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Периодическая задача о точечных воздействиях в упругой полуплоскости с отверстиями.

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??????? ?????-?????????????? ????????????
???. 10. 2009. ???. 3
??? 539.3
?. ?. ???????
????????????? ?????? ? ???????? ????????????
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1. ????????. ????????????? ???????????? ??????? ????????? ???????????????
??????????? ?????????? ?? ??????? ????????? ????????????? ????? ?????? ????????? ??? ??? ? ???????????. ??? ?????????? ????? ????????????? ????? ??????????
????????? ????????????? ??????? ??? ?????????? ????????? ? ????????? ??? ???????????? ?????????? [1]. ??????, ???? ?????????? ????? ?????? ?? ?????????
?????????? ?? ?????????, ?????????? ????????? ?? ???????? ???????. ????? ?? ?????? ????????? ? ??????????? ????? ???????? ????????????? ????????? ??????????
R. C. J. Howland [2], ?????????? ??????? ?????????? ? ??????? ??????? ????????????? ???????. ??????? ???????? ??????? ?? ????????????? ?????????? ? ?????????
? ????????? ????????? ??????? ???????. ??? ????????? ????????????? ?????????
?????????? ????? ???????????? ????????? ???? ???????? ?. ?. ??????? [3]. ???????????? ?????? ??????? ????? ?. ?. ???????, ???????? ?? ? 1953 ?., ??????? ?? ?????
??????? ?? ?????? ???????? ? ??????????? ??????????? [4]. ???????????? ???????????? ??????? ? ????????? ?????? ????? ?? ????????????????, ??????????? ???????
???????, ????????? ? [5?7]. ??? ??????????? ??????? ? ?????????????? ??????????? ??????????? [5]. ? ?????? [8, 9] ? ????????????? ??????? ??????????? ???????
???????????? ????? [10].
?????? ??? ??????? ????? ?????? ????????? ???????????? ????? ????????? ??????????? ???????????? ?????????. ?? ??? ?????? ?????????? ??? ????????? ?????????? ??????? ??????????-???????????????? ????????? ??????????????? ???????
[8, 9, 11?13]. ??????? ? ???????? 1980-? ????? ??????? ??????????? ??????? ????????????? ????? (fast multipole method) [11, 12]. ?? ????????? ??????????? ???????
??????? ????????? ?????? ??? ??????? ??????? ? ??????? ??????????? ???????? (??????? ????? ? ?????) [14]. ????????? ???????? ?? ??????????? ????? ??????????????
?????????? ???????? ? [15] ? ???????? ?????????????? ???? ?????? ?????????????
???????? ????????? ? ???????? ?????????? ???????????? ?????????.
? ????????? ????????????? ??????????? ???????????? ????, ??????? ?????????
??? ????????? ??????, ??????????? ?? ?? ??????? ? ?? ?????????????. ? ????????? ?????? ??????????? ????? ??????????????? ??????????? ?? ?????????? ??????
???????. ? ??????, ????? ???? ???????? ?????????????? ? [16] ??????????? ?? ?????? ????????????? ? ??????????? ????????????? ????? ???????????? ?????????
??????? ???? ??????????? ? ?????? ??????? ?????????????? ??????? ???????? ?????????????? ???? ?????????? ?????????? ???????????????????? ?????????? ?????-?????????????? ???????????????? ????????????. ?????????? ?????????????? ?????: 43. ??????? ???????????: ?????? ? ????????????? ?????????? ? ??????????? ?????????, ?????????? ??? ? ???????????? ??????. E-mail:
DearJuly@gmail.com.
?) ?????? ????????? ??? ?????????? ????????? ??????????? ????? ??????????????? ???????????? (?????? ? 06-01-0171, 08-01-00394).
c ?. ?. ???????, 2009
118
??? ????????? ????????????? ????????. ??????? ????????? ? ???? ??????????? ???????????, ????????????? ??????????????? ??????? ???????? ?? ????????????? ??????? ????????????? ? ?? ?????????????. ???????? ????????? ???????????? ?????????
?????????? ??????? ????. ?????, ? ?????????? ?? ??? ? ?????? ??????? ? ???????
??????? ???????? ?????????????? ????????? ????? ???????? ????????? ??????????????? ???????????. ???????????? ????????? ?????????? ????????.
2. ?????????? ??????. ?????????? ??????? ????????????? y 0 ? ???????????
????? ????????? ?????????? ????????????, ????????????? ???? ?? ????? ?? ??????
??????????? ? ???????? l ????? ??????? ????????????? (???. 1). ????? ????? ????????? ??????????? ???????? ????????????????? ???????? ?????????
???. 1. ????? ??????? ??????
119
?k = {? + kl | ? ? ?0 }, k = � � ... .
(1)
????? ???????, ??? ??????? ?k ????? ????????, ??????????????? ??????? ???????? [1]. ??? ???? ??????????????, ???
1) ?? ????????????? ? ????????????? ????????? ?????????? ??????????:
?
?
?
= qx? = const, ?yy
= qy? = const, ?xy
= 0;
?xx
?
?????????? ?yy
???????????????? ??????????? ??????????? ????????? ?? ????????????? ??????? y = 0;
2) ????? ????, ?? ??????? y = 0 ????????????? ????????? ????????????? ??????
qyy (x) = qyy (x + kl), qxy (x) = qxy (x + kl),
x ? [a, b], |b ? a| l, k = � � ...;
3) ?????? ??????? ????????? ???????? ??????????? ? ???????????? ????????
qnn (t) = qnn (t + kl), qnt (t) = qnt (t + kl), t ? ?0 , k = � � ...;
k
0
4) ? ?????? zm
= zm
+ kl (m = 1, 2, ..., k = 0, � � ...) ????????????? ? ??????????? ????????? ????????? ????????????? ??????????????? ???????????, ????????,
????? ??? ??????????????? ????, ??????????, ??????? ??? ?????????????? ??????,
???????, ?????? ?????????????????.
??? ????, ???????, ????????, ??? ??????????? ???? ????????? ? ??????????, ?. ?.
??? ????????????? ???????? ???????? ??????????????????? ??? ??????????????
???? ?????.
????????? ?????????? ??????????? ????????? ? ?????? ????.
??????? ????????????? ? ?????????????? ??????? ?????? ??? ????????? ????????
???????? ? ??????????? [1, 9].
3. ???????? ?????? ? ??????? ???????????? ?????????. ??????? ???? ?????????? ?????????? ? ???? ????? [16]
(1)
(2)
(1)
(2)
(1)
(2)
(z) + ?xx
(z), ?yy (z) = ?yy
(z) + ?yy
(z), ?xy (z) = ?xy
(z) + ?xy
(z). (2)
?xx (z) = ?xx
????? ????????? ? ???????? (1) ???? ?????????? ? ????????????? ? ?????????????
????????, ??????????? ???????? qyy (x), qxy (x), qx? , qy? ? ???????????????? ????????????? ? ?????? 1 (???. 1). ???????? (2) ???????? ??????????? ???????? ? ???????? ????????????? (??? ?????????), ?????? ??????? ?? ??????, ??????????????? ???????? ?????????, ????????? ??????????? ??????? ? ?????????? ??????????? ??????
pk (?) = pxk (?) + ipyk (?), ? ? ?k ? ?????? 2. ????? ????????????? ?????? ??????? ???????? ?? ?????? ??????? ?? ?????? ?????? ????? ?????? ???? ???????????, ???????
?????? k ????? ???????? (???. 1):
p(?) = p(? + kl),
? ? ?0 , k = � � ... .
????????, ??? ???? ??????? ???????? ?????? ?????? ?? ???????? ?????????, ?? ???
?????????? ?????????? ? ?????? 1 ????? ????.
?????????? ?????????? ??? ?????? ?? ???? ????? (p = 1, 2) ????????????? ???????? ?. ?. ???????? [1]
(p)
(p)
(p)
(p)
(p)
(z) + ?yy
(z) = 4Re?(p) (z), ?yy
(z) ? ?xx
(z) + 2i?xy
(z) = 2[z??(p) (z) + ?(p) (z)]. (3)
?xx
120
????? ?????? ???????? ??????????? ??????????, ????? ? ??????????? ?? ?????????,
z = x + iy, z? = x ? iy.
??????? ?(1) (z) ? ?(1) (z), ???????? [1], ???????????? ???????????
?
(1)
b+kl
+?
1 (z) = ?
2?i
k=?? a+kl
?(1) (z) = ?
qy? ?
q?
qyy (? ) ? iqxy (? )
d? + x +
+
?m (z, zm ),
? ?z
4
4
m
+?
1 2?i
b+kl
k=?? a+kl
+?
1 +
2?i
b+kl
k=?? a+kl
qyy (? ) + iqxy (? )
d? +
? ?z
qy? ?
qyy (? ) ? iqxy (? )
qx?
+
+
?
d?
?
?m (z, zm ),
(? ? z)2
2
2
m
??? ?????????????? ???????????? ?? ???????????? ??? (? ? ????????? ?????????? ??????????????); ??m (z, zm ), ??m (z, zm ) ? ??????????? ?????????? ??? ?????????????
k
???????? ?????????????. ????????? ??? ???
???????????, ??????????? ? ?????? zm
????? ?????, ????????, ? [17?20].
??????? ?. ?. ???????? ??? ?????? ?????? ????? ??? [16]
?(2) (z) = ?
+? k=???
k
?
(2)
+? ?
?? ? ?
p(?)
p(?)
1
+
ds,
ds ?
2?(1 + ?) z ? ?
2?(1 + ?) (z ? ??)2
z ? ??
k=??
?k
(z) = ?
+? k=???
k
+
+? k=???
k
p(?)
???
??
+
ds +
2?(1 + ?) (z ? ?)2
(z ? ??)2
?
1
p(?)
2??(?? ? ?)
?? ? ?
+
?
?
ds.
2?(1 + ?) z ? ?
z ? ??
(z ? ??)2
(z ? ??)3
????? ? ????? p(?) ???????? ????????, ?????????? ??????????? ? p(?), ds ? ????????/ ?k ; ? = 3 ? 4? ? ?????? ???????
???? ???? ???????????????? ??????? ?k , ? ? ?k , ?? ?
?????????? ? ? = (3 ? ?)/(1 + ?) ??? ?????????? ??????? ??????????? ?????????,
? ? ??????????? ???????? ????????? ?????????????.
??????? ????????? ??? ??????? ?(2) (z) ? ?(2) (z) ? ?????? (1) ? ????
+? ?(2) (z) = ?
k=???
0
?
1
?
p(?)
+
ds ?
2?(1 + ?) z ? ? + kl z ? ?? + kl
+? k=???
?? ? ?
p(?)
ds,
2?(1 + ?) (z ? ?? + kl)2
0
?(2) (z) =
+?
k=???
0
1
?
p(?)
+
?
2?(1 + ?) z ? ? + kl z ? ?? + kl
121
z + (?? ? ?)
?z
?
?
ds +
(z ? ? + kl)2
(z ? ?? + kl)2
+? ?
1
p(?)
?? ? ?
2z(?? ? ?)
+
+
ds.
+
?
2?(1 + ?) z ? ? + kl z ? ?? + kl (z ? ?? + kl)2
(z ? ?? + kl)3
k=??
?0
?????? [17], ????????????? ??????????? [10]:
+?
ctg x =
k=??
1
,
x + k?
? ????? ?????????????, ??????????? ?????????????????? ?????????? ?????????:
+?
1
1
,
=
sin2 x k=?? (x + k?)2
+?
1
ctg x
.
=
sin2 x k=?? (x + k?)3
????? ????????? ??? ??????????? ?(2) (z) ? ?(2) (z) ????? ???????? ? ????? ????????????? ?????:
?(z ? ??)
p(?)
?(z ? ?)
(2)
+ ? ctg
? (z) = ?
ctg
+
2l(1 + ?)
l
l
?0
+
?? ? ?
? p(?)
2l2 (1 + ?) sin2 [?(z ? ??)/l]
?(2) (z) =
ds,
(4)
#
?(z ? ?)
?(z ? ??)
p(?)
+ ? ctg
?
ctg
2l(1 + ?)
l
l
?0
$
(?? ? ?) + z
?
?z
?
+
+
l sin2 [?(z ? ?)/l] sin2 [?(z ? ??)/l]
#
?(z ? ?)
?(z ? ??)
p(?)
+ ctg
+
? ctg
+
2l(1 + ?)
l
l
$
?(?? ? ?)
1
2?z ctg[?(z ? ??)/l]
+
?
ds.
l
l sin2 [?(z ? ??)/l]
sin2 [?(z ? ??)/l]
??????? ??????????? ???????? ??? ??????? ?(1) (z) ? ?(1) (z) ? ?????? ????????????? ????????? ??????? ????????, ??????? [16, 21]
?
(1)
1
(z) = ?
2li
b
[qyy (? ) ? iqxy (? )] ctg
a
?
(1)
1
(z) = ?
l
b
a
122
qy? ?
q?
?(? ? z)
d? + x +
+
?m (z, zm ),
l
4
4
m
z?
?(? ? z)
d? + 2
qxy (? ) ctg
l
2l i
b
a
qyy (? ) ? iqxy (? )
d? ?
sin2 [?(? ? z)/l]
(5)
?
qy? ?
qx?
+
+
?m (z, zm ).
2
2
m
??? ????? ?????? ??????? ?(p) (z) ? ?(p) (z) ??????? ??????? ???????????????
?? ????????????? ??????? ????????????? ? ?? ?????????????. ?? ???????? ?????????
??? ????? ???
(1)
(2)
k
?nn
(t) + ?nn
(t) = qnn
(t),
(1)
(2)
k
?nt (t) + ?nt (t) = qnt
(t)
???
(2)
(1)
(2)
k
k
(1)
?nn
(t) ? i?nt (t) = qnn
(t) ? iqnt
(t) ? ?nn
(t) + i?nt (t),
(p)
t ? ?k , k = 0, � � ... . (6)
(p)
????? ?nn (t) ? ?nt (t) ? ?????????? ? ??????????? ?????????? ?????????? ?? ??????
?k ? ?????? 1 ??? p = 1 ? ?????? 2 ??? p = 2. ?????? [1], ????? ????????
(p)
(p)
?nn
(z) ? i?nt (z) = 2Re?(p) (z) ? z?(p) (z) + ?(p) (z) e2i?
(p = 1, 2),
(7)
??? ? ? ???? ????? ???????? ? ???????????????? ??????? ?k ? ???? 0x.
?????????? ????????????? ?????? ??????? ??????? (6) ?? ?????? ??????? ?????????, ??????? ?? ???? ????????? ?????????? ???????????? ?????? ????: ??? ?0 . ?????
? ???? ??????????? (7), (4), (5), ?????? ? ????????????? ????????? ???????????? ??????????? ???????? p(?) :
p(?)K(t, ?) ds + p(?)R(t, ?) ds = f (t),
t ? ?0 ,
(8)
?0
?0
???
1
K(t, ?) = ?
2l(1 + ?)
ctg
+ ctg
?(t ? ?)
?(t ? ??) ?
?? ? ?
+
+ ? ctg
?
l
l
l sin2 ?(t???)
l
?(t ? ??)
?(t ? ?)
+ ? ctg
+
l
l
? (t? ? t) ? (?? ? ?) ?
?(t? ? t)
+
+
e2i? ,
l
l sin2 [?(t ? ??)/l]
sin2 ?(t??)
l
R(t, ?) = ?
1
2l(1 + ?)
(9)
ctg
+ ctg
?(t? ? ??)
?(t? ? ?) ?
?? ? ?
+ ? ctg
+
+
l
l
l sin2 [?(t ? ??)/l]
?(t ? ??)
?(t ? ?)
+ ? ctg
+
l
l
? (?? ? ?)
2? 2 (?? ? ?)(t? ? t) ctg[?(t ? ??)/l] 2i?
+
+ 2
;
e
l sin2 ?(t???)
l
sin2 [?(t ? ??)/l]
l
123
1
f (t) = qnn (t) ? iqnt (t) +
2li
b
[qyy (? ) ? iqxy (? )] ctg
?(? ? t)
d? ?
l
a
?
1
2li
b
[qyy (? ) + iqxy (? )] ctg
qy?
q?
?(? ? t?)
d? ? x ?
?
l
2
2
a
# b
$
b
qy? 2i?
1
? (t? ? t)
qyy (? ) ? iqxy (? )
?(? ? t)
qx?
?
d? +
?
e ?
qxy (? ) ctg
d? +
l
l
2l2 i
2
2
sin2 [?(? ? t)/l]
a
?
7
2Re??m (t, zm )
?
8
a
t??
m (t, zm )
:
9
+ ??m (t, zm ) e2i? .
(10)
m
?????????? ????????? ????????? ??? ??????? f (t), ? ????? ??? ???????????
??m (z, zm ) ? ??m (z, zm ) ? ??? ??????, ????? ? ????????????? ????????? ?????????????
??????? ??????????????? ??? ? ????????, ???????????? ? [16], ??? ??????? ????????
??????? ???? ?????? ??????? l.
???????? ???????????? ? ?????? ????? ????????? (8), ?????? ? ??????? ???? ???????????? ???????????? ????????? ???????????? ??????????? px (?), py (?) :
px (?)K1 (t, ?) ds + py (?)R1 (t, ?) ds = f1 (t),
?0
?0
px (?)K2 (t, ?) ds +
?0
(11)
py (?)R2 (t, ?) ds = f2 (t),
?0
???
K1 (t, ?) = Re (K(t, ?) + R(t, ?)),
R1 (t, ?) = Im (?K(t, ?) + R(t, ?)),
(12)
K2 (t, ?) = Im (K(t, ?) + R(t, ?)),
(1)
f1 (t) = Re f (t) = qnn (t) ? ?nn
(t),
R2 (t, ?) = Re (K(t, ?) ? R(t, ?)),
(1)
f2 (z) = Im f (z) = ?qnt (t) + ?nt (t).
(13)
????????? ?????? ??????? ????????? ???????????? ????????? ????????????, ????????, ? ??????????? [8, 9]. ?????? ?????? ????? ???? ??????????????? ???????
? ??????? ???????? ?????????????? ?????????, ??? ???????? ????.
4. ?????????? ?????? ? ??????? ?????????????? ?????????. ?????? ??????
???????????? ?????? ? ??????? ?????????????? ????????? [16]. ??? ????? ? ????????
?????? ??????????????? ??????? ?????? ? ???????? ?????????????, ??????????? ? ?????? ?kj = ?0j +kl (k = 0, � � ...), ??????? ?????? ?? ???????? ?k (??? ?????? ???????? ?? ??????? ???????), ?????????? ???????????????? ?????? pj = p(?kj ) = pxj + ipyj
(j = 1, ..., N ), ?? ?????????? ?? k (???. 2).
???????, ??? ? ????????? ??????? ????? ?????????? ??? ????????????? ????????? ????? ?????? ???? ? ????? ??? ???????????? ?? ?????????? ??????????: ??????? ???? (? ???????? ??? ??? ???????), ??????????????? ??????? (????) ??? ??????
124
???. 2. ????????????? ??????????? ????????
?????????????????. ??????????? ?????????? ???????? ? ???????? (??? ?????????
???????? ?????? ???????????), ??????? ??????????? ????? ???????? ??????? (??????????). ????? ??????? ?????? ???????? ?????????? ??? ??????? ????? ??????????
? ??????????? ?????????, ????? ??????? ?????? ? ???????? [15], ?????????? ?? ? ?????? ??????. ???????? ?????? [19], ????????, ?????????? ???????????? ?????????
??? ????????? ????????, ????? ???????? ???????? ?????? ??? ? ???? ????? ??????????. ??? ?????????? ??????? ???????? ? ???????????? ?????????, ???????? ????????? ????????? ??????????? ????? ????? ???????. ???? ?????? ??????? ? ????????
?? ??????? ??????????????, ?? ????????? ????? ??????? ??????????? ?? ???????????
?????????? ?? ??????? ?????????. ??? ???? ??????? ????????, ??? ?????????? ?????
????????? ??????? ?? ?????? ????????? ???????? ?????????? ?? ??????? ?????????
[16]. ?????????? ????? ?????????? ??????? ? ????? ????? ?????????, ??? ?????????? ??????????? ??? ????????? ??????????????? ????, ??? ? ?????? [8]. ??????????
?. ?. ???????? ??? ???????, ???????? ? ??????? ????????????????? ? ??????? ????????????? ????????? ? [17?20]. ? ?? ??????? ?????? ???? ??????? ??? ??????? ????? ????? ???????? ? ?? ?????? ????????????? ????????? ????????? ????????????.
????? ??, ??? ???????? ?????????, ???????????? ??????? ?????? ??? ????????? ??????????????? ???. ? ???? ?????? ??????? ?. ?. ???????? ??? ?????? 2 ????????????
??????????? [17]
#
$
y
N
x
j
j
+
ip
p
?(z
?
?
?(z
?
??
)
)
j
j
0
0
+ ? ctg
ctg
+
?(2) (z) = ?
2l(1
+
?)
l
l
j=1
? (pxj ? ipyj )
??0j ? ?0j
+
,
2l2 (1 + ?) sin2 [?(z ? ??0j )/l]
N
ipyj
#
(14)
pxj +
?(z ? ?0j )
?(z ? ??0j )
ctg
+ ? ctg
?
2l(1 + ?)
l
l
j=1
$
?
(??0j ? ?0j ) + z
?z
?
+
+
l sin2 [?(z ? ?0j )/l] sin2 [?(z ? ??0j )/l]
#
pxj ? ipyj
?(z ? ?0j )
?(z ? ??0j )
? ctg
+ ctg
+
+
2l(1 + ?)
l
l
?(2) (z) =
125
$
?(??0j ? ?0j )
2?z ctg[?(z ? ??0j )/l]
1
+
?
l
l sin2 [?(z ? ??0j )/l]
sin2 [?(z ? ??0j )/l]
.
??? ????? ?????? ??????????? ??????????? ??? ?????? ??????????????? ??????
????? ??????????????, ??????????? ???, ??????? ???????????? ??? ?????? ???????????? ????????? (11), ??????? ??????? (6) ?????? ? ??????? ???? ?????????
N
pxj K1 (t, ?0j ) +
j=1
N
N
pyj R1 (t, ?0j ) = f1 (t),
j=1
pxj K2 (t, ?0j ) +
j=1
K1 (z, ?kj ),
N
pyj R2 (t, ?0j ) = f2 (t).
j=1
K2 (z, ?kj ),
R1 (z, ?kj ), R2 (z, ?kj ) ???????????? ???????????? ????????????
??????? ????????????? (12) ? (9), ? ?????? ????? f1 (z), f2 (z) ? ????????? (13) ? (10).
???????? ??? ????????? ??????????????? ? N ?????? ?????????? tj ? ?0 (j =
1, ..., N ), ??????? ??????? 2N ???????? ?????????????? ????????? ???????????? ??????????? pxj ? pyj
N
N
pxj K1 (tj , ?0j ) +
pyj R1 (tj , ?0j ) = f1 (tj ),
j=1
N
j=1
j=1
pxj K2 (tj , ?0j ) +
N
pyj R2 (tj , ?0j ) = f2 (tj ),
(15)
j=1
j = 1, ..., N.
5. ????????? ??????????. ????? ??????? ????????? (15), ? ??????? (14)
???????? ?????????? ??????? ?(2) ? ?(2) . ????? ????? ?? ???????? ???????? (3), (7)
????? ????????? ?????????? ?????????? ? ??????? 1 ? 2. ???????????? ???????? ?????????? ? ???????? ?????? ??????????? ????????????? (2). ??????? ?????????????
????????? (8) ??? ??????? (11) ????? ?? ???????????.
??????????? ??????? ??????????? ????????? ???????? ???????????? ??????????
?? ??????? ????????? ????? ??????? ?????????? (??? ??????? ??????????????? ?????????????) ? ????????? ?? ??? ???????????????? ????????. ????? ?? ??????
????????? ?????? ????? ?????????? ????????? ??? ? ????? ?????????? ???????? ???? ??????????????? ??????? ??????? (15). ???????????? ?????????? ????? N ??? ?????????? ????????????? ????? ???????? ? ????????????? ????? ???????????. ???
??????? ? ?????? ???????????????? ??????????? ??????? ?????????????? ?????????
??? ????????? ????? ?0j . ? ????????? ?????? ???????? ????????? ????? ??????????
????????? ??? ? ????? ??????????. ????????? ??????? ??????? ?????????? ??????
????????????? ??????? (15) ??????? ???????????? ???????? ?????? ??????????. ??????????? ????? ????? ?0j ? tj ? ?????? ????????????, ?????? ? ?. 4, ???????? ? ???????
???????????.
??????? ?????????????? ???? ????????? ? ????????????? ???????? ??? ????????,
??? ? ???????? ??????? ?????????? ?? ????????? ? ???????????? ? ???????????
?????????? ?????? ? ??????????? ?? ???? ??????? ????????. ??????? ??????? ???????
?? ???????????? ???????????? ?????????? ? ?????????? ??????? ????????????????? ?? ???. 3. ? ???????? ??????? ??????????? ????????????? ? ????????????? ????????
126
???. 3. ??????? ??????? ??????? ????????? ?? ???????????? ??????????
?????????? ? ??????.
????????????? ??????? (??????? ????????? ??? ??????????? ????????, ??????? 3/4).
?? ??? ??????? ????????????? ????????? ??????? ??????? l ? ??????? ??????? b, ???????????? ??? 0y. ??? ??????? ????????????? ???????? ???????????? ????????????
??????????. ?????? 1 ????????????? ?????????? ????????????? ????? ?? ????????????? ???????, ?????? 2 ? ?????????? ????? ??? 0y, ?????? 3 ? ?????????? ???????????? ?????????. ????????? ??? ????, ??? ??? ?????????? ??????? l ?????????? ????????????? ???????????? ?????????? ? ????????????? ?????? ? ??????????? ?????????
? ????????????? ? ????????? ?????????? ??? ??????????????? ???????? ?? ?????? ?????????. ? ?????????, ?? ???. 3 ?????, ??? ?????? 2 ? 3 ????? ?????? ???????.
??????? ????????? ??????????? ?? ??????????? ?????? ??????????? ? ??? ????????
??????????????? ???????????. ??? ??????????? ???????? ???????? ????????????? ??????????, ??????????? ????????? ??????????????? ?????????? ??? ?? ?????????.
??????????
1. ???????????? ?. ?. ????????? ???????? ?????? ?????????????? ?????? ?????????. ?.: ?????,
1966. 707 ?.
2. Howland R. C. J. Stress in a plate containing an in?nite row of holes // Proc. of the Roy. Soc.
of London. Ser. A. 1935. Vol. 148. P. 471?491.
3. ????? ?. ?. ?????????? ? ??????? ????????? ? ??????????? ????? ?????? ??????? // ????.
?? ????. 1939. ?. 23, ? 6. ?. 515?518.
4. ?????? ?. ?. ??????? ?????, ??????????? ???????????? ?????????????? ??????????? ???????? ? ?????????? ????? / ???????. ????. 1961. ?. 1, ???. 1. ?. 92?103.
5. ????? ?. ?. ????????????? ?????????? ????? ?????????. ????: ??????? ?????, 1968. 888 ?.
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