close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обобщение и применение закона взаимности Эйзенштейна.

код для вставкиСкачать
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 1
ОБОБЩЕНИЕ И ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА ВЗАИМНОСТИ ЭЙЗЕНШТЕЙНА
1. Введение
Квадратичный закон взаимности — один из наиболее красивых результатов алгебры и теории чисел. С 1801 года было выведено и доказано множество его обобщений,
развитие которых можно проследить в двух направлениях: разные расширения и более высокие степени. Например, квадратичный закон взаимности можно сформулировать не
только в кольце Z. Для кольца гауссовых целых чисел Z[i] такая теорема была доказана Дирихле. Гильберт же смог доказать, что квадратичный закон взаимности верен в любом
поле алгебраических чисел [1].
Хотя Гаусс [2] и открыл биквадратичный закон взаимности, но до конца его не доказал. Первые опубликованные доказательства кубического и биквадратичного законов
взаимности принадлежат Эйзенштейну [3].
Результаты по квадратичному и кубическому законам взаимности обобщает закон взаимности Эйзенштейна. Приведем его формулировку. Пусть K = Q(Z), где Z = e2ni/p —
круговое расширение поля рациональных чисел для нечетного простого p. Возьмем числа a и a такие, что a G Z, (a,p) = 1, а число a — примарное в K, т.е. a Ф b (mod (Z — 1)2) при
некотором b G Z, (b,p) = 1
Теорема (закон взаимности Эйзенштейна). Для символов степенных вычетов p-ой степени выполняется соотношение
Основная цель работы — доказать следующее частичное обобщение Пусть
K = Q(Z), Z = e2ni/n, где n > 1 —нечетное натуральное число.
Теорема 1. Если a G Z[Z], a Ф 1 (mod n) и a G Z, (a,p) = 1, то степенных этого закона. вычетов n-ой степени выполняется соотношение
для символов
В качестве применения теоремы 1 будет дано новое доказательство следующей теоремы Анкени—Роджерса.
Теорема 2. Предположим, что a G Z и (a, N) = 1, где N — нечетное число. Если сравнение xN Ф a (mod p) разрешимо для всех, кроме конечного числа, простых чисел, то a =
N
b для некоторого b G Z.
2. Начальные обозначения
Везде считаем, что p — нечетное простое число. Введем обозначения: • K = Qp (Z), где Z := Zp n;
© С. В. Востоков, К. Ю. Орлова, 2008
• п = Z — 1 —простой элемент поля K. Для элемента ® G K* пишем
• а : = a ( x ) = атхт + am+ ixm+1 + .. .; ai G Zp, то G Z,am G ^p- Если вместо ж в разложение а подставить 7Г, то получим aļji) = а = атпт + am+i7rm+1 + . ..;
• res — вычет ряда Лорана^ a^, равный коэффициенту при ж-1;
• R — мультипликативные представители классов вычетов;
• Д — оператор Фробениуса на рядах Лорана Zp((x)):
Д(£о^) = (Saixi)A = SaiXpi. Нам также понадобится функция
l{a) = -\ogap/aA, P
определенная в работе [5] для элемента ®, у которого первый коэффициент am взаимно прост с p. Эта функция обладает следующими свойствами: l ( a ) G Zp [x]; l ( a f i ) = l ( a ) + l ( 0 ;
l ( a a ) = а/(а)для а G Zp;
если a ( x ) = в + атхт (mod deg(m + 1)), в G ^tp-1, то
l ( a ) = CimO^1Xm (mod deg(m + 1)). Более подробно свойства функции l ( a ) рассмотрены в [4, гл.У1] и в [5].
3. Явная формула для символа Гильберта рп-ой степени в поле K = Qp(Z n)
p
Рассмотрим символ Гильберта: (, ) n : K* x K* д ^ n. В работе [5] была найдена следующая явная формула для этого символа:
p
p
(a,^V=Cres$(a'/3)/(^""1),
(1)
где Ф( a , f 3 ) = l ( a ) d l ( f 3 ) — l(a)f3~1df3 + l ( f 3 ) a ~ 1 d a , а d := ^. B частном случае n = 1 и ® = в = 1 (mod п) имеем более простую формулу
(a, р)р = Cesilog ^d log 2>/^-1>.
(2)
Заметим, что Zp — 1 = хр (mod p) и поэтому формулу (3) можно переписать в виде
(aJj)p = Ces{losĒ-dl°s-)x~P-
(3)
Более подробно о вычислении символа Гильберта можно прочитать в [5] и в [4].
4. Предварительные вычисления
Перед доказательством непосредственно обобщения теоремы Эйзенштейна проверим следующий факт. Положим n = pr. Пусть K = Qp(Z), где Z := Zpr.
Теорема 1. Если ® G Zp[Z] и ® = 1 (mod pr), то (а, a) r = 1 для a G Zp, (a,p) = 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим формулу (1) и в ней положим в := a. По условию a G Zp,
следовательно d1(a) и a-1da равны нулю. Поэтому в условиях теоремы получаем, что Ф(а,а) = l ( a ) a ^ ^ - d l ( a ) = l ( a ) d log(a).
p
3
Далее, рассмотрим разложение a = 1+ pr0+pr0i n + pr02 п2 +..., где ^i G R. Заменив 7г на ж получим разложение а:
а = 1 + р г в + р г в 1 х + р г в 2 х 2 + . . . = ( 1 + р г в ) ( 1 + р г в ' 1 х +р г в ' 2 х 2 + . . . ) = а ' а ъ
где а' G Zp, а Cx1 = 1 +PrO11X +PrO12X2 + ... Тогда имеем
(a, a)p r = (a'ai ,a)p r = (a',a)p r (ai ,a)p r.
Сначала рассмотрим чему равен символ (a', a) r. Как уже было замечено ранее, d1(a) и a-ida равны нулю. Следовательно, Ф^', a) = 1(a)a'-id(a'). Но a' G Zp, и, следовательно, da' =
0. Из чего, воспользовавшись формулой (1), выводим (a',a) r = 1. Посмотрим, что происходит с (ai ,a)p r:
p
p
U1 = 1
da1=pre'1
+
+ргв[х+ргв2х2
2pre'2x
+ .. .,
+ ... = 0 (mod p r ) .
Следовательно l ( a ) a 1 1 d a 1 = 0 (mod p r ) и Ф(«1, a) = 0 (mod p r ) . Поэтому ( a 1 : a )pr = 1 и, значит, (a, a) r = (a', a) r (ai, a) r = 1, что завершает доказательство теоремы.
p
p
p
5. Общий случай
В этом параграфе мы остановимся на свойствах символа Гильберта (, )n , где n — нечетное число, с помощью которого позднее мы вычислим произведение символов степенных
вычетов.
Пусть n > 1 —нечетное натуральное число, Z := Zn, K = Qp(Z), и пусть n = ni pr, (ni ,p) = 1. Тогда рассмотрим башню полей
Qp — T — K,
где T = Qp(Zni), K = T(Z r). Поскольку (ni ,p) = 1, расширение T/Qp неразветвлено. Введем некоторые дополнительные обозначения:
• От = Zp[Zni ] —кольцо целых поля T;
• a — автоморфизм Фробениуса в T;
• Д — оператор Фробениуса в кольце рядов Лорана от ((x)):
p
A(SaiXi) = (SaiXi^ = S a(ai)xpi,
• Tr — оператор следа в T/Qp;
• R — представители Тейхмюллера в Qp(Zn).
Как и выше, для элемента a G K* и его разложения
a := amnm + am + i nm+i + . ..,
где ai G от , (p, am) = 1, п = Z r — 1, пишем
p
a : = a ( x ) = атхт + am+1xm+1 + . ..
Явная формула для символа Гильберта pr-ой степени ( , ) r в поле K имеет в нашем случае вид
, Дч
Trres4>(a,^)/(C^-1)
,,
p
(a, ^)pr- = Cp^
-,
(4)
где C := Cp-, Ф{ a , p ) = 1{а)с1Щ - 1{а)^1с1р + ЩоГ1с1а (см [4, ra.VII]). 24
Теорема 3'. Если ® G От[Zpr], ® = 1 (mod pr), a G Zp, (a, p) = 1, то
(а, a)p r = 1.
Рассмотрим формулу (2) и в ней положим в := a.
По условию a G Zp C От , следовательно d1(a) и a-1da равны нулю. Поэтому в условиях теоремы получаем, что Ф(а,а) = l(a)aT1dl(a) = l ( a ) d log(a). Далее теорема доказывается
аналогично теореме 3 из предыдущего параграфа.
Пусть n = n1 pr, где (n1 ,p) = 1, и k«1 + mpr = 1 для некоторых k,m G Z. Тогда, используя стандартные свойства символа Гильберта, получаем
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
(а, в)п = Кв)^ (а,в)к г.
(5)
Используем полученные формулы в доказательстве следующей леммы.
Лемма 1. Если а, в —единицы поля K, то (а,в)П1 = 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Имеем неразветвленное расширение T = Qp(Zni), степень которого f = [T : Qp] = y(n1); тогда число элементов q в поле вычетов поля T равно pf. Сведем
доказательство леммы к вычислению символа (а, в)д -ь По теореме Эйлера число q — 1 = pf — 1 = p^(ni) — 1 делится на «1 Обозначим через q' частное от деления q — 1 на «1. Таким
образом, q — 1 = n1 q'.
Так как Zq - 1 G K, над K определен символ Гильберта (а,в)д -1. Если (а,в) 9 - 1 = 1, то (а,в)П1 = 1, поскольку верно равенство
(а,в)п 1 = (а, в)q — 1 .
Как известно, ручной символ (а,в)д -1 можно вычислить по следующей формуле (см., например, [6, гл. 8, т. 5]):
(а, в),-1 = ( — 1)^(а)^(в)а-^(в)в^(а) (mod п).
В нашем случае ^(а) = 0, ^(в) = 0, и значит, (а,в)д -1 = 1 (mod п). Поскольку (а,в) 9 - 1 —корень из 1 степени q — 1, предыдущее сравнение дает (а,в) 9 - 1 = 1.
Теорема 4. Пусть K = Qp(Zn), « = «1 pr, (n1 ,p) = 1, n —нечетное число. Пусть а G Zp[Zn], а = 1 (mod n). Тогда
(а, a)n = 1 для a G Zp, (a,p) = 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как следует из формулы (5), достаточно доказать, что (а^)^ = 1 и (а^)^ = 1. Элемент а принадлежит кольцу Ок = Zp[Zn] целых элементов поля K и сравним с 1
по модулю n; тем более элемент а сравним с 1 по модулю pr |n. Тогда по теореме 3' имеем (а, a) r = 1. Далее, поскольку а = 1 (mod p)r, элемент а принадлежит группе единиц OK
поля K, а поскольку a G Zp, (a,p) = 1, мы получаем a G Z* C OK ; из леммы 1 следует (а, a)ni = 1.
p
6. Доказательство обобщения теоремы Эйзенштейна
В этом параграфе мы соберем воедино полученные результаты, чтобы приступить уже к непосредственно доказательству обобщения теоремы Эйзенштейна. Для начала
сформулируем закон взаимности для символов степенных вычетов, который связывает произведение символов степенных вычетов с произведением символов норменного вычета
(символ Гильберта).
Пусть K = Q(Z), Z = e2ni/n, где n > 1 —нечетное натуральное число. Тогда для а,в G K*, (ав,п) = 1, имеем следующую формулу для произведения степенных вычетов:
где p— простой идеал поля K, делящий n, и — —символ норменного вычета в
n
пополнении Kp поля K. В нашем случае Kp = Qp(Z), где (p) = Z П р.
W
Пустьp — простой делитель числа n и p|n; тогда символ
совпадает с симвоа,
/Зл
Pj
5
6
лом Гильберта (а, в)п в поле Qp(Zn), который, как уже говорилось, можно представить в виде произведения
(а, в)п = (а,в)т (а,в)кг,
где kni+mpr = 1, k, m G Z. Напомним, что по лемме 1 если а, в — единицы поля Qp(Zn), то (а,в)П1 = 1. Далее, по теореме
3' для в = a G Z, (a,p) = 1 и а = 1 (mod pr) будет (а,а)рг = 1. Таким образом, мы доказали, что выполняется следующее
утверждение.
Лемма 2. Пусть p — простой делитель числа n и p|n. Если а G Z[Z], a G Z, причем а = 1 (mod n) и (a,p) = 1, то
а
э
(символ Гильберта берется в поле Qp(Zn)).
т
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Пусть n > 1 —нечетное натуральное число, Z = e2ni/n, K = Q(Z),
а G Z[Z], a G Z, причем а = 1 (mod n) и (a,p) = 1. Из закона взаимности для символов
о
степенных вычетов и леммы 2 непосредственно вытекает,
и
е
с
т
ь утверждение теоремы 1. 7. Доказательство теоремы Анкени и Роджерса
Сначала скажем несколько слов об истории этого красивого результата. Давно известно, что если a — целое число, не
являющееся квадратом, тогда существует бесконечно много простых чисел p, по модулю которых a — квадратичный
невычет. Некоторое обобщение этой теоремы было открыто Тростом в 1934 году. Затем в самом общем виде его
сформулировал в качестве гипотезы Чоул.
В 1951 году Анкени и Роджерс доказали, что если xn = a (mod p) имеет решение для почти всех простых чисел, то либо
a
=
bn,
либо
8|n
и
a
=
2n/8bn.
Харли
Фландерс
в статье [7] обобщил теорему на поле алгебраических чисел и поле алгебраических функций от одной переменной.
В настоящей работе при помощи полученного выше обобщения закона Эйзенштейна мы докажем результат Анкени и
Роджерса для нечетных n.
В этом параграфе N — фиксированное нечетное число; через DN мы обозначаем кольцо целых элементов поля Q(ZN).
Для доказательства теоремы нам потребуется следующая лемма.
Лемма 3. Пусть a G Z — целое число, не являющееся N-ой степенью и взаимно простое с N. Пусть далее aDN = Pļ1 . .
n
.P^ —разложение идеала aDN в произведение простых идеалов кольца DN. Тогда существует k такое, что N не делит
1¾.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим образующую простого идеала Pk П Z в Z через pk. Таким образом pfcZ = Pfc П Z. Далее, из
того что Pfc | aDN следует, что Pfc D aDN, а потому
PfcZ = Pk П Z D aDn П Z D aZ,
т.е. pfc | a. Поскольку (a,N) = 1, это означает, что (pfc,N) = 1 и тем самым pfc не делит N. Тогда pfc неразветвлено в Q(ZN);
следовательно, ordpka = ordpka = 1¾. Таким образом,
a = ±pOrdp1 a ...pnrdpn a = ±pļ1 ...рП»;
если бы все lk делились на N, то поскольку ±1 — N-я степень (N нечетно!), число a было бы N-ой степенью целого числа,
что противоречит условию леммы.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2. Напомним, что мы хотим доказать, что если N — нечетное число, a — целое число,
взаимно простое с N, и сравнение xN = a (mod p) разрешимо для всех, кроме конечного числа, простых чисел, то число a
является N-ой степенью некоторого целого числа. Переформулируем его следующим образом: если a не является N-ой
степенью, то существует бесконечно много простых чисел p, для которых сравнение xN = a (mod p) неразрешимо.
Предположим, что a не равно N-ой степени в Z. Пусть aDN = P11 ... P^n —разложение на простые идеалы в DN . Тогда
мы находимся в условиях леммы 3 и N не делит хотя бы одно lk . Можно считать, что N не делит In
Покажем, что существует бесконечно много простых идеалов W кольца DN , для которых сравнение xN = a (mod W)
неразрешимо в DN . Если это не так, то есть лишь конечное множество {Qi,..., Qm} простых идеалов, отличных от всех Pk и
от простых идеалов, входящих в разложение N, и таких, что сравнения xN = a (mod Q) j неразрешимы (j = 1,..., m). При
помощи китайской теоремы об остатках мы можем найти такой элемент т G DN , что т = 1 (mod Qk ) при k = 1, 2 ..., m, т = 1
(mod N), т = 1 (mod Pj ) для j = 1, 2,..., n — 1 и т = а mod Pn, где элемент а G DN выбран так,
что ( — ) = Сдг. Так как r = 1 (mod N ) , по теореме 1
Pn N
В =(1) •
т N a N Таким образом, получаем с одной
стороны, что
С другой стороны, пусть (т) = Ri... Rs — разложение т на простые идеалы. Тогда
и потому ( — ) ф 1 при некотором j , а это значит, что сравнение x N = а (mod R ) j \ Щ ) N
неразрешимо в DN . Но из сравнений, которым удовлетворяет т, непосредственно следует, что Rj не совпадает ни с одним
из идеалов Qi, ..., Qm.
Мы показали, что существует бесконечно много простых идеалов W, для которых сравнение xN = a (mod W)
неразрешимо. Пусть wZ = W П Z. Тогда xN = a (mod w) неразрешимо и таких w существует бесконечно много, поскольку
каждое рациональное простое число содержится лишь в конечном числе простых идеалов кольца DN. Этим завершается
доказательство теоремы 2.
Summary
S. V. Vostokov, K. Yu. Orlova. А generalization and an application of the Eisenstein reciprocity
law.
А generalization of the Eisenstein reciprocity law is proved. Using it, a short prove of the following fact is obtained: if N is even and if for
almost all prime p an integer is the N-th power modulo p, then this integer is the N-th power of an integer.
Литература
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen. Bd 1: Zahlentheorie XIV. 5395. Berlin: Springer Ver- lag, 1935.
Gauss K. F. Untersuchungen ueber hoehere Arithmetik Chelseu publishing company. Bronx; New York, 1889.
Eisenstein G. Gesammelte Werke. Springer Verlag, 1975.
Fesenko I., Vostokov S. Local Fields and Their Extensions. Providence; R.I.: AMS, 2002.
Востоков С. В. Явная форма закона взаимности. Изв АН СССР. Сер. матем., 1978. Т. 42. №6. С. 1288-1321.
Ивасава К. Локальная теория полей классов / Пер. с япон. М.: Мир, 1983. 184 с.
7. Flanders H. Generalization of a theorem of Ankeny and Rogers // Ann. Math., 1953. Vol. 57. P. 392-400.
Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
351 Кб
Теги
закон, эйзенштейн, обобщение, взаимности, применению
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа