close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Определение параметров многомерной по входу и выходу линейной динамической системы при наличии автокоррелированных помех в сигналах.

код для вставкиСкачать
Управление, вычислительная техника и информатика
УДК 519.254
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ МНОГОМЕРНОЙ ПО ВХОДУ И ВЫХОДУ
ЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ
АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ В СИГНАЛАХ
© 2009 А. А. Карпов, О. А. Кацюба
Самарский государственный университет путей сообщения
Рассматривается теория и методика решения задачи состоятельного оценивания параметров многомерных линейных разностных уравнений с автокоррелированными помехами во входных и выходных сигналах на
основе обобщения метода наименьших квадратов (как наиболее распространенного в условиях априорной неопределённости). Доказывается состоятельность получаемых оценок неизвестных истинных значений параметров.
Линейные разностные уравнения, параметрическая идентификация, многомерный вход и выход, автокоррелированные помехи в сигналах.
Рассмотрим многомерную стационарную устойчивую линейную динамическую систему с дискретным временем
(i = ..., -1, 0, 1, ...), описываемую следующим
уравнением:
Z i = G1(1) Z i -1 + G1( 2 ) Z i -2 + KG1( r ) Z i -r +
+ G2( 0 ) X i + G2(1) X i -1 + K G2( r1 ) X i - r1 ,
(1)
Yi = Z i + X 1 (i ) , Wi = X i + X 2 (i ) ,
где Z i , Yi – ненаблюдаемый и наблюдаемый
векторы состояний системы соответственно
( Z i , Yi Î R p2 ), а X i , Wi – соответственно ненаблюдаемый и наблюдаемый векторные
ностями независимых случайных векторов,
поэтому представляет интерес случай аддитивных локальных автокоррелированных
шумов в канале наблюдений.
Пусть выполняются следующие условия:
10. Множество, которому априорно принадлежат истинные значения матриц параметров устойчивой линейной многомерной
системы, является компактным.
20. X i не зависит в совокупности от X k ,
где к = 1, 2.
30. Вектор входных сигналов X i и истинные параметры удовлетворяют условию
Z i -1
входные сигналы ( X i , Wi Î R p1 ). Идентификация объекта сводится к процедуре опреде-
M
N
N -1 å
Ù
i =1
ления матриц неизвестных параметров G1( r ) ,
G
Ù
( r1 )
2
Xi
Z iT-1
L
Z iT- r
X iT
L
П .Н .
X iT- r1 ¾ N¾
¾®
®¥
M
X i - r1
по {Yi }, {Wi } при известных порядках
r и r1 и является задачей параметрическогоо
оценивания. В [1] рассмотрена задача идентификации параметров одномерной по входу и выходу линейной динамической системы.
В общем случае последовательности
{X 1 (i )} и {X 2 (i )} не являются последователь-
Z i- r
П .Н .
¾N¾
¾® H =
®¥
H zz
H zxT
H zx
H xx ,
где H положительно определена.
4 0. Случайные последовательности
{X 1 (i )} и {X 2 (i )} независимы в совокупности
и удовлетворяют условиям:
135
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 2, 2009
(
)
E (X 1 (i ) Fi -1 ) = 0 п.н., E X 2 (i ) Fi -' 1 = 0 п.н.,
[
H X*1, 2 - положительно определённая матрица, элементами которой являются значения
локальных автокорреляционных и взаимокорреляционных функций в различные моменты времени.
Уравнение (1) можно записать в виде
]
E X k (0)X Tk (0) = Dk > 0 , k = 1,2 ,
N
П .Н .
¾® hX* k (m ) < ¥ ,
N -1 å X k (i )X Tk (i + m ) ¾N¾
®¥
i = i0
Yi - X1 (i) = G1(1) (Yi-1 - X1 (i - 1)) + G1( 2) (Yi-2 - X1 (i - 2)) +
m = 0,K , r при k = 1 ;
+ ...G1( r ) (Yi - r - X1 (i - r )) + G2( 0 ) (Wi - X 2 (i )) +
+ G 2(1) (W i -1 - X 2 (i - 1)) + ...G 2( r1 ) (W i - r1 - X 2 (i - r1 ))
m = 0,K, r1 при k = 2 ,
[
E [X
]
]£ W ,
или
E X 1 (i )X 1T (i ) Fi -1 £ W1 ,
2
(i )X T2 (i ) / Fi -' 1
Yi = G1(1)Yi -1 + G1( 2) Yi - 2 + ...G1( r )Yi - r + G 2( 0)Wi + G 2(1)Wi -1 +
2
+ ... G 2( r1 )W i - r1 + X 1 ( i ) - G 1(1) X 1 ( i - 1) - G 1( 2 ) X 1 ( i - 2 ) -
W1 , W2 – случайные матрицы, E – оператор
- ...G1(r )X1 (i - r) - G2(0)X2 (i) - G2(1) X2 (i -1) - ...G2(r1 ) X2 (i - r1 )
математического ожидания, hX* k – матрица
Представим данное уравнение в виде
локальных автокорреляционных функций.
{Fi } и {Fi ' } – неубывающие последова-
(
)
скалярных уравнений j = 1, p 2 :
тельности s -алгебры:
y i( j ) = b (j1·) Yi -1 + ...b (j ·r ) Yi - r + a (j0· )W i + ...a (j r·1 )W i - r1 +
Fi = s{X 1 (0),K , X 1 (i )},
+ x1( j ) (i) - b(j1·) X1 (i -1) - ...b(j·r ) X1 (i - r) - a(j0·) X2 (i) - ...a(jr·1 ) X2 (i - r1 )
E [W1 ] £ P 1 , E [W2 ] £ P 2 .
где
(2)
Fi ' = s{X 2 (0),K , X 2 (i )},
b (j1·) - j строка матрицы G1(1) ,
5 . Пусть
0
b (j ·r ) - j строка матрицы G1( r ) ,
Xr,r1 = (X1T (i),...,X1T (i - r),XT2 (i),...,XT2 (i - r1))T ÎRp2 (r+1)´p1(r1+1)
N
П .Н .
æ D1
ç * T
N -1 å X r , r1 X Tr ,r1 ¾N¾
¾
®
®¥
ç (hX )
i =1
è 1, 2
*
X1, 2
*
X1, 2
h
H
ö
÷,
÷
ø
a (j0· ) - j строка матрицы G2( 0 ) ,
a (jr·1 ) - j строка матрицы G2( r1 ) .
Уравнение (2) можно записать следующим образом, если ввести обозначения:
где
b j · = b (j1·) L b (j ·r ) , a j · = a (j0·) L a (jr·1 ) ;
hX*1, 2 = hX*1
0 , размерности hX*1 : p 2 ´ p 2 r ;
0 : p 2 ´ p1 (r1 + 1) ,
H X*1, 2
æH
= çç
è0
*
X1
T
Wr1 (i ) = WiT
0 ö
÷
H X* 2 ÷ø , размерности
*
X1
H : p2 r ´ p2 r ; H
T
Yr (i - 1) = YiT-1 L Yi T- r
*
X2
L WiT- r1
T
,
;
T
X r (i - 1) = X 1T (i - 1) L X 1T (i - r ) ,
: p1 (r1 + 1) ´ p1 (r1 + 1) ;
0 : p 2 r ´ p1 (r1 + 1) ,
T
X r1 (i ) = X T2 (i ) L X T2 (i - r1 ) .
136
Управление, вычислительная техника и информатика
Тогда
æ Y r ( i - 1) ö
÷ + x 1( j ) ( i ) - b j · X r ( i - 1) - a j · X r (i ).
a j · çç
1
÷
è W r1 ( i ) ø
y i( j ) = b j ·
ределяемая выражением (3) и являющаяся
сильно состоятельной оценкой:
^
b
Введём следующую обобщённую ошибку для j – уравнения:
^
( j)
1
Из условий 40 и 50 следует, что обобщённая ошибка имеет нулевое среднее, а её
локальная дисперсия с вероятностью 1 равна:
lim
N®¥
1
N
å (e
N
( j)
(b
j·
,a
j·
, i)
i =1
)
2
=
lim
N®¥
T
N
1
N
å (( x
i =1
( j)
1
( i )) 2 +
Рассмотрим функцию:
1
U
N
=d
+ b j· H
*
X1
b
T
j·
+ a j· H
a
T
j·
- 2h
*
X1 j ·
b
T
j·
= w (b j · , a j · ),
^
^
j·
a j · неизвес-
тных истинных значений параметров
a j · из условия минимума суммы взвеквадратичных
отклонений
e ( j ) (b j · , a j · , i ) с весом w(b j · , a j · ) :
min
T
ö
÷ ÎB
÷
ø
N
æ
å çç y
i =1
è
- b j·
( j)
i
a
j·
Y r ( i - 1) ö
÷
W r1 ( i ) ÷ø
2
=
)
T
T
1 N ( j)
å(x1 (i) + Z rT (i -1)b j· + X rT1 (i)a j· - (Z rT (i -1) + XTr (i -1))bTj· N i =1
- ( X rT1 (i) + XTr1 (i))aTj· ) 2 =
~
1 N ( j)
(x1 (i) - ZrT (i -1)b jT· - X rT1 (i)a~Tj· å
N i=1
~
где b j · = b j · - b j · , a~ j · = a j · - a j · ;
v1 =
1 N
å((x1( j ) (i))2 + b j·Xr (i - 1)XTr (i -1)bTj· + a j·Xr1 (i)XTr1 (i)aTj· +
N i=1
+ 2b j· X r (i - 1)XTr1 (i)aTj· - 2x1( j ) (i)XTr (i - 1)bTj· - 2x1( j ) XTr1 (i)aTj· ),
1
N
N
~
å æçè b
i =1
j·
a~ j · Z rT ( i - 1)
X rT1 ( i )
T
Z rT ( i - 1)
~
X rT1 ( i ) b j ·
a~ j ·
T
ö
÷
ø
,
2
æ ( j)
æ Y (i - 1) ö ö
ç y i - b j· a j· ç r
÷÷
å
ç W r (i ) ÷ ÷
ç
i =1 è
1
è
øø
d (jj1) + b j · H X* 1 b Tj· + a j · H X* 2 a Tj· - 2 h X* 1 j · b Tj· .
v3 = 2
Тогда из условий 40 и 50 получим, что:
П .Н .
v1 ¾ N¾
¾® d (jj1) + b j · H X* 1 b Tj· + a j · H X* 2 a Tj· - 2 hX* 1 j · b Tj·
®¥
" b j·
условиям 10, 30. Тогда при N ® ¥ с вероят^
^
j·
a j · , оп-
a j· Î B ,
а из условия 20 следует:
Ï .Í .
~
v 2 ¾¾
¾® b j ·
N ®¥
a j · и входной сигнал удовлетворяютт
ностью 1 существует оценка b
~
~
1 N
å(-x1( j) (i)ZrT (i -1)bjT· - x1( j) (i)XrT1 (i)a~Tj· + bj·Xr (i -1)ZrT (i -1)bjT· +
N i=1
~
+ bj·Xr (i -1) XrT1 (i)a~Tj· + a j·Xr1 (i)ZrT (i -1)bjT· + a j·Xr1 (i)XrT1 (i)a~Tj· ).
(3)
Тогда справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1.
Пусть стационарная динамическая система с нулевыми начальными условиями
описывается уравнением (1) и помехи удовлетворяют предположениям 20, 40, 50. Кроме
того, истинные значения параметров
b j·
1
N
(
v2 =
N
æ b j·
ç
ç a j·
è
) =
- X Tr (i - 1)b Tj· - X Tr1 (i )a Tj· ) 2 = v1 + v 2 + v3 ,
Определим оценки b
шенных
j·
=
п.н., d (jj1) Î D1 , j = 1, p 2 .
b j·
(b j· , a
2
1 N ( j) ( j)
å zi + x1 (i) - (ZrT (i -1) + XTr (i -1))bTj· - (XrT1 (i) + XTr1 (i))aTj· =
N i=1
T
*
X2
N
=
+ b j · X r (i - 1)XTr (i - 1)b j· + a j · X r1 (i)XTr1 (i)a j · - 2x1( j ) (i)b j· X r (i - 1)) =
(1 )
jj
a j· .
Доказательство утверждения 1.
e (b j · , a j · , i ) = x (i ) - b j · X r (i - 1) - a j · X r1 (i ).
( j)
П .Н .
a j · ¾¾
¾® b j ·
N ®¥
j·
~
a~ j · H b j ·
T
a~ j · .
Первые два слагаемых в v3 в силу условий 20, 30, 40 удовлетворяют условиям леммы [1] и следовательно:
137
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 2, 2009
(
)
N
П .Н .
~
N -1 å - x1( j ) (i ) Z rT (i - 1)b jT· ¾N¾
¾® 0 ,
®¥
i =1
(
N
)
Q( j ) Î R1 ,
V (Q ( j ) ) =
П .Н .
N -1 å - x1( j ) (i ) X rT1 (i )a~ Tj· ¾N¾
¾® 0 .
®¥
i =1
V (b j · , a j · , Q ( j ) ) = d (jj1) (1 - Q ( j ) ) + b j ·
(
)
+ b j·
X 1 (i - 1) Z iT- r
-2
N
~
N -1 å b j · X r (i - 1) Z rT (i - 1)b jT· =
N
= N -1 å b j ·
i =1
L
X 1 (i - 1) Z iT-1
M
M
M
L X 1 (i - r ) Z iT- r
X 1 (i - r ) Z iT-1
~
b jT·
a j·
b j·
+ b j·
a j· H b j·
a j·
.
-1
×
(6)
a j· H b j·
a j·
T
-
T
×
= U (b j · , a j· )
×
T
T
a j·
= H + H X* 1, 2 - Q ( j ) H X* 1, 2
H b T + H zx a Tj· + (1 - Q ( j ) )( h X* 1 j · ) T
- zz j ·
H zxT b jT· + H xx a Tj·
или
a j·
T
V ( Q ( j ) ) = d (jj1) (1 - Q ( j ) ) + b j ·
Ï .Í .
1
U N (b j· , a j· ) ¾¾
¾®(d (jj1) + b j· H X*1 bTj· + a j· HX* 2 aTj· - 2hX*1 j·bTj· +
N ®¥
N
U (b j· , a j · ) = d (jj1) + b j ·
b j·
Тогда
Следовательно:
T
-
T
H zz b jT· + H zx a Tj· + (1 - Q ( j ) )( hX* 1 j · ) T
×
.
H zxT b jT· + H xx a Tj·
a j· Î B .
a~ j ·
T
a j·
a j · и приравнивая производную к
b j · (Q ( j ) ) a j · (Q ( j ) )
нулю остальных слагаемых v3 :
~
a~ j · H b j ·
H zx
b j·
H xx + H X* 2 - Q ( j ) H X* 2
+
нулю, получим
в виде r 2 слагаемых, каждое из которых в
силу предположений 20, 30, 40 по лемме [1]
сходится к нулю.
Аналогично доказывается сходимость к
Ï .Í .
T
a j·
Дифференцируя V (b j · , a j · , Q ( j ) ) по
Таким образом, (4) можно представить
v3 ¾¾
¾® 0 , " b j ·
N ®¥
H zz + H X*1 - Q ( j ) H X*1
H zxT
a j· H b j·
H zz b jT· + H zx a Tj· + (1 - Q ( j ) )( h X* 1 j · ) T
H zxT b jT· + H xx a Tj·
(4)
~
+ b j·
a j · ÎB
Тогда
Заметим, что
i =1
min V (b j · , a j · , Q ( j ) ) .
b j·
H zz + H X*1
H
T
zx
H zx
H xx + H X* 2
H b T + H a T + (h * ) T
- 2 zz j · T T zx j · T X1 j ·
H zx b j · + H xx a j ·
b j·
a j·
T
+
×
T
b j·
a j·
zz
+ H
*
X1
- Q ( j) H
H
T
zx
*
X1
H
xx
+ H
-1
H
zx
*
X2
- Q ( j) H
*
X2
×
H zz b jT· + H zx a Tj· + (1 - Q ( j ) )( h X* 1 j · ) T
.
H zxT b jT· + H xx a Tj·
T
.
Легко проверить, что уравнение
V (Q ) = 0 на интервале (- ¥, l min + 1) име( j)
Покажем, что решение задачи
min w -1 (b j · , a j · )U (b j · , a j · )
H
(5)
существует и достигается в единственной
точке. Для этого вместе с задачей (5) рассмотрим функции:
ˆ = 1 , если l - наименьшее собет корень Q
min
ственное число регулярного пучка квадратичных форм, определяемых положительно определёнными матрицами H и H X*1, 2 , и
V (b j · , a j · , Q ( j ) ) = U (b j · , a j · ) - Q ( j ) w(b j · , a j · ) ,
138
l min > 0 . Этот корень является единствен-
ным на интервале (- ¥, l min + 1) , что вытека-
Управление, вычислительная техника и информатика
ет из непрерывности функции V (Q ( j ) ) на
этом
интервале
и
V& (Q ( j ) ) < 0
× (Y ( j ) - AY
на
V N (Q ( j ) ) =
× b j·
b j·
(Y
T
AW b j· a j· , Y
( j)
- AY
AW b j· a j·
w(b j· , a j· )
b j · a j · ÎB
T
где
a j·
T
.
AYT AW
b
AWT AW - Q ( j ) H X* 2 j ·
AYT Y ( j ) - Q ( j ) (hX*1 j · )T
.
AWT Y ( j )
a j·
T
(8)
V N ( Q ( j ) ) = (Y ( j ) ) T Y ( j ) - Q ( j ) d (jj1) -
×
AYT AY - Q ( j ) H X*1
T
W
A AY
-1
AYT AW
A AW - Q H
T
W
( j)
*
X2
AYT Y ( j ) - Q ( j ) ( hX* 1 j · ) T
AWT Y ( j )
AYT Y ( j ) - Q ( j ) (hX*1 j· ) T
AWT Y ( j )
.
(9)
T
Y ( j ) = y1( j ) L y N( j ) ,
Имеет место следующая лемма.
Для функции VN (Q ( j ) ) , связанной с задачей (3), имеет место:
Y0T L Y1T- r
AY = M
M
M
,
T
T
YN -1 L YN - r
Yi = y i(1)
1) все корни уравнения V N (Q ( j ) ) = 0
(если они существуют) неотрицательны;
2) уравнение (9) имеет на полусегменте
[0, l min ( N )) не более одного корня Qˆ ( j ) ( N ) ,
L W1T- r1
M
M
,
L W NT- r1
W1T
AW = M
W NT
где l min - минимальное обобщённое число
матрицы, т.е. корень уравнения
ìï AT A
det í YT Y
ïî AW AY
T
L y i( p2 ) ,
Wi = wi(1)
T
L wi( p1 ) .
Тогда
V N (b j · , a j · , Q ( j ) ) = ((Y ( j ) ) T - b j ·
H X*1
AYT AW
( j)
-Q
0T
AWT AW
0
H X* 2
üï
ý = 0;
ïþ
(10)
ˆ ( j ) ( N ) на полусег3) существование Q
a j · AY
T
AW ) ×
=
Тогда
),
(7)
(Y ( j ) ) T AW b j ·
a j · и приравнивая производную к
a j · ÎB
=
- AY
- 2 (Y ( j ) )T AY - Q ( j ) hX*1 j ·
AYT AY - Q ( j ) H X*1
AWT AY
Критерий (3) можно записать в виде
min
T
нулю, получим
Q ( j ) Î R1 .
( j)
a j·
AYT AW
×
A AW - Q( j ) HX*2
T
W
Дифференцируя V N (b j · , a j · , Q ( j ) ) по
min V N (b j · , a j · , Q ( j ) ) ,
b j·
AYT AY - Q( j ) HX*1
AWT AY
= (Y ( j ) )T Y ( j ) - Q( j ) d (jj1) + bj· a j·
условии, что p1 = p 2 = 1 [1].
Для получения численного метода вычисления оценок матриц из критерия (3) рассмотрим функции:
V N (b j · , a j · , Q ( j ) ) = U N (b j · , a j · ) - Q ( j ) w(b j · , a j · ),
T
a j· ) -
- Q ( j ) ( d (jj1) + b j · H X*1 b Tj· + a j · H X* 2 a Tj· - 2 hX*1 j · b Tj· ) =
(- ¥, l min + 1) , и из (6) непосредственно следует существование и единственность (5). В
дальнейшем ход доказательства практически
полностью аналогичен доказательству при
AW b j ·
менте [0, l min ( N ) ) - необходимое и достаточ-
139
T
×
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 2, 2009
ное условие существования единственного
решения (7).
Доказательство.
Шаг 0. Q1( j ) (0) = 0 .
( j)
Шаг 1. Q1 (i ) =
Функция V N (Q ( j ) ) непрерывна на
l min ( N ) + Q1( j ) (i - 1)
,
2
l min определяется из (10).
[0, l min ( N )) , к тому же l min
³ 0 как обобщённое собственное число неотрицательно определённой матрицы. Далее, V& (Q ( j ) ) £ 0 ,
(
^
ˆ ( j ) (i )
Шаг 2. Вычислить b j• N , Q
1
N
(
^
тогда на полусегменте [0, l min ( N ) ) имеется не
более одного корня, если он существует. Так-
)
и
)
ˆ ( j ) (i ) из системы уравнений (8).
a j• N , Q
1
Шаг 3. Вычислить
же V N (0) ³ 0 и, следовательно, V N (Q ) > 0
(матрица
( j)
AYT Y ( j )
I N - T ( j)
AW Y
T
AYT AY
AWT AY
-1
AYT AW
AWT AW
AYT Y ( j )
AWT Y ( j )
^
×b
идемпотентная).
Отсюда вытекает доказательство утверждения 1, 2 и достаточность 3. Необходимость
3 вытекает из экстремальных свойств характеристических чисел регулярного пучка форм
[2].
Утверждение 2.
Пусть выполняются все условия 10-50,
тогда с вероятностью 1 при N ® ¥ существуˆ ( j ) ( N ) Î [0, l ) и единственноее
ет корень Q
min
решение (8), которое является также решением задачи (7).
Доказательство утверждения 2 непосредственно следует из утверждения 1 и леммы.
На основании утверждения 2 может
быть получен численный метод, который
позволяет:
- ответить на вопрос, существует ли
^
единственная оценка b
T
ˆ ( j ) (i )) = (Y ( j ) )T Y ( j ) - Q
ˆ ( j ) (i )d (1) VN ( Q
1
1
jj
j•
( N , Qˆ
(i )
Шаг
)
4.
( N , Qˆ
^
a
j•
( j)
1
(i)
)
T
.
Проверить
Тогда, если уравнение V N (Q1( j ) ) = 0
ˆ ( j ) ( N ) Î [0, l ( N ) ) , то посимеет корень Q
1
min
ледовательность Q1( j ) (0), K Q ( j ) (0) конечна и
)
ˆ ( j ) ( N ), l ( N ) , в противном слуQ( j ) (0) Î éë Q
1
min
{
}
чае Q1( j ) (i ) - бесконечна.
Доказательство утверждения 3 немедленно следует из леммы.
Этот алгоритм позволяет определить
начальное приближение Q ( j ) (0) , необходимое для дальнейшего применения метода
Ньютона, или определить, что корень
ˆ ( j ) ( N ) не существует..
Q
1
Утверждение 4.
Пусть существует
a j· ;
- определить начальное приближение,
гарантирующее сходимость итерационного
^
процесса к единственной оценке b
^
j·
условие
ˆ ( j ) (i )) £ 0 .
VN ( Q
1
^
j·
( j)
1
ˆ ( j ) (i )(h * )T
AYT Y ( j ) - Q
1
X1 j •
×
AWT Y ( j )
a j· ;
- вычислить с любой наперёд заданной
точностью эту оценку.
Утверждение 3.
{ }
Пусть последовательность Q1( j ) определяется следующим алгоритмом.
140
)
ˆ ( j ) ( N ), l ( N ) , тогда
Q( j ) (0) Î éë Q
1
min
lim Q ( j ) (i ) = Q ( j ) ( N ) ,
i ®¥
^
^
^
^
lim b j · (i, Q ( j ) (i )) = b j · ( N ) ,
i ®¥
lim a j · (i, Q ( j ) (i )) = a j · ( N ) ,
i ®¥
Управление, вычислительная техника и информатика
^
(
^
^
a j · ( N , Q ( j ) (i )) из системы уравнений (8).
Шаг 2. Вычислить
^
ˆ (i ))
a j• ( N , Q
H X*1
0
T
0
×
H X* 2
-1
é^
^
H*
ïì
ˆ ( j ) (i ) ê b j • ( N , Q
ˆ (i )) a j• ( N , Q
ˆ (i )) X1
× í(Y ( j ) )T Y ( j ) + Q
0T
ïî
ëê
^
T
-
AYT Y ( j ) - Q ( j ) ( i )( hX* 1 j • ) T
AWT Y ( j )
T
^
)
Q ( j ) (i + 1) = Q ( j ) (i ) -
T
T
^
^
^
^
ö
ˆ (i)) a j• ( N, Q
ˆ (i)) - 2 h* 0 b j• ( N, Q
ˆ (i)) a j• (N, Q
ˆ (i)) ÷ ×
× b j• ( N, Q
X1 j•
÷
ø
^
(
0
×
H X* 2
T
^
^
ù
ˆ (i )) a j• ( N , Q
ˆ (i )) ú 0 b j• ( N , Q
úû
ˆ ( i ))
b j• ( N , Q
T ü
^
ˆ ( i )) ïý
a j• ( N , Q
.
ïþ
Шаг 3. Переход к шагу 1.
Вычисления заканчиваются, если выполняется условие:
)
£ d,
где d - априорно заданная точность нахождения оценки.
Это утверждение непосредственно следует из метода Ньютона:
^
ˆ (i )) a j• ( N , Q
ˆ (i )) - 2 h *
× b j• ( N , Q
X1 j •
(
V N Q ( j ) (i + 1)
Шаг 1. Вычислить b j · ( N , Q ( j ) (i )) и
^
æ
ˆ ( j ) ( i + 1) = ç d (1) + b j• ( N , Q
ˆ ( i ))
Q
jj
ç
è
)
V N Q ( j ) (i + 1) - V N Q ( j ) (i )
где Q ( j ) (i ) , b j · (i, Q ( j ) (i )) и a j · (i, Q ( j ) (i )) определяются совместно следующим алгоритмом.
(
(
)
)
V N Q ( j ) (i )
.
V&N Q ( j ) (i )
Обоснованность использования метода Ньютона вытекает из того, что функция
(
)
(Q ) £ 0
V N Q ( j ) непрерывна на "Q ( j ) Î [0, l min ( N ) )
и
V&N
( j)
и
(
)
V&&N Q ( j ) £ 0
на
"Q ( j ) Î [0, l min ( N ) ) .
На основе вышеописанного алгоритма
в среде Matlab создано программное обеспечение, позволяющее получать оценки матриц
параметров. В качестве результата работы
приложения Identification на рис. 1 приведены графики значений последовательности
{Z i } , а также значений последовательностей
ì ^ МНК ü ì ^ НМНК ü
ý.
моделей íZ i ý и íZ i
þ
î
þ î
ì ^ МНК ü ì ^ НМНК ü
Рис. 1. Графики значений последовательностей {Z i } , í Z i
ý
ý и íZ i
þ
î
þ î
141
Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета, № 2, 2009
References
1. Katsyuba O. A., Zhdanov A. I. Consistency of linear difference equation parameter least
square estimates for autocorrelated interference //
Bulletin of USSR Academy of Sciences.
Cybernetics. 1983. No. 5. 102-107 pp.
2. Gantmakher F. R. Matrix theory. - Moscow: Nauka, 1966 - 575 pp.
Библиографический список
1. Кацюба О. А., Жданов А. И. О состоятельности оценок наименьших квадратов
параметров линейных разностных уравнений
при автокоррелированных помехах// Изв. АН
СССР. Кибернетика. - 1983. - №5. –С. 102-107.
2. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. - М.:
Наука, 1966. – 575 с.
DEFINING PARAMETERS OF A LINEAR DYNAMIC
SYSTEM MULTIDIMENSIONAL AT THE INPUT AND OUTPUT GIVEN
AUTORORRELATED SIGNAL INTERFERENCE
Ó 2009 A. A. Karpov, O. A. Katsyuba
Samara State Communications University
The paper deals with the theory and method of solving the problem of consistent evaluation of multidimensional
linear difference equation parameters with autocorrelated interference in input and output signals on the basis of least
square method generalization (as the most common in conditions of a priori uncertainty). The consistency of the
obtained estimates of unknown true parameter values is proved.
Linear difference equations, parametric identification, multidimensal input and output, autocorrelated signal
interference.
Информация об авторах
Карпов Андрей Анатольевич, программист, кафедра «Мехатроника в автоматизированных производствах», Самарский государственный университет путей сообщения, e-mail:
forkontakte@yandex.ru. Область научных интересов: математическое и компьютерное моделирование.
Кацюба Олег Алексеевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Мехатроника в автоматизированных производствах», Самарский государственный университет путей сообщения, e-mail: asoiy@samiit.ru. Область научных интересов: теория идентификации систем автоматического управления.
Karpov Andrey Anatolyevitch, programmer of the department "Mechatronics in automated
production", Samara State Communications University, e-mail: forkontakte@yandex.ru. Area of research:
mathematical and computer modeling.
Katsyuba Oleg Alexeyevitch, head of the department "Mechatronics in automated productions",
doctor of technical science, professor, Samara State Communications University, e-mail: asoiy@samiit.ru.
Area of research: theory of automatic control system identification.
142
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа