close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Основное состояние векторной решеточной модели с парным взаимодействием. Случай вырожденного обменного интеграла

код для вставкиСкачать
126 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
MSC 82B20
ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ ВЕКТОНОЙ ЕШЕТОЧНОЙ МОДЕЛИ
С ПАНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ.
СЛУЧАЙ ВЫОЖДЕННОО ОБМЕННОО ИНТЕАЛА
А.С. Клюев, Ю.П. Вирченко
Белгородский государственный университет,
ул. Победы, 85, Белгород, 308015, оссия, e-mail: virhbsu.edu.ru
Аннотация. Изучается класс периодических основных состояний серически симметрич-
ной векторной модели статистической механики решеточных систем с парным обменным взаимодействием с суммируемым обменным интегралом. Показано, что векторное поле, минимизирующее энергию, при отсутствии вырождения обменного интеграла таково, что его урьеобраз сосредоточен не более чем в двух противоположных по знаку точках k-пространства.
Ключевые слова: векторная модель, гамильтониан, основное состояние.
Введение. Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [1?.
Объектом этих исследований является классическая задача теории магнетизма (см. [2?)
описание класса векторных полей, реализующих минимум иксированного магнитного гамильтониана. Как и в работе [1?, эту задачу мы будем изучать в рамках так называемой векторной серически симметричной модели статистической механики классических решеточных систем без учета в ней внешнего магнитного поля [3?. В отличие
от указанной работы, мы рассмотрим случай, когда обменный интеграл, описывающий
взаимодействие пар магнитных моментов в узлах решетки, обладает урье-образом,
минимум которого реализуется на таком множестве K пар, взаимно-противоположных
по знаку волновых векторов, которое содержит более одной пары. При этом парный
обменный интеграл предполагается суммируемым на решетке. Мы покажем, что класс
распределений векторных полей на решетке, минимизирующих энергию, является, по
сути, тем же самым, что и в случае, когда указанное множество состоит из одной пары,
а именно эти векторные поля представляют спиралеобразные структуры.
1. Векторная решеточная модель. ассмотрим модель бесконечной идеальной
кристаллической решетки в виде дискретного периодического множества ? в Rd , d =
1, 2, 3. Для простоты, будем считать, что решетка обладает простой элементарной кристаллической ячейкой и, более того, представляет собой простую кубическую решетку,
то есть ее постоянные векторы решетки e1 , e2 , e3 (d = 3) взаимно ортогональны и имеют одинаковую длину, которую, опять же для простоты, будем считать единичной и
изически безразмерной. В этом случае множество ? = Zd ,
d
n
Z = x:x=
d
X
i=1
o
ni ei , ni ? Z , i = 1, 2, 3 .
(1)
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 127
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Здесь полагается, что начало отсчета 0 совмещено либо с одним из узлов ?, либо центром ячейки.
Обозначим посредством ?N конечное подмножество из ?, определяемое как
n
?N = x =
d
X
i=1
o
ni ei : ni = ?L/2 + k, k = 0 ч L, i = 1 ч d ,
где N = (L+1)d и L ? N. Это множество служит моделью конечного образца кристалла
с простой элементарной кристаллической ячейкой, где число L является его размером. Если L нечетно, то начало координат помещается в центр тяжести элементарной
ячейки, если же L четно, то в узел решетки.
Обозначим, далее, посредством Md класс всех векторных (псевдовекторных) полей
hsi (x) : x ? Rd , i = 1, 2, 3; sj (x)sj (x) = s2 i. По повторяющемуся векторному индексу j
здесь и далее предполагается суммирование от 1 до 3. Таким образом, независимо от
размерности d решетки, поле всегда полагается трехмерным. Поэтому, далее, во всех
выражениях, в которых векторный индекс не повторяется, полагается, что он принимает значения от 1 до 3, а если векторный индекс у поля не указывается, то оно выделяется
жирным шритом как и узлы решетки. 1 )
Пусть каждому распределению поля hsi (x); x ? ?N i сопоставлено значение гамильтониана
1 X
HN [s] =
I(x1 ? x2 )si (x1 )si (x2 )
(2)
2
2
hx1 ,x2 i??N
энергии поля s(x) в кристалле ?N . ешеточная система статистической механики с
гамильтонианом (2) называется серически симметричной векторной моделью в отсутствии внешнего магнитного поля. Здесь ункция I(x), заданная на решетке ?, предполагается обладающей свойствами симметрии I(x) = I(?x) и достаточно быстрой
сходимости к нулю при |x| ? ? такой, что
X
|I(x)| < ? .
(3)
x??
В статистической механике часто используется конструкционный прием, который
называется введением периодических граничных условий [1?. Этим термином обозначается сопоставление системе с гамильтонианом HN системы с гамильтонианом, обозначаемым нами далее H[·; ?N ], который определяется на классе периодических по mod ?N
полей s на ?.
3. Задача об определении основного состояния.
В рамках моделей гамильтонианами вида (2) и соответствующих каждому из них периодических аналогов H[·; ?N ]
представляет особенный интерес решение задачи об описании таких полей hsi (x); x ? ?i,
1 На самом деле, из полученного основного результата работы вытекает, что он остается верным и
в том случае, когда размерность вектора si равна двум. Одномерный же случай, соответствующий
так называемой модели Изинга, является вырожденным и на него результат настоящей работы не
распространяется.
128 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
которые реализуют минимум для каждого члена последовательности ункционалов
(N )
hHN ; L ? Ni. Это означает, что для каждого ?N ищется класс BN полей hsi (x); x ?
?N i, (s(N ) (x))2 = 1, которые реализуют минимум ункционала HN [·; ?N ],
EN = min{HN [s(N ) ] ; x ? ?N } .
После этого ищется класс B полей hsi (x); x ? ?i, которые являются предельными точ(N )
ками последовательностей hhsi (x); x ? ?N i; N = (L + 1)d i при переходе к пределу
L ? ?. Такой предельный переход называется термодинамическим. 2
Вычисление поля s(N ) , которое реализует условный минимум гамильтониана HN при
выполнении совокупности условий (s(N ) (x))2 = 1, x ? ?N является, таким образом,
задачей на условный экстремум. Однако, ее решение на основе стандартного метода
неопределенных множителей Лагранжа крайне затруднительно. Поэтому в настоящей
работе применяется иной метод решения этой задачи, который был использован в работе [1?. Этот метод в сильной степени приспособлен к специике рассматриваемой
задачи и, по-видимому, не допускает широкого обобщения.
При решении задачи об описании класса полей, минимизирующих последовательность ункционалов hHN ; L ? Ni, нами применяется конечное преобразование Фурье
для полей на ?N , подробно разобранное в работе [1?. Поэтому мы, при решении задачи, будем обращаться с ормализмом конечного преобразования Фурье без детальных
пояснений, отсылая читателя за подробностями к цитируемой работе.
можно считать, что I(0) = 0
4. Описание класса B . Не ограничивая общности,
X
N
в (2), так как, в противном случае, слагаемые
1
2
I(0)(s(N ) (x))2 =
x
1
I(0)N , пропор2
циональные I(0), не зависят от вида поля s(N ) (x) и поэтому могут не учитываться при
вычислении основного состояния. Кроме того, мы опишем класс B, соответствующий
указанному выше гамильтониану H[·; ?N ] с периодическими граничными условиями.
При этом поле, минимизирующее энергию, при некоторых ограничениях на порядок
перехода к термодинамическому пределу (см. ниже) не зависит от величины N . По
этой причине, мы будем далее опускать верхний индекс N в обозначении этого поля.
Определим, на основе конечного Фурье-преобразования, ункции
X
IЇN (k) =
I(x) exp (?i(k, x)) ,
(4)
x??N
s?j (k) =
X
sj (x)e?i(k,x)
(5)
x??N
так, что имеют место ормулы обращения
I(x) =
1 X Ї
1 X Ї
IN (k)ei(k,x) =
IN (k)e?i(k,x) ,
N
N
k???N
2 Подробнее
об этом предельном переходе см. [1?.
k???N
(6)
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 129
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
sj (x) =
1 X
1 X ?
s?j (k)ei(k,x) =
s?j (k)e?i(k,x) ,
N
N
k???N
(7)
k???N
выполняющиеся во всех узлах x ? Zd .
Ї
Из условия I(?x) = I(x) и определения (4) следует, что ункция I(k)
вещественна
Ї
Ї
и для нее имеет место равенство I(?k) = I(k). Кроме того, заметим, что, в силу абсолютной суммируемости I(x) на ? (см. (3)), в ормуле (4) возможен термодинамический
предельный переход ?N ? ? при L ? ?,
X
Ї
I(k)
=
I(x) exp (?i(k, x)) ,
(8)
x??
а также, как следствие, такой же предельный переход в ормуле (6), который приводит к представлению
Z
1
i(k,x)
Ї
I(k)e
dk ,
(9)
I(x) =
(2?)d
k???
Ї
где ?? = (??, ?]d . При этом ункция I(k)
непрерывна внутри ?? и периодическая по
mod ??. Свойство абсолютной суммируемости обменного интеграла I(x) гарантирует
Ї
непрерывность I(k)
на границе области ??.
Ї
Вещественная ункция I(k)
определена для всех векторов k, составляющих проd
Ї
странство R , в котором она является периодической по mod ??. В силу свойства I(?k)
=
Ї
I(k), если эта ункция имеет глобальный минимум в какой-либо точке k? ? ??, то она
обязана иметь такой же минимум в точке ?k? .
При решении задачи описания класса основных состояний векторной модели мы
будем в настоящей работе предполагать, в отличие от [1?, что множество M пар точек
{k? , ?k? } вместе с возможной точкой k? = 0 (для которой нет парной), в которых
Ї
ункция I(k)
достигает глобального минимума в ??, не состоит только из единственной
пары.
Для решения задачи о минимуме преобразуем гамильтониан следующим образом.
Подставим в периодический гамильтониан
H[s(x); ?N ] =
1
2x
X
1 ??,
x2 ??N
I(x1 ? x2 )sj (x1 )sj (x2 )
разложения (7). Тогда, после естественных преобразований (см. [1?), получим
H[s(x); ?N ] =
1 X Ї
I(k)|s?j (k)|2 .
2N
(10)
k???N
Пусть ункция IЇN (k) имеет глобальный минимум в какой-то паре точек {k? , ?k? } ?
??N (либо в точке k? = 0). Тогда при L ? ?, когда ?N ? ?, в силу непрерывности
Ї , во всех точках из ??N , соответствующих кристаллу ?N с размером L,
ункции I(k)
Ї
имеет место предельное соотношение IЇmd N (k) ? I(k)
при m ? ?, когда размер L
130 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
кристалла ?N увеличивается пропорционально m ? N. Однако, при переходе к такому
Ї
пределу глобальный минимум ункции I(k)
может появиться в точке k? , которая не
содержится ни в одном из множеств ??N . Не отвлекаясь на эти математические тонкости,
будем решать задачу об описании класса основных состояний гамильтониана только для
Ї
того случая, когда точки минимума ункции I(k)
не зависят от размера L кристалла,
начиная с некоторого его значения.
Итак, необходимо минимизировать квадратичную орму (10) с учетом N условий
2
sj (x) = 1, x ? ?N . Всю совокупность этих условий запишем в следующей эквивалентной
орме
X
s2j (x)e?i(x,k) = N?k,0 , k ? ??N .
x??N
Подстановка в левую часть, урье-представления (7) векторного поля sj (x) приводит
эту систему условий, ограничивающих возможный выбор поля sj (x) при минимизации
квадратичной ормы (10), к квадратичной орме в терминах поля s?j (k),
X
s2j (x)e?i(x,k) =
x??N
=
1
N
X
1
N2
X
s?j (k1 )s??j (k2 )
x??N
k1 ,k2 ? ??N
s?j (k1 )s??j (k2 )?k1 ,k2 +k =
k1 ,k2 ? ??N
exp(i(x, k1 ? k2 ? k)) =
1 X
s?j (k? )s??j (k? ? k) .
N ?
k ? ??N
Таким образом, имеем
?k,0 =
X
1 X
s?j (k? )s??j (k? ? k) ,
N2 ?
k ? ??N
k ? ??N .
(12)
При этом на поле s?j (k), ввиду его комплекснозначности, наложены дополнительные
условия s??j (k) = s?j (?k).
Поиск минимума ормы (10) при совокупности условий (12) производится следующим образом. Сначала, находятся поля s?j (k), реализующие минимум с учетом только
одного условия из списка (12), а именно при k? = 0,
X
|s?j (k)|2 = N 2 .
k? ??N
Затем для полей этого класса проверяется выполнимость условий (12) при k? 6= 0.
При учете только условия с k = 0 нужно минимизировать линейную орму
HN =
1 X Ї
I(k)?(k) ,
2N
(13)
k???N
у которой неотрицательные переменные ?(k) = |s?j (k)|2 подчинены условию
X
?(k) = N 2 .
k???N
(14)
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 131
При этом переменные ?(k) не являются независимыми, а подчинены условиям
?(k) = ?(?k) ,
k ? ??N ,
(15)
Ї , можно считать, что в орме
где k 6? ?(??, ?]d . Используя непрерывность ункции I(k)
допускаются также все слагаемые с векторами k ? ?(??, ?]d и последнее ограничение
можно опустить.
Минимизация
линейной ормы на выпуклом множестве R = {?(k) ? 0 : k ?
P
??N ,
?(k) = N 2 } сводится к выбору набора значений ?(k) на его границе. Среди
k? ??N
всех граничных точек реализуют минимум только те, в которых достигается абсолютЇ . анее было указано, что эта ункция обладает свойством
ный минимум ункции I(k)
Ї
Ї
инвариантности I(k)
= I(?k)
, если k находится внутри ??N . Если же k находится на
границе куба ??N (но не в угловой точке), то рассмотрим два случая. Если вектор k
лежит на внутренней части какой-либо стороны ??N (не на ребре), то выполняется
Ї
Ї
I(pr(k))
= I(?pr(k))
, где pr обозначает проекцию ??N на: координатную плоскость, параллельную этой стороне. Это следует из ормулы (8), в которую нужно подставить,
например, k = ?e1 + pr(k). Если же вектор k лежит на внутренней части ребра куба
??N , то в указанной ормуле операция pr обозначает проекцию на координатную ось,
параллельную этому ребру, что вытекает из аналогичной подстановки в ормулу (8),
например, k = ?(e1 +e2 )+pr(k)e3 . Отождествив противоположные стороны границы обЇ инвариантна относительно преобразования
ласти ??N , можно считать, что ункция I(k)
k ? ?k на ??N с учетом такого отождествления, что будет далее везде подразумеваться.
Возможность включения угловых точек куба в множество K мы не рассматриваем.
Обозначим посредством K подмножество в замыкании l(??N ), с учетом отождествления противоположных сторон, для тех векторов k, в которых реализуется этот глобальный минимум. Это множество инвариантно относительно отражений ?K = K,
ввиду свойства (15), если под отражением понимать сделанное выше соглашение об
отождествлении сторон ??N , а также ввиду того, что для этих точек минимума имеЇ
Ї
ет место I(k)
. Кроме того, нужно учесть инвариантность минимизируемой
= I(?k)
ормы относительно замены k ? ?k. Тогда ункции ?(k), для которых достигается
минимум ормы (13) могут быть не равны нулю только для k ? K. Отсюда следует,
что векторное поле s?j (k), в общем случае, может быть отлично нуля только при k ? K.
Потребуем теперь выполнимости соотношений (12). После подстановки в эти соотношения, получим
X
1
?k,0 = 2
s?j (k? )s??j (k? ? k) .
(16)
N ?
?
k ?K, k?k ?K
При анализе того, к каким ограничениям приводит совокупность этих соотношений,
предположим, что множество K удовлетворяет следующему условию: для любой пары
векторов k1 и k2 из K выполняется k1 ? k2 6? K (в частности, это предполагает, что
0 6? K точно также как и угловые точки куба ??N ). Если такое допущение имеет место,
то в представленной сумме найдутся отличные от нуля слагаемые только в том случае,
когда k = 0, k = k1 ? k2 , k1 , k2 ? K, k1 6= k2 . Это приводит к |K|(|K| ? 1) + 1 условиям. При подстановке каждого из этих значений k в представленной сумме отличны от
132 НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34
тождественного нуля только два совпадающих друг с другом слагаемых с s?j (k1 )s??j (k2 )
при k1 ? k2 = k. По этой причине, мы получаем, на основании (16), следующий список
условий
s?j (?k2 )s??j (?k1 ) + s?j (k1 )s??j (k2 ) = 0 ,
k1 , k2 ? K, k1 6= k2
и соотношение (14) при k = 0,
X
s?j (k? )s??j (k? ) = N 2 .
(17)
k? ?K
Заиксируем в списке этих соотношений вектор k1 ? K. Тогда в нем, наверняка,
имеются два соотношения: s?j (k1 )s??j (k2 ) = 0, s?j (k1 )s??j (?k2 ) = 0 с иксированным вектором k2 6= k1 из K. азложим каждый из векторов s?j (k? ), k? ? K на сумму реальной и
мнимой частей: s?j (k? ) = aj (k? ) + ibj (k? ). Тогда из представленных соотношений следует,
что s?j (k1 )aj (k2 ) = 0, s?j (k1 )bj (k2 ) = 0, и поэтому
aj (k1 )aj (k2 ) = 0 ,
bj (k1 )aj (k2 ) = 0 ,
aj (k1 )bj (k2 ) = 0 ,
bj (k1 )bj (k2 ) = 0 .
Кроме того, выбрав k = ?2k1 и k = ?2k2 , получим дополнительные соотношения
aj (k1 )bj (k1 ) = 0 ,
aj (k2 )bj (k2 ) = 0 ,
a2j (k1 ) = b2j (k1 ) ,
a2j (k2 ) = b2j (k2 ) = 0 ,
то есть для каждой пары k1 , k2 ? K должны существовать четыре вектора, являющиеся
все попарно взаимно ортогональными. Это может быть только в том случае, когда один
из них равен нулю. Такое положение невозможно, в силу указанных равенств длин
векторов aj (k1 ) и bj (k1 ), а также aj (k2 ) и bj (k2 ).
Следовательно, распределение векторного поля s?j (k) и, соответственно, поля sj (x),
реализующее минимум ункционала (10) (соответственно (2)) таково, что в сумме (13)
имеется только два ненулевых слагаемых ?(k? ) и ?(?k? ) при некотором произвольном, но иксированном векторе k? ? K. Тогда распределение векторного поля sj (x),
реализующего минимум энергии, вид
h
i
2
?
sj (x) = Re (aj (k? ) + ibj (k? ))ei(k ,x) ,
N
где векторы aj (k? ) и bj (k? ) взаимно ортогональны и равны по своей длине.
Наконец, обратимся к равенству (17). Оно позволяет определить длину векторов
aj (k? ) и bj (k? ),
N 2 = |s?j (k? )|2 + |s?j (?k? )|2 = 2(a2j (k? ) + b2j (k? )) = 4a2j (k? ) ,
то есть |aj (k? )| = N/2 или, окончательно,
sj (x) = mj cos(x, k? ) + nj sin(x, k? )
(18)
где m = aj (k? )/|aj (k? )| и n = ?bj (k? )/|bj (k? )| взаимно ортогональные единичные
векторы.
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
Серия: Математика. Физика. 2014. ќ5(176). Вып. 34 133
Таким образом, поле sj (x), при условии, что множество K не содержит 0 и угловых точек куба ??N , реализующее минимум ункционала энергии геометрически, представляет собой спиральную магнитную структуру, определяемую произвольной парой
взаимно ортогональных векторов m и n и вектором k? ? K ? ??N , который определяет
направление оси и шаг спирали.
Литература
1. Вирченко Ю.П. Основное состояние векторной решеточной модели // Belgorod State
University Sienti Bulletin. Mathematis & Physis. 2012. 23(142);29. С.54-66.
2. Ахиезер А.И., Барьяхтар В.., Пелетминский С.В. Спиновые волны / М.: Наука, 1967. 368 .
3. Ruelle D. Statistial Mehanis, Rigorous Results / Ney York-Amsterdam: W.A.Benjamin,
In., 1969. (юэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты / М.: Мир, 1971.)
4. Вирченко Ю.П. К теории основного состояния обменной модели ейзенберга // Проблемы теоретической изики / Киев: Наукова думка, 1991. C.80-96.
GROUND STATE OF VECTOR LATTICE MODEL
WITH PAIR INTERACTION
THE DEGENERATE EXCHANGE INTEGRAL CASE
A.S. Klyuyev, Yu.P. Virhenko
Belgorod State University,
Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: virhbsu.edu.ru
Abstrat. The lass of periodial ground states of spherially symmetri vetor model of
statistial mehanis is studied. It is done at the supposition that external eld is absent and
the exhange integral in its hamiltonian is integrable. Besides, it is supposed that the Fourier-image
of exhange integral is degenerate that is the Fourier-image of pair-exhange integral has more than
one pair of sign-opposite points in k-spae where its minimum is realized. It is shown that the vetor
eld should be onentrated only at one pair point of k-spae with opposite sign as it is in the ase
without the degeneray of exhange integral.
Key words: vetor model, hamiltonian, ground state.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа