close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Ограниченность решений анизотропных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областях.

код для вставкиСкачать
ISSN 2074-1863
Уфимский математический журнал. Том 6. № 2 (2014). С. 67-77.
УДК 517.956.25
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В НЕОГРАНИЧЕННЫХ ОБЛАСТЯХ
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
Аннотация. В работе рассматривается некоторый класс анизотропных эллиптических уравнений второго порядка, представителем которого является модельное уравнение вида
n
n
X
X
pα −2
(|uxα |
uxα )xα =
(Φα (x))xα , pn ≥ . . . ≥ p1 > 1.
α=1
α=1
Установлена ограниченность решений однородной задачи Дирихле в неограниченных
областях, расположенных вдоль одной из осей координат. Кроме того, получена оценка
решений рассматриваемых уравнений с финитной правой частью, гарантирующая их
степенное убывание при удалении аргумента на бесконечность.
Ключевые слова: задача Дирихле, анизотропное эллиптическое уравнение, неограниченная область, ограниченность решения, убывание решения.
Mathematics Subject Classification: 35J62
1.
Введение
Пусть Ω — произвольная неограниченная область пространства Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn )},
Ω ⊆ Rn , n ≥ 2. Для анизотропного квазилинейного эллиптического уравнения второго
порядка рассматривается задача Дирихле
n
n
X
X
(Φα (x))xα , x ∈ Ω;
(aα (x, ∇u))xα =
(1)
α=1
α=1
u
= 0.
(2)
∂Ω
Предполагается, что функции aα (x, ξ), α = 1, n, измеримы по x ∈ Ω для ξ ∈ Rn и
непрерывны по ξ ∈ Rn для почти всех x ∈ Ω. Пусть p = (p1 , p2 , ..., pn ), будем считать, что
1 < p1 6 p2 6 ... 6 pn и существуют положительные числа a, b
a такие, что для любых
ξ, η ∈ Rn при почти всех x ∈ Ω выполняются условия:
n
n
X
X
(aα (x, ξ) − aα (x, η)) (ξα − ηα ) ≥ a
|ξα − ηα |pα ;
(3)
α=1
α=1
|aα (x, ξ) − aα (x, η)| 6 b
a|ξα − ηα | (|ξα | + |ηα |)pα −2 ,
aα (x, 0) = 0, α = 1, 2, . . . , n.
α = 1, 2, . . . , n;
(4)
(5)
L.M. Kozhevnikova, A.A. Khadzhi, Boundedness of solutions to anisotropic second order
elliptic equations in unbounded domains.
c Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. 2014.
Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00081-a).
Поступила 5 ноября 2013 г.
67
68
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
И.М. Колодий [1] установил ограниченность решений некоторого класса анизотропных
эллиптических уравнений в ограниченных областях. При этом требование ограниченности
области является существенным условием в его доказательстве. Основной результат этой
статьи — доказательство ограниченности обобщенных решений задачи (1), (2) в неограниченных областях Ω.
В статье предполагается, что функции Φα (x) ∈ Lpα /(pα −1) (Ω), α = 1, 2, . . . , n. Обобщенное
решение задачи (1), (2) понимается в "узком" смысле, т.е. из соответствующего анизотроп◦
ного пространства Соболева H 1p (Ω), которое определяется как пополнение пространства
n
P
C0∞ (Ω) по норме kvk ◦1
=
kvxα kLpα (Ω) (определение приведено в п.2).
Hp (Ω)
α=1
В работе рассматриваются области, расположенные вдоль выделенной оси Oxs , s = 1, n
(область Ω лежит в полупространстве xs > 0 и сечение γr = {x ∈ Ω | xs = r} не пусто при
любом r > 0).
b
Введем обозначение: Ωa = {x ∈ Ω a < xs < b}, значения a = 0, b = ∞
−1
n
P
могут быть опущены. Положим P = n −1 +
1/pα
, M = ps (P − ps )−1 ,
α=1
−1
n
n
P
P
K=
1/pα − 1 +
1/pα
.
α=1
α=1
Теорема 1. Пусть u(x) — обобщенное решение задачи (1), (2) c
supp Φα ⊂ ΩR0 ,
R0 > 0,
α = 1, 2, . . . , n,
(6)
и выполнены условия (3)—(5), а также
n
X
n
1
<1+ .
1<
p
ps
α=1 α
(7)
Тогда при любом R ≥ 2R0 /ε, ε ∈ (0, 1), справедливо неравенство
vrai max |u(x)| 6
ΩR
εR
e
C
,
RM
(8)
e — положительная константа, зависящая от pα , n, a, b
где C
a, kΦα kpα /(pα −1) .
Пример 1. Пусть pα = p, α = 1, 2, . . . , n. В шаре B1 радиуса 1 с центром в начале координат рассмотрим функцию u(x) = ln r, r = |x|. Она является неограниченным решением
уравнения (1) c функциями Φα (x) = |uxα |p−2 uxα ∈ Lp/(p−1) , p < n. Таким образом, даже в изотропном случае для ограниченности решения не достаточно принадлежности
функций Φα (x) ∈ Lp/(p−1) , α = 1, 2, . . . , n.
В следующей теореме доказана ограниченность решения задачи (1), (2) (Ω неограниченная) в ΩR1 для произвольного R1 > 0 в предположении повышенной локальной суммируемости функций Φα (x) (в частности могут быть ограниченными).
Теорема 2. Пусть u(x) — обобщенное решение задачи (1), (2) с функциями Φα (x)
такими, что для любого r > 0
Φα (x) ∈ Lkα (Ωr ),
pα l
,
(pα − 1)(l − 1)
P
1 6 l < min K,
,
ps
kα =
α = 1, 2, . . . , n,
(9)
(10)
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. . .
и выполнены условия (3)—(5) c показателями pα такими, что
n
X
1
n
1
1<
< 1 + min
,
.
p
lp
l
−
1
α
s
α=1
69
(11)
Тогда при любом R1 > 0 справедлива оценка
vrai max |u(x)| 6 C,
(12)
Ω R1
где C — положительная константа, зависящая от pα , n, l, a, b
a, R1 , mes Ω2R1 , kΦα kkα ,Ω2R1 .
Пример 2. Пусть p1 < pn < p1
r = |x|, A =
p1
n
n
P
n
P
1/pα . В шаре B1 рассмотрим функцию u(x) = r−A ,
α=1
− 1 > 0. Она является неограниченным решением уравнения (1)
1/pα
α=1
c функциями Φs (x) = |uxs |ps −2 uxs , s = 1, 2, . . . , n. Нетрудно определить, что функции
n
, а показатеΦs (x) суммируемы в шаре B1 со степенью rs , которая меньше (A+1)(p
s −1)
ли суммируемости ks в теореме 2 больше
ps
ps −1
n
P
p1
1/pα . Поскольку rs <
α=1
n
P
1/pα
α=1
(ps −1)
6 ks ,
s = 1, 2, . . . , n, то можно утверждать, что нижняя граница показателей суммируемости ks функций Φs близка к предельно возможной.
Ранее авторами в [2] для анизотропных эллиптических уравнений были получены оценки убывания решения на бесконечности в зависимости от геометрии неограниченной области Ω расположенной вдоль выделенной оси в предположении ограниченности решения,
однако ограниченность оставалась недоказанной. Основной целью настоящей работы является установление глобальной ограниченности обобщенного решения задачи (1), (2).
Несомненно, что для изотропных уравнений можно снять ограничение на класс рассматриваемых областей, но в случае анизотропных уравнений это приведет к существенным
техническим трудностям в доказательстве оценки (8). Оценка вида (12) может быть получена для произвольных неограниченных областей с некомпактными границами. Однако
здесь приведено ее доказательство для областей расположенных вдоль выделенной оси
для удобства согласования с оценкой (8). Следствием теорем 1, 2 является
Теорема 3. Пусть выполнены условия (3)—(5), (11). Тогда для обобщенного решения
задачи (1), (2) u(x) с функциями Φα (x), α = 1, n, удовлетворяющими требованиям (6),
(9), справедлива оценка
sup |u| 6 C,
Ω
C — константа, зависящая от pα , n, a, b
a, kΦα kkα , R0 , mes Ω4R0 , l.
2.
Вспомогательные сведения
Положим: k · kp — норма в пространстве Lp (Ω). Приведем теорему вложения анизотропного пространства Соболева, из которой следует, что k · k ◦1
является нормой.
Hp (Ω)
◦
Лемма 1. Пусть u(x) ∈H 1p (Ω) и
n
X
α=1
1/pα > 1,
(13)
70
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
тогда u(x) ∈ LP (Ω), где P = n −1 +
−1
n
P
1/pα
, причем
α=1
kukP 6 A1
n
X
kuxα kpα ,
(14)
α=1
здесь A1 — константа, зависящая от pα , n (см. [3], [4]).
Определение 1. Обобщенным решением задачи (1), (2) с Φα (x) ∈ Lpα /(pα −1) (Ω),
◦
α = 1, 2, . . . , n, назовем функцию u(x) ∈ H 1p (Ω), удовлетворяющую интегральному тождеству
Z X
Z
n
(aα (x, ∇u) − Φα ) vxα dx = 0
(15)
L(u, v)dx ≡
Ω
Ω
α=1
◦
для любой функции v(x) ∈H 1p (Ω).
Теорема 4. Пусть выполнены условия (3) – (5), тогда существует единственное обобщенное решение u(x) задачи (1), (2) с функциями Φα (x) ∈ Lpα /(pα −1) (Ω),
α = 1, 2, . . . , n, и справедлива оценка
n
X
kuxα kppαα
6 A2
n
X
p /(p −1)
kΦα kpαα /(pαα −1) ,
(16)
α=1
α=1
где A2 — константа, зависящая от a, b
a, p α .
Доказательство существования проводится методом галеркинских приближений.
◦
Лемма 2. Для функции u(x) ∈H1p (Ω), при 0 6 a < b справедливо неравенство
1
ps
kukps ,Ωba 6
kuxs kps
b
ps − 1
(17)
(см. [5, неравенство (73)]).
◦
Лемма 3. Пусть u(x) ∈H1p (D) и
n Z
X
|u|qα |uxα |pα dx < ∞,
qα ≥ 0,
pα ≥ 1,
α = 1, 2, . . . , n.
α=1 D
−1
n n
P
P
1+qα /pα −1+
1/pα
Если выполняется условие (13), то u(x) ∈ LQ (D) при Q =
α=1
α=1
и имеет место оценка

K/Q
n Z
X
kukQ,D 6 A3 
|u|qα |uxα |pα dx
,
(18)
α=1 D
где K =
n
P
α=1
−1
n
P
1/pα − 1 +
1/pα
, A3 — константа, зависящая от n, qα , pα (см. [3], [6],
α=1
[7]).
Замечание. В статье [8] В.С. Климовым показано, что неравенство (18) справедливо
также для функций, "обращающихся в нуль на достаточно массивном подмножестве
◦
Ω". В частности, оно имеет место при D = Ωr , r > 0, для функций u(x) ∈H1p (Ω).
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. . .
3.
71
Доказательство теорем 1, 2
Доказательства теорем 1 и 2 проводятся итеративным методом, который был предложен
Ю. Мозером [9] и широко использовался в работах С.Н. Кружкова [10], [4], Д. Серрина
[11], И.М. Колодия [1].
Полагаем u(x) = |u(x)| + χ, χ ≥ 0, при этом |uxα | = |uxα |. Для фиксированных чисел
q ≥ 1 и µ > χ определим функции:
q
u , если χ 6 u 6 µ,
F (u) =
qµq−1 u − (q − 1)µq , если µ < u,
G(u) = {F (u)F 0 (u)ps −1 − χqps −ps +1 q ps −1 }signu,
−∞ < u < ∞.
Почти всюду на множестве {x : u 6= µ} имеем
ps q−ps +1 0 ps
F (u) , если u 6 µ,
0
q
0 6 G (u) =
ps
0
F (u) , если µ < u.
При этом справедливы неравенства
ps F 0 (u)ps ≥ G0 (u) ≥ F 0 (u)ps ,
F (u) 6 uq ,
|G(u)| 6 F (u)F 0 (u)ps −1 ,
F 0 (u) 6 quq−1 .
(19)
(20)
Доказательство теоремы 1. Пусть η(xs ) — неотрицательная Липшицева функция с
носителем в [ρ − σ, ρb + σ
b] ⊂ [εR/2, 2R], ε ∈ (0, 1) такая, что

xs ∈ [ρ, ρb],
 1,
0,
xs ∈
/ (ρ − σ, ρb + σ
b),
η(xs ) =

линейная,
xs ∈ [ρ − σ, ρ) ∪ (b
ρ, ρb + σ
b].
◦
6 µ} имеем
Полагаем v(x) = η ps G(u) ∈H1p (Ω), χ = 0. Почти всюду на множестве {x : |u| =
vxα = η ps G0 (u)uxα + ps η ps −1 G(u)ηxα ,
α = 1, 2, . . . , n.
Используя (19), (6), находим
L(u, v) =
n
X
(aα (x, ∇u) − Φα )(ps η ps −1 G(u)ηxα + η ps G0 (u)uxα ) ≥
α=1
ps
0
ps
≥ η F (|u|)
n
X
aα (x, ∇u)uxα − ps η ps −1 |ηxs |F (|u|)F 0 (|u|)ps −1 |as (x, ∇u)|.
α=1
Пользуясь условиями (3)—(5), выводим
L(u, v) ≥ aη ps F 0 (|u|)ps
n
P
|uxα |pα −
α=1
−b
aps η ps −1 F (|u|)F 0 (|u|)ps −1 |ηxs ||uxs |ps −1 .
(21)
Проинтегрировав (21) по x ∈ Ω и учитывая определение (15), получаем
Z
Z
n
X
ps 0
ps
pα
η F (|u|)
|uxα | dx 6 C1 F (|u|)F 0 (|u|)ps −1 η ps −1 |ηxs ||uxs |ps −1 dx.
Ω
α=1
Ω
Применяя неравенство Юнга, выводим
Z
Z
Z
n
X
1
ps
ps 0
ps
ps 0
ps
pα
η F (|u|) |uxs | dx + C2 F (|u|)ps |ηxs |ps dx.
|uxα | dx 6
η F (|u|)
2
α=1
Ω
Ω
Ω
72
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
Учитывая (20), получаем
n
n
R
R
P
P
q ps
η ps |u|(q−1)ps
|uxα |pα dx 6 η ps F 0 (|u|)ps
|uxα |pα dx 6
α=1
α=1
Ω
{x∈Ω:|u|6µ}
R qp
ps
s
6 C3 |u| |ηxs | dx.
(22)
Ω
Предположим, что правая часть (22) конечна. Устремим µ к ∞ в левой части (22) и
применим лемму Фату:
Z
Z
n
X
C3
pα
ps
ps (q−1)
|uxα | dx 6 ps
η |u|
|u|qps |ηxs |ps dx.
(23)
q
α=1
Ω
Ω
Далее, получаем цепочку неравенств:
ps (q−1)
XZ |u|η ps /p1
|(uη ps /p1 )xα |pα dx+
α6=s Ω
+
Z |u|η ps /p1
ps (q−1)
|(uη ps /p1 )xs |ps dx =
Ω
=
XZ
|u|ps (q−1) |uxα |pα η ps /p1 [ps (q−1)+pα ] dx+
α6=s Ω
Z
2
η ps (q−1)/p1 |u|ps (q−1) |uxs η ps /p1 +
+
ps ps /p1 −1
uη
ηxs |ps dx 6
p1
Ω
6
XZ
|u|ps (q−1) |uxα |pα η ps /p1 [ps (q−1)+pα ] dx+
α6=s Ω
Z
+C4
η
p2s q/p1
ps (q−1)
|u|
Z
ps
|uxs | dx + C4
Ω
η ps [qps /p1 −1] |ηxs |ps |u|ps q dx 6
Ω
6 C5
n Z
X
|u|ps (q−1) |uxα |pα η ps [ps (q−1)+pα ]/p1 dx+
α=1 Ω
Z
+C4
|u|ps q η ps [qps −p1 ]/p1 |ηxs |ps dx.
Ω
Воспользовавшись тем, что 0 6 η(xs ) 6 1, применяя (23), выводим
n Z
X
|uη ps /p1 |ps (q−1) |(uη ps /p1 )xα |pα dx 6
α=1 Ω
6 C5
n Z
X
ps (q−1)
|u|
Z
pα ps
|uxα | η dx + C4
α=1 Ω
Z
Ω
qps
|u|
6 C6
|u|ps q |ηxs |ps dx 6
ps
|ηxs | dx.
Ω
Из леммы 3 для qα = ps (q − 1), α = 1, 2, . . . , n, имеем
! n
!−1
n
X
X
Q = n + ps (q − 1)
1/pα
1/pα − 1
= P + ps (q − 1)K,
α=1
α=1
(24)
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. . .
тогда, применяя (18), из (24) выводим
1/K

Z
Z
P
+p
(q−1)K
p
/p
s
s
1
 |η
u|
dx
6 C7 |u|qps |ηxs |ps dx.
Ω
73
(25)
Ω
Пусть h = ps (q − 1) + θ, τ = P − Kθ = ps − θ, где θ = (P − ps )/(K − 1). Тогда
τ + Kh = P + Kps (q − 1), τ + h = ps q. Ввиду (13), K > 1, из условия (7) следует, что θ > 0.
Положим ρb + σ
b = ρbν = (1 + 2−ν )R, ρb = ρbν+1 = (1 + 2−ν−1 )R, ρ − σ = ρν = (1 − 2−ν−1 )εR,
ρ = ρν+1 = (1 − 2−ν−2 )εR, σ
b = R2−ν−1 , σ = εR2−ν−2 .
Из (25) выводим

1/(Kh)

1/h
Z
Z




C7 1/h
τ +h
 .
 |u|τ +Kh dx

|u|
dx
6




p
/h
(min(σ, σ
b)) s
Ωρρb
b+b
σ
Ωρρ−σ
Положим h = θK ν ,
ν = 0, 1, 2, ..., тогда

 Z



1/(θK ν+1 )
τ +θK ν+1
|u|
ρ
b
Ωρν+1


dx

6
ν+1
1/(θK ν )

ν
C8 1/(θK ) 2ps (ν+1)/(K
6
(εR)ps /(K ν θ)
ν θ)



Z

ν
|u|τ +θK dx

.
Ωρρbν
ν
Введя обозначение
1/(θK ν )


Θν = 

Z

ν
|u|τ +θK dx

,
Ωρρbν
ν
получаем неравенство
ν
Θν+1
C8 1/(K θ) 2ps (ν+1)/(K
6
(εR)ps /(K ν θ)
ν θ)
Θν ,
ν = 0, 1, 2, ....
Для ν = 0 имеем h = θ, q = 1 и
Θ1 6
C8 1/θ 2ps /θ
Θ0 ,
(εR)ps /θ
далее,
Θν+1 6
C8
1/θ
∞
P
1/K ν ps /θ
2
ν=0
ps /θ
(εR)
Переходя к пределу при ν → ∞, получим
∞
P
(ν+1)/K ν
ν=0
∞
P
Θ0 .
1/K ν
ν=0
1/θ

sup |u(x)| 6
ΩR
εR
C9
(εR)ps K/(θ(K−1))



Z
Ω2R
εR/2

|u(x)|ps dx

.
(26)
74
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
Согласно следствию 1, применяя (16), имеем

1/θ
1/θ

Z
Z


ps

 6 C10 Rps /θ  |uxs |ps dx 6 C11 Rps /θ .
|u|
dx


(27)
Ω
Ω2R
εR/2
Соединяя (26), (27), в итоге, получим
sup |u| 6 C12
ΩR
εR
Rps /θ
(εR)ps K/(θ(K−1))
=
C12
p
/(θ(K−1))
s
R
εps K/(θ(K−1))
=
C12
,
(RεK )M
(28)
откуда следует оценка (8).
Следствие 1. Для обобщенного решения u(x) задачи (1), (2) c функциями Φα ,
α = 0, 1, 2, ..., n, удовлетворяющими требованию (6), в условиях теоремы 1 справедлива
оценка
b
sup |u| 6 C,
(29)
Ω2R0
b — константа, зависящая от pα , n, a, b
a, kΦα kpα /(pα −1) , R0 .
где C
Доказательство. В (28) положим ε = 1/2, R = rk = 2k+1 R0 , k = 1, 2, .., получим
неравенства
b k = 1, 2, ..,
sup |u| 6 C13 2(K−k)M 6 C,
r
Ωrk /2
k
из которых следует (29).
Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, однако имеются
отличия в построении срезающей функции и оценках, связанных с Φα , α = 1, n, поэтому
приводится полностью.
Пусть η(xs ) — неотрицательная Липшицева функция с носителем в (−∞, ρ + σ),
ρ + σ 6 2R1 , такая, что

xs ∈ (−∞, ρ],
 1,
0,
xs ∈ [ρ + σ, +∞),
η(xs ) =
 линейная,
xs ∈ (ρ, ρ + σ).
◦
Положим v(x) = η ps G(u) ∈H1p (Ω), χ = 1. Используя (19), находим
L(u, v) =
n
X
(aα (x, ∇u) + Φα )(ps η ps −1 G(u)ηxα + η ps G0 (u)uxα ) ≥
α=1
ps
0
ps
≥ η F (u)
n
X
ps
0
ps
aα (x, ∇u)uxα − ps η F (u)
α=1
n
X
|Φα ||uxα |−
α=1
−ps η ps −1 |ηxs |F (u)F 0 (u)ps −1 |as (x, ∇u)| − ps η ps −1 |ηxs |F (u)F 0 (u)ps −1 |Φs |.
Пользуясь условиями (3)—(5), выводим
L(u, v) ≥ aη ps F 0 (u)ps
n
P
|uxα |pα −
α=1
−b
aps η ps −1 F (u)F 0 (u)ps −1 |ηxs ||uxs |ps −1 −
n
P
|Φα ||uxα | − ps η ps −1 F (u)F 0 (u)ps −1 |ηxs ||Φs |.
−ps η ps F 0 (u)ps
α=1
(30)
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. . .
75
Проинтегрируем (30) по x ∈ Ω и, учитывая (15), получаем
Z
n
X
ps 0
ps
η F (u)
|uxα |pα dx 6
α=1
Ω
Z
F (u)F 0 (u)ps −1 η ps −1 |ηxs | |uxs |ps −1 + |Φs | dx+
6 C1
Ω
Z
+C1
ps
0
n
X
ps
η F (u)
|Φα ||uxα |dx.
α=1
Ω
Применяя неравенство Юнга, выводим
Z
n
n Z
X
1X
ps 0
ps
pα
η F (u)
|uxα | dx 6
η ps F 0 (u)ps |uxα |pα dx+
2
α=1
α=1
Ω
Ω
Z
F (u)ps |ηxs |ps dx + C2
+C2
n Z
X
η ps F 0 (u)ps |Φα |pα /(pα −1) dx.
α=1 Ω
Ω
Учитывая (20), получаем
n R
P
η ps F 0 (u)ps |uxα |pα dx 6
α=1 Ω
6 C3
R
u
qps
ps
|ηxs | dx + C3
(31)
n R
P
pα /(pα −1) ps ps (q−1)
|Φα |
η u
dx.
α=1 Ω
Ω
Предположим, что правая часть (31) конечна. Устремим µ к ∞ в левой части (31) и
применим лемму Фату:
Z
n
X
ps (q−1)
|uxα |pα dx 6
u
α=1
Ωρ

Z
C3  1
q ps σ ps
6
uqps dx +
n
X

Z
|Φα |pα /(pα −1) ups (q−1) dx .
α=1 ρ+σ
Ω
Ωρ+σ
Далее, применяя неравенство Гельдера, воспользовавшись (9), выводим неравенства


1/l
Z
Z
n
X
(l−1)/l
C3  1
ups (q−1) |uxα |pα dx 6 ps  ps 
uqps l dx
mes Ω2R1
+
q
σ
α=1
Ωρ
Ωρ+σ
+
n
X
(l−1)/l 

Z

α=1
Z
|Φα |kα dx

Ωρ+σ
1/l 

ups (q−1)l dx  6
Ωρ+σ
6 C4 1 +
1
σ ps
1/l

Z

uqps l dx
.
Ωρ+σ
◦
Учитывая замечание применим лемму 3 для D = Ωρ и функции u ∈H 1p (Ω). Таким
образом, используя (18), получаем

1/K

1/l
Z
Z
1
 |u|P +ps (q−1)K dx
6 C5 1 + ps 
uqps l dx .
(32)
σ
Ωρ
Ωρ+σ
76
Л.М. КОЖЕВНИКОВА, А.А. ХАДЖИ
Ввиду (10), K > l. Далее, пользуясь (32), выводим следующую цепочку неравенств:
Z
Z
P +ps (q−1)K
(33)
u
dx 6 C6 |u|P +ps (q−1)K dx + C6 mes Ωρ 6
Ωρ
Ωρ
6 C7
1
1 + ps
σ
K
K/l

Z
u

qps l
Z
dx
+ C6
Ωρ+σ
1
σ ps
6 C8 1 +
uqps l dx 6
Ωρ+σ
K
K/l

Z
uqps l dx

.
Ωρ+σ
Положим ρ + σ = ρν = (1 + 2−ν )R1 , ρ = ρν+1 = (1 + 2−ν−1 )R1 , σ = R1 2−ν−1 .
Пусть h = lps (q − 1) + lθ, τ = P − Kθ = l(ps − θ), где θ = (P − lps )/(K − l). Тогда
τ + hm = P + Kps (q − 1), m = K/l, τ + h = lps q. Из условия (10) следует, что θ > 0.
Из (33) выводим

1/(mh)

1/h
Z
Z
1/h
C9
 |u|τ +mh dx
6 ps l/h 
|u|τ +h dx .
σ
Ωρ
Положим h = lθmν ,
Ωρ+σ
ν = 0, 1, 2, ..., тогда

1/(lθmν+1 )
Z
ν+1

|u|τ +lθm dx
6
Ωρν+1
6
C9
1/(lθmν ) ps (ν+1)/(mν θ)
1/(lθmν )

Z
2

p /(θmν )
R1 s
ν
|u|τ +lθm dx
.
Ω ρν
Введя обозначение
1/(lθmν )

Z
ν
|u|τ +lθm dx
Θν = 
,
Ω ρν
получаем неравенство
ν
Θν+1 6
ν θ)
C9 1/(lθm ) 2ps (ν+1)/(m
p /(θmν )
R1 s
Θν ,
ν = 0, 1, 2, ....
Из последнего неравенства следует, что
Θν+1 6
C9
1/(lθ)
∞
P
1/mν ps /θ
2
ν=0
ps /θ
R1
∞
P
∞
P
(ν+1)/mν
ν=0
Θ0 ,
ν=0
Переходя к пределу при ν → ∞, получим

1/(θl)
Z
sup u(x) 6 C10 
Ω R1
ν = 0, 1, 2, ....
1/mν
Ω2R1
u(x)ps l dx
.
(34)
ОГРАНИЧЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ АНИЗОТРОПНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. . .
Применяя (10), (14), (16), выводим
Z
Z
Z
ps l
P
2R1
u dx 6
u dx 6 C11 mes Ω + C11 |u|P dx 6 C12 .
Ω2R1
Ω2R1
77
(35)
Ω
Соединяя (34), (35), в итоге, получаем (12).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Колодий И.М. Об ограниченности обобщенных решений эллиптических дифференциальных
уравнений // Вестник МГУ. 1970. № 5. C. 45–52.
2. Кожевникова Л.М., Хаджи А.А. Решения анизотропных эллиптических уравнений в неограниченных областях // Вестник Сам. гос. техн. ун-та. 2013. № 1 (30). С. 90–96.
3. Лу Вень-туан. К теоремам вложения для пространств функций с частными прозводными,
суммируемыми с различными степенями // Вестник ЛГУ. 1961. № 7. C. 23–27.
4. Кружков С.Н. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1968. № 77. C. 229–334.
5. Кожевникова Л.М., Леонтьев А.А. Оценки решения анизотропного параболического уравнения
с двойной нелинейностью // Уфимск. матем. журн. 2011. T 3, № 4. C. 64–85.
6. L. Nirenberg On elliptic partial differential equations // Ann. Scuola norm. super. Pisa. 1959. № 13.
P. 115–162.
7. Дубинский Ю.А. Некоторые интегральные неравенства и разрешимость вырождающихся
квазилинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений // Матем. сб. 1964. № 3.
C. 458–480.
8. Климов В.С. К теоремам вложения анизотропных классов функций // Матем. сб. 1985.
№ 127(169):2(6). C. 198–208.
9. J. Moser A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential
equations // Communs Pure and Appl. Math. 1960. № 3. P. 457–468.
10. Кружков С.Н. О некоторых свойствах решений эллиптических уравнений // ДАН СССР.
1963. № 3. C. 470–473.
11. J. Serrin Local behavior of solutions of quasilinear equatons // Acta math. 1964. № 3–4. P. 247–302.
Лариса Михайловна Кожевникова,
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,
пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия
E-mail: kosul@mail.ru
Анна Александровна Хаджи,
Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,
пр. Ленина, 37,
453103, г. Стерлитамак, Россия
E-mail: anna_5955@mail.ru
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа