close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Обратная субдифференциальная задача для стационарных уравнений Максвелла.

код для вставкиСкачать
УДК 517
ОБРАТНАЯ СУБДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ
СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА
Т.В. Беспалова, Дальрыбвтуз, Владивосток
Рассмотрены прямые и обратные краевые задачи для стационарных
уравнений
Максвелла,
возникающие
при
рассмотрении
субдифференциальных определяющих соотношений.
Данная статья является продолжением исследования, начатого в
работах [1], где была изучена нестационарная модель для
поляризуемой среды, а также работ [2, 3], в которых рассматривалась
задача о гармонических электромагнитных колебаниях в поляризуемой
среде.
Отметим, что изучение введенных в работе вариационных неравенств
позволяет рассмотреть широкий класс физически интересных
постановок краевых задач для уравнений Максвелла, причем задачи с
классическими краевыми условиями для системы уравнений Максвелла
являются частными случаями рассматриваемой задачи. В качестве
приложения полученных результатов рассмотрена задача об
определении областей постоянной проводимости по пороговым
значениям
поля.
Кроме
того,
рассмотрена
обратная
субдифференциальная задача для уравнений Максвелла в
гармоническом режиме.
1.
Постановка
субдифференциальной
задачи. Рассмотрим
распространение электромагнитных волн в однородной изотропной
среде в
R 3 с диэлектрической постоянной  , магнитной
проницаемостью  и проводимостью  . Электромагнитные колебания
с частотой
 будем описывать векторами напряженности
электрического поля и магнитной индукции
E ( x, t )  Re{E ( x ) exp(it )},
B( x, t )  Re{B( x ) exp( it )}
(1)
,
E ( x ), B( x )
где
–
комплексные
амплитуды
напряженности
электрического поля и магнитной индукции соответственно.
Обозначим
через
плотность
тока,
j  Re{ j ( x ) exp( it )}
определяемого полями (1), а через j e  Re{g( x ) exp( it )} плотность
тока, обусловленного сторонними ЭДС.
Из уравнений Максвелла с произвольной зависимостью от времени для
комплексных амплитуд E, B, j , g получаем следующие соотношения:
rotE  iB, rotB  ( j  iE  g ),
(2)
где  , , , – известные положительные постоянные.
Пусть  – область в R 3 с ограниченной границей  класса С 2 , при
этом считаем границу  области  идеально проводящей. Тогда
E  E  (E  n)n  0, x  .
(3)
Здесь n – единичный вектор внешней нормали к  . Условие (3) означает
равенство нулю касательных компонент вектора E на границе  .
j
Предположим
также,
что
вектор
удовлетворяет
субдифференциальному соотношению
j   (E ),
(4)
которое понимается поточечно, т.е. выражает связь между j (x ) и E (x )
в
каждой
точке
x .
Здесь
 : C 3  ( ;]
полунепрерывная снизу (п.н.сн.) функция ( C
3
–
выпуклая
– пространство векторов
v  (v 1 ,v 2 ,v 3 ) с комплексными компонентами),    . Через   C 3
обозначен субдифференциал функции  на элементе E , т.е. множество
(E )  { j  C 3 : (v )  (E )  Re( j k  (v  E ) k }v  C 3 }.
Здесь и далее считается, что по повторяющимся индексам проводится
суммирование от 1 до 3.
Таким образом, субдифференциальная краевая задача для системы
уравнений Максвелла заключается в отыскании решения системы (2)
при заданной функции g , удовлетворяющего граничному условию (3) и
соотношению (4).
Для определения обобщенного решения краевой задачи (2) – (4)
распространим поточечное субдифференциальное соотношение (4) на
2
функциональное комплексное пространство L ( ) . Для этого введем
2
функционал  , заданный на L ( ) формулой
  (E ( x ))dx, если  (E )  L1(),

(E )  

 ,
иначе.
(5)
Тогда аналогично [4, с. 133] можно показать, что функционал 
L2 ( )
является
выпуклым
п.н.сн.
собственным
на
(
(E )  (;], (E )   ).
Условие
j  (E )
эквивалентно
неравенству (v )  (E )  Re{( j ,v  E )}v  L (), причем условие
2
j  (E ) , где j , E  L2 (  ) , выполняется тогда и только тогда, когда
для j ( x ), E ( x )  C 3 выполняется включение j ( x )  (E( x )) п.в. в  .
Здесь и далее через v и (u,v ) будем обозначать норму и скалярное
произведение в комплексном пространстве

L2 (), (u,v )  u k v k dx.

Определим гильбертово пространство
V  {v  L2 () : rotv  L2 (), v   0, x  }
над полем комплексных чисел C как замыкание множества гладких
комплекснозначных вектор-функций с нулевыми касательными
составляющими на границе  по норме v  ( v
2
что в силу определения пространства V
справедливо равенство [1, c. 316]
для любых
(rotw ,v )  (w, rotv ).
В пространстве V
 rotv )1 / 2 . Отметим,
2
v,w  V
(6)
рассмотрим эффективную область функционала
 : K  {v V : (v )  }. В силу выпуклости и полунепрерывности
снизу функционала  множество K является выпуклым и замкнутым
вV .
2. Вывод вариационного неравенства. Для вывода вариационного
неравенства, соответствующего задаче (2) – (4), умножим второе
уравнение в (2) скалярно на E  v , v  V и воспользуемся тождеством
(6). Тогда получим
(B, rot (E  v ))  ( j , E  v )  ( (g  iE ), E  v ).
(7)
Используя определение субдифференциала
(v )  (E )  Re{( j ,v  E )}v V ,
имеем
Re{( B, rot (E  v ))  (  (g  iE ), E  v )} 
  ((E )  (v ))v  V .
(8)
В определенном смысле справедливо и обратное, т.е. для достаточно
гладких комплексных вектор-функций E и B , удовлетворяющих (2),
справедливо соотношение (4). В частности, если предположить, что
rotB  L2 ( ) , то из (8) и (6) получаем
Re{((1 /  )rotB  iE  g, E  v )}  (E )  (v )  0v  V .
Это означает, что величина j  (1 /  )rotB  iE  g удовлетворяет
соотношению Re{( j , E  v )}  (E )  (v ) , т.е.
j  (E ) тогда и
только тогда, когда j ( x )  (E( x )) п.в. в  .
Таким образом, на основании неравенства (8), учитывая первое из
уравнений (2), приходим к следующей постановке.
З а д а ч а 1. Найти элемент E  V такой, что
Im{ a(E, E  v )  (  2 E  f , E  v )} 
 ((E )  (v ))  0v V .
(9)
Здесь a(u,v )  (rotu, rotv ), f  ig.
3. Корректность задачи 1. Пусть функционал  имеет представление
  I K   0 , где
 0, еслиv  K ,
I K (v )  
иначе,
 ,
т.е. IK есть индикаторная функция множества K . Предположим, что
функционал  0 дифференцируем по Гато в каждой точке v  V , т.е.
предел lim ( 0 (w  h)   0 (w )) /   Re{ 0 (w ), h } существует для
0
любого h  V , причем 0 (w ) V  , где через V  обозначаем
пространство сопряжено-линейных непрерывных функционалов,
определенных на V ,  0 (w ), h – значение функционала  0 на
элементе h  V .
Будем предполагать, что градиент  0 удовлетворяет следующим
условиям:
а) u,v ,w  V функция
  Re{ 0 (u  v ), w }
(10)
непрерывна как функция из R в R (свойство семинепрерывности);
б) функционал  0 является сильно монотонным в следующем смысле:
Re{  0 (w 1 )   0 (w 2 ), w 1  w 2 } 
  w 1  w 2 w 1 ,w 2  V ,  const  0.
2
(11)
По определению субдифференциала
(w )  (E )  Re{( j ,w  E )}w  K.
Положим w  E  h , где h  v  E для любых v  K ,   0 ,
разделим на  и перейдем к пределу при    .
Тогда lim ((E  h )  (E )) /   Re{( j , h )} .Так как на множестве K
  0
функционал

совпадает
с
 0 , то последнее неравенство
эквивалентно соотношению Re{ 0 (E ), E  v }  Re{( j , E  v )}v  K ,
используя которое, на основании (7), получаем неравенство
Im{ a(E, E  v )  (  2 E  f , E  v )} 
  Re{  0 (E ), E  v }  0v  K .
(12)
Т е о р е м а 1. Пусть функционал  удовлетворяет свойствам (10),
(11). Кроме того, предположим, что существует элемент v 0 V такой,
что (v 0 )  Ø. Тогда для произвольной комплексной вектор-функции
g  L2 () существует единственное решение задачи 1.
Доказательство данной теоремы было получено в [9].
4. Субдифференциальная обратная задача, связанная со
стационарными уравнениями Максвелла. Рассмотрим систему
уравнений (2) с граничными условиями (3). Пусть значения плотности
токов, обусловленных действиями сторонних ЭДС g , неизвестны.
Задача заключается в отыскании g , а также соответствующих E и B ,
удовлетворяющих системе (2), граничному условию (3) и
дополнительному субдифференциальному условию
E  (g ),
(13)
где (g ) – выпуклая п.н.сн. собственная функция на C . Задачу (2),
(3), (13) можно рассматривать как субдифференциальную обратную
задачу для уравнений Максвелла в гармоническом режиме с
неизвестной правой частью g .
Изучение поставленной задачи также сводится к исследованию
некоэрцитивного вариационного неравенства. Определим функционал
3
  (g ( x ))dx,  (g )  L1 (),
(g )  

 ,
иначе.
Таким образом, функционал  выпуклый п.н.сн. собственный на
L2 ( ) , причем E  (g ) , где E, g  L2 (  ) тогда и только тогда, когда
для E ( x ), g ( x )  C выполняется включение E( x )  (g ( x )) п.в. в 
[4, c. 133].
Отметим [8, c. 61], что условие E  (g ) эквивалентно условию
3
g  (E ) , где функционал  : V  V  ,    * , т.е.  является
сопряженным к ,   sup{( h,v )  (h), h V }.
Кроме того, функционал  также является выпуклым п.н.сн.
2
собственным на L ( ) .
Таким образом, приходим к следующей постановке.
З а д а ч а 2. Найти элемент E  V такой, что
Im{ a(E, E  v )  (k 2 E, E  v )}  ((E )  (v ))  0v  V ,
2
2
где k   (  i /  ) .
Единственность и разрешимость задачи 2 вытекает из теоремы 1, если
в постановке задачи 1 функционал  заменить на
( / 2) E dx  (E ) .
2

Таким образом, имеет место
Т е о р е м а 2. Пусть существует элемент E1 V такой, что (E1 ) 
Ø. Тогда существует единственное решение задачи 2.
Рассмотрим частный случай постановки субдифференциальной
обратной задачи для уравнений (2) при условии, что задана
информация о решении E и «структуре» вектора g .
Пусть вектор g ограничен, т.е. g  g 0 , кроме того, заданы условия
E  E0 
g  0;

g  c(E  E 0 ),
E  E0  

 g  g0,
c (E  E 0 )  g 0 ,
(14)
c (E  E 0 )  g 0 ,
где E 0 – некоторое пороговое значение поля, c  0 – известная
константа.
*
Если функционал    задать формулой

0, E  E 0 ,

2
 (E )  (c / 2) E  E 0 , c(E  E 0 )  g 0 , E  E 0 ,
 Re{( E, g )}, c(E  E )  g , E  E ,
0
0
0

(15)
то субдифференциальное соотношение (13) будет соответствовать
условиям (14). Соответствующая вариационная задача является
частным случаем задачи 2, если функционал  определяется при
помощи (15). Корректность соответствующей вариационной постановки
вытекает из теоремы 2.
Библиографический список
1.
Дюво Г., Лионс
Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М., 1980.
2.
Беспалова Т.В.,
Чеботарев
А.
Ю.
Моделирование
электромагнитных
колебаний
в
поляризуемой
среде
и
вариационные
неравенства. Владивосток, 1993. (Препринт / ИПМ ДВО РАН).
3.
Чеботарев А.Ю.
Корректность задачи об электромагнитных колебаниях в
поляризуемой
среде
//
Динамика
сплошной
среды.
Новосибирск, 1993. Вып. 107.
4.
Панагиотопуло
с П. Неравенства в механике и их приложения.
М., 1989.
5.
Лионс
Ж.-Л.
Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.,
1972.
6.
Барфут
Ж.,
Тейлор Дж. Полярные диэлектрики и их применение. М., 1981.
7.
Райзер
Ю.П.
Основы современной физики газоразрядных процессов. М.,
1980.
8.
Barbu V. Analysis
and Control of Nonlinear Infinite Dimensional Systems. 1993.
9.
Беспалова Т.В.,
Чеботарев А.Ю. Вариационные неравенства и обратные
субдифференциальные задачи для уравнений Максвелла в
гармоническом режиме // Дифф. уравнения, 2000. Т. 36. № 6.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
327 Кб
Теги
уравнения, обратная, стационарный, субдифференциальная, максвелл, задачи
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа