close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Перекрывающиеся системы итерированных функций на отрезке.

код для вставкиСкачать
Известия вузов. Математика
2012, № 12, c. 3–15
http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/
e-mail: izvuz.matem@ksu.ru
М. БАРНСЛИ, К.Б. ИГУДЕСМАН
ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ
НА ОТРЕЗКЕ
Аннотация. Перекрывающиеся системы итерированных функций порождают семейства инъективных отображений из аттрактора на инвариантные относительно сдвига подмножества
кодового пространства. В работе рассмотрен пример такого семейства для однородно линейных систем итерированных функций на единичном отрезке.
Ключевые слова: система итерированных функций, аттрактор, динамическая система.
УДК: 517.987
1. Введение
Исследование систем итерированных функций (СИФ) и их аттракторов в настоящее время является одним из основных направлений фрактальной геометрии. При этом возникающее естественным образом кодовое пространство служит единой моделью для аттракторов
всех СИФ с одинаковым числом функций. Проблема заключается в том, что за исключением тривиального случая, когда аттрактор гомеоморфен канторову множеству, кодовое
отображение из кодового пространства на аттрактор не инъективно. Таким образом, возникает необходимость в построении сечений кодового отображения. Одним из возможных
способов построения сечений являются верхние адреса [1]–[3].
Данная работа посвящена построению сечений с использованием разбиения аттрактора
на подмножества [4]–[6]. Во втором разделе дано определение СИФ и ее аттрактора. Третий
раздел посвящен сечениям кодового отображения и их свойствам. Начиная с четвертого
раздела, мы рассматриваем конкретный пример СИФ на единичном отрезке. Доказано, что
сечения сохраняют отношение порядка (лемма 4). Пятый раздел посвящен исследованию
адресного пространства Ωt,p . Основными результатами этого раздела являются теорема 1,
дающая эквивалентные определения пространства Ωt,p , и теорема 2, обобщающая результат
леммы 4. В шестом разделе теорема 3 дает ответ на вопрос: при каких значениях t и p
фиксированный элемент кодового пространства ω принадлежит Ωt,p ?
2. Системы итерированных функций
Пусть (X, d) — полное метрическое пространство, N ∈ N и I := {0, . . . , N }. Пусть
gk : X → X, k ∈ I, — набор сжимающих отображений с коэффициентами сжатия ck ∈ [0, 1),
Поступила 14.10.2011
Второй автор поддержан грантом Германской службы академических обменов (DAAD) и Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках программы “Михаил Ломоносов”
A/10/74854.
3
4
М. БАРНСЛИ, К.Б. ИГУДЕСМАН
т. е. d(gk (x), gk (y)) ≤ ck d(x, y) для любых x, y ∈ X и k ∈ I. Обозначим через K(X) множество непустых компактных подмножеств X. Известно, что K(X), снабженное метрикой
Хаусдорфа dH , является полным метрическим пространством. Набор
G := (X, g0 , . . . , gN )
будем называть системой итерированных функций (СИФ) на X. СИФ G = (X, g0 , . . . , gN )
будем называть инъективной (открытой), если все отображения gk инъективны (открыты).
Определим отображение
G : K(X) → K(X),
G(K) :=
N
gk (K).
k=0
Известно ([7], раздел 3.2; [8], [9]), что G является сжимающим отображением на (K(X), dH )
с коэффициентом сжатия
(1)
c ≤ max{c0 , . . . , cN } ∈ [0, 1).
Следовательно, существует единственное непустое компактное множество A такое, что
G(A) = A. Будем называть множество A аттрактором СИФ. Обозначим через
I ∞ := {ω = ω0 ω1 ω2 . . . | ωj ∈ I}
множество бесконечных последовательностей, состоящих из целых чисел от 0 до N . Будем
называть I ∞ кодовым пространством. Известно ([10], раздел 1.6), что I ∞ , снабженное метрикой dI ∞ (ω, σ) := 2−i , где i — наименьший номер такой, что ωi = σi , является компактным
вполне несвязным метрическим пространством.
Пусть F : X → X и i = 0, 1, 2, . . . . Через F i (F 0 := idX ) будем обозначать i-ю итерацию F .
Известно ([11], теорема 3), что для любого K ∈ K(X) аттрактор A представи́м в виде
lim gω|i (K),
A = lim Gi (K) =
i→∞
ω∈I ∞
i→∞
где ω|i := ω0 . . . ωi и gω|i := gω0 ◦ · · · ◦ gωi . Так как все gk — сжатия, то предел в последней
формуле не зависит от K и сходится к некоторой точке из аттрактора. Таким образом,
можно корректно определить непрерывное сюръективное отображение ([12], раздел 2)
π : I ∞ → A,
(2)
π(ω) := lim gω|i (K).
i→∞
Будем называть π кодовым отображением, а элементы кодового пространства ω ∈ π −1 (x)
— кодами точки x ∈ A.
Замечание 1. Вместо произвольного непустого компактного множества K из (2) в докаN
зательствах удобно использовать сам аттрактор A. Тогда, так как A = G(A) = ∪ gk (A),
k=0
то gk (A) ⊂ A и gω|i+1 (A) ⊂ gω|i (A) для любого ω ∈ Ω. Таким образом, {gω|i (A)}∞
i=0 является
убывающей последовательностью компактных множеств при i → ∞.
3. Сечения кодового отображения
Определение 1. Отображение τ : A → I ∞ будем называть сечением кодового отображения
π, если π ◦ τ = idA .
Лемма 1. Пусть G = (X, g0 , . . . , gN ) — СИФ и τ : A → I ∞ — сечение кодового отображения π. Тогда
1) τ является биекцией на свой образ;
ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ
5
2) если СИФ G инъективна и gk (A) ∩ gl (A) = ∅ для любых k = l, то τ (A) = I ∞ ;
3) если τ (A) замкнуто, то τ непрерывно;
4) если A связно и содержит более одной точки, то τ не непрерывно.
Доказательство. 1) Достаточно доказать инъективность τ . Если τ (x) = τ (y), то
x = π(τ (x)) = π(τ (y)) = y.
2) Так как π ◦ τ = idA , то достаточно доказать, что кодовое отображение π инъективно.
Пусть σ, ω ∈ I ∞ , σ = ω и j — наименьший номер такой, что σj = ωj . Из замечания 1 следует
π(ω) = lim gω|i (A) ⊂ gω|j (A) = gω|(j−1) (gωj (A)).
i→∞
Аналогично π(σ) ⊂ gσ|(j−1) (gσj (A)). Так как σ|(j−1) = ω|(j−1), σj = ωj и все gk инъективны,
то
gω|(j−1) (gωj (A)) ∩ gσ|(j−1) (gσj (A)) = gω|(j−1) (gωj (A) ∩ gσj (A)) = ∅.
Таким образом, π(σ) = π(ω).
3) Заметим, что τ −1 |τ (A) = π|τ (A) непрерывно как ограничение непрерывного отображения. Так как τ (A) ⊂ I ∞ — замкнутое подмножество компактного пространства и A компактно, то τ −1 |τ (A) : τ (A) → A есть непрерывная биекция между компактными пространствами.
Применяя стандартный топологический результат ([13], теорема 5.6), получим, что τ −1 |τ (A)
— гомеоморфизм.
4) Предположим, что τ непрерывно. Тогда τ (A) ⊂ I ∞ является связным подмножеством
вполне несвязного пространства, следовательно, содержит только одну точку. В силу инъективности τ (п. 1) A тоже состоит из одной точки, что противоречит условию.
Замечание 2. Заметим, что если СИФ G инъективна и gk (A) ∩ gl (A) = ∅ для любых k = l,
то π : I ∞ → A является гомеоморфизмом и τ = π −1 . Следовательно, топология аттрактора
совпадает с топологией кодового пространства I ∞ . В дальнейшем не будем рассматривать
такие СИФ.
Одним из возможных способов построения сечений является нахождение верхних кодов
точек из аттрактора [1]. Рассмотрим на I ∞ лексикографический порядок, определяемый
отношением ω ≺ σ ⇔ ωi < σi , где i — наименьший номер такой, что ωi = σi . Так как
кодовое отображение π непрерывно, то π −1 (x) замкнуто и, следовательно, содержит свой
максимальный элемент. Таким образом, верхнее сечение кодового отображения определяется соотношением
τ : A → I ∞ ,
τ(x) := sup{ω ∈ I ∞ | ω ∈ π −1 (x)}.
Аналогично определяется и нижнее сечение кодового отображения
τ̌ : A → I ∞ ,
τ̌ (x) := inf{ω ∈ I ∞ | ω ∈ π −1 (x)}.
Другим способом построения сечений являются замаскированные динамические системы
([4], раздел 4.1(a)).
Определение 2. Пусть G = (X, g0 , . . . , gN ) — инъективная СИФ. Набор подмножеств аттрактора M := {M0 , . . . , MN } будем называть маской для G, если
1) Mk ⊆ gk (A), k = 0, N ;
2) Mk ∩ Ml = ∅, k = l;
N
3) ∪ Mk = A.
k=0
6
М. БАРНСЛИ, К.Б. ИГУДЕСМАН
Заметим, что для любого x ∈ A существует единственный номер k ∈ I такой, что x ∈
Mk ⊆ gk (A). Это позволяет определить на аттракторе действие динамической системы.
Определение 3. Пусть M = {M0 , ..., MN } — маска для инъективной СИФ G = (X, g0 , ..., gN )
с аттрактором A. Замаскированной динамической системой будем называть пару (A, TM ),
где
⎧
⎪
g0−1 (x), x ∈ M0 ;
⎪
⎪
⎪
⎨g−1 (x), x ∈ M1 ;
1
TM : A → A, TM (x) =
..
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎩ −1
gN (x), x ∈ MN .
Замаскированная динамическая система (A, TM ) позволяет определить сечение кодового
отображения π. Пусть x ∈ A и x = x0 , x1 , x2 , . . . — орбита точки x при действии TM , т. е.
i (x) для любого i = 0, 1, 2, . . . . Определим отображение
xi = TM
τM : A → I ∞ ,
(3)
τM (x) = ω0 ω1 ω2 . . . ,
где ωi ∈ I — единственный символ, для которого xi ∈ Mωi .
Лемма 2. Отображение τM , определенное соотношением (3), является сечением кодового
отображения π.
Доказательство. Достаточно доказать, что π ◦ τM = idA . Пусть x ∈ A, x = x0 , x1 , x2 , . . . —
−1
(x)
орбита точки x при действии TM и τM (x) = ω. Докажем по индукции, что xi+1 = gω|i
для любого i = 0, 1, 2, . . . . Действительно, так как x = x0 ∈ Mω0 , то
−1
(x0 ) = gω|0
(x).
x1 = TM (x0 ) = gω−1
0
−1
−1
−1
(x). Тогда xi+2 = TM (xi+1 ) = gω−1
(gω|i
(x)) = gω|(i+1)
(x). Применяя gω|i к
Пусть xi+1 = gω|i
i+1
−1
(x), получим
обеим частям соотношения xi+1 = gω|i
x = gω|i (xi+1 ) ⊂ gω|i (A)
(4)
для любого i = 0, 1, 2, . . . . Из замечания 1 следует, что {gω|i (A)} является убывающей последовательностью компактных множеств при i → ∞. Более того, их диаметры стремятся
к нулю, так как все gk являются сжатиями и |gω|i (A)| ≤ ci+1 |A|, где c определено соотношением (1), а | · | — обозначение диаметра множества. Следовательно,
x = lim gω|i (A) = π(ω) = π(τM (x)).
i→∞
Таким образом, π ◦ τM = idA .
Будем называть τM замаскированным сечением π. Обозначим ΩM := τM (A) ⊂ I ∞ . Будем
называть ΩM адресным пространством, а элемент ω = τM (x) — адресом точки x ∈ A.
Замечание 3. В случае инъективной СИФ верхнее и нижнее сечения π являются частными
случаями замаскированных сечений для масок
Mk = gk (A) \
N
l=k+1
gl (A) и Mk = gk (A) \
k−1
gl (A)
l=0
соответственно.
Пусть S : Ω → Ω — сдвиг на адресном пространстве, т. е. S(ω0 ω1 ω2 . . . ) := (ω1 ω2 ω3 . . . ).
ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ
7
Лемма 3. Пусть G = (X, g0 , . . . , gN ) — инъективная СИФ и τM : A → I ∞ — замаскированное сечение кодового отображения π. Тогда
1) если СИФ G открыта, то τM непрерывно в точке x ∈ A тогда и только тогда,
i (x) ∈ Int (M
когда TM
A
τM (x)i ) для всех i = 0, 1, 2, . . . ;
2) следующая диаграмма коммутативна
T
−→
A −−−M
⏐
⏐
τM A
⏐
⏐τ
M
ΩM −−−−→ ΩM ;
S
3) S(ΩM ) ⊂ ΩM ;
4) если
N
TM (Mk ) = A,
k=0
то S(ΩM ) = ΩM .
i (x) ∈ Int (M
Доказательство. 1) Пусть x ∈ A и TM
A
τM (x)i ) для всех i = 0, 1, 2, . . . . Рассмотрим последовательность xj → x. Положим
τM (x) = σ0 σ1 σ2 . . . ,
τM (xj ) = σ0j σ1j σ2j . . . .
Так как x ∈ Int(Mσ0 ), то существует номер n0 такой, что xj ∈ Mσ0 и, следовательно, σ0j = σ0
для всех j > n0 . Поскольку все gk открыты, то gk−1 непрерывны, а значит,
(xj ) −−−→ gσ−1
(x) = TM (x) = x1 .
TM (xj ) = gσ−1
0
0
j→∞
Так как x1 ∈ Int(Mσ1 ), то существует номер n1 > n0 такой, что TM (xj ) ∈ Mσ1 и, следовательно, σ1j = σ1 для всех j > n1 . Продолжая подобным образом, для всякого i найдем
p
(xj ) ∈ Mσp и, следовательно, σpj = σp для всех p ≤ i и j > ni . Таким
номер ni такой, что TM
образом, dΩ (τM (x), τM (xj )) ≤ 2−i для любого j > ni . Это доказывает первую часть п. 1
леммы.
i (x) ∈
/ IntA (MτM (x)i ). Выберем послеПусть x ∈ A и i — наименьший номер такой, что TM
j
j
довательность y → xi такую, что y ∈ A \ MτM (x)i для всех j. Положим
τM (x) = σ0 σ1 σ2 . . . ,
τM (y j ) = σ0j σ1j σ2j . . . .
Заметим, что σi = σ0j для любого j. Положим xj = gσ|(i−1) (y j ). В силу (4) x = gσ|(i−1) (xi ).
Следовательно,
xj = gσ|(i−1) (y j ) −−−→ gσ|(i−1) (xi ) = x.
j→∞
p
(xj ) ∈
Так как xp ∈ Int(Mσp ) для любого p < i, то существует номер n такой, что TM
j
j
Int(Mσp ) для любых j > n и p < i. Таким образом, τM (xj ) = σ0 . . . σi−1 σ0 σ1 . . . для любых
j > n. Следовательно, dΩ (τM (x), τM (xj )) = 2−i для любых j > n. Это доказывает вторую
часть п. 1 леммы.
2) Пусть x ∈ A, τM (x) = ω = ω0 ω1 ω2 . . . и x1 = TM (x). Тогда S ◦ τM (x) = ω1 ω2 . . . .
С другой стороны, из (3) следует τM ◦ TM (x) = τM (x1 ) = ω1 ω2 . . . .
3) Так как TM (A) ⊂ A, то из п. 2 получим
S(ΩM ) = S(τM (A)) = τM (TM (A)) ⊂ τM (A) = ΩM .
8
М. БАРНСЛИ, К.Б. ИГУДЕСМАН
4) Так как
A=
N
TM (Mk ) ⊂ TM (A) ⊂ A,
k=0
то A = TM (A). Таким образом,
S(ΩM ) = S(τM (A)) = τM (TM (A)) = τM (A) = ΩM .
4. Семейство cистем итерированных функций на отрезке
Рассмотрим однопараметрическое семейство инъективных открытых СИФ: Gt
([0, 1], g0 , g1 ), где
g0 , g1 : [0, 1] → [0, 1],
g0 (x) = tx,
:=
g1 (x) = tx + 1 − t,
при различных значениях параметра t ∈ (0, 1). Обозначим аттрактор каждой из Gt через At .
Хорошо известно, что для t ∈ (0, 1/2) At — срединное канторово множество с коэффициентом сжатия t, расположенное на отрезке [0, 1], в частности, A1/3 — канторово множество.
Для t ∈ [1/2, 1) получим At = [0, 1].
Простые вычисления показывают, что элемент ω ∈ I ∞ является кодом точки x ∈ At , если
x = lim gω|j (0) = (1 − t)
j→∞
∞
ω j tj .
j=0
I∞
→ At имеет вид
∞
ω j tj .
πt (ω) = (1 − t)
Таким образом, кодовое отображение πt :
(5)
j=0
Если при t ∈ (0, 1/2) графики πt (ω), рассматриваемых как функции от t, не пересекаются,
т. е. точки из аттрактора имеют единственный адрес, то при t ∈ [1/2, 1) ситуация в корне
меняется (рис. 1).
Рис. 1. Графики πt (ω), рассматриваемые как функции от t, для различных
ω ∈ I∞
ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ
9
В силу замечания 2 не будем рассматривать сечения кодового отображения πt при t ∈
(0, 1/2), так как g0 (At ) ∩ g1 (At ) = ∅.
Пусть t ∈ [1/2, 1), тогда At = [0, 1]. Для p ∈ [1 − t, t] положим
Mt,p := (M0 , M1 ), где M0 = [0, p], M1 = (p, 1].
Так как M0 ⊂ g0 (At ) = [0, t] и M1 ⊂ g1 (At ) = [1 − t, 1], то Mt,p является маской для Gt .
Соответствующую Mt,p замаскированную динамическую систему обозначим через Tt,p , т. е.
x
x ≤ p;
t,
Tt,p : [0, 1] → [0, 1], Tt,p (x) := TMt,p (x) = x−1+t
, x > p.
t
Замаскированное сечение обозначим τt,p , а адресное пространство — Ωt,p := τt,p ([0, 1]). Нам
потребуется еще одна маска
Mt,p := (M0 , M1 ), где M0 = [0, p), M1 = [p, 1].
Связанные с ней объекты, а именно, замаскированную динамическую систему, замаскиро , τ и Ω соответственно. Заметим,
ванное сечение и адресное пространство обозначим Tt,p
t,p
t,p
что
x
x < p;
t,
: [0, 1] → [0, 1], Tt,p
(x) := TMt,p (x) = x−1+t
Tt,p
, x ≥ p,
t
отличается от Tt,p только значением в точке x = p.
— замаскированные сечения и x, y ∈ [0, 1]. Тогда
Лемма 4. Пусть τt,p и τt,p
(x), причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
1) τt,p (x) τt,p
i (x) = p для любого i = 0, 1, 2, . . . ;
Tt,p
(x) ≺ τ (y).
2) x < y ⇔ τt,p
t,p
i (x) = p для любого i = 0, 1, 2, . . . , то τ (x) =
Доказательство. 1) Заметим, что если Tt,p
t,p
i (x) = p, тогда τ (x) =
τt,p (x) по построению. Пусть i — наименьший номер такой, что Tt,p
t,p
j
(x) для j < i и τ (x) = 0, а τ (x) = 1. В этом случае τ (x) ≺ τ (x).
τt,p
j
t,p
i
i
t,p
t,p
t,p
(x) и σ = τ (y). Докажем, что из x < y следует ω ≺ σ. Если x <
2) Обозначим ω = τt,p
t,p
/ (x, y), то ω0 = σ0 . Пусть i ∈ N — наименьший
p < y, то ω0 = 0 и σ0 = 1, т. е. ω ≺ σ. Если p ∈
номер такой, что ωi = σi . Учитывая соотношение (4), равенство ω|(i − 1) = σ|(i − 1) и то,
что g0−1 и g1−1 — возрастающие функции, получим
−1
−1
−1
i
i
(x) = gω|(i−1)
(x) = gσ|(i−1)
(x) < gσ|(i−1)
(y) = Tt,p
(y).
Tt,p
i (x) < p < T i (y), т. е. ω = 0 и
Так как ωi = σi , то с учетом последнего неравенства Tt,p
i
t,p
σi = 1, откуда получим требуемое.
Докажем, что из ω ≺ σ следует x < y. Если ω0 = 0 и σ0 = 1, то x < p < y, что и
i (x) <
требовалось доказать. Пусть i ∈ N — наименьший номер такой, что ωi < σi , тогда Tt,p
i (y). Учитывая соотношение (4), равенство ω|(i − 1) = σ|(i − 1) и то, что g и g —
p < Tt,p
0
1
возрастающие функции, получим
i
i
i
(x)) = gσ|(i−1) (Tt,p
(x)) < gσ|(i−1) (Tt,p
(y)) = y.
x = gω|(i−1) (Tt,p
10
М. БАРНСЛИ, К.Б. ИГУДЕСМАН
5. Адресные пространства Ωt,p
Для любого ω ∈ I ∞ определим два множества:
Zω0 := {i ∈ N ∪ {0} | ωi = 0}, Zω1 := {i ∈ N ∪ {0} | ωi = 1}.
(6)
Заметим, что Z10∞ = Z01∞ = ∅. Здесь и далее используем обозначения
ω0 ω1 . . . ωk−1 (ωk . . . ωk+p )∞ := ω0 ω1 . . . ωk−1 ωk . . . ωk+p ωk . . . ωk+p . . . .
Для конечной последовательности нулей и единиц σ0 , . . . , σk и Ω ⊆ I ∞ обозначим
σ0 . . . σi ω := σ0 . . . σi ω0 ω1 . . . и σ0 . . . σi Ω := {σ0 . . . σi ω | ω ∈ Ω}.
Для t ∈ [1/2, 1) и p ∈ [1 − t, t] положим
αt,p := τt,p (p),
βt,p := τt,p
(p).
Для σ, ω ∈ Ω обозначим
[σ, ω] := {ς ∈ Ω | σ ς ω},
[σ, ω) := {ς ∈ Ω | σ ς ≺ ω},
(σ, ω] := {ς ∈ Ω | σ ≺ ς ω}, (σ, ω) := {ς ∈ Ω | σ ≺ ς ≺ ω}.
Обобщением теоремы 2 из [3] является
Теорема 1. Следующие условия эквивалентны:
1) ω ∈ Ωt,p ,
i (π (ω)) ≤ p для любого i ∈ Z 0 и T i (π (ω)) > p для любого i ∈ Z 1 ,
2) Tt,p
t
ω
t,p t
ω
3) S i (ω) ∈ [0∞ , αt,p ] ∪ (βt,p , 1∞ ] для любого i = 0, 1, 2, . . . .
Доказательство. Эквивалентность первого и второго условий следует из определения замаскированной динамической системы и замаскированного сечения. Действительно, ωi = 0
i (π (ω)) ∈ M , т. е. T i (π (ω)) ≤ p и ω = 1 тогда и только
тогда и только тогда, когда Tt,p
t
0
i
t,p t
i (π (ω)) ∈ M , т. е. T i (π (ω)) > p.
тогда, когда Tt,p
t
1
t,p t
Для доказательства эквивалентности второго и третьего условий заметим, что из п. 2
леммы 3 следует
i
(πt (ω)) = S i ◦ τt,p ((πt (ω)) = S i (ω).
(7)
τt,p ◦ Tt,p
(x) ≺ τ (y). СледоваКомбинируя пп. 1 и 2 леммы 4, получим x < y ⇔ τt,p (x) τt,p
t,p
тельно, x ≤ y тогда и только тогда, когда τt,p (x) τt,p (y). Таким образом, из (7) следует
i (π (ω)) ≤ p ⇔ S i (ω) α . Аналогично доказывается, что
Tt,p
t
t,p
i
(πt (ω)) > p ⇔ S i (ω) βt,p ,
Tt,p
откуда следует эквивалентность второго и третьего условий.
Лемма 5 ([5], предложение 2). cl(Ωt,p ) = cl(Ωt,p ) = Ωt,p ∪ Ωt,p .
Из п. 4 леммы 3 и леммы 5 следует инвариантность пространств Ωt,p , Ωt,p и cl(Ωt,p ) относительно сдвига S, т. е.
S(Ωt,p ) = Ωt,p , S(Ωt,p ) = Ωt,p и S(cl(Ωt,p )) = cl(Ωt,p ).
(8)
Лемма 6. Пусть ω, σ ∈ cl(Ωt0 ,p0 ), ω ≺ σ и πt (αt0 ,p0 ) < πt (βt0 ,p0 ) для любого t < t1 ≤ t0 .
Тогда πt (ω) < πt (σ) для любого t < t1 .
ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ
11
Доказательство. Обозначим
t2 = inf{t ∈ [1/2, 1) | πt (ω) = πt (σ), ω, σ ∈ cl(Ωt0 ,p0 ), ω = σ}.
В силу непрерывности πt (ω), рассматриваемой как функция от t, и компактности пространства cl(Ωt0 ,p0 ) существуют ω, σ ∈ cl(Ωt0 ,p0 ) такие, что πt2 (ω) = πt2 (σ) = x. Без ограничения
общности можно считать, что ω0 = 0 и σ0 = 1 (иначе, выбрав наименьший номер i ∈ N
такой, что ωi = σi , будем по-прежнему иметь πt2 (S i (ω)) = πt2 (S i (σ)), где S i (ω), S i (σ) ∈
cl(Ωt0 ,p0 ) по (8)). Предположим, что t2 < t1 . Тогда, так как πt2 (αt0 ,p0 ) < πt2 (βt0 ,p0 ), то
либо x < πt2 (βt0 ,p0 ), либо x > πt2 (αt0 ,p0 ). Для определенности пусть x > πt2 (αt0 ,p0 ). Тогда
πt2 (ω) = x > πt2 (αt0 ,p0 ). Однако в силу теоремы 1 имеем ω ≺ αt0 ,p0 , т. е. π1/2 (ω) < π1/2 (αt0 ,p0 ).
В силу непрерывности πt (ω), рассматриваемой как функция от t, найдется t3 ∈ (1/2, t2 )
такое, что πt3 (αt0 ,p0 ) = πt3 (ω), но это противоречит определению t2 как инфимума по все
возможным пересечениям. Таким образом, t2 ≥ t1 .
Цилиндром длины n будем называть множество элементов из I ∞ , у которых зафиксированы первые n значений, т. е.
{ω ∈ I ∞ | ω0 , . . . , ωn−1 фиксированы}.
Напомним ([14], раздел 3), что топологическая энтропия h(Ω) компактного S-инвариантного
множества Ω ⊆ I ∞ определяется соотношением
ln θn (Ω)
,
(9)
h(Ω) := lim
n→∞
n
где θn (Ω) — количество цилиндров длины n, пересекающих Ω.
Лемма 7. Для любого t < t0 имеем πt (αt0 ,p0 ) < πt (βt0 ,p0 ).
Доказательство методом от противного. Предположим
t1 = inf{t ≤ t0 | πt (αt0 ,p0 ) = πt (βt0 ,p0 )} < t0 .
Обозначим p1 = πt1 (αt0 ,p0 ) = πt1 (βt0 ,p0 ) и рассмотрим αt1 ,p1 = τt1 ,p1 (p1 ), βt1 ,p1 = τt1 ,p1 (p1 ).
Пусть αt0 ,p0 ≺ αt1 ,p1 . Выберем наименьший i ∈ N такой, что (αt0 ,p0 )i = 0 и (αt1 ,p1 )i = 1. Заметим, что πt1 (S i (αt0 ,p0 )) = πt1 (S i (αt1 ,p1 )) > p1 . C другой стороны, так как S i (αt0 ,p0 ) αt0 ,p0 ,
то πt1 (S i (αt0 ,p0 )) ≤ πt1 (αt0 ,p0 ) = p1 по лемме 6. Таким образом, αt0 ,p0 αt1 ,p1 . Аналогично можно показать, что βt0 ,p0 βt1 ,p1 . Тогда в силу п. 3 теоремы 1 имеем Ωt1 ,p1 ⊂ Ωt0 ,p0 .
Известно ([15], предложение 3.7), что h(cl(Ωt,p )) = 1/t. Из (9) следует, что если Ω ⊂ Ω , то
h(Ω) ≤ h(Ω ). Таким образом,
1
1
= h(cl(Ωt1 ,p1 )) ≤ h(cl(Ωt0 ,p0 )) = ,
t1
t0
что противоречит предположению t1 < t0 .
Следствие 1. αt0 ,p0 = αt1 ,p1 и βt0 ,p0 = βt1 ,p1 тогда и только тогда, когда t0 = t1 и p0 = p1 .
Из лемм 6 и 7 вытекает
Теорема 2. Пусть ω, σ ∈ cl(Ωt0 ,p0 ) и ω ≺ σ. Тогда πt (ω) < πt (σ) для любого t < t0 .
Доказательство. По лемме 7 πt (αt0 ,p0 ) < πt (βt0 ,p0 ) для любого t < t0 . Положив в лемме 6
t1 = t0 , получим требуемое.
Следствие 2. Пусть ω, σ ∈ Ωt0 ,p0 и ω ≺ σ. Тогда πt (ω) < πt (σ) для любого t ≤ t0 .
Доказательство. Для t<t0 утверждение следует из теоремы 2, а для t=t0 — из леммы 4.
12
М. БАРНСЛИ, К.Б. ИГУДЕСМАН
Рис. 2 иллюстрирует поведение графиков функций πt (ω) для различных ω ∈ Ωt,p . Интересно сравнить хаотическое расположение графиков функций, изображенных на рис. 1, с
упорядоченным множеством на рис. 2.
Рис. 2. Графики πt (ω), рассматриваемые как функции от t, для различных
ω ∈ Ωt,p
6. Пересечение адресных пространств
Лемма 8. Пусть ω∈Ωt0 ,p0 . Тогда ω∈Ωt,p для любых
t∈[1/2, t0 ) и p ∈ [πt (αt0 ,p0 ), πt (βt0 ,p0 )] ∩ [1 − t, t].
Доказательство. Так как (αt0 ,p0 )0 = 0, то в силу (5) имеем πt (αt0 ,p0 ) ≤ πt (01∞ ) = t. Аналогично πt (βt0 ,p0 ) ≥ πt (10∞ ) = 1 − t. Таким образом,
[πt (αt0 ,p0 ), πt (βt0 ,p0 )] ∩ [1 − t, t] = ∅.
Из п. 3 теоремы 1 следует S i (ω) ∈ [0∞ , αt0 ,p0 ] ∪ (βt0 ,p0 , 1∞ ] для любого i = 0, 1, 2, . . . . Так
как S i (ω), αt0 ,p0 и βt0 ,p0 принадлежат cl(Ωt0 ,p0 ), то по теореме 2 πt (S i (ω)) ∈ [0, πt (αt0 ,p0 )] ∪
(πt (βt0 ,p0 ), 1] для любого t < t0 . Выбрав p ∈ [πt (αt0 ,p0 ), πt (βt0 ,p0 )]∩[1−t, t], получим πt (S i (ω)) ∈
[0, p] для i ∈ Zω0 и πt (S i (ω)) ∈ (p, 1] для i ∈ Zω1 . Утверждение леммы теперь следует из п. 2
теоремы 1.
Для t ∈ [1/2, 1) обозначим
Ωt :=
Ωt,p .
p∈[1−t,t]
Из леммы 8 следует Ωt ⊃ Ωt для t < t, т. е. Ωt — убывающая последовательность множеств
при t → 1.
Определим на кодовом пространстве два отображения:
α : I ∞ → 0I ∞ , α(ω) := sup{S i (ω) | i ∈ Zω0 }, α(1∞ ) := 0∞ ;
β : I ∞ → 1I ∞ ,
β(ω) := inf{S i (ω) | i ∈ Zω1 },
β(0∞ ) := 1∞ .
ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ
13
Здесь под супремумом и инфимумом понимаем максимальный и минимальный элементы
из замыкания соответствующего множества, а Zω0 и Zω1 определены в (6). Заметим, что по
теореме 1 α(ω) αt,p и β(ω) βt,p для любого ω ∈ Ωt,p .
Лемма 9. Пусть α(I ∞ ) и β(I ∞ ) — образы кодового пространства при отображениях α
и β соответственно. Тогда
α(I ∞ ) = {ω ∈ 0I ∞ | S i (ω) ω для любого i ∈ Zω0 },
β(I ∞ ) = {ω ∈ 1I ∞ | S i (ω) ω для любого i ∈ Zω1 }.
Доказательство. Если S i (ω) ω для любого i ∈ Zω0 , то α(ω) = ω. Поэтому
α(I ∞ ) ⊃ {ω ∈ 0I ∞ | S i (ω) ω для любого i ∈ Zω0 }.
Для доказательства обратного вложения отметим два элементарных свойства метрики dI ∞ на кодовом пространстве I ∞ . Во-первых, если dI ∞ (σ, ω) ≺ 2−i , то σj = ωj и
dI ∞ (S j (σ), S j (τ )) = 2j dI ∞ (σ, τ ) для любого j = 0, i. Во-вторых, если σ ≺ ζ и dI ∞ (σ, ζ) = 2−i ,
а dI ∞ (ω, ζ) < 2−i , то σ ≺ ω.
0
такой, что α(ω) ≺ S k (α(ω)) и dI ∞ (α(ω), S k (α(ω))) =
Предположим, существует k ∈ Zα(ω)
2−l . Выберем i ∈ Zω0 так, что dI ∞ (S i (ω), α(ω)) < 2−l−k . Тогда
dI ∞ (S i+k (ω), S k (α(ω))) = 2k dI ∞ (S i (ω), α(ω)) < 2−l .
0
, то ωi+k = (α(ω))k = 0. Следовательно, i+k ∈ Zω0 и α(ω) ≺ S i+k (ω),
Так как l > 0 и k ∈ Zα(ω)
что невозможно.
Второе утверждение леммы доказывается аналогично.
Следствие 3. Отображения α и β являются проектированиями, т. е. α2 (ω) = α(ω) и
β 2 (ω) = β(ω).
Определим на кодовом пространстве отображение γ : I ∞ → [1/2, 1],
1, если πt (α(ω)) < πt (β(ω)) для любого t < 1;
γ(ω) :=
inf{t ∈ (0, 1) | πt (α(ω)) = πt (β(ω))} иначе.
(10)
Заметим, что так как α(ω) ≺ β(ω) для любого ω ∈ I ∞ , то γ(ω) ∈ [1/2, 1].
Пусть ω ∈ I ∞ . Обозначим
∞
S i (ω) ⊂ I ∞ .
Oω :=
i=0
Из определения Oω и непрерывности оператора сдвига S следует инвариантность пространств Oω и cl(Oω ) относительно S, т. е.
S(Oω ) ⊂ Oω и S(cl(Oω )) ⊂ cl(Oω ).
(11)
Лемма 10. Пусть ζ, σ ∈ cl(Oω ) и ζ ≺ σ. Тогда πt (ζ) < πt (σ) для любого t < γ(ω).
Доказательство. Обозначим t1 = inf{t ∈ [1/2, 1) | πt (ζ) = πt (σ), ζ, σ ∈ cl(Oω ), ζ = σ}. В силу непрерывности πt (ζ), рассматриваемой как функция от t, и компактности пространства
cl(Oω ) существуют ζ, σ ∈ cl(Oω ) такие, что πt1 (ζ) = πt1 (σ) = x. Без ограничения общности
можно считать, что ζ0 = 0 и σ0 = 1. Иначе, выбрав наименьший номер i ∈ N такой, что
ζi = σi , будем по-прежнему иметь πt1 (S i (ζ)) = πt1 (S i (σ)), где S i (ζ), S i (σ) ∈ cl(Oω ) по (11).
Предположим, что t1 < γ(ω). Тогда, так как πt1 (α(ω)) < πt1 (β(ω)), то либо x < πt1 (β(ω)),
либо x > πt1 (α(ω)). Для определенности пусть x > πt1 (α(ω)). Тогда πt1 (ζ) = x > πt1 (α(ω)).
14
М. БАРНСЛИ, К.Б. ИГУДЕСМАН
Однако ζ ≺ α(ω), т. е. π1/2 (ζ) < π1/2 (α(ω)). В силу непрерывности πt (ζ), рассматриваемой как функция от t, найдется t2 ∈ (1/2, t1 ) такое, что πt2 (α(ω)) = πt2 (ζ), но это противоречит определению t1 как инфимума по всевозможным пересечениям. Таким образом,
t1 ≥ γ(ω).
Теорема 3. Пусть ω ∈ I ∞ . Тогда
1) ω ∈ Ωt для любого t < γ(ω),
2) ω ∈
/ Ωt для любого t > γ(ω).
Доказательство. 1) Пусть ω ∈ I ∞ и t < γ(ω). Тогда πt (α(ω)) < πt (β(ω)). Выберем произвольный p ∈ [πt (α(ω)), πt (β(ω))). Так как α(ω), β(ω) и S i (ω) для любого i = 0, 1, 2, . . .
принадлежат cl(Oω ), то из п. 2 леммы 3 и леммы 10 следует
i
(πt (ω)) = πt (S i (ω)) ≤ πt (α(ω)) ≤ p для любого i ∈ Zω0 ,
Tt,p
i
(πt (ω)) = πt (S i (ω)) ≥ πt (α(ω)) > p для любого i ∈ Zω1 .
Tt,p
Из п. 2 теоремы 1 получим требуемое.
2) Предположим ω ∈ Ωt,p для некоторого t > γ(ω) и p ∈ [1 − t, t]. По п. 3 теоремы 1 для
любого i = 0, 1, 2, . . .
S i (ω) ∈ [0∞ , αt,p ] ∪ (βt,p , 1∞ ].
По теореме 2 для любого i = 0, 1, 2, . . .
πγ(ω) (S i (ω)) ∈ [0, πγ(ω) (αt,p )] ∪ (πγ(ω) (βt,p ), 1].
Из непрерывности кодового отображения πγ(ω) (·) и леммы 7 следует
πγ(ω) (α(ω)) ≤ πγ(ω) (αt,p ) < πγ(ω) (βt,p ) ≤ πγ(ω) (β(ω)),
что противоречит определению γ(ω) (10).
Следующее утверждение характеризует пересечение вложенной последовательности пространств Ωt .
Следствие 4. Имеем
Ωt = {ω ∈ I ∞ | γ(ω) = 1}.
t∈[1/2,1)
Авторы выражают глубокую благодарность C. Bandt за полезные замечания и комментарии.
Литература
[1] Barnsley M.F. Theory and applications of fractal tops (Springer-Verlag, London, 2005), pp. 3–20.
[2] Игудесман К.Б. Верхние адреса для одного семейства систем итерированных функций на отрезке,
Изв. вузов. Матем., № 9, 75–81 (2009).
[3] Игудесман К.Б. Об одном семействе самоподобных множеств, Изв. вузов. Матем., № 2, 31–45 (2011).
[4] Barnsley M.F., Harding B., Igudesman K. How to transform and filtering images using iterated function
systems, SIAM J. Imaging Sci. 4, 1001–1028 (2011).
[5] Barnsley M.F., Mihalache N. Symmetric itinerary sets (in press).
[6] Barnsley M.F., Harding B., Vince A. Homeomorphisms generated from overlapping affine iterated function
systems (in press).
[7] Hutchinson J. Fractals and self similarity, Indiana Univ. Math. J. 30 (5), 713–747 (1981).
[8] Hata M. On the structure of self-similar sets, Japan J. Appl. Math. 2 (2), 381–414 (1985).
[9] Williams R.F. Composition of contractions, Bol. Soc. Bras. Mat. 2 (2), 55–59 (1971).
[10] Barnsley M.F. Superfractals (Cambridge University Press, Cambridge, 2006).
ПЕРЕКРЫВАЮЩИЕСЯ СИСТЕМЫ ИТЕРИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ
15
[11] Barnsley M.F., Demko S. Iterated function systems and the global construction of fractals, Proc. R. Soc.
Lond., Ser. A 399 (1817), 243–275 (1985).
[12] Barnsley M.F. Transformations between self-referential sets, Amer. Math. Monthly 116 (4), 291–304 (2009).
[13] Munkres J.R. Topology. A first course (Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1975).
[14] Parry W. Symbolic dynamics and transformations of the unit interval, Trans. Amer. Math. Soc. 122 (2),
368–378 (1966).
[15] Shultz F. Dimension groups for interval maps. II: The transitive case, Ergodic Theory Dyn. Syst. 27 (4),
1287–1321 (2007).
М. Барнсли
профессор, институт математики Джона Дэдмана 27,
Австралийский национальный университет,
ACT 0200, Канберра, Австралия,
e-mail: Michael.Barnsley@anu.edu.au
К.Б. Игудесман
доцент, кафедра геометрии,
Казанский (Приволжский) федеральный университет,
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия,
e-mail: kigudesm@yandex.ru
M. Barnsley and K.B. Igudesman
Overlapping iterated function systems on a segment
Abstract. Overlapping iterated function systems generate families of injective mappings from the
attractor onto shift-invariant subsets of the code space. In this paper we consider an example of
such a family for the uniformly linear systems of iterated functions on the unit segment.
Keywords: iterated function systems, attractor, dynamical system.
M. Barnsley
Professor, John Dedman Mathematical Sciences Institute Building 27,
Australian National University,
ACT 0200, Canberra, Australia,
e-mail: Michael.Barnsley@anu.edu.au
K.B. Igudesman
Associate Professor, Chair of Geometry,
Kazan (Volga Region) Federal University,
18 Kremlyovskaya str., Kazan, 420008 Russia,
e-mail: kigudesm@yandex.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
6
Размер файла
471 Кб
Теги
отрезка, система, перекрывающихся, функции, итерированных
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа