close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Операторы обобщенного дифференцирования Гельфонда - Леонтьева и полиномы Бренке.

код для вставкиСкачать
Вестник ДГТУ, 2010. Т.10. №6(49)
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.982.274+517.983.22
А.В. БРАТИЩЕВ
ОПЕРАТОРЫ ОБОБЩЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ГЕЛЬФОНДА – ЛЕОНТЬЕВА И ПОЛИНОМЫ БРЕНКЕ
Обнаружена естественная связь операторов обобщенного дифференцирования (ООД)
Гельфонда –
Леонтьева и последовательностей полиномов Бренке. Получен критерий расширения оператора, коммутирующего с ООД, до непрерывного на всем пространстве Н(G). Описан класс областей, для которых характеристическая функция оператора комплексной свертки всегда имеет нулевой тип. Доказана гиперцикличность и хаотичность обобщенной комплексной свертки.
Ключевые слова: обобщенная производная Гельфонда – Леонтьева; полиномы Бренке; производная
Данкла; коммутация; обобщенная комплексная свертка; гиперциклические и хаотические операторы.
Введение. В работе Бренке [1] дано обобщение понятия полиномов Аппеля (1880 г.), позже названное полиномами Бренке. Затем А. Гельфонд и А. Леонтьев [2] ввели понятие обобщенного
дифференцирования, названное производной Гельфонда – Леонтьева. Мы пытаемся установить
естественную связь между этими обобщениями (теоремы 2, 3).
В терминах полиномов Бренке установлен критерий расширения коммутирущего с ООД
линейного оператора до непрерывного в пространстве H (G ) аналитических в односвязной области G функций (теорема 4). Ю.М. Царьков [3] и ряд других авторов [4] получили представление оператора, коммутирующего с оператором классического дифференцирования, в виде дифференциального оператора бесконечного порядка. В настоящей статье выделены все те области,
для которых возможно такое представление (теорема 6). Мы доказали [5] гиперцикличность и
хаотичность операторов, коммутирующих с оператором дифференцирования Данкла. Этот результат устанавливается для более широкого класса операторов обобщенного дифференцирования (теорема 7).
Представление операторов обобщенного дифференцирования. Пусть G – односвязная
область, и последовательность ограниченных расширяющихся областей {Gn }  G исчерпывает
G . H (G ) – пространство аналитических в G функций с топологией равномерной сходимости на
компактах. Под оператором обобщенного дифференцирования Гельфонда – Леонтьева понимаем
линейный непрерывный в H (G ) оператор, действующий на последовательности степеней по
правилу
Dz n : d n 1 z n 1 , n  , D1: 0 .

При этом функция e( z ) :
e z
n
n
, en :
n0
1
, e0 : 1 , называется обобщенной экспоненd0 ...d n 1

той, а функция d ( z ) :
d z
n
n
– порождающей функцией ООД . Мы получили [6] такую характе-
n0
ризацию и представление ООД.
ТЕОРЕМА 1. Определенное
n
D : Dz : d n 1 z
n 1
на
последовательности
степеней
{z n }
отображение
, n  , D1: 0 , расширяется до линейного непрерывного в H (G ) тогда и

только тогда, когда ряд d ( z ) :
d z
n
n
сходится в окрестности начала координат, и функцио-
n0
813
Физико-математические науки
1
 z
ε
t
область Gn  GN ( n ) , n   . Имеет место такое интегральное представление:
нальный элемент d   , | t | , | z  z0 | ε , аналитически продолжается в каждую односвязную
[ Ly ]( z ) 
1
1  z
y (t ) 2 d   dt .

2i C
t t
ПРИМЕР. Оператор обобщенного дифференцирования
[   , y ]( z ) : y ( z )  
y ( z )  y (0)
y (  z )  y (0)


, ,   0,
 ,
z
z
2
на H (G ) (где G – центрально-симметричная область относительно начала координат) обобщает
оператор Данкла, у которого    [напр., 7].
Связь полиномов Бренке и операторов обобщенного дифференцирования. Пусть даны
два формальных степенных ряда:


an n
z ,
n 0 n!
( z )    n z n .
a( z )  
n 0

Их произведение
a( w) ( zw)   pn ( z ) w n порождает последовательность полиномов Бренке
n 0
n
(ППБ) pn ( z ) 
an  k
 (n  k )! 
k
z k , n  0, 1, ... [1].
k 0
В частном случае, когда  ( z )  e z , получается последовательность полиномов Аппеля:
n
an  k
z k , n  0, 1, ... ,
k  0 ( n  k )!k !
pn ( z )  
связанных равенствами
d
pn ( z )  pn1 ( z ), n   .
dx
Оказывается, между классом полиномов Бренке и классом ООД Гельфонда – Леонтьева
существует тесная связь.
ТЕОРЕМА 2. Последовательность полиномов Бренке { pn ( z )} (где n  0  n  0 ) порождает ООД
Dz n :
D
на
пространстве многочленов
span{z n } по следующему правилу:
 n1 n 1
z , D1: 0 , причем
n
Dpn ( z )  pn 1 ( z ), [ Dpn ](0) 
an 1  0
1
, n  ; e( z ) 
( z ) .
( n  1)!
0

Обратно, ООД D, n  0 d n  0 , на span{z n } и формальный ряд a( w) 
an
 n! w
n
порож-
n 0

дают
ППБ
{ pn ( z )}
с
порождающей
функцией
a( w)e( zw)   pn ( z ) wn ,
n 0
Dpn ( z )  pn 1 ( z ), [ Dpn ](0) 
an 1
, n .
(n  1)!
Доказательство. По условию
n
n
n 1
an  k
a
an1 k
 k Dz k   n  k  k 1 z k 1  
 k z k  pn1 ( z ) ,
(
n

k
)!
(
n

k
)!
(
n

1

k
)!
k 1
k 1
k 0
[ Dpn ]( z )  
814
причем
Вестник ДГТУ, 2010. Т.10. №6(49)
1

  
1
e( z ) :   0 ... n 1  z n 
( z ) .
n 
0
n  0  1

1
Обратно, положим  ( z ) : e( z )  
zn .
d
...
d
n0 0
n 1

По
этой
функции
и
an n
w
n 0 n !
a( w)  
построим
порождающую
функцию

a( w)e( zw)   pn ( z ) wn .
n 0
n
В соответствии с определением pn ( z ) 
an  k
1
 (n  k )! d ...d
k 0
ствовать на это равенство оператором D .
ПРИМЕР. Введенная выше обобщенная
( 1) n 1 ) z n 1 , n  , D1: 0 ,
порождает
0
z k , n  0, 1, ... Остается подейn 1
производная
последовательность
  , z n : ( n   
Данкла
полиномов
Бренке
вида
n
an  k
1
z k , n  0, 1, ...
k 1
)
k  0 ( n  k )! (1    )...( k    (1)
Обозначим D множество линейных операторов на пространстве многочленов, которые
коммутируют с ООД D .
ТЕОРЕМА 3. Между классом линейных операторов D и множеством всех последовательpn ( z )  
ностей полиномов Бренке с порождающими функциями вида

a( w)e( zw)   pn ( z ) w n , n  1 en  0, e0  1
n 0
(где e( z ) – обобщенная экспонента ООД D ) существует изоморфизм, задаваемый правилом:
L (en z n )  pn ( z ), n  0 .
При этом (формально) L (e(z ))  a () e(z ) .
an
.
n!
Так как D n 1 pn ( z )  L ( D n 1en z n )  0 , то deg pn  n .
Доказательство. Положим pn (0)  en  [ Lz n ](0) :
n
Найдем коэффициенты этого многочлена pn ( z ) :
x z
k
k
. [ D k pn ( z )](0)  xk d k 1...d 0 .
k 0
С другой стороны,
[ D k pn ( z )](0)  [ LD k en z n ](0)  en d n 1...d n k [ Lz n  k ](0)  en  k [ Lz n k ](0) 
an  k
.
( n  k )!
Приравнивая правые части, получаем последовательно
xk 
an  k
1
(n  k )! d0 ...d k 1
n

an  k
1
z k – многочлен Бренке.
(
n

k
)!
d
...
d
k 0
0
n 1
pn ( z )  

Обратно, каждая ППБ с порождающей функцией a( w)e( zw) 
 p ( z)w
n
n
определяет ли-
n 0
нейный оператор по правилу L (en z n )  pn ( z ) . Операторы L и D коммутируют, так как
L ( Den z n )  L (en d n1 z n 1 )  L (en1 z n 1 )  pn 1 ( z ) ,
DL (en z n )  Dpn ( z )  pn 1 ( z ), n  0 .
Последнее равенство следует из предыдущей теоремы.
815
Физико-математические науки
Критерий непрерывности операторов обобщенного дифференцирования. Сопоставим

целой функции экспоненциального типа f () 
f
n
n
[8] с помощью обобщенной экспоненты
n 0

e( z ) :  en z n степенной ряд
n0
 

Be   f n  n  :
 n 0


fn 1
,
n 1
n t
e
n 0
называемый обобщенным преобразованием Бореля этой функции.
ТЕОРЕМА 4. Пусть ООД D непрерывен в H (G ), 0  G , e( z ) является целой функцией
экспоненциального типа. Оператор L  D расширяется до непрерывного в H (G ) тогда и только
тогда, когда выполнены условия:
1) lim n | [ Lz n ](0)  en | n!   ;
n 
2) lim max n | [ Lz k ](0)
n  0  k  n
en k ek
|   , откуда следует аналитичность суммы ряда
en

pn ( z )
et
n0
n 1
как
n
функции двух переменных в некотором бикруге D(0, )  D(, ) ;

pn ( z )
et
3) n N  N ( n)  n сумма ряда
n0
n 1
аналитически продолжается в бицилидиндри-
n
ческую область Gn  GN . При этом L представим в виде оператора обобщенной комплексной
свертки
[ Ly ]( z )  y (t ) Be [ a() e(z )](t ) dt .

C
Доказательство.  Так как оператор L непрерывен в H (G ) , то по предыдущей теореме


n


Le(z )    n Len z n    n  [ Lz n k ](0)en  k ek z k   [ Lz n ](0)en  n  en (z ) n : a()e(z ) .
n0
n 0
k 0
n0
n0
n N  N ( n)  n   | a () | max | e(z ) | max | Le(z ) | C max | e(z ) | A exp{B |  |} ,
zGn
zGn
zGN
откуда целая функция a() имеет экспоненциальный тип, т.е. условие 1 имеет место.
Так как
pk ( z )
p (z)
 Lz k , то max k
 C max z k  CRNk .
zGn
zGN
ek
ek

Отсюда, в частности, следует равномерная сходимость ряда
pn ( z )
et
n0
n 1
в некотором
n
бикруге D(0, )  D(, ) . Далее
max n | [ Lz k ](0)en k ek |  max
0  k n
0 i k
pk( k i ) (0)
pk (t )
1
 max
dt 

0

i

k
(k  i)!
2i  n t k i 1

2l  2CRNk ln
e e
R
 max  max pk (t ) k i n1  
 lim max k [ Lz i ](0) k i i  N   .
k

1
0 i k
n  0  i  k
ek
rn
rn
rn
 zGn

Оператор L имеет такое интегральное представление [9]:
1
z  Gn [ Ly ]( z ) 
y (t ) k (t , z )dt ,
2i  N1
где ядро k (t , z ) – аналитическое в каждой области Gn  GN .
816
Вестник ДГТУ, 2010. Т.10. №6(49)
 L n  (z)

  n 

pn ( z )
1 
  
,
 | t | R k (t , z )   L
(
z
)

L
(
z
)









n 1
n 1
n 1
t
n0
n  0 en t
 t 
 n0 t 

p (z)
т.е. сумма ряда  n n 1 аналитически продолжается в каждую область Gn  GN .
n  0 en t

 Первое условие равносильно тому, что функция a() :  [ Lz n ](0)en  n является целой и эксn 0
поненциального типа. В силу второго условия
pk ( z )
 max
zGn
ek
max
zGn
k
[ Lz i ](0)
i0
k
ek i ei i
z  CD k Rnk max  z i  ( k  1)C ( DRn ) k .
zGn
ek
i 0

pn ( z )
аналитическая в области Gn  D(, ) .
n 1
n0 n t
По третьему условию она аналитически продолжается в каждую область Gn  GN .
1
По теореме Кете определяемый функцией k t , z  оператор [ L0 y ]( z ) 
y (t ) k (t , z )dt
2i  N 1
Отсюда следует, что функция k (t , z ) :
e
непрерывен в H (G ) .
Так как
[ L0 t n ]( z ) 

pn ( z )
p ( z)
1
1
n
n
t
k
(
t
,
z
)
dt

t
dt  n
 [ Lt n ]( z ) ,

n 1


2i |t |  R
2i |t | R n  0 en t
en
то L по определению расширяется до непрерывного оператора на H (G ) , коммутирующего с
ООД D . Его представление очевидно. Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.
При
D

d
dz
lim n | [ Lz n ](0) |  
имеем
и
n 
1 n
z  e z . Первое условие теоремы принимает вид
n
!
n0
e( z )  
равносильно
тому,
что
характеристическая
функция
оператора
[ Lz n ](0) n
 является целой экспоненциального типа. Из второго условия следует, что
n!
n 0

a() : 
двойной ряд
n ! pn ( z )  1 n
  n1  [ Lz n  k ](0)Cnk z k

n 1
t
n 0
n 0 t
k 0
абсолютно сходится в бикруге D(0, )  D(, ) . Поэтому можно менять порядок суммирования:

n ! pn ( z )  1 n
n!
  n1 [ Lz k ](0)
z nk 
n 1
t
t
k
!(
n

k
)!
n 0
n 0
k 0

k (t , z )  

[ Lz k ](0)  1
n!
[ Lz k ](0)
k!
nk
z

: A(t  z ) ,


n 1
k ! n k t (n  k )!
k ! (t  z )k 1
k 0
k 0
где A(t ) – классическое преобразование Бореля функции a( z ) .


Оно аналитически продолжается до аналитической и многозначной функции в областях
GN  Gn .
Более простой по форме критерий расширения оператора, коммутирующего с ООД, получается для круговой области D(0, R ) : {z :| z  0 | R} , если воспользоваться критерием М.Г. Хапланова [10].
817
Физико-математические науки
ЗАМЕЧАНИЕ 2. Пусть ООД D непрерывен в H ( D (0, R )), R  (0, ) , т.е. его порождающая

функция d ( z ) :
d z
n
n
аналитическая D(0, 1) . Оператор L  D расширяется до непрерывного
n0
в H ( D (0, R )) тогда и только тогда, когда коэффициенты его полиномов Бренке удовлетворяют
условию:
r  R lim n
n
1
max | [ Lz n  k ](0) en  k ek | r k  R .
| en | 0 k  n
Следующая теорема дает описание класса непрерывных линейных операторов, коммутирующих с оператором обобщенного дифференцирования Данкла. Доказательство сводится к нахождению эквивалентных операторов, коммутирующих с оператором классического дифференцирования, описание которых известно.
ТЕОРЕМА 5. Пусть G – односвязная центрально-симметричная область, D    , ,
L   , . Равносильны утверждения:
1) L расширяется до линейного непрерывного в H (G ) и коммутирует с обобщенным оператором Данкла: L ,    , L на H (G ) .
[ Lz n ](0)
 n является целой экспоненциального

n 1
(1




)...(
n



(

1)

)
n0

2) функция a() :
типа, и функция –
[ Lz k ](0)k !
1
n 1
) (t  z ) k 1
k  0 (1    )...( n    ( 1)
аналитически продолжается в каждую область Gn  GN как функция двух переменных.

A(t  z ) : 
Доказательство. Покажем сначала, что определенный на
Jz n :
{z n } диагональный оператор
(1    )...(n    (1) n1 ) n
z расширяется до линейного непрерывного на всем H (G ) .
n!
Для этого преобразуем его порождающую функцию.

(1    )...(k    (1)
n!
n 0
d J ( z)  
n 1
 1         

 1 

2
2 k 2 k
) n

k 
z 
z 
1
k 0
  k!
 2 k

 3     

 1 

2
2  k 2 k 1
   1 2k 
1   

k 
(1    )
z
 2 F1 
,1 
; ;z  
2
2 2
 3


k 0
  k!
 2 k
   3 2k 
 3  
(1    ) z  2 F1 
,1 
; ;z .
2
2 2



Аналогично для обратного диагонального оператора:
1
  k!

n!
 2 k
n
d 1 ( z )  
z 
z 2k 
n

1
J
1







(1




)...(
k



(

1)

)




n 0
k 0

 1 

2
2 k

k 

818
Вестник ДГТУ, 2010. Т.10. №6(49)
 3
  k!
1
   2k 
 1 1   
 2 k

z 2 k 1  3 F2  ,1;
,1 
;z  

3







1     k 0 
2
2
2
 




 1 

2
2

k 
k


z
   2k 
 3 3  
 3 F2  ,1;
,1 
;z  .
1   
2
2
2

Обобщенная гипергеометрическая функция
q 1
Fq ( a1 ,..., aq 1 ; b1 ,..., bq ; z ) является решени-
ем уравнения типа Фукса с правильными особыми точками 0, 1,  [11]. Она голоморфна в единичном круге и аналитически продолжается по любому пути, не проходящему через точки ветвления 0, 1,  , на бесконечнолистную риманову поверхность. Отсюда следует, что для любой односвязной области G , 0  G , функция
q 1
z

Fq  a1 ,..., aq 1 ; b1 ,..., bq ;  аналитически продолжается в
t

каждую область Gn  GN , n  N .
Тогда
q 1
в
случае
центрально-симметричной
области
G
функция

z2 
Fq  a1 ,..., aq 1 ; b1 ,..., bq ; 2  аналитически продолжается в соответствующие Gn  GN , и поэтому
t 

оба диагональных оператора J , J 1 непрерывны в H (G ) [11].
J является оператором преобразования дифференцирования Данкла   , в классическое дифференцирование
d
d
, т.е. J   , 
J .
dz
dz
Пусть теперь выполнено условие 1. Покажем, что оператор Ld : JLJ 1 коммутирует с
классическим дифференцированием:
d
d
d
d 
Ld   J  LJ 1  J    , L  J 1  JL    , J 1    JLJ 1   Ld
.
dz
dz
dz
 dz 


Так как Ld ez : JL J 1e z  J  Le(z )   J  a ( )e(z )   a()e z , то эквивалентные опера
торы Ld , L имеют одну и ту же характеристическую функцию a() 
[ Lz
n
](0)en  n . Поэтому
n0
утверждение 2 следует из замечания 1 к предыдущей теореме.
Пусть теперь выполнено условие 2. По тому же замечанию и теореме Кете оператор комплексной свертки
[ Ld y ]( z ) 
1
y (t )A(t  z ) dt непрерывен в H (G ) . Непрерывный оператор
2i C
J 1 Ld J коммутирует с   , (доказательство аналогично вышеприведенному). Покажем, что он
совпадает с L на {z n } , т.е. L расширяется до линейного непрерывного в H (G ) .
J 1 Ld Jz n 
1 1  z n  1 1
1 n
e
J  Ld   J ( pn ( z ))   [ Lz n  k ](0) n  k J 1 z k 
en
n
!
e
e
k!

 n
n k 0
n
e e
 [ Lz n  k ](0) n  k k z k  Lz n .
en
k 0
Теорема доказана.
819
Физико-математические науки
Представление любого оператора свертки в виде дифференциальных операторов
бесконечного порядка. Назовем вычетом множества G2 по множеству G1 множество
s (G1 , G2 ) : {z   : z  G1  G2 } .
Впервые такое множество рассматривалось в работе Ю.Ф. Коробейника [12]. В частности,
вычетом множества G назовем множество s (G ) : {z   : z  G  G} .
Докажем основную формулу для вычета множеств: (G2  G1 )  s(G1 , G2 ) .
 (G   z )  (  (G
(G2  G1 )  {t : t  G2  G1 
2
zG1
2
 z ))} 
zG1
 {t : t   (G2  z )}  {t : z  G1 t  z  G2 }  {t : t  G1  G2 } : s(G1 , G2 ) .
zG1
ТЕОРЕМА 6. Пусть G есть односвязная область в  . Равносильны утверждения:
1) s (G )  0 ;
[ Lz n ](0) k
z каждого непрерывного линейного в

n!
k 0

2) характеристическая функция a( z ) 
H (G ) оператора L ,
d
d
L  L , является целой функцией экспоненциального типа ноль:
dz
dz
lim n | [ Lz n ](0) |  0 .
n 
Доказательство.
 По определению 0  s (G ) . Пусть z0  0, z0  s (G ) . Так как G  z0  G , то оператор
сдвига [ Ly ] : y ( z  z0 ) непрерывен в H (G ) . Он, очевидно, коммутирует с оператором дифференцирования. Для этого оператора [ Lez ](0)  e  ( z  z0 ) , и характеристическая функция a()  e z0 
не имеет минимальный тип. Это противоречит условию.

Ядро оператора L k (t , z )  A(t  z ) голоморфно в каждой области Gn  GN . Отсюда
z  Gn функция A() голоморфна в GN  z , и вообще z  G N ( z ) она голоморфна в
GN ( z )  z . Эта функция аналитически продолжается из точки    по лучам в главную звезду
(относительно
)
Dz  GN ( z )  z [13, с.492].
Покажем, что   0 функция A() аналитически продолжается до голоморфной в области  \ D(0, ) , откуда и будет следовать ее голоморфность в  \ {0} . Из открытого покрытия компакта
 \ D(0, )
множествами
GN ( z )  z ,
z G ,
выберем
конечное
подпокрытие
n
 (G
N ( zk )
 zk )   \ D(0, ) .
k 1
Так как A() аналитически продолжается в каждую звезду Dzk  GN ( zk )  zk , то она анаn
литически продолжается до голоморфной функции в звезду
D
zk
  \ D (0, ) .
k 1
Теорема доказана.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.
Нетрудно видеть, что вычет ограниченной односвязной области G равен нулю. Для этого
случая было доказано [3, 4] утверждение 2 теоремы. Для неограниченной выпуклой области G
s (G )  0 .
820
Вестник ДГТУ, 2010. Т.10. №6(49)
ЗАМЕЧАНИЕ 2.
В случае s (G )  0
[ Ly ]( z ) 


1
1
[ Lz n ](0)
[ Lz n ](0) ( n )
y
(
t
)
A
(
t

z
)
dt

y
(
t
)
dt

y ( z) ,


n 1
2i C
2i C
n!
n  0 (t  z )
n 0
причем ряд равномерно сходится внутри G . Отсюда и из теоремы 4 [12] непосредственно следует такой критерий. Для того чтобы для односвязной области G каждый линейный непрерывный
в H (G ) оператор L , коммутирующий с оператором дифференцирования, был представим в виде
дифференциального оператора бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы s (G )  0 .
ЗАМЕЧАНИЕ 3.
В предыдущей теореме для центрально-симметричной односвязной области G показано,
что каждый линейный непрерывный в H (G ) оператор, коммутирующий с обобщенным дифференцированием Данкла   , , эквивалентен оператору, коммутирующему с классическим дифференцированием. Так как для обобщенной производной n -го порядка
 (n,) y  ( J 1
d
d
J )  ...  ( J 1 J ) y  J 1 ( Jy ) ( n ) ,
dz
dz
то в случае s (G )  0 такой оператор представим в виде дифференциального оператора бесконечного порядка относительно обобщенного оператора Данкла:
[ Ld z n ](0)
( Jy ) ( n) ( z ) 
n
!
n 0

[ Ly ]( z )  [ J 1 Ld Jy ]( z )  J 1 
[ Lz n ](0)
[  (n,) y ]( z ) .
n 1
(1




)...(
n



(

1)

)
n 0


Гиперцикличность и хаотичность операторов обобщенной свертки. Мы показали [5], что
операторы обобщенной комплексной свертки, порождаемые оператором дифференцирования
Данкла, являются хаотическими и гиперциклическими. Воспользуемся приведенным там условием
гиперцикличности в пространстве Фреше, чтобы доказать это свойство для операторов из теоремы 4.
Для непостоянной характеристической функции a() множества A : {z :| a( z ) | 1},
B : {z :| a( z ) | 1} открыты в  .
Подпространства V : span{e z :   A}, W : span{e z :   B} плотны в H (G ) . Пусть, например, { k }   0 ,  0 ,  k  A . Фиксируем произвольный непрерывный функционал на H (G ) . Он

задается функцией Y (t )  H (G), Y (t ) 
t
yn
n 1
, по правилу y, Y 
n 0
Покажем, что из равенств
1
y (t )Y (t ) dt .
2i C
у ( k t ), Y (t )  0 , k  1, 2, ... , следует Y (t )  0 , откуда по тео-
реме Банаха V плотно в H (G ) .
Функция y () : e(t ), Y (t ) 

y e 
n n
n
является целой функцией экспоненциального типа,
n 0
так как такова e() . Поскольку по условию y ( k )  0, k  1, 2, ... , то по теореме единственности
y ( )  0 , а значит и Y (t )  0 .
Аналогично доказывается плотность W .
821
Физико-математические науки
Последовательность отображений
{Ln }
поточечно сходится к нулю на
V,
так как
 m
 m
Ln   ai e( i z )    ai a n ( i )e( i z ) равномерно стремится к нулю внутри G .
 i 1
 i 1
1
Аналогично, для отображения S (e(z )) :
e(z ),   B , расширенного по линейности
a ( )
на все W , последовательность {S n } поточечно сходится к нулю. Наконец, композиция LS является тождественным отображением на W :
 m
 m
 m

1
LS   ai e(i z )   L   ai
e( i z )    ai e( i z ) .
 i 1

 i 1 a( i )
 i 1
Это и доказывает гиперцикличность оператора обобщенной свертки.
Каждая гиперциклическая функция f преобразования L порождает плотное в H (G )
многообразие гиперциклических функций (гиперциклическое многообразие)
многочлен в
[ p ( L)]( f ) :
p
H (G ) .
Докажем хаотичность, т.е. плотность в H (G ) множества периодических элементов оператора L . Имеем импликацию
 2k 
[ Ln et ]( z )  e z  ( a n ( )  1)e z  0  a( )  exp 
i  , n   k  0,...,  n  1 .
 n 
В
силу
открытости
отображения
a ()
множество
 :  : n  , k   n  1
a()  exp 2ki n имеет предельную конечную точку.
Рассуждая как и выше и используя теорему единственности, получаем плотность подпространства периодических функций span{e(z ) :   } в H (G ) , т.е. оператор L – хаотический.
Нами доказана
ТЕОРЕМА 7. Пусть оператор обобщенной комплексной свертки L удовлетворяет теореме 4
и не является скалярно кратным тождественному преобразование пространства H (G ) . Тогда L
имеет инвариантное относительно   гиперциклическое многообразие, которое плотно в H (G ) .
L является также хаотическим оператором.
Библиографический список
1. Brenke W.C. On generating functions of polynomial systems // Amer. Math. Monthly. – 1945,
– v.52. – P.297-301.
2. Гельфонд А.О. Об одном обобщении ряда Фурье / А.О. Гельфонд, А.Ф. Леонтьев // Математ. сб. – 1951. – Т.29 (71). – №3. – С.477-500.
3. Царьков Ю.М. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочных
со степенью оператора дифференцирования / Ю.М. Царьков // Теория функций, функциональный
анализ и их приложения. – 1970. – Вып.11. – С.86-92.
4. Братищев А.В. Общий вид линейных операторов, перестановочных с операцией дифференцирования / А.В. Братищев, Ю.Ф. Коробейник // Математ. заметки. – 1972. – Т.12. – Вып.2. –
С.187-195.
5. Братищев А.В. Хаотичность коммутирующих с дифференцированием Данкла преобразований пространств аналитических функций / А.В. Братищев // Вестник ДГТУ. – 2009. – Т.9. –
№2. – С.196-207.
6. Братищев А.В. Об одном диагональном операторе / А.В. Братищев, А.В. Моржаков // Интегро-дифференциальные операторы и их приложения: сб. Вып.8. – Ростов н/Д : Издательский
центр ДГТУ, 2008. – С.32-37.
822
Вестник ДГТУ, 2010. Т.10. №6(49)
7. Betancor J. J., Sifi M., Trimeche K. Hypercyclic and chaotic convolution operators associated
with the Dunkl operator on  // Acta Math. Hungar. – 2005. – v.106(1 – 2). – P.101-116.
8. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций / Б.Я. Левин. – М.: ГИТТЛ, 1956. –
632 с.
9. Köthe G. Dualitat in der Funktionentheorie // J. reine angew. math. – 1953. – Bd.191.
– S.30-49.
10. Хапланов М.Г. Линейные преобразования аналитических пространств // Докл.
АН СССР. – 1951. – Т.80. – №1. – С.21-24.
11. Бейтман Г. Высшие трансцендентные функции. – Т.1. / Г. Бейтман, А. Эрдейи . – М.:
Наука, 1973. – 296 с.
12. Коробейник Ю.Ф. Линейные операторы, перестановочные с дифференцированием и
определенные в пространстве функций, аналитических в бесконечных областях / Ю.Ф. Коробейник: Висшите технически учебни заведения. Математика. – 1973. Т.IX, кн.3. – С.35-44.
13. Маркушевич И.Г. Теория аналитических функций – Т.2. / И.Г. Маркушевич.– М.: Наука,
1968. – 692 с.
References
1. Brenke W.C. On generating functions of polynomial systems // Amer. Math. Monthly. – 1945,
– v.52. – P.297-301.
2. Gel'fond A.O. Ob odnom obobschenii ryada Fur'e / A.O. Gel'fond, A.F. Leont'ev // Matemat.
sb. – 1951. – T.29 (71). – №3. – S.477-500. – in Russian.
3. Car'kov Yu.M. Izomorfizmy nekotoryh analiticheskih prostranstv, perestanovochnyh so stepen'yu operatora differencirovaniya / Yu.M. Car'kov // Teoriya funkcii, funkcional'nyi analiz i ih prilojeniya. – 1970. – Vyp.11. – S.86-92. – in Russian.
4. Bratischev A.V. Obschii vid lineinyh operatorov, perestanovochnyh s operaciei differencirovaniya / A.V. Bratischev, Yu.F. Korobeinik // Matemat. zametki. – 1972. – T.12. – Vyp.2. – S.187-195. – in
Russian.
5. Bratischev A.V. Haotichnost' kommutiruyuschih s differencirovaniem Dankla preobra-zovanii
prostranstv analiticheskih funkcii / A.V. Bratischev // Vestnik DGTU. – 2009. – T.9. – №2. – S.196-207.
– in Russian.
6. Bratischev A.V. Ob odnom diagonal'nom operatore / A.V. Bratischev, A.V. Morjakov // Integro-differencial'nye operatory i ih prilojeniya: sb. Vyp.8. – Rostov n/D : Izdatel'skii centr DGTU, 2008. –
S.32-37. – in Russian.
7. Betancor J. J., Sifi M., Trimeche K. Hypercyclic and chaotic convolution operators associated
with the Dunkl operator on // Acta Math. Hungar. – 2005. – v.106(1 – 2). – P.101-116.
8. Levin B.Ya. Raspredelenie kornei celyh funkcii / B.Ya. Levin. – M.: GITTL, 1956. – 632 s. – in
Russian.
9. Köthe G. Dualitat in der Funktionentheorie // J. reine angew. math. – 1953. – Bd.191. –
S.30-49.
10. Haplanov M.G. Lineinye preobrazovaniya analiticheskih prostranstv // Dokl. AN SSSR. –
1951. – T.80. – №1. – S.21-24. – in Russian.
11. Beitman G. Vysshie transcendentnye funkcii. – T.1. / G. Beitman, A. Erdeii . – M.: Nauka,
1973. – 296 s. – in Russian.
12. Korobeinik Yu.F. Lineinye operatory, perestanovochnye s differencirovaniem i opredelennye
v prostranstve funkcii, analiticheskih v beskonechnyh oblastyah / Yu.F. Korobeinik: Visshite tehnicheski
uchebni zavedeniya. Matematika. – 1973. T.IX, kn.3. – S.35-44. – in Russian.
13. Markushevich I.G. Teoriya analiticheskih funkcii – T.2. / I.G. Markushevich.– M.: Nauka,
1968. – 692 s. – in Russian.
Материал поступил в редакцию 17.09.2010.
823
Физико-математические науки
A.V. BRATISHCHEV
GELFOND-LEONTYEV GENERALIZED DERIVATION OPERATORS
AND BRENKE POLYNOMIALS
Natural connection between Gelfond-Leontyev generalized derivation operators (GDO) and Brenke polynomials is established. Operator extension criterion commuting with GDO up to continuous H(G) space
is derived. Domain class when characteristic function of the complex convolution operator always has
zero type, is described. Hypercyclic and random nature of the generalized complex convolution has been
proved.
Key words: Gelfond-Leontyev generalized derivative; Brenke polynomials; Dankle derivative; commutation; generalized complex convolution; hypercyclic and chaotic operators.
БРАТИЩЕВ Александр Васильевич (р. 1949), профессор кафедры «Прикладная математика»
Донского государственного технического университета. Доктор физико-математических наук
(1998), профессор (2001). Окончил механико-математический факультет Ростовского государственного университета (1971).
Область научных интересов – теория функций и функциональный анализ в локально выпуклых
пространствах, теория управления, компьютерное моделирование.
Автор более 100 публикаций.
avbratishchev@spark-mail.ru
Alexander V. BRATISHCHEV (1949), Professor of the Applied Mathematics Department, Don State
Technical University. PhD in Physics and Maths (1998), professor (2001). He graduated from the Faculty
of Mechanics and Mathematics, Rostov State University (1971).
Research interests - function theory and complex functional analysis in LCS, control theory, computer
simulation.
Author of more than 100 scientific publications.
824
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
370 Кб
Теги
полином, обобщенного, бренке, гельфонда, оператора, дифференцированный, леонтьев
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа