close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимизация деятельности страховой компании при периодическом потоке страховых выплат.

код для вставкиСкачать
УДК 519.2
Е.В. Глухова, А.А. Фомин
ОПТИМИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТРАХОВОЙ КОМПАНИИ
ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОТОКЕ СТРАХОВЫХ ВЫПЛАТ
Рассматривается проблема управления страховыми взносами, когда интенсивность страховых выплат меняется со временем по периодическому закону.
В данной работе рассматриваются некоторые вопросы
оптимизации деятельности страховой компании в рамках
модели ее функционирования, предложенной и подробно
исследованной О.А. Змеевым [1 – 3]. В этой модели страховая компания рассматривается как бесконечно линейная
система массового обслуживания. Считается, что риск, поступающий на страхование, занимает некоторый виртуальный прибор, на котором он находится некоторое случайное
время, распределенное по заданному закону. В отличие от
классической теории массового обслуживания считается,
что риск, находясь на приборе, сам создает поток заявок,
которые ассоциируются со страховыми случаями и требуют
выплаты страховых возмещений. При поступлении на обслуживание сам риск вносит некоторый страховой взнос.
Поэтому в этой модели надо считать не только характеристики числа застрахованных рисков, но и характеристики
капитала страховой компании.
В данной статье предполагается, что входящий поток
рисков является пуассоновским потоком переменной интенсивности λ(t). Время, на которое риск страхуется, предполагается распределенным по экспоненциальному закону с параметром μ. В дальнейшем предполагается рассмотреть
произвольное распределение времени страхования. Наконец, считается, что каждый застрахованный риск создает
поток требований на страховые возмещения в виде пуассоновского потока переменной интенсивности γ(t).
ХАРАКТЕРИСТИКИ ЧИСЛА
ЗАСТРАХОВАННЫХ РИСКОВ
Обозначим через k(t) число рисков, застрахованных в компании в момент времени t.
Рассмотрим интервал времени [t , t + Δt ] и через
Δk(t) обозначим изменение числа застрахованных
рисков за этот период. Тогда, по свойствам пуассоновского потока и экспоненциального распределения,
имеем
⎧+1, с вероятностью λ(t )Δt + o(Δt ),
⎪−1, с вероятностью k (t )μΔt + o(Δt ),
(1)
Δk (t ) = ⎨
с вероятностью 1 − (λ (t ) +
⎪ 0,
+ k (t )μ)Δt + o(Δt ).
⎩
Основное для дальнейшего соотношение имеет вид
k (t + Δt ) = k (t ) + Δk (t ) .
(2)
условию k1 (−∞) = 0 , имеет вид
t
k1 (t ) =
k 2 (t + Δt ) = k 2 (t ) + 2k (t )Δk (t ) + ( Δk (t ) )2 .
Усредняя это выражение при фиксированной реализации процесса k(t), будем иметь
M {k 2 (t + Δt ) | k (t )} =
= k 2 (t ) + 2k (t )(λ(t ) − μk (t ))Δt + (λ (t ) + μk (t ))Δt + o(Δt ),
так как M {( Δk (t ) )2 | k (t )} = (λ(t ) + μk (t ))Δt + o(Δt ) .
Усредняя теперь по реализациям процесса k(t), получаем соотношение
k2 (t + Δt ) =
= k2 (t ) + [ 2λ (t )k1 (t ) − 2μk2 (t ) +λ (t ) + μk1 (t )] Δt + o(Δt ),
которое приводит к дифференциальному уравнению
относительно k2 (t ) :
dk2 (t )
(5)
+ 2μk2 (t ) = λ(t ) + 2λ (t )k1 (t ) + μk1 (t ) .
dt
С другой стороны, используя уравнение (3), можно записать
d (k12 (t ))
dk (t )
= 2k1 (t ) 1 = 2(λ(t ) − μk1 (t ))k1 (t ) ,
dt
dt
или, в другой форме,
d (k12 (t ))
(6)
+ 2k12 (t ) = 2λ(t )k1 (t ) .
dt
Величина k2 (t ) − k12 (t ) = Dk (t ) есть не что иное,
как дисперсия процесса k(t). Вычитая (6) из (5), получим дифференциальное уравнение для Dk(t):
dDk (t )
(7)
+ 2μDk (t ) = λ(t ) + μk1 (t ) .
dt
Его решение, удовлетворяющее условию Dk (−∞) = 0 ,
имеет вид
∞
Dk (t ) = ∫ ( λ (t − z ) + μk1 (t − z ) ) e−2μz dz =
M {k (t + Δt ) | k (t )} = k (t ) + (λ (t ) − k (t )μ)Δt + o(Δt ) .
k1 (t + Δt ) = k1 (t ) + (λ (t ) − k1 (t )μ)Δt + o(Δt ) ,
откуда обычным способом получается дифференциальное уравнение для k1 (t ) :
dk1 (t )
(3)
+ μk1 (t ) = λ (t ) .
dt
В дальнейшем будем считать, что lim λ(t ) = 0 .
t →−∞
Тогда решение этого уравнения, удовлетворяющее
124
(4)
0
Обозначим теперь M {k 2 (t )} = k2 (t ) . Тогда, возводя (2) в квадрат, получаем
Обозначим k1 (t ) = M {k (t )} . Тогда имеем
Усредняя это соотношение по k (t ) , получаем
∫
−∞
∞
λ(τ)e−μ (t −τ) d τ = ∫ λ (t − z )e−μz dz .
∞
= ∫ λ (t − z )e
0
0
−2μz
∞
dz + μ ∫ e
−2μz
0
∞
dz ∫ λ (t − z − u )e
(8)
−μu
du .
0
Преобразуем второй интеграл. Имеем после замены переменных z + u = v
∞∞
∞
v
0
0
−2μz −μu
dzdu = ∫ λ (t − v)e−2μv dv ∫ eμu du =
∫ ∫ λ(t − z − u )e
0 0
∞
1
= ∫ λ(t − v) e−μv − e−2μv dv.
μ0
(
)
Рассмотрим интервал времени [t , t + Δt ] и через
Подставляя это выражение в (8), получим
∞
Dk (t ) = ∫ λ(t − z )e −μz dz = k1 (t ) .
(9)
0
Найдем еще функцию корреляции процесса k(t).
Пусть t2 > t1 . Тогда верно соотношение
k (t2 + Δt2 ) = k (t2 ) + Δk (t2 ) .
Умножим это выражение на k (t1 ) и усредним при
фиксированных значениях k (t1 ) , k (t2 ) :
M {k (t1 )k (t2 + Δt2 ) | k (t1 )k (t2 )} = k (t1 )k (t2 ) +
+ k (t1 ) ( λ(t2 ) − μk (t2 ) ) Δt2 + o(Δt2 ).
(10)
Введем функцию C (t1 , t2 ) = M {k (t1 )k (t2 )} . Тогда,
усредняя (10) по k (t1 ) , k (t2 ) , получим следующее
дифференциальное уравнение относительно C (t1 , t2 ) :
∂C (t1 , t2 )
+ μC (t1 , t2 ) = k1 (t1 )λ(t2 ) .
∂t2
С другой стороны имеем
∂k (t )
k1 (t1 ) 1 2 + μk1 (t1 )k1 (t2 ) = k1 (t1 )λ(t2 ) .
∂t2
(11)
В данной статье рассматривается случай, когда все
зависящие от времени функции являются периодическими с периодом Т, и все характеристики будут выводиться для этого интервала, считая, что система
функционирует бесконечно долго.
Рассмотрим интервал времени длиной Т. Разобьем
его на кусочки длиной Δt и через ΔSi обозначим изменение капитала на i-м кусочке, а через S – общее
изменение капитала на интервале Т. Тогда можно записать следующее основное соотношение:
n
S = ∑ ΔSi ,
(12)
Функция R (t1 , t2 ) = C (t1 , t2 ) − k1 (t1 )k1 (t2 ) есть не что
иное, как функция корреляции процесса k (t ) . Вычитая (12) из (11), получим уравнение для R (t1 , t2 ) :
∂R (t1 , t2 )
+ μR (t1 , t2 ) = 0 .
∂t2
ΔS (t ) обозначим изменение капитала компании за
этот период. Тогда имеем:
⎧+ξ, с вероятностью λ(t )Δt + o(Δt ),
⎪−η, с вероятностью k (t ) γ (t )Δt + o(Δt ),
(15)
ΔS (t ) = ⎨
0, с вероятностью (1 − λ(t ) −
⎪
− k (t ) γ (t ))Δt + o(Δt ).
⎩
Основное для дальнейшего соотношение имеет вид
S (t + Δt ) = S (t ) + ΔS (t ) .
(13)
где n = T Δt .
Вычислим математическое ожидание величины S.
Имеем
M {ΔSi | k (t )} = [ a1 (t )λ (t ) − b1 (t ) γ (t )k (t )] Δt + o(Δt ) .
Отсюда, после перехода к пределу Δt → 0 , получим
T
M {S | k (t )} = ∫ [ a1 (t )λ(t ) − b1 (t ) γ (t )k (t )] dt .
−μt2
.С
Его общее решение имеет вид R (t1 , t2 ) = Ce
учетом условия R (t1 , t1 ) = Dk (t1 ) получим, что при
t2 > t1
R (t1 , t2 ) = Dk (t1 )e−μ (t2 −t1 ) .
При произвольных t1 и t2, учитывая симметричность функции корреляции, можно окончательно записать
R (t1 , t2 ) = Dk (min(t1 , t2 ))e−μ|t2 −t1| =
= k1 (min(t1 , t2 ))e−μ|t2 −t1 | .
(14)
0
Усредняя еще и по траекториям процесса k(t) с учетом
полученных ранее соотношений, получим
M {S} =
T
T
∞
0
0
0
= ∫ a1 (u )λ(u )du − ∫ b1 (u ) γ (u )du ∫ λ (u − z )e −μz dz.
поступлении
риска
в
компанию;
M {ξ} = a1 (t ) ,
M {ξ2 } = a2 (t ) . Считается, что a1 (t ) и a2 (t ) также
меняются со временем.
η – (случайная) величина страховых выплат;
M {η} = b1 (t ) , M {η2 } = b2 (t ) . Величины b1 (t ) и b2 (t )
также считаются зависящими от времени.
γ (t ) – интенсивность наступления страховых случаев. Она также меняется со временем.
S (t ) – капитал компании в момент времени t,
S1 (t ) = M {S (t )} . Считается, что S (−∞) = 0 .
(17)
Преобразуем второе слагаемое с учетом периодичности всех функций. Делая замену переменных
u − z = v , будем иметь
T
∞
0
0
∫ b1 (u )γ (u )du ∫ λ(u − z )e
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ
НАКОПЛЕННОГО КАПИТАЛА
Перейдем теперь к рассмотрению характеристик
капитала страховой компании. Введем следующие
обозначения:
ξ – (случайная) величина страхового взноса при
(16)
i =1
T
= ∫ b1 (u ) γ (u )e −μu du
0
−μz
u
dz =
∫ λ (v )e
μv
dv.
−∞
Но, с учетом периодичности функции λ (v) , получим
u
u
∫
−∞
∞
λ(v)eμv dv = ∫ λ(v)eμv dv + ∑
− kT
∫
λ (v)eμv dv .
k = 0 − ( k +1)T
0
Далее,
− kT
∫
− ( k +1)T
T
λ(v)eμv dv = ∫ λ(ζ − (k + 1)T )eμ (ζ−( k +1)T ) d ζ =
0
=e
−μ ( k +1)T
T
∫ λ(ζ)e
μζ
dζ.
0
Так как
∞
∑ e−μ(k +1)T =
k =0
e −μT
1 − e −μT
,
125
Преобразуем это выражение с учетом полученных
ранее соотношений. Что касается первого слагаемого,
то оно преобразуется совершенно аналогично тому,
как преобразовывалось выражение для S1. По аналогии можем записать
то
u
∫ λ (v ) e
μv
−∞
u
dv = ∫ λ(v)eμv dv +
0
e
−μT
1− e
−μT
T
∫ λ ( v )e
μv
dv .
0
Поэтому
T
∫ b1 (u )γ (u )e
0
T
u
−μu
T
u
du
∫ λ (v ) e
−∞
μv
∫ ( a2 (t )λ(t ) + b2 (t )γ(t )k1 (t ) ) dt =
dv =
T
⎛
⎞
e
= ∫ b1 (u ) γ (u )e −μu ⎜⎜ ∫ λ(v)eμv dv +
λ (v)eμv dv ⎟⎟ du.
−μT ∫
1− e
⎝0
⎠
0
0
Вводя обозначение
−μT
T
0
и переставляя местами интегралы, приведем последнее выражение к виду
T
J 2 = ∫ b2 (ζ ) γ (ζ )e −μζ d ζ .
где
T
⎞
e −μT
μv ⎛
−μu
λ
γ
+
(
)
(
)
(
)
v
e
b
u
u
e
du
J dv .
⎜
∫
−μT 1 ⎟
⎜∫ 1
⎟
1− e
⎝v
⎠
0
Обозначим для краткости
Сложнее преобразуется второй интеграл. Будем
обозначать его для краткости I2. С учетом явного выражения для Rk (t1 , t2 ) получим
TT
00
С учетом симметрии подынтегральной функции
можем записать
(19)
0
ДИСПЕРСИЯ НАКОПЛЕННОГО КАПИТАЛА
Найдем теперь дисперсию капитала, накопленного
в течение одного периода. Из (16) имеем
n
S 2 = ∑ ΔS i Δ S j + ∑ ( Δ S i ) 2 .
i =1
При i≠j
M {ΔSi ΔS j | k (t )} = ( a1 (t1 )λ (t1 ) − b1 (t1 ) γ (t1 )k (t1 ) ) Δt1 ×
× ( a1 (t2 )λ(t2 ) − b1 (t2 ) γ (t2 )k (t2 ) ) Δt2 .
При i=j
M {(ΔSi ) 2 ) = ( a2 (t )λ(t ) + b2 (t ) γ (t )k (t ) ) Δt .
Поэтому после усреднения по реализациям процесса k(t) получим
T
M {S 2 } = ∫ ( a2 (t )λ (t ) + b2 (t ) γ (t )k1 (t ) ) dt +
+ ∫ ∫ ( a1 (t1 )λ (t1 )a1 (t2 )λ(t2 ) − a1 (t1 )λ (t1 )b1 (t2 ) γ (t2 )k1 (t2 ) −
00
T
u
Тогда
T
⎛∞
⎞
I 2 = ∫ ϕ1 (u ) ⎜ ∫ λ (u − z )e −μz dz ⎟ du =
⎜
⎟
⎝0
⎠
0
T
u
⎞
−μu ⎛
μζ
= ∫ ϕ1 (u )e ⎜ ∫ λ(ζ )e d ζ ⎟ du.
⎜
⎟
⎝ −∞
⎠
0
Как и ранее, можно записать
u
u
∫
−∞
λ(ζ )eμζ d ζ = ∫ λ(ζ )eμζ d ζ +
0
e −μT
1 − e −μT
T
∫ λ (ζ )e
(22)
μζ
dζ ,
0
и поэтому, переставляя в (22) интегралы местами, получим
T
⎛T
e −μT ⎞
⎟ dζ ,
I 2 = ∫ λ(ζ )eμζ ⎜ ∫ ϕ1 (u )du + J 3
(23)
⎜
1 − e −μT ⎟⎠
0
⎝ζ
где
T
T
0
u
J 3 = ∫ ϕ1 (u )du =2 ∫ b1 (u ) γ (u )eμu du ∫ b1 (v) γ (v)e−μv dv =
0
TT
(24)
00
+ b1 (t1 ) γ (t1 )b1 (t2 ) γ (t2 )C (t1 , t2 ) ) dt1dt2 .
Поэтому окончательно
D{S } =
T
T
⎡
e −μT ⎞⎤
μu ⎛
= ∫ λ (u ) ⎢a2 (u ) + e ⎜⎜ ∫ b2 (v) γ (v)e−μv dv + J 2
⎟⎟⎥ du +
1− e −μT ⎠⎦
⎢⎣
⎥
⎝u
0
Вычитая M 2 {S} и упрощая, получим
T
D{S } = ∫ ( a2 (t )λ(t ) + b2 (t ) γ (t )k1 (t ) ) dt +
126
ϕ1 (u ) = 2b1 (u ) γ (u )eμu ∫ b1 (v) γ (v)eμv dv .
= ∫ ∫ b1 (u ) γ (u )b1 (v) γ (v)e−μ|u −v| dudv.
− a1 (t2 )λ(t2 )b1 (t1 ) γ (t1 )k1 (t1 ) +
00
u
T
0
0
+ ∫ ∫ b1 (t1 )b1 (t1 ) γ (t2 ) γ (t2 ) Rk (t1 , t2 )dt1dt2 .
0
T
T
⎛∞
⎞
I 2 = 2 ∫ b1 (u ) γ (u )⎜ ∫ λ(u − z )e −μz dz ⎟ eμu du ∫ b1 (v) γ (v)e −μv dv .
⎜
⎟
⎝0
⎠
u
0
Введем обозначение
вию ϕ(0) = ϕ(T ) = J1 (1 − e −μT ) , то есть она также периодична с периодом Т.
TT
T
Вспоминая выражение для k1 (u ) , получим
Заметим, что функция ϕ(u ) удовлетворяет усло-
TT
T
I 2 = 2 ∫ b1 (u ) γ (u )k1 (u )eμu du ∫ b1 (v) γ (v)e−μv dv .
(18)
T
i≠ j
(21)
I 2 = ∫ ∫ b1 (u ) γ (u )b1 (v) γ (v)k1 (min(u, v))e−μ|u − v| dudv .
T
M {S } = S1 = ∫ λ(u ) [ a1 (u ) − ϕ(u )] du .
⎡
⎛T
e −μT ⎞⎤
= ∫ λ(u ) ⎢a2 (u ) + eμu ⎜ ∫ b2 (v) γ (v)e−μv dv + J 2
⎟⎟⎥ du,
⎜
1 − e −μT ⎠⎦
⎥
⎣⎢
⎝u
0
0
J1 = ∫ b1 (u ) γ (u )e −μu du
⎛T
⎞
e −μT
ϕ(u ) = eμu ⎜ ∫ b1 (u ) γ (u )e−μu du +
J .
−μT 1 ⎟
⎜
⎟
1− e
⎝v
⎠
Тогда окончательно получаем
0
T
(20)
T
−μT ⎞
⎛T
+ ∫ λ(u )eμu ⎜ ∫ ϕ1 (v)dv + J 3 e −μT ⎟ dv ,
⎜
⎟
1− e
⎝u
⎠
0
(25)
или короче
a2 (t )
a12 (t )
T
D{S } = ∫ λ(u ) [ a2 (u ) + ψ (u )] du ,
(26)
0
где и
ψ (u ) = eμu ×
то есть a2 (t ) = Aa12 (t ) . Таким образом, надо найти
лишь вид функции a1 (t ) .
В этих предположениях
T
⎛T
e −μT ⎞ .(27)
× ⎜ ∫ b2 (v) γ (v)e−μv + ϕ1 (v) dv + ( J 2 + J 3 )
⎟
⎜
1 − e −μT ⎠⎟
⎝u
(
M {S } = S1 = ∫ λ 0 (u ) F (a1 (u )) [ a1 (u ) − ϕ(u )] du ,
)
0
T
D{S } = ∫ λ 0 (u )F (a1 (u )) ⎡⎣ Aa12 (u ) + ψ (u )⎤⎦ du ,
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРАХОВЫХ ВЗНОСОВ
Конечно, любая страховая компания заинтересована в получении максимальной средней прибыли, то
есть естественный критерий оптимальности имеет вид
M {S } ⇒ max . Однако флуктуации дохода не выгодны компании, и поэтому одновременно естественно
потребовать, чтобы дисперсия D{S} была бы не
слишком велика. Достаточно естественным является
ограничение вида D{S } ≤ Smax или ограничение вида
M {S } D{S } ≤ t . Поэтому получается задача на условный экстремум, когда решается задача вида
{Φ{MM{{SS},} ⇒D{Smax,
}} ≤ C.
0
и, используя метод неопределенных множителей Лагранжа, сведем задачу к виду
T
∫ λ0 (u ) F (a1 (u )) [a1 (u ) − ϕ(u )] du +
0
T
+ λ L ∫ λ 0 (u )F (a1 (u )) ⎡⎣ Aa12 (u ) + ψ (u )⎤⎦ du ⇒ max , (29)
a1 (u )
0
где λL – неопределенный множитель Лагранжа.
Это приводит к условию
F (a1 (u )) [ a1 (u ) − ϕ(u )] +
(28)
Получим общий вид решения этой задачи при некоторых дополнительных предположениях, а именно:
1. В данной ситуации действует обычная микроэкономическая связь спрос/цена, где роль цены играет
величина a1 (t ) , а роль спроса – интенсивность входящего потока рисков λ(t ) , ибо совершенно очевидно, что уменьшение величины страхового взноса приводит к увеличению потока клиентов. Мы отобразим
эту связь формулой λ (t ) = λ 0 (t ) F (a1 (t )) , которой
можно дать следующую интерпретацию: λ 0 (t ) – это
интенсивность потока потенциальных клиентов, желающих застраховать свой риск. Придя в страховую
компанию и ознакомившись с условиями страхования, клиент страхуется с вероятностью F (a1 ) ; очевидно, что F (a1 ) монотонно убывает с ростом a1
стремясь к нулю при a1 → ∞ .
2. Полученные выражения зависят от двух функций – a1 (t ) и a2 (t ) . Вообще, могут меняться одновременно обе эти функции, но мы рассмотрим лишь
ситуацию, когда верно соотношение
= A = const ,
+λL F (a1 (u )) ⎡ Aa12 (u ) + ψ (u )⎤ ⇒ max .
⎣
⎦
a1 (u )
(30)
Отсюда обычными методами дифференциального
исчисления получаем уравнение, определяющее оптимальный вид функции a1 (t ) :
a1 (u ) + λ L Aa12 (u ) +
F (a1 )
(1 + 2λ L Aa1 (u )) =
F ′(a1 )
= ϕ(u ) − λ L ψ(u ) ,
(31)
которое определяет вид функции a1 (t ) с точностью
до неопределенного множителя Лагранжа λL. Последний должен быть определен исходя из налагаемых ограничений.
Частный случай
Рассмотрим частный случай, когда F (a1 ) имеет
вид F (a1 ) = exp(−a1 / κ) . Тогда уравнение (31) принимает вид
λ L Aa12 (u ) + (1 − 2λ L A)a1 (u ) = ϕ(u ) + κ − λ L ψ (u ) , (32)
что является квадратным уравнением относительно
a1 (u ) . При λL = 0 оно переходит в уравнение, полученное в [4].
ЛИТЕРАТУРА
1. Глухова Е.В., Змеев О.А., Лившиц К.И. Математические модели страхования. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 178 с.
2. Змеев О.А. Модель функционирования страховой компании при интенсивности входящего потока, зависящего от числа клиентов // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика: Сб. статей. Томск, 1999. С. 67 – 73.
3. Ахмедова Д.Д., Змеев О.А. Математическая модель функционирования страховой компании с входящими рисками в виде пуассоновского потока событий с переменной интенсивности // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 4: Сб. статей. Томск,
2002. С. 3 – 12.
4. Глухова Е.В., Фомин А.А. Оптимизация деятельности страховой компании при нестационарном потоке страховых случаев // Обработка
данных и управление в сложных системах. Вып. 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. С. 81 – 91.
Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 30 мая 2005 г.
127
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
324 Кб
Теги
компания, страховых, оптимизация, выплате, деятельности, страховой, поток, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа