проекцию на U n (t0 +τ, x̄0 ) вдоль M (t0 +τ, x̄0 ).
10
Из того, что ȳ0 ∈ M (t0 + τ, x̄0 ) следует, что P n (x̄0 − ȳ0 ) = 0. Из того, что U n (t0 + τ, x̄0 )
b 0 + τ, x̄0 ), и из того, что sin(∠(N (t0 + τ, x̄0 ), M (t0 + τ, x̄0 ))) ≤ 1/10 следует,
касается D(t
что
|P n (x̄1 − x̄0 )| = |x̄1 − x̄0 | + O(|x̄1 − x̄0 |2 ).
Легко, также, получить, что |P n (ȳ1 − x̄1 )| ≤ sin(cα/32) |x̄0 − x̄1 | .
В результате, при достаточно малом ε1 , получим
cα |P n (ȳ1 − ȳ0 )| ≤ |x̄1 − x̄0 | + 2 sin
|x̄0 − x̄1 | .
32
N
Обозначим
через
на M (t0 + τ, x̄0 ) вдоль U n (t0 + τ, x̄0 ). Легко
P проекцию
теперь
2
N
доказать, что P (x̄1 − x̄0 ) = O(|x̄1 − x̄0 | ). То, что P N (x̄0 − ȳ0 ) = −f¯τ (t0 +τ, x̄0 ), следует из определения функции f¯τ . Наконец, напрямую из предыдущих рассуждений
следует, что P N (ȳ1 − x̄1 ) = f¯τ (t0 + τ, x̄1 ) + ψ, где |ψ| ≤ sin(cα/32) |x̄0 − x̄1 | . В итоге,
N
P (ȳ1 − ȳ0 ) = P N (x̄0 − ȳ0 ) + P N (x̄1 − x̄0 ) + P N (ȳ1 − x̄1 ) ≥
≥ P N (ȳ1 − x̄1 ) + P N (x̄0 − ȳ0 ) − P N (x̄1 − x̄0 ) ≥
cα
≥ f¯τ (t0 + τ, x̄1 ) − f¯τ (t0 + τ, x̄0 ) − 2 sin( ) |x̄0 − x̄1 | .
32
N
Заметим, что P (ȳ1 − ȳ0 )/|P n (ȳ1 − ȳ0 )| < tg(cα/4). Теперь получим
f¯τ (t0 + τ, x̄1 ) − f¯τ (t0 + τ, x̄0 ) ≤ tg 3cα |x̄1 − x̄0 | .
4
В итоге, мы можем выбрать ε1 (t0 + τ, x̄1 , f¯τ ) такое, что
f¯τ (t0 + τ, x̄1 ) − f¯τ (t0 + τ, x̄0 ) ≤ tg 3cα |x̄1 − x̄0 | ,
4
T ≤ τ ≤ 2T,
b 0 + τ, x̄1 ).
при |x̄1 − x̄0 | ≤ ε1 (t0 + τ, x̄1 , f¯τ ), x̄0 ∈ D(t
Это означает, что Aτ Q ⊂ Q, T ≤ τ ≤ 2T.
Теперь докажем, что оператор Aτ является сжимающим при T ≤ τ ≤ 2T .
Рассмотрим f 1 , f 2 ∈ Q, (t0 , x0 ) ∈ K, y1 = f 1 (t0 , x0 ), y2 = f 2 (t0 , x0 ). Рассмотрим
также поверхность y = x + f 1 (t0 , x), x ∈ Υ.
Очевидно, что с помощью M (t0 , x), x ∈ Υ, мы можем ввести координаты в
β/2-окрестности этой поверхности. Заметим, что диски Перрона DYp (t0 , y), где y =
x + f 1 (t0 , x), x ∈ Υ, образуют расслоение в этой окрестности. Таким образом, по аналогии с отображением ϕ мы можем рассмотреть отображение ϕf 1 : Γf 1 (t0 , y1 , β/2) −→
b 0 , x0 )). Теперь рассмотрим поверхность y = y(t0 + τ, t0 , x + f 1 (t0 , x)), x ∈ Υ.
f 1 (t0 , D(t
На ней мы ровно таким же образом можем ввести координаты и рассмотреть отобb 0 + τ, x̄1 )), где x̄1 =
ражение ϕ̃f 1 : Γfτ1 (t0 + τ, y(t0 + τ, t0 , y1 ), β/2) −→ fτ1 (t0 + τ, D(t
ϕ(y(t0 + τ, t0 , y1 )).
Повторим еще раз все рассуждения, предваряющие неравенство (2.18). В результате, используя второе из неравенств (2.3), получаем
y(t0 + τ, t0 , y2 ) − ϕ̃f 1 (y(t0 + τ, t0 , y2 )) ≤ 1 |y1 − y2 | =
τ
2
1
1
= f 1 (t0 , x0 ) − f 2 (t0 , x0 ) ≤ d(f 1 , f 2 ).
2
2
11
В итоге, d(Aτ f 1 , Aτ f 2 ) ≤ 12 d(f 1 , f 2 ), f 1 , f 2 ∈ Q, T ≤ τ ≤ 2T.
Итак, оператор Aτ является сжимающим при τ ∈ [T, 2T ]. Из этого следует существование неподвижной точки gτ , для которой выполнено Aτ gτ = gτ .
Обозначим g = gT . Для каждого рационального числа ρ = p/q ∈ [0, 1] мы имеем
AqT +ρT = Ap+q
T . Таким образом, g = gT +ρT для всех рациональных ρ ∈ [0, 1]. Из
непрерывности получим g = gτ для T ≤ τ ≤ 2T . Для 0 ≤ τ ≤ T имеем Aτ g =
Aτ AT g = Aτ +T g = g. В итоге, Aτ g = g для всех τ > 0.
Положим h(t, x) = (t, x + g(t, x)). Очевидно, что множество ΥY = h(Υ) является
интегральным множеством системы (2.1). Из определения множества Q напрямую
следует, что
|h(t, x) − (t, x)| ≤ ε.
Мы построили непрерывное отображение h и доказали свойства (1) и (2). Вблизи
листа Υ мы отыскали инвариантное множество системы (2.1). Свойства (3) и (4)
доказываются методами, изложенными в статье [1]. В этой работе мы их опустим.
Теорема доказана.
Литература
1. Pliss V. A., Sell G. R. Perturbations of attractors of differential equations // J. Differential
Equations. 1991. Vol. 92. P. 100–124.
2. Pliss V. A., Sell G. R. Approximation Dynamics and the Stability of Invariant Sets // J.
Differential Equations. 1997. Vol. 149. P. 1–51.
3. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных
уравнений. М.: Наука, 1977.
Статья поступила в редакцию 26 июня 2012 г.
12
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
314 Кб
Теги
инвариантная, двумерные, множества, система, устойчивость, периодических, листовых
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа