close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимизация весовых квадратурных формул для некоторых классов функций малой гладкости.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2011, том 54, №12
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Д.С.Сангмамадов
ОПТИМИЗАЦИЯ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ
КЛАССОВ ФУНКЦИЙ МАЛОЙ ГЛАДКОСТИ
Институт предпринимательства и сервиса Республики Таджикистан
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 12.10.2011 г.)
(1)
В работе найдена погрешность весовой квадратурной формулы на классе W L( M a b) –
функций f (t ) , имеющих кусочно-непрерывную производную f (t ) на отрезке [a b] и удовлетворяющих условию
b
f
f (t ) dt
L[ a b ]
M
a
Ключевые слова: наилучшая квадратурная формула – погрешность формулы – оптимизация – весовая функция.
В работе рассматривается квадратурная формула
b
n
q(t ) f (t )dt
pk f (tk ) Rn ( f q)
(1)
k 1
a
задаваемая векторами коэффициентов P { pk }nk
1
и узлов T
{tk a t1
– неотрицательная и интегрируемая на отрезке [a b] функция, Rn ( f q )
t2
tn
1
b} , где q(t )
Rn ( f q P T ) – погреш-
ность формулы (1) на функции f (t ) .
(1)
Пусть W L( M a b) – класс заданных на отрезке [a b] функций f (t ) , у которых производ-
ная f (t ) кусочно-непрерывна на [a b] и удовлетворяет условию
b
f
L
f
L[ a b ]
f (t ) dt
M
a
Через  – обозначим множество всех пар векторов ( P T ) для которых квадратурная формула имеет смысл и удовлетворяет некоторым условиям, определяющим свойства квадратурной
формулы (1). Требуется найти величину
n W (1) L( M a b)
Адрес для корреспонденции: Сангмамадов Давлатмамад Сайфович. 734055, Республика Таджикистан,
г.Душанбе, пр. Борбада 48/5, Институт предпринимательства и сервиса РТ. E-mail: davlat@mail.ru
957
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №12
W (1) L ( P T ) 
inf sup Rn ( f q P T ) f
и указать векторы P0
{ pk0}kn 1 T {tk0}kn
(2)
реализующие в (2) точную нижнюю грань.
1
Оценку снизу для величины (2) получим следуя методу оценки снизу погрешности квадратурных формул, изложенному в [1, с.183], а именно, сопоставим каждому вектору узлов множество
WT(1) L( M a b)
f
W (1) L f (tk )
f
0k
12
n
Следуя работе [2], введѐм обозначения:
tk
qk
t1
1
q(t )dt k 1 2
n 1 q0
tk
q
b
q (t )dt qn
max qk 1 k
n 1
tn
q q q(T )
max q 2q0 2qn
Определим функцию fT (t ) следующим образом: если q
2M
f
fT (t )
2q0 , то положим
t1
f (u ) du
a t
t1
L t
0
а если q
q (t )dt
a
t [ a b] \ [ a t1 ]
2qn , то
0
fT (t )
Если же q
q
t [a b] \ [ xn b]
2M
f
t1
f (u ) du, a t
t1.
L t
n 1) , то аналогичным образом полагаем
q (1
fT (t )
M
f
t
f (u ) du t
t
t
1
L t
0
t [a b][t t
1
].
Очевидно, что fT (t ) WT(1) L(M a b) и не трудно доказать, что для любого вектора коэффициентов P имеем
sup Rn ( f q)
f
WT(1) L( M a b)
b
sup
b
q(t ) f (t )dt
f
(1)
T
W L( M a b)
a
q(t ) fT (t )dt
a
Из (3) следует, что
958
(3)
Математика
Д.С.Сангмамадов
n WT(1) L( M a b)
M inf{q (T ) T
}
(4)
Из (4) рассуждением от противного можно показать, что (см., напр., [2])
} q(T 0 )
inf{q(T ) T
где вектор узлов T 0
{t10 t20
tn0} однозначно определяется равенствами
2q0
Так как WT(1) L(M a b)
q1
q2
qn 1
q(T 0 )
W (1) L(M a b) , то
n W (1) L( M a b)
n WT(1) L( M a b)
n W (1) L( M a b)
Приступая к оценке величины
P0 { p10 p20
2qn
(5)
сверху, введѐм вектор коэффициентов
pn0 } , полагая
0
k
0
k
p
q(T 0 )
q(t )dt
(k 1 2
n)
0
k 1
где
tk0
0
0
0
n
a
b
0
k
q(t )dt
0
k 1
q(t )dt (k 1 2
n)
tk0
и введѐм в рассмотрение квадратурную формулу
b
n
pk0 f (tk0 ) Rn ( f T 0 P 0 )
q(t ) f (t )dt
k 1
a
Для любой функции f
W (1) L( M a b) имеем
b
Rn ( f T 0 P 0 )
n
k 1
a
tk0
n
0
k
f (t )
k 1
0
k
f (t ) q(t )dt
0
k 1
n
f (t )
f (tk0 ) q(t )dt
tk0
tk0
0
k
t
t
f (u )du q(t )dt
k 1
pk0 f (tk0 )
q(t ) f (t )dt
0
k 1
tk0
f (u )du q(t )dt
tk0 tk0
959
(6)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №12
tk0
n
0
k
0
q(T )
f (u ) du
k 1
0
k 1
f (u ) du
tk0
1
q(T 0 )
M q(T 0 )
(7)
M q(T 0 )
(8)
M q(T 0 )
(9)
f (u ) du
0
Из (7) сразу следует, что
n W (1) L( M a b)
Из неравенств (5) и (8) следует, что
n W (1) L( M a b)
(1)
Из (9) следует, что узлы t k0 и коэффициенты pk0 наилучшей для класса W L( M a b) квадратурной
формулы (6) определяются по весовой функции q(t ) равенствами
t10
tn0
t20
2 q(t )dt
b
q(t )dt
q(t )dt
t10
tn0 1
pk0
q (T 0 )
2 q(t )dt
(10)
tn0
q(T 0 ) (k 1 2
n)
(11)
Из равенств (10) и (11), а также из результатов работ Т.Н.Бусарова и А.А. Борисенко [2] и
Ю.Г.Гиршовича [3] вытекает, что узлы и коэффициенты наилучшей квадратурной формулы (6) определяются из системы равенств
b
b
q(t )dt
tk0
2n 2k 1
q(t )dt r 1 2
2n
a
n
(12)
b
1
q(t )dt
na
pk0
(13)
Погрешность квадратурной формулы (6) имеет вид
4M
n
n W L( M a b) q(t )
(1)
b
q(t )dt
a
Используя формулы (10)-(13), сформулируем следующие утвѐрждения
Теорема 1. Пусть q(t )
1 0 a b В этом случае наилучшие узлы и коэффици-
t
енты квадратурной формулы (6) имеют вид:
1
t
0
k
2k 1
(b
2n
1
1)
a
1
) a
960
1
(k 1 2
n)
Математика
Д.С.Сангмамадов
1
b
0
k
p
1
(
(k 1 2
1)n
n)
При этом для оценки погрешности квадратурной формулы (6) справедлива оценка
b 1 a 1
M
2n( 1)
n W (1) L( M a b)
В частности, при [a b] [0 1] квадратурная формула
1
t f (t )dt
(
0
1
n
1
2k 1
2n
f
1)n
k 1
1
Rn ( f t )
(1)
является наилучшей для класса W L( M 0 1) . Погрешность этой формулы на всем классе равна
M
n W (1) L( M 0 1) t
Теорема 2. Пусть q(t )
t
2
0 a t
b
f (t )
2(
1)n
.
. Тогда наилучшие узлы и коэффициенты квад-
b
ратурной формулы
a
t
2
n
pk0 f (tk ) Rn ( f
dt
k 1
t
)
2
имеют вид
t
0
k
2 arccos
pk0
a
cos
2
1
2k 1
2n
b
cos
2
2k 1
2n
2 cos(a 2)
ln
(k 1 2
n cos(b 2)
(k 1 2
n)
n)
(1)
При этом для погрешности наилучшей квадратурной формулы (6) на всем классе W L( M a b)
справедлива точная оценка
n W (1) L( M a b) t
M cos(a 2)
ln
n cos(b 2)
Поступило 14.10.2011 г.
Л И Т Е РАТ У РА
1. Никольский С.М. Квадратурные формулы. – М.: Наука, 1979, 256 с.
2. Бусарова Т.Н., Борисенко А.А. – В сб. "Исследования по современным проблемам суммирования
и приближения функций и их приложения". – Днепропетровск: ДГУ, 1982, с. 13-19.
3. Гиршович Ю.Г. – Изв. АН ЭстССР, сер. физ.-мат. наук, 1975, т.24, 1, с.121-123.
961
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
2011, том 54, №12
Д.С.Сангмамадов
ОПТИМИЗАТСИЯИ ФОРМУЛАЊОИ КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОР БАРОИ
БАЪЗЕ СИНФЊОИ ФУНКСИЯЊОИ КАМСУФТА
Донишкадаи соњибкорї ва хизмати Љумњурии Тољикистон
Дар маќола хатогии формулаи квадратурии вазндори функсияњои f (t ) барои синфи
W (1) L( M a b) , ки дорои њосилаи ќисм-ќисм бефосилаи f (t ) буда, шарти
b
f
f (t ) dt
L[ a b ]
M
a
ќаноат мекунанд, ёфта шудаанд.
Калимањои калидї: бењтарин формулаи квадратурї – хатогии формула – бењтаркунї – функсияи
вазндор.
D.S.Sangmamadov
OPTIMIZATION OF WEIGHTED QUADRATURE FORMULAES FOR A SOME
CLASSES OF LITTLE-SMOOTH FUNCTIONS
The Institute of Enterprise and Service of the Republic of Tajikistan
(1)
In article was founded the error of weighted quadrature formula on the W L( M a b) class of
f (t ) functions, which has piecewise continuous f (t ) derivative on segment [a b] and satisfy the condition
b
f
f (t ) dt
L[ a b ]
M
a
Key words: the best quadrature formula – error of formula – optimization – weighted function.
962
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
429 Кб
Теги
классов, оптимизация, формула, гладкости, функции, некоторые, малое, весовые, квадратурные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа