close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Отражение слабого газодинамического разрыва от оси симметрии в однородном потоке.

код для вставкиСкачать
УДК 533.6.011.72
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 1
ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО ГАЗОДИНАМИЧЕСКОГО РАЗРЫВА
ОТ ОСИ СИММЕТРИИ В ОДНОРОДНОМ ПОТОКЕ
П. С. Мостовых1 , В. Н. Усков2
1. Балтийский государственный технический университет,
ассистент, аспирант СПбГУ, mostovykh@gmail.com
2. Балтийский государственный технический университет,
д-р техн. наук, профессор, uskov41@mail.ru
Введение. В работе [1] рассмотрено распределение газодинамических параметров вдоль стационарных слабых газодинамических разрывов (ГДР) в осесимметричном сверхзвуковом потоке невязкого нетеплопроводного совершенного газа. Для случая однородного набегающего потока все газодинамические параметры и их первые
производные за слабым ГДР получены как функции расстояния от оси симметрии y.
Показано, что первые производные функции Прандтля—Мейера ω и полярного угла
вектора скорости Θ вдоль линии тока ~ℓ и по нормали ~n к ней неограниченно (как
√
1/ y) возрастают при приближении к оси симметрии. Распределение газодинамических параметров получено от точки возникновения слабого разрыва до точки его
взаимодействия с другим слабым или сильным разрывом или до оси симметрии.
В работе [2] проведен анализ взаимодействия слабых ГДР с сильными. Взаимодействие слабых ГДР между собой рассмотрено В. Н. Усковым [3] как частный случай
взаимодействия сильных ГДР. В обеих работах используется тот факт, что взаимодействие происходит на некоторой линии, не имеющей изломов.
Задача о взаимодействии разрыва с осью симметрии имеет принципиальное отличие от общих задач интерференции разрывов. Областью взаимодействия разрывов
между собой является линия. Взаимодействие разрыва с осью симметрии происходит
в точке на оси, в которую приходит ГДР, образуя коническую поверхность.
Взаимодействие сильных ГДР с осью симметрии было рассмотрено Д. А. Мельниковым [4]: была показана невозможность описания регулярного отражения сильного
ГДР от оси симметрии в рамках модели невязкого газа и предложен приближенный
метод расчета течений с нерегулярным (маховским) отражением. Это доказательство
не может быть применено к слабым ГДР, так что вопрос о возможности регулярного отражения слабых ГДР от оси симметрии оставался открытым. В данной работе
сделана попытка аналитически рассчитать течение в окрестности точки регулярного
отражения слабого ГДР от оси симметрии (или, что то же самое, точки прохождения
слабого ГДР через ось симметрии). В дальнейшем будем называть эту точку точкой
отражения.
Влияние вязкости и теплопроводности газа на течение в окрестности точки отражения в данной работе не учитывается. Эти факторы не были учтены и в [4], хотя
автор указывает на их определяющее влияние на высоту «маховской ножки».
Примеры течений, в которых происходит отражение слабого ГДР от оси симметрии, показаны на рис. 1. На рис. 1, а показана схема недорасширенной сверхзвуковой
струи, истекающей в свободное пространство. На кромке сопла A образуется веер
волны разрежения ω̄, первая и последняя характеристики которой являются слабыми разрывами. В точке O первая характеристика отражается от оси симметрии. На
c
П. С. Мостовых, В. Н. Усков, 2012
117
Рис. 1. Схемы течений с отражением
слабого ГДР от оси
симметрии.
рис. 1, b показана схема натекания сверхзвукового потока газа на открытую с обеих
сторон трубу с бесконечно тонкими стенками, сечение которой увеличивается вниз по
потоку — от входа A в трубу сходит слабый ГДР, который затем отражается от оси
трубы в точке O.
1. Постановка задачи. Рассматривается сверхзвуковое осесимметричное течение невязкого нетеплопроводного совершенного газа в области, не содержащей сильных ГДР. Исходные уравнения и граничные условия приведены в статье авторов [1].
Поскольку набегающий поток однородный, полное давление газа p0 постоянно во всем
поле течения, и система дифференциальных уравнений (1) из [1] запишется в виде

1
∂ω ∂Θ


 ctg α ∂ℓ − ∂n = y sin Θ,


 ctg α ∂Θ − ∂ω = 0.
∂ℓ
∂n
(1)
Здесь α — угол Маха, производные ∂/∂ℓ, ∂/∂n вычисляются по направлениям касательной ~ℓ и нормали ~n к линии тока, ω — функция Прандтля—Мейера и Θ — полярный
угол вектора скорости.
←
Падающий на ось симметрии слабый ГДР обозначим ν 1 , а точку его падения
←
на ось — O. Разрыв ν 1 совпадает с одной из характеристик семейства C− . Через
точку O проходит также некоторая (вообще говоря, криволинейная) характеристика семейства C+ . Эта характеристика, возможно, является слабым ГДР. В точке O
она образует с осью симметрии угол Маха α0 , где индекс 0 относится к параметрам
набегающего потока.
←
На падающем слабом разрыве ν 1 ставятся граничные условия
ω(r, α0 ) = ω0 ,
118
Θ(r, α0 ) = 0,
(2a)
ωℓ (r, α0 ) = Θℓ (r, α0 ) =
1
√
r sin α0
RA +
2 1−
√
r sin α0
(1 − ε) sin2 α0 cos2 α0
!.
(2b)
←
Условия (2a) следуют из непрерывности функций на ν 1 ,
а (2b) следуют из формул (22) и (23) статьи [1]. Здесь в
меридиональной полуплоскости y ≥ 0 введены полярные
координаты r, ϕ (рис. 2), где r — безразмерное расстояние
до точки O, полярный угол ϕ ∈ [ 0; π] отсчитывается от отрицательной полуоси x в сторону положительной полуоси
y; расстояние до оси симметрии y = r sin ϕ. Все линейные
размеры отнесены к расстоянию от точки возникновения
слабого ГДР до оси симметрии yA ; RA — радиус кривизны
линии тока в этой точке.
Целью работы является нахождение функций ω и Θ
в окрестности точки отражения O. К газодинамическим
переменным в литературе предъявляются различные требования.
По классическому определению газодинамические параметры с каждой стороны поверхности разрыва ограниРис. 2. Картина течечены вместе со своими производными по координатам.
ния в окрестности точки
В книге [5] (с. 505–506) рассматривается более широO на оси симметрии.
кий класс функций K, содержащий газодинамические параметры u(x, y). К нему предъявляются следующие требования:
1o ) в любой конечной части полуплоскости y ≥ 0 имеется конечное число линий
разрыва x = x(y) и конечное число точек разрыва; вне этих линий и точек функция
u(x, y) непрерывна и обладает непрерывными первыми производными;
2o ) на линиях разрыва x = x(y) существуют левые u(x − 0, y) и правые u(x + 0, y)
предельные значения.
Подчеркнем, что в упомянутой выше книге [5] не накладывается требований
существования и ограниченности левого и правого пределов первой производной по
сторонам разрыва.
В рассматриваемой задаче о слабом ГДР предполагается, что левые и правые предельные значения функций совпадают. Линия, представляющая собой слабый ГДР,
характеризуется тем, что предельные значения первых производных на этой линии
либо не совпадают (слабый ГДР I рода), либо не существуют (слабый ГДР II рода).
Классическому определению удовлетворяет только слабый ГДР I рода. Падающий
←
слабый ГДР ν 1 является разрывом I рода. Отметим, что в течениях, проанализированных в [3] и [1], имели место только слабые ГДР I рода.
2. Построение решения. Будем искать решение в окрестности точки O в виде
√
Θ(r, ϕ) = f (ϕ) r +√O(r),
(3)
ω(r, ϕ) = ω0 + g(ϕ) r + O(r),
где O(r) — такая величина, что O(r)/r остается ограниченной при r → 0. Функции
f (ϕ) и g(ϕ) непрерывно дифференцируемы на (α0 ; π −α0 ) и (π −α0 ; π). При ϕ = π −α0
119
функции непрерывны, но, вообще говоря, не дифференцируемы. Для производных по
ℓ и по n имеем (рис. 2)
∂
∂
sin(ϕ + Θ) ∂
= − cos(ϕ + Θ)
+
,
∂ℓ
∂r
r
∂ϕ
∂
∂
cos(ϕ + Θ) ∂
= sin(ϕ + Θ)
+
.
∂n
∂r
r
∂ϕ
(4)
Подставляем (3) в уравнения (1) и приравниваем коэффициенты при r−1/2 в левой
и правой части; в результате получаем систему обыкновенных дифференциальных
уравнений первого порядка:
1
f
1
ctg α0 − g cos ϕ + g ′ sin ϕ −
f sin ϕ + f ′ cos ϕ =
,
2
2
sin ϕ
(5)
1
1
ctg α0 − f cos ϕ + f ′ sin ϕ −
g sin ϕ + g ′ cos ϕ = 0.
2
2
Граничные условия (2a) для функций ω и Θ на прямой ϕ = α0 приводят к
следующим условиям для функций f , g:
f
= 0, g = 0.
(6)
ϕ=α0
ϕ=α0
Вычислим Θℓ и ωℓ , учитывая (4). Используя (2b) и (6), получаем граничные значения
первых производных функций f , g:
√
(1 − ε) cos2 α0 sin α0
′
= g ′ ϕ=α0 .
(7)
f ϕ=α0 =
2
2
(1 − ε)RA sin α0 cos α0 + 2
Сведем систему уравнений (5) к одному уравнению второго порядка. Для этого
выразим g(ϕ) через f (ϕ) и f ′ (ϕ):
sin ϕ cos ϕ
2
2
′
+ 2ctg ϕtg α0 f (ϕ). (8)
g(ϕ) = 2(ctg α0 sin ϕ − tg α0 cos ϕ)f (ϕ) −
sin α0 cos α0
Подставим g(ϕ) в одно из уравнений (5) и введем новую независимую переменную
η = −tg α0 ctg ϕ, тогда
′′
2(1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )2 fηη
+ 2η(1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )fη′ +
1
3 4
4
2
2
2
+ 2η + 2tg α0 −
η + tg α0 + tg α0 f = 0, (9)
2
2
где f (η) непрерывно дифференцируема на (−1; 1) и (1; ∞); при η = 1 функция f (η)
может быть не дифференцируема. Уравнение (9) имеет три регулярные особые точки
←
η1 = −1, η2 = 1 и η3 = ∞; они соответствуют ϕ1 = α0 — падающему слабому ГДР ν 1 ,
ϕ2 = π − α0 — возможному отраженному слабому ГДР, ϕ3 = π — оси симметрии вниз
по потоку от точки O.
Граничные условия для функции f (η) следуют из (6) и (7):
√
(1 − ε) sin α0 cos3 α0 sin α0
′
f
= 0;
fη =
.
(10)
η=−1
η=−1
(1 − ε)RA sin2 α0 cos2 α0 + 2
120
Таким образом, для уравнения (9) на интервале η ∈ [−1; 1] поставлена задача Коши.
Отметим, что если условия (10) для f выполнены, граничные условия (6) и (7) для
функции g выполняются автоматически.
Обратимся к граничным условиям для f (η) в интервале η ∈ [1; ∞). Значение
η = ∞ соответствует оси симметрии, на которой поток направлен по оси, то есть
Θ = 0, и из (3) следует, что
f
= 0.
(11a)
η=∞
Значение η = 1 соответствует возможному слабому ГДР; на этом разрыве возможно
изменение значения первой производной функции Θ, но сама функция Θ непрерывна,
и, следовательно, непрерывна f :
f
= f
.
(11b)
η=1+0
η=1−0
Значение f при η = 1 − 0 определяется решением задачи Коши (9), (10); в результате
на интервале η ∈ [1; ∞) для уравнения (9) возникают краевые условия (11).
Построим общее решение уравнения (9);
p для этого введем новую неизвестную
функцию F (η), так что f (η) = F (η)(1 − η 2 )/ 4 tg 2 α0 + η 2 ; уравнение примет вид
n
2(1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )2 F ′′ (1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )−1/4 − 4ηF ′ (tg 2 α0 + η 2 )−1/4 −
−F ′ (1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )−5/4 η − 2F (tg 2 α0 + η 2 )−1/4 + 2F η 2 (tg 2 α0 + η 2 )−5/4 −
1
5
′′
2
2
2 −5/4
2
2
2 −9/4 2
− F (1 − η )(tg α0 + η )
+
+ F (1 − η )(tg α0 + η )
η fηη
2
4
n
+ 2η(1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 ) F ′ (1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )−1/4 −
1
−2ηF (tg 2 α0 + η 2 )−1/4 − F (1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )−5/4 η +
2
1
3
+ 2η 4 + 2tg 2 α0 −
η 2 + tg 2 α0 + tg 4 α0 F (1 − η 2 )(tg 2 α0 + η 2 )−1/4 = 0.
2
2
После преобразований получим уравнение
5
(1 − η 2 )F ′′ − 4ηF ′ − F = 0.
4
(12)
Введем в рассмотрение функцию Φ(η), η ∈ [−1; ∞), такую что F (η) = dΦ/dη. Эта
функция удовлетворяет уравнению Лежандра полуцелого порядка 1/2:
d
3
2 dΦ
(1 − η )
+ Φ = 0.
(13)
dη
dη
4
Это уравнение [6], [7] имеет те же три регулярные особые точки η1 = −1, η2 = 1
и η3 = ∞, что и уравнение (9). Его общее решение на каждом из двух интервалов
между особыми точками может быть записано в виде
(
C1 P1/2 (η) + C2 Q 21 (η) при η ∈ (−1; 1),
Φ(η) =
(14)
C3 P1/2 (η) + C4 Q 21 (η) при η ∈ (1; ∞).
121
Здесь P1/2 (η) и Q1/2 (η) — функции Лежандра порядка 1/2 первого и второго рода
соответственно. Отметим, что для функций полуцелого порядка n + 1/2, где n =
0, 1, 2, . . ., выполняется равенство Pn+1/2 (−η) = −2/π(−1)n Qn+1/2 (η).
Приведем некоторые соотношения ((15)–(19)) для функций Лежандра [6], которые понадобятся нам в дальнейшем. Для любых вещественных s выполняется
(1−η 2 )
dPs
= (s+1)(ηPs (η)−Ps+1 (η));
dη
(1−η 2 )
dQs
= (s+1)(ηQs (η)−Qs+1 (η)). (15)
dη
Функции первого рода Pn+1/2 (η) равны 1 при η = 1 и обращаются в бесконечность
при η → −1 + 0, имея в этой точке логарифмическую особенность
1+η
3
(−1)n
ln
,
(16)
− 2ψ(1) + 2ψ n +
Pn+1/2 (η) ∼
π
2
2
где −ψ(1) = 0.5772156649015325 — постоянная Эйлера, ψ — логарифмическая производная Γ-функции, для которой
n
X
1
1
ψ n+
= ψ(1) − 2 ln 2 + 2
.
2
2j
−1
j=1
При η → ∞ имеет место асимптотика
r
Pn+1/2 (η) ∼
2 2n Γ(n + 1) n+1/2
η
.
π Γ(n + 3/2)
(17)
Функции Лежандра второго рода Qn+1/2 (η) бесконечны при η → 1 ± 0; асимптотически их поведение описывается формулой
3
1 1 − η .
(18)
+ ψ(1) − ψ n +
Qn+1/2 (η) ∼ − ln 2
2 2
В точке η = −1 выполняется Qn+1/2 (−1) = (−1)n+1 π/2, а в пределе при η → ∞
r
π Γ(n + 32 )
Qn+1/2 (η) ∼
η −n−3/2 .
(19)
2 2n+1 Γ(n + 2)
Для общего решения уравнения (9) имеем выражение
(1 − η 2 ) dΦ
,
f (η) = p
4
tg 2 α0 + η 2 dη
(20)
где Φ(η) имеет вид (14).
Потребуем, чтобы решение (20) удовлетворяло при η = −1+0 первому из данных
Коши (10); для этого должно выполняться условие
dΦ
(1 − η 2 )
lim
= 0.
(21)
η→−1+0
dη
Используя (15), (16), при η = −1 + 0 имеем
dP1/2
1
1+η
1+η
2
3
1
4
(1 − η 2 )
−
ln
ln
= ,
∼
− 4 ln 2 + 4 +
− 4 ln 2 + 4 +
dη
2
π
2
π
2
3
π
122
dQ1/2
3 π π
(1 − η 2 )
=
− +
= 0.
η→−1+0
dη
2
2
2
Следовательно, условие (21) выполняется при C1 = 0 и произвольном C2 .
Граничное условие (11a) для решения (20) приводит к
(1 − η 2 ) dΦ
lim
= 0.
√
η→∞
η dη
lim
(22)
Из (15), (17) и (19) получаем асимптотические соотношения при η → ∞:
!
r
r
√
3
(1 − η 2 ) dP1/2
2 Γ(1) 1/2
2 2Γ(2) 3/2
2
=−
η
−
η
η
∼ √
η;
√
3
5
η
dη
2 η
π Γ( 2 )
π Γ( 2 )
π
r
r
3π
3
(1 − η 2 ) dQ1/2
π Γ( 32 ) −3/2
π Γ( 25 ) −5/2
η
∼ √ η −1 ,
∼ √
η
−
η
√
η
dη
2 η
2 2Γ(2)
2 4Γ(3)
8 2
√
√
где учтено, что Γ(1) = Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, Γ (3/2) = π/2, Γ (5/2) = 3 π/4. Видно,
что условие (22) выполняется при C3 = 0 и произвольном C4 .
Требование непрерывности решения f (η) в точке η = 1 (11b) позволяет установить связь постоянных C2 и C4 . Из (15), (18) следует
!
√
C2 (1 − η 2 ) dQ 12
p
lim f (η) = lim
= C2 cos α0 ×
4
2
η→1−0
η→1−0
tg α0 + η 2 dη
√
1 1−η
1 1−η
2
3
− ln
= C2 cos α0 ,
lim
+ 2 ln 2 − 2 + ln
− 2 ln 2 + 2 +
×
η→1−0
2
2
2
2
2
3
!
√
C4 (1 − η 2 ) dQ 12
p
= C4 cos α0 ,
lim f (η) = lim
4
2
2
η→1+0
η→1+0
dη
tg α0 + η
и условие непрерывности означает, что C2 = C4 . В дальнейшем обозначаем эту постоянную C.
Решение (20), (14) приняло вид
C(1 − η 2 ) dQ1/2
f (η) = p
,
4
tg 2 α0 + η 2 dη
(23)
где постоянную C можно определить из второго данного Коши (10). Для производной
fη′ имеем выражение
dQ1/2
Cη(1 − η 2 )
d
C
2 dQ1/2
(1
−
η
)
−
=
fη′ (η) = p
2
2 )5/4
4
2
2
dη
dη
dη
2(tg
α
+
η
0
tg α0 + η
3CQ1/2 (η)
3
Cη
=− p
ηQ1/2 (η) − Q3/2 (η) ,
(24)
−
·
2
2
5/4
4
2
2
2
2(tg α0 + η )
4 tg α0 + η
при последнем переходе было использовано уравнение Лежандра (13) и формула (15).
Вычислим значение этой производной при η = −1 и воспользуемся (10):
√
π π 3πC √cos α
3C cos α0 π
0
fη′ (−1) = −
−
=
− − cos2 α0
=
4
2 √
2
2
8
(1 − ε) sin α0 cos3 α0 sin α0
.
=
(1 − ε)RA sin2 α0 cos2 α0 + 2
123
Отсюда определяется постоянная
C=
√
8(1 − ε) sin α0 cos2 α0 sin α0 cos α0
.
3π (1 − ε)RA sin2 α0 cos2 α0 + 2
(25)
Функция (23), в которой C определяется (25), дает решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11).
Возвращаясь к переменной ϕ, для угла наклона вектора скорости газа Θ(r, ϕ)
имеем
p
e r sin ϕ tg α0 ctg ϕ Q1/2 (−tg α0 ctg ϕ) + Q3/2 (−tg α0 ctg ϕ) + O(r); (26)
Θ(r, ϕ) = C
здесь введена новая постоянная
e=−
C
4(1 − ε) sin α0 cos3 α0
.
π (1 − ε)RA sin2 α0 cos2 α0 + 2
Производную f ′ (ϕ) получим, используя (24):
f ′ (ϕ) = fη′ (−tg α0 ctg ϕ) ·
=
tg α0
=
sin2 ϕ
e √sin ϕ tg α0
C
2
(1
+
cos
ϕ)Q
(−tg
α
ctg
ϕ)
+
ctg
ϕ
Q
(−tg
α
ctg
ϕ)
.
0
0
1/2
3/2
2
sin2 ϕ
(27)
Подстановка (26) и (27) в (8) и (3) дает выражение для функции Прандтля—Мейера:
e
ω(r, ϕ) = ω0 + C
p
r sin ϕ (1 − 4tg 2 α0 ctg 2 ϕ)Q1/2 (−tg α0 ctg ϕ)−
Из системы (5) следует
−3tg α0 ctg ϕQ3/2 (−tg α0 ctg ϕ) + O(r).
(28)
e√sin ϕ
C
(1 + 4tg 2 α0 )ctg ϕ Q1/2 (−tg α0 ctg ϕ) + 3tg α0 Q3/2 (−tg α0 ctg ϕ) .
2
(29)
Найдем значения ω и Θ и их первых производных слева и справа от линии возможного слабого ГДР при ϕ = π − α0 . Подставляя (18) в (26) и (28) и учитывая (3),
получим выражения для угла наклона вектора скорости Θ и функции Прандтля—
Мейера ω:
g ′ (ϕ) =
2 ep
r sin α0 + O(r),
Θ(r, π − α0 ) = − C
3
e
ω(r, π − α0 ) = ω0 − 2C
p
r sin α0 + O(r). (30)
Подстановка (18) в (27) и (29) показывает, что f ′ (ϕ) и g ′ (ϕ) при ϕ = π − α0 имеют
такие же логарифмические особенности, как функции Q1/2 (η) и Q3/2 (η) (формула
(18)). Это означает, что на линии ϕ = π − α0 газодинамические переменные Θ(r, ϕ) и
ω(r, ϕ) обладают следующими свойствами:
— газодинамические переменные являются непрерывными функциями r и ϕ;
124
— их первые производные по координате ϕ имеют на этой линии логарифмические особенности порядка
ln |1 + tg α0 ctg ϕ|
при
ϕ → π − α0 .
(31)
Вместе с ними производные по ℓ, по n и по q− также не ограничены. Следовательно,
линия ϕ = π − α0 является слабым ГДР II рода ~ν2 . Полученное решение (3), (26)–(29)
удовлетворяет определению [5], но не удовлетворяет классическому определению.
Обращение в бесконечность производных по q− на обеих сторонах слабого ГДР ~ν2
в окрестности оси симметрии приводит к их неограниченности вдоль всего разрыва.
Действительно, в противном случае вдоль характеристики ~ν2 выполнялись бы уравнения, аналогичные уравнениям (12а), (12б), (16) статьи [1], коэффициенты которых
имеют особенности только на оси симметрии (при y = 0). Решения этих уравнений,
ограниченные в некоторой области, должны оставаться ограниченными всюду, кроме,
возможно, точки y = 0.
Согласно (3), (4) производные газодинамических переменных обращаются
√в бесконечность вблизи точки O на оси симметрии, где они ведут себя, как 1/ r. На
отраженном слабом ГДР ~ν2 производные газодинамических переменных имеют логарифмическую особенность (31) по ϕ. На отраженном слабом ГДР в окрестности
точки O эти две функциональные особенности перемножаются.
Из решений (26)–(29) получим значения газодинамических переменных и их первых производных на оси симметрии в окрестности точки отражения O слабого разрыва от оси симметрии. При приближении к оси симметрии ϕ → π, т. е. η → ∞, и
подстановка асимптотического равенства (19) в (26)–(29) дает для газодинамических
переменных и их производных по n следующие асимптотические выражения:
r
e √r
πC
Θ(r, ϕ)
rtg α0
e
∼− √
+ O(r),
+ O(r),
ω(r, ϕ) ∼ ω0 − π C
sin ϕ
2
4 2tg α0
e
∂Θ(r, ϕ)
πC
∂ω(r, ϕ)
∼− √
∼ O(1).
+ O(1),
∂n
∂n
4 2rtg α0
Сравнение первой и третьей из этих формул показывает, что равенство lim Θ/y = Θy
y→0
выполняется вниз по потоку от точки O (при x > 0).
3. Анализ результатов.
На рис. 3 приведены зависимости
газодинамических
√
√
√
√
параметров Θ/ y = f (ϕ)/ sin ϕ и (ω −ω0 )/ y = g(ϕ)/ sin ϕ от угла ϕ, вычисленные
на прямой, параллельной оси симметрии и расположенной на малом расстоянии
y от
√
оси (y ≪ 1). Расчет проведен для трех значений угла Маха: α0 = π/4 (M0 = 2), α0 =
0.340 (M0 = 3) и α0 = 0.201 (M0 = 5). Расчет f (ϕ) выполнен по формуле (26); функция
g(ϕ) определена по формуле (28). В точке A значение радиуса кривизны линии тока
RA = 0 (центрированная волна разрежения, рис. 1, a); показатель адиабаты γ = 1, 4.
В интервале ϕ ∈ [0; α0 ] функции f (ϕ) и g(ϕ) равны нулю. При ϕ = α0 ,
←
то есть на падающем слабом ГДР ν 1 , производные этих функций терпят разрыв
первого рода. При ϕ > α0 функции f (ϕ) и g(ϕ) — знакопостоянные, одного знака, при выбранном значении RA = 0 обе положительные; в этом случае вблизи
оси симметрии имеет место разрежение и, следовательно, ускорение потока; пада←
ющая характеристика ν 1 является элементом волны разрежения. Отметим, что при
125
Рис. 3. Зависимости газодинамических
линии)
√ параметров (сплошные
√ для различных значений
√
√
числа Маха от угла ϕ: a — Θ/ y = f (ϕ)/ sin ϕ; b — (ω − ω0 )/ y = g(ϕ)/ sin ϕ (штрихом показаны
вертикальные касательные).
RA < −2/((1 − ε) sin2 α0 cos2 α0 ) функции f (ϕ) и g(ϕ) отрицательны, и падающая
←
характеристика ν 1 является элементом волны сжатия.
При
2.838 для M0 = 5, ϕ = 2.645 для M0 = 3 и ϕ = 2.149 для
√ значениях ϕ =
√
M0 = 2 функция Θ/ y имеет максимум — в точке с таким полярным углом скорость потока наиболее сильно отклонена от осевого направления. Таким образом,
максимум угла Θ находится не на отраженном слабом ГДР, как в плоском течении, а
в области между падающим и отраженным разрывами. Разница между максимальным значением Θ и его значением на отраженном разрыве невелика, она составляет,
независимо от значения числа Маха, 14%.
Заметим, что в задаче о плоском течении наблюдается иная картина, а именно,
максимальное значение угла наклона вектора скорости реализуется на отраженном
слабом ГДР. Значение его производной вдоль линии тока постоянно во всей области
между падающим и отраженным разрывами. Отраженное возмущение распространяется вдоль ~ν2 со скоростью звука и приводит к уменьшению модуля угла Θ вплоть
до нуля.
В рассматриваемом осесимметричном случае Θℓ обращается в нуль на некоторой
←
прямой, проходящей через точку O отражения слабого ГДР ν 1 , раньше, чем поток
достигает отраженного разрыва ~ν2 . Это может привести к следующей трактовке: отраженное от оси возмущение распространяется со скоростью, большей скорости звука. Однако этот факт может быть объяснен другим способом, а именно: помимо роста
←
скачков производных газодинамических параметров вдоль характеристики ν 1 сгущение характеристик вокруг оси симметрии вызывает возмущение противоположного
знака, которое распространяется вдоль характеристик семейства C+ . Столбы газа
вокруг оси симметрии частично отражают возмущения подобно акустически более
плотной среде.
√
√
В точке ϕ = π − α0 первые производные функций Θ/ y и (ω − ω0 )/ y имеют особенности, поэтому касательные к ним вертикальны; эти касательные изображены на
рис. 3 штриховыми линиями и соответствуют положению отраженного слабого ГДР
~ν2 , изображенного на рис. 2. Таким образом, это значение ϕ соответствует слабому
√
√
ГДР II рода. При ϕ > π − α0 функции Θ/ y и (ω − ω0 )/ y монотонны.
126
В работе найден первый член разложения газодинамических
функций Θ(r, ϕ) и
√
ω(r, ϕ) по асимптотической последовательности ( r)n . Для
обоснованности
получен√
√
ного решения необходимо, чтобы
разности
Θ(r,
ϕ)
−
f
(ϕ)
r
и
ω(r,
ϕ)
−
ω
−
g(ϕ) r
0
√
были малы по сравнению с r равномерно по ϕ во всей области [8]. Этот факт для
окрестности отраженного слабого ГДР (ϕ ∼ π − α0 ) в работе не установлен. Вопрос
о построении решения для этой окрестности требует дальнейших исследований.
4. Заключение. В рамках модели невязкого нетеплопроводного газа исследовано течение в окрестности точки взаимодействия слабого ГДР с осью симметрии.
Получена асимптотика решения для безразмерных газодинамических параметров —
функции Прандтля—Мейера и полярного угла вектора скорости — в окрестности этой
точки. Полученное решение позволяет, в частности, определить значения газодинамических переменных на исходящем слабом ГДР и на оси симметрии вниз по потоку,
необходимые при расчете течений по методу характеристик. Показано, что в отличие
от плоских течений в осесимметричных максимальное по модулю значение полярного
угла вектора скорости реализуется в области между падающим и отраженным разрывами. В окрестности отраженного слабого ГДР в решении имеет место логарифмическая особенность первых производных газодинамических переменных по полярному
углу.
Авторы благодарят за ценное обсуждение и сделанные замечания Сергея Константиновича Матвеева и Рэма Георгиевича Баранцева.
Литература
1. Усков В. Н., Мостовых П. С. Условия совместности на слабом разрыве в осесимметричном потоке невязкого газа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2011. Вып. 4. С. 123–133.
2. Дьяков С. П. Взаимодействие ударных волн с малыми возмущениями. I, II. Журнал
экспериментальной и теоретической физики. 1957. Т. 33. Вып. 4(10). С. 948–973.
3. Адрианов А. Л., Старых А. Л., Усков В. Н. Интерференция стационарных газодинамических разрывов. Новосибирск: Наука, 1995.
4. Мельников Д. А. Отражение скачков уплотнения от оси симметрии. Изв. АН СССР.
Механика и машиностроение. 1962. № 3. С. 24–30.
5. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука, 1978.
6. Higher Transcendental Functions / Erdélyi A. (ed.) Vol. 1. Robert E. Krieger Publishing
Company, Inc. Malabar. 1953.
7. Лебедев Н. Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.: Физматгиз, 1963.
8. Баранцев Р. Г., Энгельгарт В. Н. Асимптотические методы в механике газа и жидкости. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987.
Статья поступила в редакцию 26 октября 2011 г.
127
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
415 Кб
Теги
однородные, оси, отражение, газодинамических, слабого, разрыва, симметрия, поток
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа