close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимизация геометрических параметров выпуклых сегментов из сплавов TiNi с памятью формы.

код для вставкиСкачать
2006
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№39
УДК 539.3
С.А.Попов, В.А.Андреев, М.А.Хусаинов, А.Б.Бондарев
ОПТИМИЗАЦИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
ВЫПУКЛЫХ СЕГМЕНТОВ ИЗ СПЛАВОВ TiNi С ПАМЯТЬЮ ФОРМЫ
Новгородский государственный университет им. Ярослава Мудрого
A least-squares method for constructing the surface of allowable geometric parameters is used. On the basis of the model of the
clap force dependence of these parameters and the obtained allowable surface the optimal parameters providing the maximum clap
force value has been defined.
Введение
Построение разделяющей поверхности
В статье [1] рассмотрена задача моделирования
зависимости силы хлопка P (или силы удара) выпуклых сегментов с памятью формы от геометрических
размеров — диаметра (D), толщины круглой пластинки (h) и радиуса кривизны (R) срединной поверхности. Полученная по результатам обработки наблюдений модель зависимости силы хлопка от геометрических размеров имеет вид
P = b0 + b1x1 + b12 x1x2 + b13 x1 x3 + b23 x2 x3 + b11x12 , (1)
где x1, x2 , x3 — геометрические параметры D, h и R
соответственно (в мм). Оценки коэффициентов этой
модели и соответствующие им t-статистики приведены в табл.1.
Использование параметров распределения вероятностей классов при построения дискриминанта
Фишера и статистического моделирования для уточнения разделяющей поверхности приводит к большим погрешностям ввиду недостаточной информации о классах. В этих условиях можно использовать
метод наименьших квадратов [2], в соответствии с
которым можно строить разделяющую поверхность
f ( A, X ) = 0 , обеспечивающую минимум суммы
Таблица 1
Оценки коэффициентов модели
и абсолютные величины
их t-статистик
ляющей поверхности; X = {D, h, R}T = {x1, x2 , x3}T —
вектор геометрических параметров. При y = 1 хлопок
реализуется, а при y = −1 его нет.
Однако при таком подходе вклад в сумму отклонений будут давать объекты с большими значениями
f ( A, X ), что приводит к значительным ошибкам распознавания, особенно при сложном виде разделяющей
функции, характерном для рассматриваемого случая.
Следует считать, что для каждого объекта существует вероятность эффекта хлопка с ударом q1 и
вероятность его отсутствия q2 ( q1 + q2 = 1) . Факт
реализации хлопка ( y = 1) или его отсутствие
( y = −1) дает оценку величины q = q1 − q2 . Аппроксимация зависимости величины q от геометрических
параметров записывается в виде
q( X , A) = sign[ g ( X , A)]{1 − exp[ − g ( X , A) ]}, (2)
где функция g ( X , A) представляется полной квадра-
b0 t0
–19/2,97
b1 t1
2,17/3,93
b12 t12
–4,46/2,20
b13 t13
–8,72⋅10–2/2,71
b23 t23
2,93/2,04
b11 t11
9,16⋅10–2/2
n
квадратов отклонений в виде
∑[ f ( A, X ) − y ]
i
i
2
, где
i =1
A = {a1, a2 ,K, al }T — вектор коэффициентов разде-
Оценка коэффициента b считается статистически значимой, если соответствующая t-статистика по
абсолютной величине превышает квантиль распределения Стьюдента t1− α , f , т.е. t ≥ t1− α , f , где f — число
степеней свободы (f = n – 1, n — объем выборки),
α — уровень значимости, который в технических
задачах обычно принимается равным 0,05. Для n = 41
t1− 0,05, 40 = 1,68, поэтому все коэффициенты значимы.
тичной
функцией
g ( X , A) = AT X = a0 +
m
∑a x +
i i
i =1
Полученная модель (1) позволяет рассчитать
величину силы хлопка при заданных геометрических
параметрах. Однако хлопок выполняется не при всех
комбинациях этих параметров, поэтому для расчета
силы хлопка кроме функции (1) необходимо построить область допустимых значений геометрических
параметров. В данной работе используется метод построения разделяющей поверхности, позволяющий
оптимизировать геометрические параметры в целях
реализации эффекта хлопка максимальной силы.
m
m
+ ∑∑ aij xi x j = 0, i, j = 1, m . Тогда разделяющая
i =1 j =1
поверхность определяется уравнением
g ( X , A) = 0.
(3)
Для расчета оценок коэффициентов разделяющей функции можно использовать метод наименьших
квадратов. В нашем случае этот расчет выполняется с
помощью следующей итерационной процедуры:
28
2006
A
s +1
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
распознает все объекты, как с хлопком, так и без
хлопка (см. рис.1).
−1
⎡ n
⎤
= A + ⎢ P ( X i , A s ) P T ( X i , A s )⎥ ×
⎣ i =1
⎦
∑
s
n
×
Расчет оптимальных значений
∑ P ( X , A ) [ y − q( X , A)],
s
i
i
i
Оптимальные значения параметров определялись методом статистических испытаний [3]. Для этого генерировался вектор коэффициентов B модели (1)
с ковариационной матрицей VВ , вектор коэффициентов разделяющий функции (3) с коэффициентами A и
с ковариационной матрицей VA . Далее в заданном
интервале генерировался вектор параметров X. Если
этот вектор принадлежал области допустимых значений, определяемой неравенством g ( X , A) > 0, то рассчитывалось значение отклика P. В результате статистических испытаний при заданном диаметре D определялось максимальное значение силы хлопка Pmax и
соответствующие ему значения параметров — hmax и
Rmax .
(4)
i =1
∂q( X , A)
=
∂A
∂g ( X , A)
∂g ( X , A)
= sign[ g ( X , A)] exp[ − g ( X , A) ]
, а
=
∂A
∂A
где
s — номер
итерации;
P ( X , A) =
= {1, x1, x2 , x3 , x1 x2 , x1 x3 ,K, x32 } .
Ковариационная матрица оценок коэффициентов (4) рассчитывается по формуле
T
VA =
⎡
σ 2e ⎢
n
−1
⎤
P ( X i , A) P ( X i , A)⎥ ,
⎣ i =1
⎦
∑
T
(5)
где σ2e — дисперсия ошибки наблюдения классов:
σ 2e =
1
n−l
n
∑
№39
Дисперсия σ 2 оценки силы хлопка в процессе
статистических испытаний по определению максимального значения (внутренний цикл) рассчитывается по формуле
σ 2j +1 = [( Pj − Pj )( Pj − Pj ) + ( j − 1)σ 2P , j ] j ,
[q( X i , A) − yi ]2 (l — число коэффициен-
i =1
тов в модели (2)).
Диагональные элементы матрицы VA (5) представляют дисперсии оценок соответствующих коэффициентов, что позволяет рассчитать их t-статистики
и, таким образом, проверить их значимость.
В результате расчетов по выборке из 41 сегмента получена разделяющая поверхность (3) c десятью коэффициентами в виде
a0 + a1D + a2h + a3 xR + a12 xDxh + a13 xDxR +
где Pj +1 = [Pj + ( j − 1) Pj ] j , а j — номер статистиче-
ского испытания.
Относительная погрешность вычислений силы
P методом статистических испытаний рассчитывается по формуле
(7)
T = σ P, j
jPj .
+ a 23hxR + a11 D 2 + a 22 h 2 + a33 R 2 = 0. (6)
Расчет вектора оценок коэффициентов в выражении (6) и ковариационной матрицы этих оценок (5)
выполнялся по разработанной программе в соответствии с итерационной процедурой (4). Получены следующие значения коэффициентов: a0 = 1; a1 = –4,12;
Аналогично определялись значения параметров hmax и R max , обеспечивающих наибольшую силу
удара, и дисперсии оценок этих параметров σ2h и σ 2R
во внешнем цикле статистических испытаний.
Во внутреннем цикле статистических испытаний для определения максимального значения силы P
при заданной величине X задавалось 107 испытаний,
погрешность определения силы T (7) не более 1,1⋅10–4.
Во внешнем цикле — для определения максимального
значения Р и соответствующих ему параметров X задавалось 105 испытаний, погрешность определения
оптимальных параметров составила 5,4⋅10–4.
Зависимость наибольшей силы хлопка Pmax от
диаметра сегмента D, а также получаемые оптимальные значения толщины hmax и радиуса прогиба Rmax
показаны в табл.2, где под косой чертой приводятся
соответствующие стандартные отклонения (σ).
a 2 = –3,42; a3 = –8,09⋅10–3; a12 = 0,384; a13 = 3,48⋅10–3;
a 23 = –6,72⋅10–2; a11 = –5,74⋅10–3; a 22 = –2,4; a33 =
= –7,73⋅10–4. Все коэффициенты статистически значимы.
Данная разделяющая поверхность правильно
Таблица 2
Оптимальные параметры hmax и Rmax
в зависимости от диаметра D
D
17
20
30
40
Рис.1. Разделяющая поверхность для диаметра хлопуна
D = 17 мм и объекты с хлопком (кружок) и без хлопка (крестик)
29
Pmax σ P
11,5/0,9
10,3/1,1
22,5/2,1
31,8/4,3
Rmax σ R
hmax σ h
–3
0,25/3,7⋅10
0,46/4,7⋅10–3
0,68/6⋅10–3
0,81/8,1⋅10–3
22,6/2,2
23,1/2,9
18,8/3,2
23,8/4,7
2006
ВЕСТНИК НОВГОРОДСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
№39
40/
17/
Рис.2. Сила хлопка и области допустимых параметров. — точки, соответствующие расчетным значениям параметра R, обеспечивающим наибольшую силу хлопка, при заданном диаметре D и заданной толщине h, изменяющейся через 0,05 мм;
— точки, соответствующие расчетным значениям параметров R и h, обеспечивающим наибольшую силу хлопка для данного
диаметра D; — точки, показывающие значения параметров R и h экспериментальных сегментов с хлопком для соответствующего диаметра D. Соответствующее значение силы хлопка в килограммах приводится рядом с точкой
четном значении hmax.
Полученные результаты позволяют существенно оптимизировать геометрические размеры выпуклых сегментов.
На рис.2 показаны области допустимых значений параметров, экспериментальные значения и оптимальные параметры сегментов.
Вывод
1.
Приведенный график (рис.2) позволяет определить оптимальные параметры сегмента, обеспечивающие максимальную силу удара Pmax, в следующих
ситуациях:
— при заданном диаметре D и расчетных значениях hmax и Rmax;
— при заданных диаметре D, толщине h и расчетном значении Rmax;
— при заданных диаметре D, радиусе R и рас-
2.
3.
30
Попов С.А., Хусаинов М.А., Бондарев А.Б., Андреев В.А.
// Вестник НовГУ. Сер.: Естеств. и техн. науки. 2005.
№34. С.12-16
Л.Хартман и др. Планирование экспериментов в исследовании технологических процессов. М.: Мир, 1977. 552 c.
Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979. 349 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
345 Кб
Теги
оптимизация, память, сегментов, сплавов, tini, выпуклых, формы, геометрические, параметры
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа