close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оптимизация некоторых весовых квадратурных формул в пространстве.

код для вставкиСкачать
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2009, том 52, №1
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Р.С.Сабоиев*, Ш.Дж.Хамдамов**
ОПТИМИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ ВЕСОВЫХ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ
В ПРОСТРАНСТВЕ L1[a b]
Среди экстремальных задач теории приближения функций наиболее важной является
следующая оптимизационная задача теории квадратур.
Рассматривается квадратурная формула [1]
b
n
f (t )q(t ) dt
(1)
pk f (tk ) Rn ( f q P T )
k 1
a
в которой весовая функция q(t ) 0 на отрезке [a,b] и интегрируема (может быть,
в
несобственном
смысле)
T
{tk a t1
tn
t2
1
tn
по
Риману,
P { pk }
–
вектор
коэффициентов,
b} – некоторый вектор узлов, а Rn ( f q P T ) – погрешность
квадратурной формулы (1) на функции f (t )
Если M – некоторый класс функций { f (t )} заданных и определенных на отрезке
[a b] то через
b
Rn (M q P T ) sup
n
f (t )q(t ) dt
pk f (tk ) f
M
k 1
a
обозначим погрешность квадратурной формулы (1) на классе M .
Задача состоит в отыскании следующей величины
n (M q) inf Rn (M q P T )
PT
(2)
Квадратурная формула (1) называется оптимальной или наилучшей на классе M , если существует вектор P0
{ pk0 } – коэффициентов и вектор T {tk0 } – узлов, для которых вы-
полняется равенство
n (M q) Rn (M q P0 T 0 )
Отметим, что задача (2) в случае q(t ) 1 для различных классов функций исследовалась многими авторами, результаты исследований которых приведены Н.П.Корнейчуком в
дополнении к книге С.М.Никольского [1]. Для некоторых конкретных весовых функций
q(t ) суммируемых на (0
) задача (2) решена в работе Ю.М.Гиршовича [2].
5
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
Обозначим через W ( r ) Lp
2009, том 52, №1
W ( r ) Lp [a b] класс заданных и непрерывных на отрезке
[a b] функций f (t ) у которых (r 1) -я производная абсолютно непрерывна, а r -я производная f ( r ) (t ) удовлетворяет неравенству
1p
b
(r )
f
f
p
(r )
f
Lp [ a b ]
(r )
p
(t ) dt
11
p
a
В этой статье задача (2) решена полностью для некоторых конкретных весовых функций q(t ) имеющих фиксированные особенности на отрезке [a b] Найдены явные виды наилучших квадратурных формул на классах W (1) L1[a b] Имеет место следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть [a b] [0 1] Среди всех квадратурных формул вида (1) с весовой
функцией q(t )
1
1 t2
0 t 1 наилучшей на классе W (1) L1[0 1] является формула с рав-
ными коэффициентами
1
n
f (t )dt
0
2n
1 t2
f sin
k 1
2k 1
4n
1 t2
Rn f
1
погрешность которой на всем классе равна
n W (1) L1[0 1]
1 t2
1
4n
Доказательство. Хорошо известно [3, с.14], что погрешность квадратурной формулы
(1) на всем классе W (1) L1 равна
Rn W (1) L q P T
sup K (t )
0 t 1
где
1
K (t )
n
pk (tk t )0 (u t )0
q(u )du
max[0 u t ]
0
k 1
t
В нашем случае имеем:
Rn W (1) L1
1 t2
n
1
PT
pk (tk t )0
sup arccos t
0 t 1
k 1
Следуя схеме рассуждений работы [2], после простых вычислений получаем
pk
2n
tk
sin
(2k 1)
4n
6
( k 1 n)
Математика
М.Ш.Шабозов, Р.С.Сабоиев, Ш.Дж.Хамдамов
При этом, для погрешности формулы на всем классе W (1) L1 имеем:
n W (1) L1
1
1
1 t2
1
dt
2n 0 1 t 2
inf sup K (t )
PT 0 t 1
4n
чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Аналогичным образом доказывается следующая
Теорема 2. Пусть [a b] [ 1 1] Среди квадратурных формул вида (1) с весовой
функцией q(t )
1 t 1 наилучшей на классе W (1) L1[ 1 1] является формула с рав-
1 t2
ными коэффициентами
1
n
f (t )dt
n
1 t2
1
2k 1
2n
f cos
k 1
1 t2
Rn f
1
(3)
погрешность которой на всем классе W (1) L1 равна
n W (1) L[ 1 1]
1 t2
1
2n
Замечание 1. Найденная нами наилучшая квадратурная формула (3) для класса
W (1) L1[ 1 1] является также квадратурной формулой наивысшей алгебраической степени
точности, то есть она точна для любого алгебраического многочлена степени не выше 2n 1
(см.напр. [4], стр.87). Из вида формулы (3) ясно, что все ее коэффициенты pk
xk
cos((2k 1) 2n)
Tn ( x)
cos(n arccos x) x
являются
-
нулями
многочлена
Чебышева
n а узлы
первого
рода
1 Такие квадратурные формулы называются квадратурными фор-
мулами Эрмита (см.напр.[4], стр.117).
В нижеследующей теореме приводится более общее утверждение для класса
W (1) L1[a b] и весовой функции q (t ) m
t
где m 0 m 1
- произвольное действительное
число.
Теорема 3. Среди квадратурных формул вида
b
n
m t f (t )dt
pk f (tk ) Rn ( f m t )
k 1
a
наилучшей на классе W (1) L1[a b] является формула с вектором коэффициентов
P
pk pk
1
m
ln m
и вектором узлов
7
b
m
a
1
k 1n
n
(4)
Доклады Академии наук Республики Таджикистан
T
2009, том 52, №1
1
2k 1
ln
m
ln m
2n
tk tk
2n 2k 1
m
2n
b
a
k 1n
причем для погрешности формулы на всем классе W (1) L1[a b] справедлива оценка
n W (1) L1[a b] m
1 mb m
2n
ln m
t
В частности, для q(t ) e t [a b] [0
a
(5)
) наилучшая квадратурная формула имеет
вид
1
n
e t f (t )dt
0
n
f ln
k 1
а ее погрешность на всем классе W (1) L[0
2n
2n 2k 1
Rn ( f e t )
(6)
) равна
n W (1) L[0
)e
1
2n
t
(7)
Замечание 2. Квадратурная формула (4) впервые для класса W (1) L [a b] исследовалась в работе [5] Т.Н.Бусаровой, где найдена оценка погрешности на всем классе W (1) L [a b]
в следующем виде
 W (1) L [a b] m
1
t
ln 2 m
n 1
m
(ln m ) 1 ln ( n
k 1) m( a ) 2 km( b ) 2
n 1
m
(ln m ) 1 ln ( n
k 2) m( a ) 2 ( k 1) m( b ) 2
n 1
2
(8)
k 1
Оценка (8) по сравнению с оценкой (5) является громоздкой и труднопроверяемой.
Теорема 4. Пусть [a b] [0
) q(t ) t p e
tq
0
0 q
Тогда наилучшая
f (tk ) Rn ( f )
(9)
p
квадратурная формула (1) имеет вид
t pe
tq
f (t )dt
0
1
q
p 1
q
1
n
n
k 1
узлы которой определяются из системы равенств
q
t p e t dt
tk
2n 2k 1 1
2n
q
а погрешность которой на всем классе W (1) L1[0
n W (1) L[0
) t pe
tq
8
p 1
( k 1 n)
q
) равна
1
q
p 1
q
1
n
Математика
где
М.Ш.Шабозов, Р.С.Сабоиев, Ш.Дж.Хамдамов
(u) – гамма функция Эйлера. В частности, из квадратурной формулы (9), при
p 0 q 1 снова получается формула (6) с оценкой на всем классе W (1) L1[0
) равной (7).
Отметим, что для других классов функций малой гладкости наилучшие квадратурные
формулы с различными положительными весовыми функциями найдены в работах [6-8].
Институт математики АН Республики Таджикистан,
*
Поступило 12.11.2008 г.
Хорогский государственный университет им.М.Назаршоева,
**
Худжандский государственный университет им.Б.Гафурова
Л И Т Е РАТ У РА
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Никольский С.М. Квадратурные формулы. – М.:Наука, 1979, 256 с.
Гиршович Ю.М. – Изв. АН Эстонской ССР, 1975, т.24, 1, с.121-123.
Бахвалов Н.С. – Численные методы. М.: Наука, 1975, 631 с.
Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. –
Киев: Наукова думка, 1992, 304 с.
Бусарова Т.Н. В сб.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения
функций и их приложениям. Днепропетровск, ДГУ, 1980, с.17-21.
Шабозов М.Ш. – Укр.матем.журнал, 1995, т.47, 9, с.1300-1305.
Шабозов М.Ш., Сабоиев Р.С. – ДАН РТ, 2004, т.47, 3, с.14-19.
Сабоиев Р.С. – ДАН РТ, 2005, т.48, 3-4, с.18-22.
М.Ш.Шабозов, Р.С.Сабоиев, Ш.Дж.Њамдамов
ДАР БОРАИ ОПТИМИЗАТСИЯКУНОНИИ ФОРМУЛАЊОИ
КВАДРАТУРИИ ВАЗНДОР ДАР ФАЗОИ L1[a b ]
Дар маќола барои функсияњои вазнии гуногун формулањои квадратурии
бењтарин дар фазои L1[ a b] ёфта шуда, ќимати ханики хатогиашон барои тамоми синфи
омўхташаванда нишон дода шудааст.
M.Sh.Shabozov, R.S.Saboiev, Sh.J.Khamdamov
ON THE OPTIMIZATIONS QUADRATURE FORMULAS WITH WEIGHT
IN THE L1[a b] SPACE
In the article for different functions with weights the best quadrature formulas in the L1[ a b]
space are found, the exact error value for all learnt class are approved.
9
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
376 Кб
Теги
пространство, оптимизация, формула, некоторые, весовые, квадратурные
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа