close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Параметрическая идентификация многомерной нелинейной стационарной динамической системы при наличии автокоррелированных помех в выходных сигналах.

код для вставкиСкачать
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
УДК 519.254
К. К. Руднев
ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНОЙ
НЕЛИНЕЙНОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ ПРИ НАЛИЧИИ АВТОКОРРЕЛИРОВАННЫХ
ПОМЕХ В ВЫХОДНЫХ СИГНАЛАХ
Аннотация.
Актуальность и цели. Для оценивания параметров нелинейных динамических систем с помехами в выходных сигналах разработано большое число методов, учитывающих особенности объектов, условия их функционирования,
способ тестирования и математическую основу получаемых экспериментальных данных. В зависимости от априорной информации об объекте управления
различают задачи идентификации в узком и широком смысле. Задача идентификации в узком смысле состоит в оценивании параметров и состояния системы по результатам наблюдений над входными и выходными переменными,
полученными в условиях функционирования объекта. Рассматривается проблема параметрической идентификации многомерных по входу и выходу нелинейных разностных уравнений с помехами в выходных сигналах.
Материалы и методы. Приведен алгоритм, который является модификацией стандартного метода наименьших квадратов для восстановления неизвестных параметров без существенного увеличения априорной информации.
Результаты и выводы. На основе модифицированного нелинейного метода
наименьших квадратов доказана состоятельность матриц параметров нелинейного разностного уравнения. Реализация разработанного метода параметрической идентификации в программный продукт позволит повысить эффективность автоматизированных систем управления технологических процессов,
а также математического моделирования в технических областях науки.
Ключевые слова: параметрическая идентификация, нелинейная динамическая система, состоятельная оценка, автокоррелированные помехи, помехи
в выходных сигналах.
K. K. Rudnev
PARAMETRICAL IDENTIFICATION OF A MULTIDIMENSIONAL
NONLINEAR STATIONARY DYNAMIC SYSTEM IN PRESENCE
OF AUTOCORRELATED HINDRANCES IN OUTPUT SIGNALS
Abstract.
Background. A large number of methods considering features of objects, conditions of their functioning, ways of testing and the mathematical basis of the obtained
experimental data have been developed for estimation of parameters of nonlinear
dynamic systems with hindrances in output signals. Depending on the aprioristic information on theobject of management one can distinguish problems of identification in narrow and broad senses. The problem of identification in a narrow sense
consists in estimation of parameters and conditions of a system by results of supervision over the entrance and output variables received in operating conditions of the
object. The author considered a problem of parametrical identification of nonlinear
differential equations, multidimensional in the input and output, with hindrances in
output signals.
14
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Технические науки. Информатика, вычислительная техника
Matherials and methods. The author adduced an algorithm that is a modification
of a standard MNK for restoration of unknown parameters without essential increase of aprioristic information at application of the said method.
Results and conclusions. On the basis of the modified nonlinear method of the
smallest squares the solvency of matrixes of parameters of the nonlinear differential
equation is proved. Realization of the developed method of parametrical identification in a software product will permit to increase efficiency of automated control
systems of technological processes, and also of mathematical modeling in technical
areas of science.
Key words: parametrical identification, nonlinear dynamic system, consistent
estimate, autocorrelated hindrances, presences in output signals.
Введение
Для решения многих задач на железнодорожном транспорте, таких как
прогнозирование расхода электроэнергии, контроль функционального состояния машинистов, прогнозирование геометрических параметров рельсовой
колеи, прогнозирование расхода топлива и т.д., применяются модели на основе разностных уравнений. Многие из этих задач нелинейные, в связи с чем
возникает задача построения математических моделей на основе нелинейных
разностных уравнений.
1. Постановка задачи
Рассмотрим многомерную стационарную нелинейную динамическую
систему с дискретным временем ( i = ... − 1, 0,1…) , описываемую следующим
уравнением:
(0)
(1)
(r )
Zi +1 = G1 Zi + G1 Zi −1 +…+G1 Zi −r +
( 0)
(1)
(r )
(
)
+G2 η0 ( xi ) + G2 η1 ( xi −1 ) +…+ G2 1 ηr1 xi −r1 ,
( )
(1) x(1)
i
η0
.
.
где η0 ( xi ) =
( )
( m ) x( m )
i
( )
(1) x(1)
i −r
ηr
1
1
.
.
;
.
η0
(1)
(
)
= η( r ) xi − r1 ,
1
.
( )
( m ) x( m )
i −r
ηr
1
1
Yi = Zi + Ξ ( i ) ,
здесь Yi , Zi – наблюдаемые и ненаблюдаемые векторы выходных сигналов
( Zi ,Yi ∈ Rn ) ;
(
)
X i – наблюдаемые векторы входных сигналов xi ∈ R m .
Идентификация объекта сводится к процедуре определения матриц не-
(1)
(r )
известных параметров G1 ;…G2 1 по {Yi , X i } при известных порядках r и
r1 и является задачей параметрического оценивания.
Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control
15
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
2. Условия состоятельности оценок
В общем случае последовательность {Ξ(i )} не является последовательностью независимых случайных векторов, поэтому представляет интерес
случай аддитивных локальных автокоррелированных шумов в качестве
наблюдений.
Пусть выполняются следующие условия:
10. Множество, которому априорно принадлежат истинные значения
параметров устойчивой нелинейной многомерной системы, является компактом.

20. ηk ( xi −k ) , k = 0, r1 не зависят от {Ξ(i )} .
30. Случайные последовательности {Ξ(i )} удовлетворяют условиям:
E ( Ξ (i ) / Fi −1 ) = 0 п.н.;
(
)
E Ξ(0)ΞT (0) = D > 0 ;
N
−1
N
п.н.
→
Ξ ( i ) Ξ ( i + p ) i →∞ hΞ ( p ) < ∞,
T

p = 0, n,
i =i0
(
)
Fi −1 = {(Ξ ( i − 1) ,… E (0)} ; E Ξ(i )ΞT (i ) / Fi −1 ≤ W ,
где W – случайная матрица; hΞ – матрица локальных автокоррелированных
функций;
E (W ) ≤ π .
(
40. Вектор входных сигналов X i , векторы η0 ( xi ) … ηr1 xi − r1
) и истин-
ные параметры удовлетворяют следующему условию:
Zi
−−−−

−−−−
Zi −r
(
N −1 − − − −
η0 ( xi )
−−−−

−−−−
(
ηr1 xi −r1
ZiT  ZiT−r  ηT0 ( xi ) ηT xi − r1
r1
H zz ¦ H zη
→ H = −−−−− ,
) i →∞
H T z η ¦ H ηn
)
где H – положительно определенная матрица.
16
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Технические науки. Информатика, вычислительная техника
(
50. Пусть Ξ r = ΞT ( i + 1) ΞT ( i ) ,…ΞT (i − r )
N
−1
N
)
T
єRn( r + 2) ×1 ,
D ¦ hΞ
→
−− ,
i →∞ T
hΞ ¦ H Ξ
п.н.

Ξ r ΞTr
i =i0
где hΞ имеет размерность n × n ( r + 1) ; H Ξ : n ( r + 1) × n ( r + 1) , H Ξ – положительно определенные матрицы, элементы которых n ( r + 1) являются значениями локальной автокоррелированной функции в различные моменты времени.
3. Доказательство состоятельности оценок
Уравнение (1) можно записать в виде
( 0) Y − Ξ i + … + G( r ) Y − Ξ i − r +
( ))
( i ( ))
1 ( i −r
Yi +1 − Ξ ( i + 1) = G1
( 0)
(r )
(
)
+G2 η0 ( xi ) + …+ G2 1 ηr1 xi −r1 ,
(2)
или
( 0)
(r )
( 0)
(r )
(
)
Yi +1 = G1 Yi + … + G1 Yi − r + G2 η0 ( xi ) + … + G2 1 ηr1 xi − r1 +
(0)
(r )
+Ξ ( i + 1) − G1 Ξ ( i ) − ... − G1 Ξ ( i − r ) .

Представляем уравнение (2) в виде системы уравнений (2) j = 1, n :
(
( 0)
(r )
(0)
( 0)
(
)
)
yi(+j1) = b j • Yi + … + b j • Yi − r + a j • η0 ( xi ) + …+ a j • ηr1 xi − r1 +
j
( 0)
(r )
+ξ ( ) ( i + 1) − b j • Ξ ( i ) −…− b j • Ξ ( i − r ) ,
( 0)
(r )
(0)
(3)
(r )
где b j • − j-я строка матриц G1 ; a j •1 − j-я строка матриц G2 1 .
Уравнение (3) запишем следующим образом:
yi(+j1)
(0)
=
(r )
(0)
b j(0)
.  a j.
Yr ( i )
− − − − + ξ j ( i + 1) − a (0)
j. Ξ r ;
η( r1) ( i )
( 0)
(r )
(0)
где b j(0)
. = b j. b j. , a j. = a j.  a j. ,
T
T
Yr (i ) = YiT YiT− r , η( r1) = ηT0 ( xi ) ηTr ( xi − r1 ) .
1
Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control
17
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Введем следующую обобщенную ошибку для j-уравнения:
j
( 0)
e( ) b j. , a j. , i = ξ( j ) ( i + 1) − b j. Ξ r (i ) .
(
)
Из условий 30 и 50 следует, что обобщенная ошибка имеет нулевое
среднее, а ее локальная дисперсия с вероятностью 1 равна
N
N
2
2
1
1
j
(0)
,
,
lim
e( ) b j(0)
a
i
=
ξ( j ) ( i + 1) − b j(0)
.
. Ξ r (i ) =
j.
N →∞ N
N →∞ N
i =0
i =1
lim
(
))
(
)
(
N
2
 ( j)

1
(0)
(0) T
T
− 2ξ( j ) ( i + 1) b j(0)
 ξ ( i + 1) + b j. Ξ r ( i ) Ξ r ( i ) b j.
. Ξr (i )  =
N →∞ N

i =1 
= lim

(
( )
)
( )
(0)
= σ 2j + b j(0)
. H Ξ b j.
T
( )
− 2hΞj. b j(0)
.
T
( )
= ω b j(0)
п.н.
.
Определим оценки bˆ j.  aˆ j. неизвестных истинных значений парамет(0)
ров b j(0)
из условия минимума суммы взвешенных квадратичных от.  a j.
( )
j
клонений e( ) b j. , a j. , i с весом ω b j. [1]:
(
)
2

min

Yr ( i ) 

N  ( j)
yi +1 − b j • ¦ a j • − − − 

i =1

ηr1 ( i ) 

 b( r )Y + a( 0 ) .
j•
j• i −r
T
2
σ j + b j• D b j•
( )
b j•

−− єB
a j•
(4)
Справедливо следующее утверждение.
Пусть стационарная нелинейная динамическая система с нулевыми
начальными условиями описывается уравнением (1) и помехи удовлетворяют
(0)
и
условиям 20 ,30 ,50 . Кроме того, истинные значения параметров b j(0)
.  a j.
входные сигналы удовлетворяют условиям 10 , 40 . Тогда оценка bˆ j.  aˆ j. ,
определяемая выражением (4), при N → ∞ существует и является сильно состоятельной оценкой, т.е. bˆ j.  aˆ j.
п.н.
→ b (0)  a (0) .
j.
j.
N →∞
Доказательство утверждения. Рассмотрим функцию
2

Yr ( i ) 
1
1  ( j)
U N b j   a j  =  yi +1 − b j   a j  − − −  =
N
N

( r1 ) (i) 

η


(
18
)
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Технические науки. Информатика, вычислительная техника
2
N 
T
T
T
1
j)
j)
r1 )
(
(
(
T
T
=
(i ) a j   =
 Z + ξ ( i + 1) − Z r ( i ) + Ξ r ( i ) b j  − η
N i =1  i +1

=
N 
T
T
1
r
( j)
(0) T
T
+ η( 1 ) ( i ) a (0)
−
 ξ ( i + 1) + Z r ( i ) b j 
j
N i =1 
( ) ( ) ( )

−
=
)( ) ( ) ( )
(

(
Z rT
( i ) + ΞTr
(i )) (b j )
T
( )
r
− η( 1 )
T
( )
(i ) a j 
T
2
 =

2
N 
1
( j ) i + 1 − Z T i b T − η( r1 ) T (i ) a T − ΞT i b T  =
ξ
( ) r ( ) j


j
r ( ) j
N i =1  1

( )

( )
( )
( )
= ν1 + ν 2 + ν3 ;
где
T
(0)
Ξ r = ΞT (i ) ΞT (i − r ) , b j  = b j  − b (0)
j  , a j  = a j  − a j  ;
(
)
N
2
1
( j)
( j)
ν1 =
ξ1 ( i + 1) + b j.Ξ r ΞTr b jT. − 2ξ ( i + 1) ΞTr b jT.
;
N i =1
N
ν2 =
T
T
1
r
r
b j.  a j. Z rT ( i ) η( 1 )T (i ) Z rT ( i ) η( 1 )T (i ) b j.  a j. ;
N i =1

(
N
1
( j)
( j)
r
ν3 = 2
−ξ1 ( i + 1) Z rT ( i ) bTj. − ξ ( i + 1) η( 1 )T ( i ) aTj. +
N i =1
)
+b j.Ξ r ( i ) Z rT ( i ) bTj. + b j.Ξ r (i )η( 1 )T aTj. .
r
Тогда из условий 30 и 50 получим, что
п.н.
ν1
→ σ2 + b H b T − 2h b T , ∀ b  a ∈ B .
j. j .
j
j. Ξ j.
Ξj . j .
N →∞
Из условия 40 следует, что
п.н.
ν2
→ b  a H b  a T , ∀ b  a ∈ B .
j. j .
j. j .
j. j .
N →∞
Первые два слагаемых в ν3 . в силу условий 20 , 30 , 40 удовлетворяют
условиям леммы [2] и, следовательно:
Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control
19
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
N
п.н.
)
(
(
)
N
п.н.
1
r
( j)
j
→ 0, 1
→ 0.
−ξ( ) ( i + 1) Z rT (i )bTj.
−ξ1 ( i + 1) η( 1 )T aTj.
N i =1
N
N →∞
N →∞
i =1
Заметим, что
N
Ξ ( i ) ZiT
−−−−
N
1
b j.Ξ r ( i ) Z rT bTj. = N −1 b j. 
¦
N i =1
i =1
−−−−


Ξ (i − r ) ZiT ¦
¦ ¦
−
Ξ(i ) Z T (i − r )
−−−−−−−
¦
−

−−−−−−−
bTj. . (5)
 ¦ Ξ (i − r ) Z T (i − r )
Таким образом, (5) можно представить в виде (r + 1) 2 слагаемых, каждое из которых в силу предположений 20 ,30 , 40 по лемме [2] сходится
к нулю.
Аналогично доказывается сходимость к нулю остальных слагаемых ν3 ,
т.е.
п.н.
ν3 → 0 , ∀ b j.  a j. ∈ B ,
N →∞
и, следовательно,
п.н.
1
→ σ2 + b H b T −
U N b j . , a j.
j
j. Ξ j.
N
N →∞
(
)
(
)
T
−2hΞj.b jT. + b j.  a j. H b j.  a j. = U b j. , a j. ,
или
H zz + H Ξ ¦ H zη
T
U b j. , a j. = σ2j + b j.  a j. − − − − − − − − b j.  a j. +
H T z η ¦ H ηn
(
)
( )
H zz b j(0)
.
+
(0)
b j(0)
.  a j.
H b j .  a j. − 2
T
( )
+ H zη a (0)
j.
T
+ hΞTj.
−−−−−−−−−−−−−−−
( )
H zη b j(0)
.
T
T
T
b j.  a j . .
( )
+ H ηη a (0)
j.
T
Покажем, что решение задачи
(
) (
min ω−1 b j. , a j. U b j. , a j.
20
)
(6)
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Технические науки. Информатика, вычислительная техника
существует и достигается в единственной точке. Для этого вместе с задачей
(6) рассмотрим функцию
(
) (
)
(
)
V b j. , a j. , θ( j ) = U b j. , a j. − θ( j ) ω b j. , a j. , θ( j ) ∈ R1 ,
( )
j
V θ( ) =
(
)
min V b j. , a j. , θ( j ) ,
b j .a j . єB
тогда
(
)
(
)
(0)
(0) (0)
V b j. , a j. , θ( j ) = σ 2j 1 − θ( j ) + b j(0)
.  a j. H b j.  a j.
T
+
H zz + H Ξ − θ( j ) H Ξ ¦ H zη
T
+ b j.  a j . − − − − − − − − − − − − − − − − b j.  a j. −
H T zη
( )
H zz b j(0)
.
−2
T
¦ H ηη
( ) (
T
+ H zη a (0)
j.
)
+ 1 − θ( j ) hΞTj.
T
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
( )
H zηT b j(0)
.
T
T
b j.  a j. .
( )
+ H ηη a (0)
j.
(
T
)
Дифференцируя V b j. , a j. , θ( j ) по b j.  a j. и приравнивая производную
к нулю, получим
( ) ( )
b j. θ( j )  a j. θ( j )
T
= H + H Ξ − θ( j ) H Ξ
(
−1
×
)
T
T
H zz b j(0)
+ H zη a (0)
+ 1 − Θ( j ) hΞT j.
j.
.
×
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
,
T
T
H zηT b j(0)
+ H ηηa (0)
j.
.
тогда
( ) (
)
j
(0)
(0) (0) T
V θ( ) = σ2j 1 − θ( j ) + b j(0)
−
.  a j. H b j.  a j.
( )
T
H zz b j(0)
.
−
( ) + (1 − θ )
T
+ H zη a (0)
j.
( j)
hΞTj.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
( )
H zηT b j(0)
.
T
( )
+ H ηη a (0)
j.
T
T
H zz + H Ξ − θ( j ) H Ξ ¦ H zη
−−−−−−−−−−−−−−−−
H T zη
−1
×
¦ H ηη
Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control
21
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
( )
H zz b j(0)
.
×
T
( ) + (1 − θ ) h
+ H zη a (0)
j.
( j)
T
Ξj .
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
( )
H zηT b j(0)
.
Нетрудно
T
заметить,
что
T
.
(7)
( )
+ H ηη a (0)
j.
уравнение
T
( )
j
V θ( ) = 0
на
интервале
λ min + 1) имеет корень θ ( j ) = 1 , если λ min − наименьшее собственное
число, определяемое положительно определенными матрицами H , H Ξ , то
λ min > 0 [3]. Этот корень единственный, что вытекает из непрерывности
( −∞,
( )
( )
j
j
функции V θ( ) и на ( −∞, λ min ) , V θ( ) < 0 , тогда из (7) непосредственно
следует (6).
В дальнейшем ход доказательства практически полностью аналогичен
доказательству при условии, что n = m = 1.
Заключение
На основе данной статьи было создано прикладное программное обеспечение, которое позволит получать состоятельные оценки математических
моделей прогноза потребления ресурсов на железной дороге.
Список литературы
1. К а ц ю б а , О . А . Идентификация по методу наименьших квадратов параметров
уравнений авторегрессии при аддитивных ошибках измерений / О. А. Кацюба,
А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. – 1982. – № 2. – С. 29–38.
2. К а ц ю б а , О . А . Особенности применения МНК для оценивания линейных разностных операторов в задачах идентификации объектов управления / О. А. Кацюба, А. И. Жданов // Автоматика и телемеханика. – 1979. – № 8. – С. 86–95.
3. Г а н тм а х е р , Ф. Р . Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. – М. : Физматлит, 2010. –
576 с.
References
1. Katsyuba O. A., Zhdanov A. I. Avtomatika i telemekhanika [Automatics and remote
control]. 1982, no. 2, pp. 29–38.
2. Katsyuba O. A., Zhdanov A. I. Avtomatika i telemekhanika [Automatics and remote
control]. 1979, no. 8, pp. 86–95.
3. Gantmakher F. R. Teoriya matrits [The matrix theory]. Moscow: Fizmatlit, 2010. –
576 p.
Руднев Кирилл Константинович
аспирант, Самарский государственный
университет путей сообщения (Россия,
г. Самара, 1-й Безымянный переулок, 18)
Rudnev Kirill Konstantinovich
Postgraduate student, Samara State
University of Communication Lines (18, 1y Bezymyanniy lane, Samara, Russia)
E-mail: KiRudnev@gmail.com
22
University proceedings. Volga region
№ 3 (31), 2014
Технические науки. Информатика, вычислительная техника
УДК 519.254
Руднев, К. К.
Параметрическая идентификация многомерной нелинейной стационарной динамической системы при наличии автокоррелированных помех в выходных сигналах / К. К. Руднев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. – 2014. – № 3 (31). –
С. 14–23.
Engineering sciences. Computer science, computer engineering and control
23
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа