close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Периодические решения уравнения колебаний струны с разрывной нелинейностью.

код для вставкиСкачать
Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 38 (253).
Физика. Вып. 11. С. 61–64.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
В. Н. Павленко, Т. А. Петраш
Периодические решения уравнения колебаний струны
с разрывной нелинейностью
Рассматривается математическая модель малых колебаний струны под действием силы, разрывной относительно фазовой переменной. Предполагается, что один конец струны закреплён, а другой
свободный. Топологическим методом устанавливается существование 2π-периодического обобщённого решения в резонансном случае.
Ключевые слова: нелинейное уравнение колебания струны, разрывная нелинейность, обобщённые периодические решения, резонансный случай.
1. Введение. Исследуется вопрос о существовании решения нелинейного уравнения колебания струны
u − u − µu + g ( x, t , u ) = f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ Ω, (1)
tt
xx
левый конец которой закреплён, а правый свободный:
u ( o, t ) = u ' ( π, t ) = 0,
x
t ∈ [ 0, 2π] , (2)
удовлетворяющего условию периодичности
u ( x, 2 π ) = u ( x, 0 ) ,
x ∈ ( 0, π ) . (3)
Здесь Ω = ( 0, π ) × ( 0, 2π ) , μ — собственное значение оператора □ = ∂tt − ∂ xx с граничными условиями (2) и условием периодичности (3),
f ∈ L2 ( Ω ) .
Предполагается, что нелинейность g ( x, t , u )
удовлетворяет i-условию:
i1) функция g : Ω ×  →  борелева (mod 0)
[1], что означает существование множества
l ⊂ Ω ×  , проекция которого на Ω имеет меру
нуль, и борелевой функции ϕ(x, t, u), совпадающей с g(x, t, u) на ( Ω ×  ) \ l ;
i2) для почти всех ( x, t ) ∈ Ω сечение g ( x, t ,• )
имеет на  разрывы только первого рода, причём
g ( x, t , u ) ∈  g ( x, t , u ), g ( x, t , u )  ∀u ∈ ,
+
 −

где g − ( x, t , u ) = liminf g ( x, t , η) ,
η→u
g
+(
x, t , u ) = limsupg ( x, t , η) ;
η→u
i3) (Ограниченность нелинейности) найдётся функция b ∈ L2 ( Ω ) такая, что для почти всех
( x, t ) ∈ Ω и произвольного u ∈ 
g ( x, t , u ) ≤ b ( x, t ) . (4)
Задача (1)–(3) является резонансной, поскольку μ — собственное значение оператора
Даламбера □ с граничными условиями (2) и условием периодичности (3), а нелинейность g(x,
t, u) ограниченная.
Собственные значения оператора Даламбера
с граничными условиями (2) и условием периодичности (3)
2
µ nm
1

=  n +  − m 2 , m, n ∈ + = ∪ {0} ,
2

а соответствующие собственные функции
φnm ( x, t ) =
2
1

sin  n +  x ⋅ cos mt ,
2
π

ψ nm ( x, t ) =
2
1

sin  n +  x ⋅ sin mt
2
π

для m ∈ , n ∈ + и X n ( x ) =
1
1

sin  n +  x для
π 
2
m = 0, n ∈  + .
Система функций
{ nm ( x, t ) , ψnm ( x, t ) n ∈ + , m ∈ } ∪
{X n ( x) n ∈ +}
Λ= ϕ
является полной и ортонормированной в L2 ( Ω ) .
Обозначим через D линейную оболочку Λ.
Определение 1. Обобщённым решением задачи (1)–(3) называется u ∈ L2 ( Ω ) , для
62
В. Н. Павленко, Т. А. Петраш
которой найдётся измеримая на Ω функция
∫ g ( x, t ) v ( x, t ) dxdt +
+
z ( x, t ) ∈  g − ( x, t , u ( x, t ) ) , g + ( x, t , u ( x, t ) )  для почти всех ( x, t ) ∈ Ω такая, что для любой ϕ∈ D
верно тождество
v >0
+
Ω
= ∫ ( f ( x, t ) − z ( x, t ) ) ϕ ( x, t )dxdt.
−
Ω
где g + ( x, t ) = limsup g ( x, t , u ) ,
∫ u ( ϕtt − ϕ xx − µϕ )dxdt =
∫ g ( x, t ) v ( x, t ) dxdt < ∫ f ( x, t ) v ( x, t ) dxdt,
v<0
u →+∞
g − ( x, t ) = liminf g ( x, t , u ) .
(5)
Ω
Замечание 1. Если g(x, t, u) каратеодориева,
т. е. для почти всех ( x, t ) ∈ Ω сечение g ( x, t ,• )
непрерывная на  функция и для любого u ∈ 
функция g ( •, •, u ), измеримая на Ω, то в определении 1 z ( x, t ) = g ( x, t , u ( x, t ) ) и мы приходим к
общепринятому определению обобщённого решения [2].
Замечание 2. Если для u ∈ L2 ( Ω ) и любой
ϕ∈ D справедливо (5), где f ( x, t ) − z ( x, t ) заменено на ψ ∈ L2 ( Ω ) , то как показано в [2], в слу-
( )
чае µ = 0 функция u ∈ H 1 ( Ω )  C Ω (теорема
о регулярности обобщённого решения), H m ( Ω )
соболевское пространство W2m ( Ω ). Отсюда немедленно следует принадлежность обобщён-
( )
u →−∞
Тогда задача (1)–(3) имеет обобщённое решение.
Отличие сформулированной теоремы
от результатов других авторов в допущении разрывов нелинейности по фазовой переменной.
Задача (1)–(3) с μ = 0 в нерезонансном случае и каратеодориевой нелинейностью линейного роста изучалась в [2]. С помощью принципа Лере—Шаудера получена теорема существования обобщённого решения, исследуется
регулярность обобщённых решений. Вопрос
существования периодических решений нелинейного волнового уравнения с другими граничными условиями обсуждается в работах
[3]–[5].
2. Операторная постановка задачи (1)–(3).
ного решения задачи (1)–(3) в H 1 ( Ω )  C Ω
при наших предположениях. Если обобщённое
решение задачи u задачи (1)–(3) принадлежит
H 2(Ω), то для любой ϕ∈ C0∞ ( Ω ) , производя интегрирование по частям в (5), получим
ластью определения D равенством A0u =u для
произвольного u ∈ D . Его замыкание по графику обозначим через A. В [2] доказывается, что A
∫ ( utt − u xx − µu + z ( x, t ) ) ϕ ( x, t )dxdt =
2
самосопряжённый оператор в L ( Ω ) с дискрет-
Ω
= ∫ f ( x, t ) ϕ ( x, t )dxdt.
Ω
2
∞
Так как C0 ( Ω ) всюду плотно в L ( Ω ) , то от-
сюда следует, что utt − u xx − µu + z ( x, t ) = f ( x, t )
почти всюду в Ω.
Основной результат статьи следующая тео­
рема.
Теорема 1. Предположим, что
1) μ — собственное значение оператора  с
условиями (2), (3);
2) функция g ( x, t , u ) удовлетворяет i-условию;
2
3) для функции f ∈ L ( Ω ) выполняются условия Ландесмана—Лазера: для любой собствен-
ной функции v ( x, t ) оператора

с условиями
(2), (3), отвечающей μ, верно неравенство
2
Определим в L ( Ω ) линейный оператор А0 с об-
ным спектром {µ nm n, m ∈  + } и компактной резольвентой. Заметим, что обобщённое решение
u(x, t) задачи (1)–(3) принадлежит области определения D(A) оператора A и для почти всех
удовлетворяет
( x, t ) ∈ Ω
f ( x, t ) − Au ( x, t ) − µu ( x, t ) ∈
 g − ( x, t , u ( x, t ) ) , g + ( x, t , u ( x, t ) )  .


вк лючению
Нелинейность g(x, t, u) порождает оператор
Немыцкого
Gu = g ( x, t , u ( x, t ) ) ∀u ∈ L2 ( Ω ).
В силу условия i1 функция g(x, t, u) суперпозиционно измерима на Ω [1], то есть для любой
измеримой на Ω функции u(x, t) композиция g(x,
t, u (x, t)) измерима на Ω. Отсюда и условия i3
2
следует, что оператор G действует в L ( Ω ) и
для него справедлива оценка
63
Периодические решения уравнения колебаний струны с разрывной нелинейностью
|| Gu || ≤ || b ||
L2 ( Ω ). u
(6)
2
— норма в L ( Ω ) .
Здесь и далее

Пусть G — овыпукление оператора G [1]:
G u :=
∩ clco{z = Gv
}
v−u < ε
ε >0
3. Доказательство теоремы 1. Для доказательства существования неподвижной точки у
выпуклозначного компактного отображения T в
L2 ( Ω ) достаточно установить равномерную
ограниченность семейства включений
u ∈ τTu , 0 ≤ τ<1 [7. C. 107]. Допустим противное.
Тогда существуют последовательности
( τn ) ⊂ [0,1)
2
выпуклой оболочки множества B ⊂ L ( Ω ) ).
un → +∞ такие, что un ∈ τnTun для любого натурального n. Последнее включение влечёт су-
2
Известно [1], что для любого u ∈ L ( Ω ) значение
G u =

z — измеримая на Ω и для почти всех ( x, t ) ∈ Ω 

= z : Ω →
.
z ( x, t ) ∈  g − ( x, t , u ( x, t ) ) , g + ( x, t , u ( x, t ) )  


Таким образом; u(x, t) — обобщённое решение задачи (1)–(3) тогда и только тогда, когда
u ∈ D ( A ) и удовлетворяет включению
f − Au + µu ∈ G u. (7)
Преобразуем включение (7). Выберем ε > 0
так, чтобы полуинтервал (μ, μ + ε] не содержал
собственных значений оператора A. Добавим к
обеим частям (7) ε · u и запишем его в виде
( A − ( µ + ε ) I ) u ∈ f − Gu − εu,
−1
Aun − µun − (1 − τn ) εun + τn zn = τn f . 
2
оценки (6) следует, что для любого u ∈ L ( Ω )

и z ∈G u
|| z || ≤ || b ||. (8)
Поскольку ( A − ( µ + ε ) I ) — компактный
оператор, то, повторяя рассуждения из [6. С. 52],
можно доказать, что значения отображения T —
выпуклые компакты, оно полунепрерывно
−1
В силу (8) || zn || ≤ || b || для любого натурального n. Поделим обе части (9) на un . Обозначив
un
через vn vn , получим
un
z
( A − (µ + ε ) I ) vn = τn uf − τn un − ετn vn . (10)
n
n
Так как vn = 1 , то можно считать, что vn  v
в L ( Ω ). В противном случае нужно перейти к
подпоследовательности. Правая часть в (10)
слабо сходится к −ετv. Поскольку оператор
2
−1
компактный, то из (10) следует
Av = ( µ + (1 − τ ) ε ) v .
Заметим, что v = 1 и τ ∈ [ 0,1] . Поэтому τ = 1
и v — собственный вектор оператора A, отвечающий собственному значению μ. В противном
случае, полуинтервал (µ, µ + ε] будет содержать
собственное значение оператора A, что противоречит выбору ε.
Умножим обе части (9) на v ( x, t ) и проинтегрируем по Ω. Учитывая, что
∫ ( Au ( x, t ) − µu ( x, t )) ⋅ v ( x, t ) dxdt =
n
2
2
сверху на L ( Ω ) и для любого шара U ⊂ L ( Ω )
множество TU :=
(9)
2
сильная сходимость (vn) к v в L ( Ω ) и равенство
( f − G u − εu ) ≡ Tu,
2
где I тождественный в L ( Ω ) оператор. Из

ществование zn ∈ G un , для которого верно равенство
( A − (µ + ε ) I )
что эквивалентно включению
u ∈ ( A − (µ + ε ) I )
и
( un ) ⊂ L2 ( Ω ) ,
τn → τ ∈ [ 0,1] ,
2
для любого u ∈ L ( Ω ) (clcoB — замыкание
( ( A − µI ) un , v ) = (un , ( A − µI ) v ) = 0,
 Tu предкомпактно в L ( Ω ).
2
u∈U
Таким образом, существование обобщённого
решения задачи (1)–(3) равносильно существованию неподвижной точки у построенного выпуклозначного компактного отображения T.
n
Ω
получим

1 
1 −  ε un ( x, t ) v ( x, t ) dxdt +
 τn  Ω
∫
+ zn ( x, t ) v ( x, t ) dxdt =
∫
Ω
∫ f ( x, t ) v ( x, t ) dxdt.
Ω
64
В. Н. Павленко, Т. А. Петраш
Так как
∫ u ( x, t ) v ( x, t ) dxdt = u ∫ v ( x, t ) v ( x, t ) dxdt и
n
n
Ω
n
Ω
∫ v ( x, t ) v ( x, t ) dxdt → ∫ v ( x, t ) dxdt = 1,
2
n
Ω
Ω
то существует такое n0 ∈  , что для любого
n > n0
∫ u ( x, t ) v ( x, t ) dxdt > 0.
n
Ω
Отсюда следует для n > n0 неравенство
∫ z ( x, t ) v ( x, t ) dxdt > ∫ f ( x, t ) v ( x, t ) dxdt.
n
Ω
Ω
Переходя в нём к верхнему пределу, получим
∫ f ( x, t ) v ( x, t ) dxdt ≤
Ω
limsup zn ( x, t ) v ( x, t ) dxdt ≤
n →∞
∫
Ω

limsup  g + ( x, t , u ( x, t ) ) v ( x, t ) dxdt +
n →∞ 
 v >0
∫
∫ g ( x, t, u ( x, t )) v ( x, t ) dxdt ≤
+
−
v<0
∫ g ( x, t, u ( x, t )) v ( x, t ) dxdt +
+
v >0
+
∫ g ( x, t, u ( x, t )) v ( x, t ) dxdt.
−
v< 0
При переходе к пределу под знак интеграла
воспользовались леммой Лебега—Фату [8] с
учётом оценки (4) и тем, что un ( x, t ) → +∞ , если
v ( x, t ) > 0 , и un ( x, t ) → −∞ , если v ( x, t ) < 0.
Полученное неравенство противоречит условию
3) теоремы 1 и на этом её доказательство завершается.
Список литературы
1. Красносельский, М. А. Системы с гистерезисом / М. А. Красносельский, А. В. Покровский. М. : Наука, 1983. 272 с.
2. Рудаков, И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными
условиями Неймана и Дирихле // Изв. вузов. Математика. 2007. № 2 (537). С. 46–55.
3. Рудаков, И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными
граничными условиями // Изв. РАН. Сер. Математика. 2006. № 1. С. 173–184.
4. Brezis, H. Characterizations of the ranges
of some nonlinear operators and applications to
boundary value problems / H. Brezis, L. Nirenberg // Ann. Scuola Norm. Pisa. 1978. Vol. 5, № 2.
P. 225–325.
5. Feireisl, E. Weakly damped quasilinear wave
equation: existence of time-periodic solutions // Nonlinear Anal. TMA. 1991. Vol. 17, № 8. P. 711–723.
6. Павленко, В. Н. Уравнения параболического типа с разрывной нелинейностью степенного
роста // Вестн. Челяб. гос. ун-та. 2008. № 6 (107).
Математика. Механика. Информатика. Вып. 10.
С. 49–53.
7. Борисович, Ю. Г. Введение в теорию многозначных отображений и дифференциальных
включений / Ю. Г. Борисович [и др.]. М. : КомКнига, 2005. 216 с.
8. Иосида, К. Функциональный анализ. М. : Мир,
1967. 624 с.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
378 Кб
Теги
решение, уравнения, струна, разрывного, нелинейности, колебания, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа