close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Оценка важности аргументов немонотонных логических функций при логико-вероятностном анализе безопасности сложных технических систем.

код для вставкиСкачать
Сер. 10. 2009. Вып. 1
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
УДК 519.248
А. В. Горопашная
ОЦЕНКА ВАЖНОСТИ АРГУМЕНТОВ НЕМОНОТОННЫХ
ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПРИ ЛОГИКО-ВЕРОЯТНОСТНОМ
АНАЛИЗЕ БЕЗОПАСНОСТИ СЛОЖНЫХ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введение. В рамках теории логико-вероятностного исчисления [1] разработаны методы оценки таких характеристик аргументов логической функции как вес, значимость,
вклад, удельный и относительный вклад, активность [2]. Эти параметры указывают,
какие события занимают значимое положение и оказывают существенное влияние на
безопасность всей технической системы, описываемой данной логической функцией.
Аргументами логической функции являются булевские переменные, характеризующие
события, которые могут произойти (или не произойти) с системой. Определение указанных параметров очень важно. Во многих случаях в связи со скудностью статистики
неизвестны вероятности исходных событий, которые вызывают возникновение аварии,
поэтому нет возможности оценить безопасность всей системы. В таком случае определение веса элемента – это единственная возможность узнать «слабые места» структуры
и оценить безопасность системы.
Методы оценки приведенных выше параметров в настоящее время широко разработаны только для систем, которые описываются монотонными логическими функциями. Однако в реальной жизни существуют системы, описываемые немонотонными
функциями алгебры логики (ФАЛ), которые требуют оценки безопасности. Например,
при рассмотрении пожара на любом опасном объекте возможны две ситуации: система
пожаротушения сработала и не сработала. От этого напрямую зависит дальнейшее развитие аварии, а значит, и построение логической схемы. В таком случае в логической
функции появляется как событие «система пожаротушения сработала» (событие A),
так и событие «система пожаротушения не сработала»(событие A ).
В данной статье предпринята попытка перенести разработанные ранее результаты
для монотонных ФАЛ в область рассмотрения немонотонных функций. В ней под событием понимается то, что имеет место, происходит с анализируемой системой, связанное
с ней значительное происшествие, явление.
Логико-вероятностный анализ безопасности технических систем. Он используется при оценке надежности, безопасности, живучести, стойкости различных
систем. Задача оценки безопасности и риска сложных технических систем, таких как
АЭС, корабли и суда, самолеты и т. д., в настоящее время становится все более и более
актуальной [1].
Процесс анализа безопасности любой системы является симметричным процессу анализа ее потенциальной опасности (вероятность наступления негативного события и вероятность благоприятного исхода событий в сумме дают единицу). Практика анализа безопасности сложных объектов показала, что удобнее прослеживать их
Горопашная Анастасия Визвутовна – инженер ФГУП «ЦНИИ им. акад. А. Н. Крылова». Количество опубликованных работ: 7. Научное направление: анализ безопасности сложных технических
систем. E-mail: torres2005@yandex.ru.
c А. В. Горопашная, 2009
19
реакцию на аварийные воздействия, чем определять сценарии успешного развития событий. Предположим, что анализ безопасности заключается в выявлении сценариев
опасного функционирования, и конечным итогом является вероятность наступления
негативного события (вероятность опасного функционирования системы P ), которое
может привести к серьезным последствиям. На основе полученных данных вычисляется вероятность безопасного функционирования системы: Q = 1 − P .
При анализе безопасности первоначально определяется перечень аварийных воздействий на систему (пожар, взрыв реактора для АЭС, шторм и затопление для корабля
и т. п.). Прослеживая ход развития каждой аварии, инженеры должны выяснить, что
и с какой вероятностью может произойти с системой.
Логико-вероятностный анализ включает в себя следующие стадии:
1) разработка физической модели развития аварии с объектом, безопасность которого
исследуется. Элементами физической модели являются события, происходящие с
системой;
2) составление математической модели на основании созданной физической модели. В
качестве математической модели выступает ФАЛ (F (x1 , ..., xn )), состоящая из возможных сценариев развития аварии, аргументами ее являются булевские переменные (xi ), характеризующие события, которые могут произойти (или не произойти)
с анализируемым объектом;
3) по полученной на 2-м этапе ФАЛ определяется вероятность P (F = 1), которая
зависит от вероятностей событий, входящих в логическую функцию P (xi ); таким
образом, P (F = 1) представляет собой полином от n переменных P (x1 ), ..., P (xn ). В
логико-вероятностном исчислении он называется вероятностным полиномом;
4) подставляя в вероятностный полином вероятности входящих событий P (xi ), вычисляется вероятность наступления негативного события, которое может произойти с
системой.
С математической точки зрения, весь приведенный процесс универсальный и может
применяться при оценке безопасности и риска в любой сфере человеческой деятельности.
Характеристики важности для одного события. Основные определения и
теоремы. Вес логической функции, состоящей из m элементов, есть относительная доля наборов элементов, на которых функция равна 1, среди всех 2m наборов возможных
значений элементов [1].
Булева разность любой функции y(Xm ) по аргументу xi есть результат сложения
по модулю два функции y(Xm ) и симметричной с ней функцией yxi (Xm ) =
= y(x1 , ..., xi−1 , xi , xi+1 , ..., xm ):
Δxi y(Xm ) = y(Xm ) ⊕ yxi (Xm ) = y(x1 , ..., xi , ..., xm ) ⊕ y(x1 , ..., xi , ..., xm ) =
yyx .
i
= y&yxi ∨ y &yxi = (1)
y yxi В формуле (1) приняты обозначения, принятые в логико-вероятностном анализе: знаки
конъюнкции опущены, дизъюнкция записывается в виде матрицы, строками которой
являются присутствующие в ней конъюнкции [1].
Лемма 1. Монотонная логическая функция y(Xm ) является импликантой ее единичной функции y1i (Xm ) = y(x1 , ..., xi−1 , 1, xi+1 , ..., xm ), а нулевая функция y0i (Xm ) =
y(x1 , ..., xi−1 , 0, xi+1 , ..., xm ) есть импликанта исходной функции y(Xm ), т. е., обозначив [y(x)] множество наборов Xm , на которых y(x) = 1, имеет место включение
20
[y0i (Xm )] ⊆ [y(Xm ) ⊆ [y1i (Xm )].
(2)
Для немонотонных ФАЛ формула (2) не верна.
Д о к а з а т е л ь с т в о невыполнения леммы 1 для немонотонных ФАЛ. Функцию
y(Xm ) можно представить в дизъюнктивно-нормальной форме (ДНФ): y(Xm ) =
(∨j Kj ) ∨ (∨L KL ) ∨ (∨q Kq ), где (∨j Kj ) – конъюнкции, содержащие xi , (∨L KL ) – конъюнкции, содержащие xi , (∨q Kq ) – конъюнкции, не содержащие xi и xi .
Из того, что [y0i (Xm )] ⊆ [y(Xm )], следует [∨L0 KL0 ] ⊆ [(∨j Kj ) ∨ (∨L KL )], так как
[∨L0 KL0 ] ⊇ [∨L KL ], то часть или все KL0 = KL (x1 , ..., xi−1 , 0, xi+1 , ..., xm ) принадлежат
∨j Kj . А это выполняется только для логических функций, удовлетворяющих определенным ограничениям.
Аналогично, из того, что [y(Xm )] ⊆ [y1i (Xm )], следует [(∨j Kj ) ∨ (∨L KL )] ⊆ [∨j1 Kj1 ],
значит, [∨L KL ] ⊆ [∨j1 Kj1 ], где Kj1 = Kj (x1 , ..., xi−1 , 1, xi+1 , ..., xm ). Это также выполняется только для логических функций, удовлетворяющих определенным ограничениям.
Утверждение доказано.
Вес элемента xi в системе есть вес булевой разности монотонной логической функции по аргументу xi [1]:
gxi = g(Δxi y(Xm )).
Значимость элемента xi есть частная производная от вероятности опасного функционирования всей системы Pc = P (y(Xm ) = 1) по вероятности опасности данного
события Pi = P (xi = 1) [1]:
∂Pc
ξi =
.
(3)
∂Pi
Под записью P (a) понимаем вероятность истинности a, т. е. P (a = 1).
Теорема 1. Значимость аргумента xi в монотонной логической функции численно
равна вероятности истинности булевой разности ФАЛ по аргументу xi :
(4)
ξi = P (Δxi y(Xm )).
Для немонотонных функций теорема (4) не выполняется, поскольку в ходе доказательства используется лемма 1, которая справедлива только для монотонных ФАЛ [1].
Вкладом события xi в безопасность системы назовем полную вероятность опасного
функционирования системы, определяемую данным событием [1]:
Bi = Pi · ξi .
Относительный вклад [1]
vi =
(5)
Bi
.
Pc
(6)
Для вышеприведенных характеристик существуют формулы для их вычисления.
Вес
k
l
gi = gy1i (Xm ) − gy0i (Xm ) =
2−(ri −1) −
2−(rl −1) ,
i=1
(7)
j=1
где k, ri – число и ранг конъюнкций в ортогональной ДНФ (ОДНФ) (все конъюнкции в ОДНФ ортогональны друг другу), содержащих аргумент xi ; l, rj – число и ранг
конъюнкций в ОДНФ, содержащих аргумент xi [1].
21
Формула (7) верна только для монотонных ФАЛ, так как при ее выведении используется включение [y0i (Xm )] ⊆ [y1i (Xm )] (лемма 1).
Значимость
i
i
ξi = Pc1
− Pc0
,
(8)
i
i
= P (y1i = 1), Pc0
= P (y0i = 1) [1].
здесь Pc1
Вклад [1]
i
,
Bi = Pi · ξi = Pc − Pc0
относительный вклад [1]
vi =
Bi
Pi
ξi Pi
= 1 − c0 =
.
Pc
Pc
Pc
(9)
(10)
Формулы для вычисления значимости (8) и вклада (9), (10) не зависят от монотонности функции и верны для немонотонных ФАЛ.
А именно, любую ФАЛ по любому аргументу можно разложить как y = y1i xi ∨ y0i xi ,
тогда безопасность всей системы будет определяться как
i
i
Pi + Pc0
(1 − Pi ).
Pc = P (y1i xi ) + P (y0i xi ) = Pc1
Учитывая формулу (3), получаем (8), из чего следуют (9) и (10).
Активность аргументов немонотонных ФАЛ. И. А. Рябинин и Ю. М. Парфенов в работе [2] ссылаются на книгу Дж. Хенли и Х. Кумамото [3], в которой приведен показатель, характеризующий активность в смысле отказа:
IiF V =
Q(Si )
≡ ai (Q).
Qc
(11)
Если условия работоспособности системы записаны через логическую функцию в ДНФ,
то показатель, идентичный (11), выразится соотношением
ai (R) =
P (∨j Kj )
,
Rc
(12)
где P ( j Kj ) – вероятность безотказной работы системы, вычисленная только по тем
конъюнкциям, которые содержат i-й элемент. Активность (12) в книге [2] названа активностью элемента в смысле безотказности. Это может быть легко переформулировано в терминах безопасности (элемент – событие, работоспособность – безопасность),
но математическая форма не изменится.
Активность в таком определении учитывает только события, входящие без отрицания. Потому это определение не отражает реальной активности аргументов немонотонных функций, входящих с отрицаниями.
Более объективной, на наш взгляд, будет следующая формула активности для немонотонных функций:
P (∨j Kj ) ∨ (∨L KL )
,
(13)
ai =
Pc
здесь ∨j Kj – конъюнкции, которые содержат xi ; ∨L KL – конъюнкции, содержащие
xi ; P ((∨j Kj ) ∨ (∨L KL ) = 1) – вероятность опасной работы системы, вычисленная по
конъюнкциям, содержащим xi и xi . При этом формула (13) имеет смысл как для немонотонных, так и для монотонных ФАЛ, поскольку последние не содержат конъюнкции
∨L KL , и формула (13) превращается в (12).
22
Теорема 2. Для активности, вычисленной по формуле (13), верно соотношение
vi ai ,
(14)
где vi – относительный вклад i-го аргумента, а ai – его активность.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Любую немонотонную функцию алгебры логики можно представить в ДНФ:
y(Xm ) = (∨j Kj ) ∨ (∨L KL ) ∨ (∨q Kq ),
в которой ∨j Kj – конъюнкции, содержащие xi , ∨L KL – конъюнкции, содержащие xi ,
∨q Kq – конъюнкции, не содержащие xi и xi . Это можно записать в более удобной форме:
∨j Kj ∨j (Kj1 &xi ) y(Xm ) = ∨L KL = ∨L (KL1 &xi ) .
∨q Kq ∨q Kq
Следовательно,
∨j Kjx
i
yxi (Xm ) = ∨L KLxi
∨q Kq
∨j (Kj1 &x )
i
= ∨L (KL1 &xi )
∨q Kq
,
∨ K
y0i = L L1
∨q Kq
,
∨ K
y1i = j j1
∨q Kq
,
где ∨j Kj1 – конъюнкции, в которых аргумент xi заменен на единицу; ∨L KL1 – конъюнкции, в которых аргумент xi заменен на единицу.
Тогда вероятность истинности логической функции будет вычисляться следующим
образом:
Pc = P (((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi )) + P (∨q Kq ) −
− P ((∨q Kq )&(((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi ))).
После раскрытия скобок имеем
Pc = P (((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi )) + P (∨q Kq ) −
− P ((∨q Kq )&(∨j Kj1 )&xi ) − P ((∨q Kq )&(∨L KL1 )&xi ).
Учитывая, что элемент xi не входит ни в одну из присутствующих конъюнкций и
P (xi ) = Pi , P (xi ) = 1 − Pi , получаем
Pc = P (((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi )) + P (∨q Kq ) −
− P ((∨q Kq )&(∨j Kj1 ))Pi − P ((∨q Kq )&(∨L KL1 )) + P ((∨q Kq )&(∨L KL1 ))Pi .
i
= P (y0i = 1) = P (∨L KL ) + P (∨q Kq ) − P ((∨q Kq )&(∨L KL1 )), и учитыПоскольку Pc0
вая, что P ((∨q Kq )&(∨L KL1 )) = P (∨L KL1 )P ((∨q Kq )|(∨L KL1 )), находим
i
Pc = P (((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi )) + Pc0
−
− P ((∨q Kq )&(∨j Kj1 ))Pi + Pi P (∨L KL1 )P ((∨q Kq )|(∨L KL1 )) − P (∨L KL1 ).
Приводя подобные члены, получаем
i
Pc = P (((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi )) + Pc0
−
− [P ((∨q Kq )&(∨j Kj1 ))Pi + P (∨L KL1 )[1 − Pi P ((∨q Kq )|(∨L KL1 ))]].
23
Так как [1 − Pi P ((∨q Kq )|(∨L KL1 ))] 0, значит, [P ((∨q Kq )&(∨j Kj1 ))Pi + P (∨L KL1 )[1 −
i
Pi P ((∨q Kq )|(∨L KL1 ))]] 0, следовательно, Pc − Pc0
P (((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi )),
тогда справедливо следующее неравенство:
vi =
i
Pc − Pc0
P (((∨j Kj1 )&xi ) ∨ ((∨L KL1 )&xi ))
= ai ⇒ vi ai .
Pc
Pc
Теорема доказана.
Характеристики важности для двух событий немонотонной ФАЛ. Двукратная булева разность любой функции y(Xm ) по аргументам xi и xj есть выражение [1]
ΔΔxi xj = Δxi [Δxj y(Xm )].
(15)
Двойная булева разность любой функции y(Xm ) по аргументам xi и xj есть результат сложения по модулю два исходной функции y(Xm ) и симметричной с ней функции
yxi xj (Xm ) = y(x1 , ..., xi−1 , xi , xi+1 , ..., xj−1 , xj , xj+1 , ..., xm ) [1]:
Δxi xj = y(Xm ) ⊕ yxi xj (Xm ) =
y&yx ixj
∨ y &yxi xj
yy x x
= i j
y yxi xj
.
(16)
Лемма 2. Двукратная булева разность любой ФАЛ не зависит от порядка аргументов, по которым она вычисляется, т. е.
(17)
ΔΔxi xj = ΔΔxj xi .
Доказательство данной леммы одинаково для монотонных и немонотонных ФАЛ [1].
Лемма 3. Двойная нулевая функция по аргументам xi и xj является импликантой нулевой единичной (единичной нулевой) функции по тем же аргументам, которая, в свою очередь, является импликантой двойной единичной функции для всех
монотонных ФАЛ, т. е. имеют место включения
i,j
i,j
i,j
i,j
i,j
] ⊆ [y01
] ⊆ [y01
∨ y10
] ⊆ [y11
],
[y00
i,j
i,j
i,j
i,j
i,j
[y00
] ⊆ [y10
] ⊆ [y01
∨ y10
] ⊆ [y11
].
(18)
Для немонотонных функций данная лемма (см. (18)) не выполняется.
Д о к а з а т е л ь с т в о невыполнения леммы 3 для немонотонных ФАЛ. Рассмотрим
i,j
i,j
i,j
i,j
, y01
, y10
, y11
верхние индексы опущены)
конъюнкции (далее в обозначениях y00
i
i
j
j ij
i j
ij i j Km
24
y
xi
xi
xj
xj
xi xj
xi xj
xi xj
xi xj
Km
y00
−
1
−
1
−
−
−
1, 1
Km
y10
1
−
−
1
−
−
1, 1
−
Km
y01
−
1
1
−
−
1, 1
−
−
Km
y11
1
−
1
−
1, 1
−
−
−
Km .
Здесь
i,
i ,
j,
j ,
ij ,
i j ,
ij ,
i j , Km – конъюнкции, содержащие элементы соответственно xi , xi , xj , xj , (xi , xj ), (xi , xj ), (xi , xj ), (xi , xj ) и не содержащие
(xi , xi , xj , xj ). Для удобства в функциях выписаны только элементы xi , xi , xj , xj . В
функциях y00 , y10 , y01 , y11 на местах, отвечающих элементам xi , xi , xj , xj , стоят соответственно нули или единицы. При таком представлении наглядно видно, что ни одна
из рассматриваемых функций не может быть включена
ни в объедине
нив другую,
ние нескольких функций, поскольку конъюнкции ij , i j , ij , i j для них имеются
только в одном экземпляре.
Утверждение доказано.
Лемма 4. Двукратная булева разность любой ФАЛ по аргументам xi и xj может
быть вычислена по формуле
y11 y10
y01
y00
y11 y10 y01 y00
y11 y10
y01 y00 y y10 y01
y00 .
(19)
ΔΔxi xj y(Xm ) = 11
y10 y01 y00 y11
y11
y00 y10 y01
y11 y10 y01
y00 y11 y10 y01 y00 Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычислим
ΔΔxi xj y(Xm ) = y11 ⊕ y10 ⊕ y01 ⊕ y00 = (y11 &y00
∨ y11
&y00 ) ⊕ (y10 &y01
∨ y10
&y01 ) =
y y00
y10
y10 y01
y11
y01
y00
∨ =
= 11
y11 y00 y10 y01 y10 y01 y11 y00 y11 y10
y11 y10 y01
y01
y00
y00
y11 y10 y01 y00
y11 y10 y01
y00 ∨ = .
y10 y01 y00 y11 y10 y01 y00
y11
y11
y10 y01 y00 y11 y10
y01 y00 Таким образом, лемма доказана.
Лемма 5. Двойная булева разность
быть вычислена по формуле
Δxi xj y(Xm ) = любой ФАЛ по аргументам xi и xj может
xi xj
xi xj
y11 y00
y11 y00
xi xj
xi xj
y10 y01
y10 y01
.
(20)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Функции y(Xm ) и yxi xj (Xm ) можно представить в виде
y(Xm ) = xi xj y11 ∨ xi xj y01 ∨ xi xj y10 ∨ xi xj y00
= xi xj y11
xi xj y01
xi xj y10
xi xj y00
,
25
yxi xj (Xm ) = xi xj y11 ∨ xi xj y01 ∨ xi xj y10 ∨ xi xj y00
= xi xj y11
xi xj y01
xi xj y10
xi xj y00
.
Тогда, подставляя в формулу для вычисления двойной булевой разности функции
y(Xm ) и yxi xj (Xm ), представленные в таком виде, и проведя все необходимые упрощения, получим формулу (20).
Лемма доказана.
Лемма 6. Для любой ФАЛ логическое произведение булевых разностей от одной
и той же функции по аргументам xi и xj может быть вычислено по формуле
y10
y01
xi xj y11
y11
y10 y01 y11 y01
y00 x xj i y11 y01 y00
.
(21)
Δxi y(Xm )&Δxj y(Xm ) = y
y
y
10
11
00
xi x j y y y
11 10 00
y10 y01 y00
xx i j y10 y01 y00 Д о к а з а т е л ь с т в о. Учтем, что Δxi y(Xm ) = y1i ⊕y0i = (xj y11 ∨xj y10 )⊕(xj y01 ∨xj y00 ).
Упрощая и раскрывая скобки, получим, что
y11 y01
xj y11 y01 .
Δxi y(Xm ) = y10 y00
x j y10 y00 Аналогично, Δxj y(Xm ) = y1j ⊕ y0j = (xi y11 ∨ xi y01 ) ⊕ (xi y10 ∨ xi y00 ). Упростив, имеем
y11 y10
xi y11 y10 .
Δxj y(Xm ) = y01 y00
x i y01 y00 Находя конъюнкцию полученных булевых разностей, приходим к (21).
Лемма доказана.
26
Лемма 7. Для любой ФАЛ логическую сумму булевых разностей от одной и той
же функции по аргументам xi и xj можно вычислить по формуле
xi y11 y10
xi y11
y10 xj y11 y01
xj y11
y01 (22)
Δxi y(Xm ) ∨ Δxj y(Xm ) = .
y00
xi y01
xi y01
y00
xj y10 y00
x y10 y00 j
Д о к а з а т е л ь с т в о. Учитывая найденные при доказательстве леммы 6
y11 y01
xj y11 y01
Δxi y(Xm ) = y10 y00
x j
y10 y00
,
y11 y10
xi y11 y10
Δxj y(Xm ) = y01 y00
x i
y01 y00
,
получаем (22).
Лемма 8. Для любой ФАЛ результат сложения по модулю два булевых разностей от одной и той же функции по аргументам xi и xj может быть определен по
формуле
xi xj y10
y01 xi xj y10 y01
.
(23)
Δxi y(Xm ) ⊕ Δxj y(Xm ) = x xj y11 y i 00 xi x y y00 j
11
Д о к а з а т е л ь с т в о. Аналогично, принимая во внимание полученные при доказательстве леммы 6 Δxi y(Xm ) и Δxj y(Xm ), после выполнения всех действий при нахождении Δxi y(Xm ) ⊕ Δxj y(Xm ) приходим к (23).
Лемма 9. Для любых ФАЛ имеет место соотношение
Δxi y(Xm )Δxj y(Xm ) ΔΔxi xj y(Xm ) Δxi yxj (Xm )Δxj y(Xm ) .
y11 y10
y
y
(24)
=
01 00 y11 y10 y01 y00
Δxi y(Xm )Δxj yxi (Xm ) Δx yx (Xm )Δx yx (Xm ) i
j
j
i
Д о к а з а т е л ь с т в о. Вычислим значение каждой конъюнкции в правой части.
Δxi y(Xm )&Δxj y(Xm ) уже найдена при доказательстве леммы 6. Аналогично
27
Δxi yxj &Δxj y = y11 y10
y01
y11 y10 y01
xi xj y11 y01
y00
y11 y01 y00
y y y00
xi xj 11 10
y11 y10 y00
y y01 y00
xi xj 10
y10 y01 y00
xi xj Δxi yxj &Δxj yxi
значит,
Δxi y&Δxj yxi = y11 y10
y01
xx i j y11 y10 y01 y01
y00 xi x y11
j y y y
11 01 00
=
y11
y10 y00
x xj i y11 y10
y00 y01 y00
xi xj y10
y10
y01 y00 ,
Δxi y(Xm )Δxj y(Xm ) Δxi yxj (Xm )Δxj y(Xm ) =
Δxi y(Xm )Δxj yxi (Xm ) Δxi yxj (Xm )Δxj yxi (Xm ) y11 y10
y01
y11 y10 y01
y11 y01
y00
y11 y01 y00
y11 y10 y00
y11 y10 y00
y10 y01 y00
y10 y01 y00
=
xi xj y11 y10
y01
y11 y10 y01
y y01
y00
xi xj 11
y11 y01 y00
y11 y10 y00
y11 y10 y00
y y01 y00
xi xj 10
y10 y01 y00
,
xi xj y11
y11
y11
y11
y11
y11
•
•
y10
y10
•
•
y10
y10
y10
y10
y01
y01
y01
y01
•
•
y01
y01
•
•
y00
y00
y00
y00
y00
y00
,
.
При умножении каждой строчки на дизъюнкцию, состоящую из недостающего элемен
та и его отрицания, например на y00 ∨ y00
= 1, получаем (24).
Лемма доказана.
Двукратный вес элементов xi и xj в системе есть вес двукратной булевой разности
логической функции по аргументам xi и xj [1]
g2xi xj = P (ΔΔxi xj y(Xm ))|Ri =0.5,i=1,m .
(25)
Двойной вес элементов xi и xj в системе есть вес двойной булевой разности логической ФРС по аргументам xi и xj [1]:
gxi xj = P (Δxi xj y(Xm ))|Ri =0.5,i=1,m .
(26)
Совместный вес элементов xi и xj в системе есть вес логического произведения
булевых разностей ФРС по аргументам xi и xj [1]:
gxi ∧xj = P (Δxi y(Xm ) ∧ Δxj y(Xm ))|Ri =0.5,i=1,m .
28
(27)
Суммарный вес элементов xi и xj в системе есть вес логической суммы булевых
разностей ФРС по аргументам xi и xj [1]:
gxi ∨xj = P (Δxi y(Xm ) ∨ Δxj y(Xm ))|Ri =0.5,i=1,m .
(28)
Раздельный вес элементов xi и xj в системе есть вес результата сложения по модулю
два булевых разностей ФРС по аргументам xi и xj [1]:
gxi ⊕xj = P (Δxi y(Xm ) ⊕ Δxj y(Xm ))|Ri =0.5,i=1,m .
(29)
Формулы (25)–(29) для вычисления весов не зависят от монотонности функции и верны для немонотонных ФАЛ.
Теорема 3. Двукратный вес элементов xi и xj в системе и совместный вес этих
элементов связаны соотношением
y11 y10
y01
y00 (30)
4gxi ∧xj = 2g2xi xj + P .
y11 y10 y01 y00
Данная теорема имеет место для любых ФАЛ, но доказательство для
чается от доказательства для монотонных функций.
Д о к а з а т е л ь с т в о для всех ФАЛ:
⎛
y10
y01
xi xj y11
y11
⎜
y10 y01 ⎜
⎜
⎜
⎜ y11 y01
y00 ⎜ x xj ⎜ i y11 y01 y00
⎜
⎜
gxi ∧xj = P (Δxi y(Xm )&Δxj y(Xm )) = P ⎜
⎜
y00
⎜ xi x y11 y10
j y y y
⎜
11 10 00
⎜
⎜
⎜
⎝ y10 y01 y00
xx i j y10 y01 y00 ⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
= 0.25 · P ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
y11 y10
y01
y11 y10 y01
y11 y01
y00
y11 y01 y00
y11 y10 y00
y11 y10 y00
y10 y01 y00
y10 y01 y00
⎞
⎟
⎟
⎟
⎛
ΔΔxi xj y(Xm )
⎟
⎟
⎟ = (По лемме 9) = 0.25 · P ⎝ y11 y10
y01
y00
⎟
y11 y10 y01 y00
⎟
⎟
⎟
⎠
y y10
y01
y00
= 0.25 P (ΔΔxi xj y(Xm )) + P 11
y11 y10 y01 y00
значит,
4gxi ∧xj = 2g2xi xj + P
всех ФАЛ отли-
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎠ =
y11 y10
y01
y00
=
0.25
g
+
P
2xi xj
y11 y10 y01 y00
y11 y10
y01
y00
y11 y10 y01 y00
,
.
Теорема доказана.
29
Теорема 4. Двойной вес элементов xi и xj в системе численно равен раздельному
весу этих элементов
gxi xj = gxi ⊕xj .
(31)
Данная теорема имеет место для любых ФАЛ, но доказательство для всех ФАЛ отличается от доказательства для монотонных функций.
Д о к а з а т е л ь с т в о для всех ФАЛ. Найдем отдельно gxi xj и gxi ⊕xj
⎞
⎛ xi xj y11 y00
⎞
⎛ xi xj ⎜ xi xj y11 y00 ⎟
(y11 ⊕ y00 ) ⎟
⎜
⎠ =
⎟ = P ⎝ xi xj gxi xj = P (Δxi xj y(Xm )) = P ⎜
⎜ ⎟
(xi ⊕ xj )(y10 ⊕ y01 ) ⎠
⎝ xi xj y10 y01
xi x y y01 j
= P xi xj
xi xj
(y11 ⊕ y00 )
10
+P ((xi ⊕xj )(y10 ⊕y01 )) = 0.5P (y11 ⊕y00 ) + 0.5P (y10 ⊕y01 ) =
= 0.5(P (y11 ) + P (y00 ) − 2P (y11 y00 ) + P (y01 ) + P y10 ) − 2P (y10 y01 )),
= P ⎞
⎛ xi xj y11 y00
⎜ x xj y11 y00 ⎟
i
⎟
⎜
⎟ =
gxi ⊕xj = P (Δxi y(Xm ) ⊕ Δxj y(Xm )) = P ⎜
⎟
⎜ ⎠
⎝ xi xj y10 y01
xi xj y y01 10
xi xj (y ⊕ y01 ) +P ((xi ⊕xj )(y11 ⊕y00 )) = 0.5P (y11 ⊕y00 ) + 0.5P (y10 ⊕y01 ) =
xi xj 10
= 0.5(P (y11 ) + P (y00 ) − 2P (y11 y00 ) + P (y01 ) + P y10 ) − 2P (y10 y01 )).
Теорема доказана.
Теорема 6. Суммарный вес элементов xi и xj в системе равен сумме раздельного
и совместного весов этих элементов в системе:
(32)
gxi ∨xj = gxi ⊕xj + gxi ∧xj .
Данная теорема имеет место для любых ФАЛ, но доказательство для всех ФАЛ отличается от доказательства для монотонных функций.
Д о к а з а т е л ь с т в о для всех ФАЛ:
gxi ∨xj = P (Δxi ∨ Δxj ) = ((5.122) [2]) = P ((Δxi ⊕ Δxj ) ∨ Δxi Δxj ) =
= P (Δxi ⊕ Δxj ) + P (Δxi Δxj ) − P ((Δxi ⊕ Δxj )&Δxi Δxj ) = gxi ⊕xj + gxi ∧xj .
Теорема доказана.
x1 x3
Пример. Рассмотрим логические функции y1 = x2 x4
x1 x4 x5
этих функций можно вычислить величины:
30
x1 x3
и y2 = x2 x4
x1 x4 x5
. Для
y1
gy1
g x1
ξ1
a x1
vx1
gx1 ∧x4
g2x1 x4
0.46875
0.4375
P3 − P2 P3 P4 + P4 P5 − P3 P4 P5 −
P2 P4 P5 + P2 P3 P4 P5
(P1 P3 + P1 P4 P5 − P1 P3 P4 P5 )/Pc
(P1 P3 − P1 P2 P3 P4 + P1 P4 P5 −
−
P1 P2 P4 P5
+
P1 P3 P4 P5
P1 P2 P3 P4 P5 )/Pc
0.09375
P2 P3 +P5 −P3 P5 −P2 P5 +P2 P3 P5 =
0.375
y2
0.5625
0.5
P3 − P2 P3 P4 − P5 + P4 P5
(P1 P3 + P5 − P4 P5 − P1 P5 +
P1 P4 P5 )/Pc
(P1 P3 − P1 P2 P3 P4 − P1 P5 +
P1 P4 P5 )/Pc
0.25
P5 − P2 P5 + P2 P3 P5 = 0.375
Исходя из этих данных, можно сделать вывод, что вхождение в логическую функцию аргумента с отрицанием меняет значение веса как функции, так и самого аргумента. Так же меняются другие параметры аргумента: значимость, активность, вклад.
Поскольку в данном примере логические функции небольшие, различия между значениями параметров составляют не больше 0.1, но при рассмотрении большой структуры
они могут быть больше. И хотя двукратные веса для монотонной и немонотонной функций равны, полиномы, по которым они вычисляются, разные, потому для какого-нибудь
иного примера их значения могут отличаться.
На основании этого можно утверждать, что, действительно, вычисление вышеупомянутых параметров аргумента для немонотонной ФАЛ не может производиться по
формулам, разработанным ранее для монотонных функций [1, 2].
Заключение. Для немонотонных ФАЛ вычисление таких показателей как значимость (3) и вклад (5),(6) оказалось возможным по тем же формулам, что и для монотонных ФАЛ ((8)–(10)). Формулы для определения веса (7), приведенные в книге
[2], не подходят для расчетов весов аргументов немонотонных ФАЛ, поэтому необходимы научные разработки в данной области. Активность, вычисленная по формуле (12),
не учитывает элементы, входящие с отрицаниями, и не может адекватно отражать
реальную «активность» элементов для немонотонных ФАЛ. Предложено определение
активности (13), которое справедливо для любых ФАЛ. Введена зависимость между активностью и относительным вкладом (14). Определения двойной и двукратной булевых
разностей, а также характеристик важности для двух событий, сформулированные для
монотонных функций, верны и для немонотонных ФАЛ ((15), (16), (25)–(29)). Приведены формулы для вычисления двойной и двукратной булевых разностей, логического
произведения, логической суммы, сложения по модулю два булевых разностей по разным аргументам, а также двукратного, двойного и суммарного весов ((17), (19)–(24),
(30)–(32)).
Summary
Goropashnaya A. V. Estimation importance of arguments for non-monotonic logical functions
in logic-probabilistic analisys for complex technical systems.
In logic-probabilistic theory methods of estimating weight, amount, contribution and activity
are developed. These parameters show which events have strong effect on system safety. Often
31
evaluating of element weight – is only one possibility to know “weak point” of the structure and
estimate its system safety. These methods are developed only for monotonic structures. The author
tries to transfer these results of monotonic logical functions to non-monotonic investigation area:
derived formulas for estimating weight, amount, contribution and activity. Also derived formulas
for calculation dual and double boolean diferencies and their disjunctions, conjunctions and XOR
for these functions.
Key words: safety, weight, amount, contribution, activity.
Литература
1. Рябинин И. А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб.: Изд-во
С.-Петерб. ун-та, 2007. 276 с.
2. Рябинин И. А., Парфёнов Ю. М. Надeжность, живучесть и безопасность корабельных
электроэнергетических систем. СПб.: Изд-во Военно-морской академии, 1997. 430 с.
3. Хенли Дж. Э., Кумамото Х. Надежность технических систем и оценка риска. М.:
Машиностроение, 1984. 528 с.
Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко.
Статья принята к печати 7 октября 2008 г.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа