close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимальные системы подалгебр и инвариантные решения уравнений пластичности плоского напряженного состояния.

код для вставкиСкачать
Математика, механика, информатика
3. Информационные технологии : учеб. пособие /
А. А. Вичугова, В. Н. Вичугов, Е. А. Дмитриева,
Г. П. Цапко ; Том. политехн. ун-т. Томск, 2011.
4. Вичугова А. А., Вичугов В. Н., Дмитриева Е. А.
Жизненный цикл документа в информационных системах управления данными // Вестн. науки Сибири.
2011. № 1. С. 328–334.
Библиографические ссылки
1. Федеральная космическая программа России
на 2006–2015 гг. [Электронный ресурс]. URL:
http://www.federalspace.ru/main.php?id=24.
2. Ершова Т. Б. Организационные аспекты создания
единого информационного пространства предприятия //
Трансп. дело России. 2009. № 2. С. 62–65.
A. S. Ametova, A. A. Vichugova, V. N. Vichugov, Yu. A. Sukhanova, S. G. Tsapko
PROJECT OF DEVELOPMENT OF UNITED INFORMATION SPACE FOR THE PROCESSES
OF GENERATION OF ONBOARD ELECTRONIC EQUIPMENT OF SPACECRAFTS
AT JSC «ISS» NAMED AFTER ACADEMICIAN M. F. RESHETNEV»
The authors consider a concept of united information space and describe the stages of its development for
the processes of generation of onboard electronic equipment of a spacecraft at JSC «ISS» named after academician
M. F. Reshetnev».
Keywords: business processes, integration of information systems.
© Аметова Э. С., Вичугова А. А., Вичугов В. Н., Суханова Ю. А., Цапко С. Г., 2012
УДК 539.374
В. И. Бурмак
ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ПОДАЛГЕБР И ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
ПЛАСТИЧНОСТИ ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
Найдены оптимальные системы подалгебр размерности 1, 2 алгебры Ли, допускаемые уравнениями пластичности плоского напряженного состояния в случае медленных нестационарных течений.
Ключевые слова: пластичность, плоское напряженное состояние.
напряжения и осью Ox;  – угол, связанный со зна1
   1  2  ,
чением
среднего
давления
3
Рассмотрим уравнения, описывающие плоское напряженное состояние в случае медленных нестационарных течений. Уравнения имеют вид

u
t

3 sin  cos 2  cos 
 3 sin  sin 2



 
x


 2sin  ,
y
y



v  3 sin  sin 2
t
x


 2sin  ,
3 sin  cos 2  cos 
y
x

u
 k  3 cos   3sin  cos 2 ,
x
v
 k  3 cos   3sin  cos 2 ,
y
(1)
(2)


(3)


(4)
u v

 6k  sin  sin 2.
y x
3
; k – постоянная пластичности; u , v –
2k
компоненты вектора скорости; все функции зависят
от x, y, t .
Точечные симметрии системы (1)…(5) с использованием методики Ли [1] были найдены ранее [2].
Базис алгебры Ли L9, порождающей группу непрерывных преобразований, которая допускается системой уравнений (1)…(5), имеет вид
cos  
X 1   y  x  x y  v  u  u  v    ,
X 2  t  t  x x  y y    ,
X 3  t  t  u u  v v    ,
(6)
X 4   y  u  x v , X 5   y , X 6   x ,
(5)
X 7   v , X 8  u , X 9  t .
Здесь  – некоторая положительная функция;  –
угол между первым главным направлением тензора
Таблица коммутаторов алгебры Ли L9 будет следующей (табл. 1).
10
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
Таблица 1
Таблица коммутаторов
X1
0
0
0
0
–X6
X5
–X8
X7
0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X2
0
0
0
–X4
X5
X6
0
0
X9
X3
0
0
0
X4
0
0
X7
X8
X9
X4
0
X4
–X4
0
–X8
X7
0
0
0
X5
X6
–X5
0
X8
0
0
0
0
0
X8
–X7
0
–X8
0
0
0
0
0
0
X9
0
–X9
–X9
0
0
0
0
0
0
V. X 4  X 5  X 9 .
VI. X 5  X 7  X 9 .
VII. X 1  X 9 .
N82   X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 , X 7 , X 8 , X 9  ;
  6 X 6   7 X 7  8 X 8   9 X 9 ,
X7
X8
0
–X7
0
0
0
0
0
0
IV. X 1  X 4  X 9 .
Анализ табл. 1 показывает, что алгебра Ли L9 разрешима и имеет следующую структуру:
– максимальные абелевы идеалы
N81   X 1 , X 2 , X 4 , X 5 , X 6 , X 7 , X 8 , X 9  ,
– центр S  0 ;
– производная алгебра
L9   X 4 , X 5 , X 6 , X 7 , X 8 , X 9  ;
– общий вид одномерной подалгебры:
X  1 X 1   2 X 2  3 X 3   4 X 4  5 X 5 
X6
–X5
–X6
0
–X7
0
0
0
0
0
VIII. X 2  X 3 .
IX. X 2  X 7 ;.
X. X 3  X 5 ;.
XI. X 4  X 9 .
XII. X 5  X 9 .
(7)
XIII. X 7  X 9 ;.
XIV. X 3 .
где ai , i  1,9 – константы.
Построим оптимальную систему подалгебр размерности 1 путем поиска наиболее простых неподобных подалгебр X (7), т. е. тех подалгебр, которые под
действием внутренних автоморфизмов не переводятся
друг в друга.
Так, оптимальная система подалгебр размерности
1 – 1 будет следующей:
I. X 1  X 2  X 3  X 4 .
II. X 1  X 2  X 3  X 9 .
III. X 1  X 2  X 3 ;.
XV. X 4 .
XVI. X 5 .
XVII. X 7 .
XVIII. X 9 .
Здесь , ,  – произвольные постоянные, причем
разным значениям постоянных соответствуют неподобные подалгебры.
Инвариантные решения, построенные на 1 , представлены в табл. 2.
Таблица 2
Вид инвариантных решений ранга 2

ln t , ur  rf3  ,  , u  rf 4  ,   r ln r ,   et  2 ,   e r 
2
I
  tf1  ,  ,   f 2  ,  
II
    ,  ,   f1  ,   , ur  r 1 f 2  ,  , u  rf3  ,  ,     t ,   e  t r
III
  tf1  ,  ,   f 2  ,   
IV
    , r  ,     f1  , r  , ur  ur  , r  , u  f 2  , r   r ,   t  
V
    , x  ,     , x  , v 
1
  
 
ln t , ur  r   f3  ,  , u  r   f 4  ,  ,   e  t ,   t 1 r  

f1  , x 
VI
y2
tx
, u  f 2  , x   ,   t  y
2


    , x  ,     , x  , v  f1  , x   y, u  u  , x  ,   y  t
VII
    , r  ,     f1  , r  , ur  ur  , r  , u  u  , r  ,     t
VIII
1 1
  tf1  ,   ,     ,   , ur  r  f 2  ,   , u  r  f3  ,   ,   rt  
IX
t
t
  f1  ,  t 1 ,     ,  , v  f 2  ,   ln t , u  u  ,  ,   ,  
y
x
X
  tf1  , x  ,     , x  , u  tf 2  , x  , v  tf3  , x  ,   te y

11
Математика, механика, информатика
Окончание табл. 2
XI
    x, y  ,     x, y  , v  f1  x, y   xt , u  f 2  x, y   ty
XII
    x, y  t  ,     x, y  t  , v  v  x, y  t  , u  u  x , y  t 
XIII
    x, y  ,     x, y  , v  f1  x, y   t , u  u  x, y 
XIV
XV
  tf1  x, y  ,     x, y  , u  tf 2  x, y  , v  tf3  x, y 
Инвариантного решения нет
XVI
    x, t  ,     x, t  , v  v  x , t  , u  u  x, t 
XVII
XVIII
Инвариантного решения нет
    x, y  ,     x, y  , v  v  x , y  , u  u  x, y 
Примечание. В табл. 2 приняты следующие обозначения: fi , i  1, 4 – произвольные функции; r и  – полярные координаты: x  r cos , y  r sin  ; ur , u – компоненты вектора скорости: u  ur cos   u sin , v  ur sin   u cos  .
Оптимальная система подалгебр размерности 2 – 2
имеет следующий вид:
1. X 1  X 2  X 3 , X 1   4 X 4 .
2.
X 1  X 4 , X 4  9 X 9 .
3.
X1  X 4 , X 9 .
4.
X 1  X 9 , 1 X 1  X 2  X 3   4 X 4 .
5.
X 1  X 9 , X 4  9 X 9 .
6.
X 2 , X 5  9 X 9 .
7.
X 2  3 X 3 , X 1   2 X 2 .
8.
X 2  3 X 3 , X 7 .
9.
X 2  X 3 , X 5  7 X 7 .
10.
X 2  2 X 3 , X 4  5 X 5 .
11.
X2  X3  X4 , X7 .
12.
X 2  X 3  X 9 , X1  9 X 9 .
13.
X2  X7, X4 .
14.
X 2  X 7 , X 5  9 X 9 .
15.
X 2  X 7 , X 6  5 X 5  9 X 9 .
16.
X 2  X 7 , X 7  8 X 8 .
17.
X 2  X7 , X8 .
18.
X2  X7 , X9 .
19.
X 3 , X1   2 X 2 .
20.
X3, X2 .
21.
X 3 , X 4  9 X 9 .
22.
X 3 , X 7  9 X 9 .
23.
X 3  X 5 , X 3  6 X 6 .
24.
X3  X5, X4 .
25.
X3  X5, X6 .
26.
X 3  X 5 , X 7  8 X 8   9 X 9 .
27.
X 3  X 5 , X 8  9 X 9 .
28.
X 4 , X 1   2 X 2  3 X 3 .
12
29.
X 4 , 1 X 1  X 2  X 3  9 X 9 .
30.
X 4 , X 2  3 X 3 .
31.
X 4 , X 7  9 X 9 .
32.
X 4  X 5  X 9 , X 7   8 X 8   9 X 9 .
33.
X 4  X 5  X 9 , X 8   9 X 9 .
34.
X 4  X 9 , X 1  3 X 3 .
35.
X 4  X 9 , X 7  9 X 9 .
36.
X 5 , X 2  3 X 3   6 X 6 .
37.
X 5 , X 2  X 3  6 X 6  9 X 9 .
38.
X 5 , X 3  6 X 6 .
39.
X 5 , X 6   7 X 7  8 X 8  9 X 9 .
40.
X 5 , X 7  8 X 8   9 X 9 .
41.
X 5 , X 8  9 X 9 .
42.
X 5  X 7  X 9 , X 6   7 X 7   8 X 8   9 X 9 .
43.
X 5  X 7  X 9 , X 7   8 X 8   9 X 9 .
44.
X 5  X 7  X 9 , X 8   9 X 9 .
45.
X 5  X 9 , X 2   7 X 7  8 X 8 .
46.
X 5  X 9 , X 6   7 X 7  8 X 8   9 X 9 .
47.
X 5  X 9 , X 7  8 X 8   9 X 9 .
48.
X 5  X 9 , X 8  9 X 9 .
49.
X 7 , X 2  8 X 8 .
50.
X 7 , X 4   5 X 5   6 X 6  8 X 8   9 X 9 .
51.
X 7 , X 5   6 X 6  8 X 8   9 X 9 .
52.
X 7 , X 6  8 X 8   9 X 9 .
53.
X 7 , X 8  9 X 9 .
54.
X7 , X9 .
55.
X 7  X 9 , X 3  5 X 5   6 X 6 .
56.
X 7  X 9 , X 4   5 X 5   6 X 6  9 X 9 .
57.
X 7  X 9 , X 5   6 X 6   7 X 7  8 X 8 .
58.
X 7  X 9 , X 6   7 X 7  8 X 8 .
Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева
59.
X 7  X 9 , X 7  8 X 8 .
60.
X 7  X 9 , X 8  9 X 9 .
61.
X 9 , X1   2 X 2  3 X 3 .
62.
X 9 , 1 X 1  X 2  X 3   4 X 4 .
63.
X 9 , X 2  3 X 3 .
64.
X 9 , X 3  5 X 5 .
65.
X 9 , X 4  5 X 5 .
66.
X 9 , X 5  7 X 7 .
1
f2   ,       .
x
x
1  9
t , u  u  ,
15.  
y
5  9
t
 1

1
v  f1     ln 
f2    ,  
f2   ,
9 x  t
 9 x  t

   .
причем разным значениям постоянных соответствуют
неподобные подалгебры.
Инвариантные решения, построенные на 2 , будут следующими:
r
, ur  f1    r ,
1.  
t
3. ur  ur  r  ,
  f3    t ,   f 4     .
  f3    t ,       .
  ln t  y, u  f1    t , v  f 2    t ,   f3    t ,
25.
   .
u  f1  x  e  y 
26.
v
  f 2  r   .
9 y  t
1
, u  u    , v  v    ,   f1    ,
x
x

8
f 2  x  e y  t ,
9



1
f 2  x  e y  t ,   f3  x  e y ,     x  .
9
27.
u


1
f1  x  e  y  t , v  f 2  x  e y ,
9
  f3  x  e y ,     x  .
7.   ln t  1  3  ln r   2 3,
 y  8 
1
u
f1  x   8t  
,

9
2
2
32.
ur  f1    r 3 e23 , u  f 2    r 3 e23 ,
  f3    r 3 1e23 ,   f 4     .
v
x
, u  f1    t , v  f 2    t   7 y,       ,
t
1
 f 2  x   t    x  7  y ,     x  ,     x  .
9
33.
u
1
 f1  x   t  y  , v  f 2  x   xy,
9
    x ,     x.
x3
1 
1
2
, u
 f1    2  y  ,
t
25 
x

1 
1
1

v
 f 2    2  xy  ,   f3    ,       .
5 
x
x

1
1
12.   t   ln r  9 , u  f1    , v  f 2    ,
r
r
1
  2 f3    ,   f 4     .
r
10.
x
t
t
t
, u  f1    , v  f 2    ,   2 f3    ,
y
x
x
x
  ln t  y   6 x, u  f1    t , v  f 2    t ,
23.
   r ,
1
5. ur  ur  r  , u 
 f 2  r   rt  r  ,     r  ,
9
   .
t
t
f    , u   f 2    ,
 1
e
e
   .
2t  9  2
, ur  f1    r ,
r
u  r  f 2     4 ln r  ,       ,   f3     .
9.  

20.
4.  
   .
    ln r , ur 
19.
  f 2  r   .
6.  
1
x
, u  u    , v  f1     ln x,   f 2    ,
x
y
   .
1
 f 2  r   rt  r  9     ,
9
u  f 2  r   r ,

18.
u  r  f 2      4    4 ln r  ,       ,   f3     .
    r  ,   f 2  r   .
9 y  t
, u  u    , v  f1     ln x,
x

Здесь ,  j , j  1,9 – произвольные постоянные,
2. ur  ur  r  , u 

14.

34.
ur  f1  r  e3 , u  f 2  r  e3  rt ,
  f3  r  e3 ,   f 4  r   .
36.
  t 1  3  ln  x  6  , u  f1   3 ln  x  6  ,

2 
1
t
3 1 
,
v  f 2     f1     3 ln  x  6   ,   f3    e
   .
13
Математика, механика, информатика
37.
v
  9 ln  x   6   t , u 
1
f  ,
 x  6  1
55.
v  f 2    e x 6  t ,   f3    e x 6 ,       .
1
1
f2   ,  
f3    ,       .


x

6
 x   6 2
38.
1 
y2 
 f1      ,
5 
2 

1 
x2
v
 f2    5  69 y   t ,      ,       .

2
56 

57.    6 y  x, u  f1    8 y, v  f 2     t  7 y,
56.
  x   6 ln t , u  f1    t , v  f 2    t ,
  f3    t ,       .
39.
  9 x  t , u  f1     8 x, v  f 2      7 x,
    ,    .
40.
u
    x.
42.
58.
61.
1
 f1  x   t  , v  v  x  ,     x  ,
9
v
8
 f2  x   t  ,
9
62.

63.

64.
1

y t
1
 
, u   f1   8  f2   7 ln f3   ,
7 
x
x
 

u  f1  x  e y
5
, v  f2  x  e
y 5
,   f3  x  e
y 5
,
u
66.
u  u  x  , v  f 2  x    7 y,     x  ,     x  .
Библиографические ссылки
1. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению
дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во
Сиб. отд-ния Рос. акад. наук, 2001.
2. Бурмак В. И. Симметрии и точные решения
уравнений пластичности плоского напряженного состояния // Молодежь и наука : материалы VII Всерос.
науч.-техн. конф. Красноярск, 2011. С. 41–46.
    x ,     x.
    x.
x
, u  f1    x 3 , v  f 2    x 3 ,
y
Здесь fi , i  1, 4 – произвольные функции. На подалгебрах 11, 13, 16, 17, 21, 22, 28, 29, 30, 31, 35,
49…54, 60 инвариантные решения нельзя повторить в
силу критерия инвариантности [1].
1
u  f1  x   y  t , v 
 f2  x   y  t  ,
9
u
,   f 4     .
2
65.
v  f 2      7 x,       ,       .
48.
,
1 
y2 
1
 f 2  x   xy  ,
 f1  x    , v 
5 
2 
5
    x ,     x.
1
1

v  f 2      7 ln  f3     ,   f3    ,       .
x
x

46.   y  t  9 x, u  f1     8 x,
47.
3 2
    x.
1
u
 f1  x   t  y  , v  f 2  x   y,
9

e
, u  f2   r
  f3    x 3 1 ,       .
    x ,     x.
45.
 3 2 
2
, ur  f1    r , u  f 2    r   4 r ln r ,
r
      ,   f3     .
1
 f 2  x   t   y,     x  ,     x  .
9
44.
  1  ln r , ur  f1   r 3
  f3    e
1
  y   9 x  t , u 
 f1     x  ,
8
u  f1  x  
u  f1  y   8 x, v  f 2  y   t   7 x,     y  ,
    y .
v  f 2      7 x  y,       ,       .
43.
   6 y   5 x, u 
    ,    .
1
1
u
f1  x   8t  , v 

 f2  x   t  ,
9
9
    x ,     x.
41.
   6 y  5 x, u  f1    e x 6 ,
1
 f1  x   y  t  , v  v  x  ,     x  ,
9
V. I. Burmak
OPTIMAL SYSTEMS OF SUBALGEBRAS ADMITTED BY EQUATIONS OF PLASTICITY
In the article the author presents optimal systems of subalgebras of 1, 2 dimentionality of Lie algebra, accepted with
equations of plane stress plasticity, in the case of lag unsteady flow.
Keywords: plasticity, state of plane stress.
© Бурмак В. И., 2012
14
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа