close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Поля Якоби для неголономного распределения.

код для вставкиСкачать
УДК 514.752.8:514.822
Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 4
ПОЛЯ ЯКОБИ ДЛЯ НЕГОЛОНОМНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В. Р. Крым
С.-Петербургский государственный университет,
соискатель, vkrym2007@rambler.ru
1. Введение. Статья посвящена построению теории второй вариации функционала
длины и уравнению Якоби для распределения. Распределением на гладком многообразии N называется семейство подпространств A(x) ⊂ Tx N , гладко параметризованное
точками многообразия. Построена общая теория вариационного исчисления с неголономными ограничениями ϕ(t, x, ẋ) = 0 [1]. Распределения получаются, если ограничения линейны по скоростям: ωx (ẋ) = 0. Для этого случая в настоящей работе были
изучены как необходимые, так и достаточные условия оптимальности, предложенные
в [1]. В настоящей работе построен пример, для которого «присоединённая задача»
Г. А. Блисса приводит к появлению «новых» сопряжённых точек, не связанных с потерей оптимальности. После каждой «правильной» сопряжённой точки размерность «отрицательного подпространства» индексной формы геодезической увеличивается. Как
доказывается в настоящей работе, для новых сопряжённых точек этого не происходит.
В настоящей работе вторая вариация функционала энергии для регулярных горизонтальных геодезических выражена через тензор кривизны распределения.
2. Вариации и уравнения вариаций. Пусть γ : [t0 , T ] → N — кусочно C 1 -гладкий горизонтальный путь. Элементарной вариацией C 1 -гладкого отрезка пути γ : [t1 , t2 ] → N
будем называть однопараметрическое семейство отображений σ(·, τ ) : [t1 , t2 ] → N ,
|τ | < ε, если существуют непрерывные производные ∂σ/∂t, ∂σ/∂τ , на «центральной
линии» σ(t, 0) = γ(t) и ∂σ/∂t ∈ A(σ(t, τ )) при всех допустимых t и τ . Вторые производные ∂ 2 σ/∂t∂τ, ∂ 2 σ/∂τ ∂t существуют при всех допустимых t и τ и непрерывны в
точках пути γ. Элементарные вариации примыкают друг к другу, если они определены на примыкающих интервалах [t1 , t2 ], [t2 , t3 ], и полученная таким образом вариация
непрерывна на своей области определения.
Горизонтальной вариацией горизонтального пути γ : [t0 , T ] → N называется однопараметрическое семейство σ(·, τ ) : [t0 (τ ), T (τ )] → N , состоящее из конечного числа последовательно примыкающих друг к другу элементарных вариаций, заданных
на примыкающих интервалах [t1 , t2 ], [t2 , t3 ], . . ., [tk−1 , tk ], причем t1 < t0 (τ ) < t2 и
tk−1 < T (τ ) < tk . Предполагается также, что функции t0 , T имеют непрерывные производные по τ .
С каждой вариацией связаны два векторных поля вдоль отображения σ: X = ∂σ/∂t
и Y = ∂σ/∂τ . Векторное поле Y (·, 0) вдоль γ будем называть основным векторным
полем и обозначать просто Y .
Горизонтальная вариация удовлетворяет условиям ω α (∂σ/∂t) = 0. Дифференцируя
это тождество по τ , получаем
n
n
∂ωkα ∂σ j ∂σ k α ∂ 2 σ k
+
= 0.
ωk
∂t∂τ
∂xj ∂τ ∂t
j,k=1
k=1
c
В. Р. Крым, 2010
51
При τ = 0 получим уравнения вариаций вдоль γ:
n
k=1
ωkα
n
dY k
∂ωkα k j
+
γ Y = 0,
dt
∂xj
j,k=1
α = m + 1, . . ., n.
(1)
Эти уравнения мы будем обозначать Φα (Y , Y ) = 0, α = m + 1, . . ., n. Это система из
n − m дифференциальных уравнений, и ранг матрицы (ωkα ) равен n − m. Поэтому горизонтальная проекция основного векторного поля может быть выбрана произвольно,
а вертикальные компоненты Y α определяются начальным условием.
Если на концы кривой
наложены ограничения, тотакие же ограничения наложены
и на её вариацию: ψμ t0 (τ ), σ(t0 (τ ), τ ), T (τ ), σ(T (τ ), τ ) = 0, μ = 1, . . ., p. Будем считать,
что функции ψμ зависят от переменных (t0 , x0 , T, xT ). Дифференцируя это тождество
по τ и полагая τ = 0, получаем
где ξt0
∂ψ
∂ψμ
∂ψμ ∂ψμ μ
Y (t0 ) + γ (t0 )ξt0 +
Y (T ) + γ (T )ξT = 0,
ξT +
ξt0 +
∂t0
∂x0
∂T
∂xT
= dt0 /dτ τ =0 , ξT = dT /dτ τ =0 . Это уравнения вариаций краевых условий.
(2)
Лемма 1. Пусть распределение является C 3 -гладким. Пусть γ — горизонтальная
кривая, поле Y вдоль γ удовлетворяет уравнениям вариаций (1), числа ξt0 , ξT ∈ R.
Тогда существует горизонтальная
вариация
σ кривой γ = σ|τ =0 такая, что Y =
∂σ/∂τ τ =0 и ξt0 = dt0 /dτ τ =0 , ξT = dT /dτ τ =0 [1, c. 233].
Доказательство. К условиям горизонтальности ω α (γ ) = 0, α = m+1, . . ., n, добавим уравнения ϕβ (t, x, ẋ) = z β (t), β = 1, . . ., m, где ϕβ — линейные функции относительно переменных ẋ с коэффициентами, зависящими от t, причем функциональный
определитель системы функций (ω, ϕ) по переменным ẋ не обращается в нуль на γ.
Правая часть z β определяется левой частью на кривой γ. Пусть σ — вариация пути γ,
возможно, тривиальная. Тогда ϕβ (t, σ(t, τ ), σt (t, τ )) = f β (t, τ ). Продифференцируем это
тождество по τ , получим
n ∂ϕβ ∂σ k ∂f β
∂ϕβ ∂ 2 σ k
+
.
=
k ∂τ ∂t
∂τ
∂ ẋ
∂xk ∂τ
k=1
При τ = 0 получим
n ∂ϕβ k ∂ϕβ dY k
+
Y
= ζβ .
k dt
k
∂
ẋ
∂x
k=1
Эти уравнения мы будем обозначать Φβ (Y , Y ) = ζ β , β = 1, . . ., m. Правая часть ζ
определяется левой частью на поле Y .
Систему уравнений ω α (ẋ) = 0, ϕβ (t, x, ẋ) = z β (t) можно разрешить относительно ẋ:
ẋ = χ(t, x, z), где функции χ являются C 3 -гладкими
на окрестности
imγ. Рассмотрим
систему дифференциальных уравнений ẋi = χi t, x, z(t) + τ ζ(t) , т. е.
ω(ẋ) = 0
.
ϕ(t, x, ẋ) = z(t) + τ ζ(t)
Пусть t1 есть первое следующее за t0 значение t, соответствующее угловой точке кривой
γ или точке разрыва какой-либо из функций Y . Если таких значений нет, то положим
52
t1 = T . Пусть γ1 — дуга кривой γ, соответствующая интервалу [t0 , t1 ]. Функции z, ζ, если
их рассматривать только на интервале [t0 , t1 ], могут быть произвольно продолжены так,
чтобы они остались непрерывными
на несколько большем интервале. Тогда правая
часть системы ẋi = χi t, x, z(t) + τ ζ(t) непрерывна относительно t, x, τ , и имеются
непрерывные частные производные третьего порядка но переменным x, τ в окрестности
значений τ = 0, соответствующих дуге γ1 . Возьмем решение этой системы с начальной
точкой (t0 , x0 + τ Y (t0 )):
σ(t, τ ) = x0 + τ Y (t0 ) +
t
χ t, σ(t, τ ), z(t) + τ ζ(t) dt.
t0
Очевидно, что в начальной точке στ t=t0 = Y (t0 ). Продольные линии (τ = const) этого
семейства горизонтальны и удовлетворяют ограничениям ϕ(t, σ(t, τ ), σt (t, τ )) = z(t) +
τ ζ(t). Следовательно, это решение удовлетворяет уравнениям вариаций (1) и Φ(Y , Y ) =
ζ. Но у этой системы есть только одно решение с начальным условием Y (t0 ) = Y0 .
Следовательно, στ |τ =0 = Y .
Пусть t2 — первое следующее за t1 значение t, соответствующее угловой точке кривой γ или точкеразрыва какой-либо
из функций Y . Система дифференциальных урав
i
i
нений ẋ = χ t, x, z(t) + τ ζ(t) с начальной точкой (t1 , x1 + τ Y (t1 )) определяет на
некотором интервале, содержащем интервал [t1 , t2 ], новую вариацию, примыкающую
к ранее найденной вариации. Продолжая этот процесс построения элементарных вариаций, мы получим допустимую однопараметрическую вариацию, удовлетворяющую
всем требованиям леммы.
Функции t0 (τ ), T (τ ) определяются равенствами t0 (τ ) = t0 + ξt0 τ и T (τ ) = T + ξT τ ,
где параметры t0 , T соответствуют концам кривой γ. Лемма 2. Пусть γ — горизонтальная кривая, поля Yk вдоль γ удовлетворяют уравнениям вариаций (1), числа ξ0k , ξT k ∈ R, k = 1, . . ., s. Тогда существует s-параметри
ческая горизонтальная вариация σ кривой γ = σ|τ =0 такая, что Yk = ∂σ/∂τk τ =0 и
ξ0k = ∂t0 /∂τk τ =0 , ξT k = ∂T /∂τk τ =0 [1, c. 235].
3. «Присоединённая задача» Блисса
Рассмотрим двумерное распределение A на R3 , заданное дифференциальной фор
T
мой ω = x2 dx1 + dx3 . Минимизируемый функционал имеет вид J(x(·)) = 1/2 0 (ẋ1 )2 +
(ẋ2 )2 dt, т. е. метрический тензор распределения единичный. Символы Кристоффеля симметричной римановой связности на распределении
равны нулю. Лагранжиан
условной вариационной задачи L = 1/2 (ẋ1 )2 + (ẋ2 )2 + lω(γ ). Сужению тензора
F = dω = dx2 ∧dx1 на распределение соответствует матрица 01 −1
0 . Для этого функци (gij ) (ωi ) онала выполняется условие Гильберта [1, с. 242]: определитель (ωj ) 0 , i, j = 1, . . ., n,
не обращается в нуль. Поэтому геодезические будут C ∞ -гладкими. Можно считать, что
вектор скорости допустимой кривой принадлежит единичному шару. Тогда решение вариационной задачи существует по лемме Филиппова [2] и теореме Рашевского—Чжоу
[3, 4].
53
Рис. 1. Неголономные геодезические.
Горизонтальные геодезические с началом в нуле при l = 0 имеют вид
⎧
1
⎪
⎪ x1 (t) =
−v2 + v2 cos lt + v1 sin lt ,
⎪
⎪
l
⎪
⎪
⎪
⎨ x2 (t) = 1 v1 − v1 cos lt + v2 sin lt,
l 1
⎪
3
⎪
2lt(v12 + v22 ) + 2v1 v2 − 4v1 v2 cos lt − 4v12 sin lt+
(t)
=
x
⎪
⎪
⎪
4l2
⎪
⎪
⎩
+2v1 v2 cos 2lt + (v12 − v22 ) sin 2lt .
(3)
Горизонтальные геодезические при l = 0 — это прямые, и этот случай мы не рассматриваем. Отметим, что ẋ1 (0) = v1 и ẋ2 (0) = v2 . Неголономные геодезические приведены
на рис. 1 при l = −1. Как будет показано ниже, на интервале [0, 2π/|l|) геодезическая
оптимальна, т. е. функционал J имеет локальный слабый минимум. Если |lt| > 2π, то
геодезическая перестаёт быть оптимальной.
T
Рассмотрим вариационную задачу минимизации функционала t0 f (t, x, ẋ) dt с него
лономными ограничениями ϕ(t, x, ẋ) = 0. Пусть матрица ∂ϕα /∂ ẋk α=m+1,...,n, имеет
n
k=1,...,n
ранг n−m для всех (t, x, ẋ), и пусть L(t, x, ẋ, l) = f (t, x, ẋ) +
lα ϕα (t, x, ẋ). Вторая
α=m+1
T
вариация функционала J = t0 L(t, x, ẋ, l) dt имеет вид
n
n
T dL T
∂L
∂L k
k
η
+
η̇
ξ
δ J=
+ ξ2 +
k
k
dt
t0
t0
∂x
∂
ẋ
k=1
k=1
T
n
n
T ∂2L i j
∂L ∂η k ∂2L i j
∂2L i j
+
+
η η̇ + i j η η dt, (4)
i
j η̇ η̇ + 2
∂xi ∂ ẋj
∂x ∂x
∂ ẋk ∂τ t0
t0 i,j=1 ∂ ẋ ∂ ẋ
k=1
2
T
L(t, x, ẋ)ξτ +2
t0
где ξ(t0 ) = dt0 /dτ , ξ(T ) = dT /dτ , ξτ (t0 ) = d2 t0 /dτ 2 , ξτ (T ) = d2 T /dτ 2 , η = ∂σ/∂τ при
τ = 0.
Г. А. Блисс [1, с. 271] сформулировал следующую «присоединённую задачу» для
второй вариации функционала. Для нормальной и неособой экстремали γ можно рассмотреть задачу минимизации функционала δ 2 J в классе допустимых вариаций η, удовлетворяющих уравнениям вариаций вдоль γ. В рассматриваемом примере распределение задано дифференциальной формой ω = x2 dx1 + dx3 , следовательно, ограничения
в присоединённой задаче имеют вид
Φ ≡ η̇ 3 + x2 η̇ 1 + η 2 ẋ1 = 0.
54
(5)
Это уравнения вариаций
вдоль γ. В рассматриваемом примере лагранжиан L =
1/2 (ẋ1 )2 + (ẋ2 )2 + l(x2 ẋ1 + ẋ3 ). Следовательно, лагранжиан присоединённой задачи Ω = 1/2 (η̇ 1 )2 + (η̇ 2 )2 + lη 2 η̇ 1 + λ(η̇ 3 + x2 η̇ 1 + η 2 ẋ1 ). Обобщённые импульсы
p1 = η̇ 1 + lη 2 + λx2 , p2 = η̇ 2 и p3 = λ. Обобщённые силы f1 = 0, f2 = lη̇ 1 + λẋ1 и
f3 = 0. Уравнения Эйлера—Лагранжа принимают вид η̈ 1 + lη̇ 2 + λẋ2 = 0, η̈ 2 = lη̇ 1 + λẋ1
и λ̇ = 0. С учётом уравнений геодезических (3),
⎧ 1
η̈ + lη̇ 2 + λv1 sin lt + v2 cos lt = 0,
⎪
⎪
⎪
⎨ η̈ 2 − lη̇ 1 − λ v1 cos lt − v2 sin lt = 0,
1
(6)
η̇ 3 + v1 − v1 cos lt + v2 sin lt η̇ 1 + v1 cos lt − v2 sin lt η 2 = 0,
⎪
⎪
⎪
l
⎩
λ̇ = 0.
Это система линейных однородных дифференциальных уравнений относительно переменных η, λ. Чтобы найти точки, сопряжённые с t0 = 0, необходимо найти решения
этого уравнения, удовлетворяющие условиям η(0) = 0, η (0) = 0. Соответствующая
часть фундаментальной матрицы системы решений имеет вид
⎞
⎛
(v lt−v ) cos lt−(v +v lt) sin lt+v
sin lt
l
⎜
1−cos lt
⎜
l
⎜
P =⎜
⎜ 2v1 lt−4v1 sin lt+
⎝ +v1 sin 2lt−2v2 cos lt+
+v2 cos 2lt+v2
2l2
cos lt−1
l
sin lt
l
2v2 lt−v2 sin 2lt+
+v1 cos 2lt+v1 −
−2v1 cos lt
2l2
1
2
1
2
2
l2
⎟
(v1 lt−v2 ) sin lt+(v1 +v2 lt) cos lt−v1
⎟
l2
⎟
− (v12 +v22 )lt−4v12 sin lt+(v12 −v22 +2v1 v2 lt) sin 2lt+ ⎟ .
⎟
+2(v1 lt−2v2 )v1 cos lt−2v1 v2 lt sin lt+2v
1 v2 + ⎠
+(2v1 v2 +(v22 −v12 )lt) cos 2lt
2l3
T
Решение имеет вид (η 1 , η 2 , η 3 )T = P (a1 , a2 , λ)
, где a1 , a2 , λ — постоянные интегри3
3
рования. Повторим
решение
для η : η = a1 2v1 lt − 4v1 sin lt + v1 sin 2lt − 2v2 cos
lt +
v2 cos 2lt + v2 /(2l2 ) + a2 2v2 lt − v2 sin 2lt + v1 cos 2lt + v1 − 2v1 cos lt /(2l2 ) − λ (v12 +
v22 )lt − 4v12 sin lt + (v12 − v22 +2v1 v2 lt) sin 2lt + 2(v1 lt − 2v2 )v1 cos lt − 2v1 v2 lt sin lt + 2v1 v2 +
3
(2v1v2 + (v22 − v12 )lt) cos 2lt
матрицы коэффициентов det P =
/(2l ). Определитель
−2t lt cos(lt/2)−2 sin(lt/2) sin(lt/2)(v12 +v22 )/l4 . Эта формула даёт «правильные» сопряжённые точки tk = 2πk/l, k ∈ Z. Но она даёт также и сопряжённые точки, являющиеся
корнями уравнения lt cos(lt/2) − 2 sin(lt/2) = 0. Легко найти, что tn ≈ ±(π + 2πn)/l,
n ∈ N. Первая сопряжённая точка этой серии t1 ≈ 8.99/l. Соответствующее поле Якоби
a1 ≈ 4.49v2 /l, a2 ≈ −4.49v1 /l, λ = 1.
Легко доказать, что в задаче с закреплёнными концами и закреплённым временем
индексная форма (т. е. гессиан) для рассматриваемого лагранжиана имеет вид
T n ∂2L i j
∂2L i j
∂2L i j
i j
η̇ ζ̇ + i j η ζ̇ + ζ η̇ + i j η ζ dt.
I(η, ζ) =
(7)
i
j
∂x ∂ ẋ
∂x ∂x
t0 i,j=1 ∂ ẋ ∂ ẋ
В рассматриваемом примере (3) лагранжиан L = 1/2 (ẋ1 )2 + (ẋ2 )2 + l(x2 ẋ1 + ẋ3 ) не
зависит от вертикальной координаты x3 , а производная ∂L/∂ ẋ3 = l. Поэтому индексная
форма I(η, ζ) = η̇ 1 ζ̇ 1 + η̇ 2 ζ̇ 2 + l(ζ 2 η̇ 1 + η 2 ζ̇ 1 ) не зависит от вертикальных компонент
η 3 , ζ 3 . Рассмотрим её на подпространстве горизонтальных векторных полей из Xγ0 .
Оказывается, что для функционала I|A точки tn не сопряжены с начальной точкой.
Индексом Indγ геодезической γ называется точная верхняя граница размерностей
подпространств, на которых индексная форма отрицательно определена. Можно доказать, что этот индекс конечен. После каждой «правильной» сопряжённой точки размерность «отрицательного подпространства» этого функционала увеличивается. Для
55
геодезических на многообразии соответствующую теорему можно найти в [5]. Но после
точки 8.99/l увеличения размерности отрицательного подпространства этого функционала не происходит.
Поэтому в настоящей работе мы заново построим теорию второй вариации функционала энергии для горизонтальных кривых на распределении.
4. Связность и кривизна распределения. На любой достаточно малой области U ⊂
N координаты xk , k = 1, . . ., n, можно выбрать так, чтобы «проекция» распределения A
на первые m координат была максимальной. Тогда базис распределения A выражается
через координатные векторные поля следующим образом:
ek = ∂k −
n
Aα
k ∂α ,
k = 1, . . ., m.
(8)
α=m+1
Функции Aα
k будем называть потенциалами распределения. Мы предполагаем, что они
C 1 -гладкие. Этот базис пополняется до базиса всего касательного пространства T N с
помощью векторных полей ∂α , α = m+1, . . ., n. В силу (8) [ei , ej ] ∈ Lin{∂α }α=m+1,...,n .
Это распределение может быть также задано дифференциальными формами ω α =
m
s
α
Aα
s dx + dx , α = m+1, . . ., n. Для каждого x ∈ N на A(x) определена квадратичная
s=1
форма ·, ·
x . Метрический тензор распределения определяется как gij (x) = ei , ej x .
Метрический тензор распределения гладко зависит от точки.
m
n
k
Компоненты коммутаторов [ei , ej ] =
ckij ek +
cα
ij ∂α будем обозначать cij . В
k=1
α=m+1
базисе (8) отличны от нуля могут быть только компоненты cα
ij .
Чтобы определить ковариантное дифференцирование ∇ на распределении, необходимо ввести симметричную риманову связность. Римановость определяется как обычно, а условие симметричности необходимо модифицировать: ∇X Y − ∇Y X = pr([X, Y ]),
m
ek ⊗ dxk — проекция на распределение. Чтобы эта проекция была инваригде pr =
k=1
антна к преобразованиям координат, необходимо ограничить
структуру мно гладкую
гообразия: ∂y k /∂xα = 0, k = 1, . . ., m, α = m+1, . . ., n, и ∂y β /∂xα α,β=m+1,...,n — единичная матрица [6–8]. Для каждой точки x ∈ N и любых трёх векторов u, v, w ∈ A(x)
преобразование кривизны распределения A в точке x определяется тензором Схоутена
[9–12]
R(u, v)w = ∇ũ ∇ṽ w̃ − ∇ṽ ∇ũ w̃ − ∇pr[ũ,ṽ] w̃ − pr (1 − pr)[ũ, ṽ], w̃ ,
(9)
где ũ, ṽ, w̃ — некоторые гладкие векторные поля на окрестности точки x такие, что
ũ(x) = u, ṽ(x) = v, w̃(x) = w. Преобразование кривизны не зависит от способа распространения векторов u, v, w до векторных полей. Симметричная риманова связность
на распределении полностью определяется метрическим тензором распределения. Для
вертикальных векторных полей мы будем считать, что Γikα = Γiαk = 0 и Γiαβ = 0,
k = 1, . . ., m, α, β = m+1, . . ., n, i = 1, . . ., n. Так как связность pr-симметрична, необходимо предположить, что если поле Z вертикально, то ∇X Z = 0. Ковариантная проn
Z α ∂X/∂xα . Если все допустимые
изводная по вертикальному полю ∇Z X = pr
α=m+1
векторные поля не зависят от вертикальных координат, то тензор кривизны будет такой
же, как в физике: ∇ũ ∇ṽ w̃ − ∇ṽ ∇ũ w̃ − ∇[ũ,ṽ] w̃ [13].
56
Чтобы получить уравнения Эйлера—Лагранжа в нормальной форме, необходимо
выбрать метрику g на N такую, что её сужение на распределение совпадает с метрическим тензором распределения: g(ei , ej ) = ei , ej . В действительности «вертикальные»
компоненты вектора скорости кривой определяются условием горизонтальности. Их
можно исключить из уравнений Эйлера—Лагранжа и перейти к внутренней метрике
распределения. Рассмотрим метрику Калуцы—Клейна [14]:
u, v
≡ g(u, v) = g(pr(u), pr(v)) +
n
bα ω α (u)ω α (v),
(10)
α=m+1
где g(·, ·) — метрический тензор распределения, pr — горизонтальная проекция. Это скалярное произведение невырождено, если все bα = 0. Ковариантное дифференцирование
i
∇ на N и символы Кристоффеля симметричной римановой связности Γjk определяются
по формуле Кошуля [15, с. 43]. Отметим, что в базисе {ei }i=1,...,m , {∂α }α=m+1,...,n симвоm
k = Γ
k = 1/2 g ks bα cα + ∂gjs /∂xα ,
k = Γk , i, j, k = 1, . . ., m, Γ
лы Кристоффеля Γ
ij
ij
αj
jα
js
s=1
α = −1/2 cα + 1/bα ∂gij /∂xα . Связность на распределении в принципе можно опреиΓ
ij
ij
делить как pr∇X Y (для подмногообразий соответствующую теорему можно найти в [15,
с. 113], [16, т. 2, с. 20]).
5. Формула первой вариации. Будем рассматривать распределение A размерности m на многообразии N размерности n. Распределение определяется с помощью
пфаффовой системы 1-форм {ω α }α=m+1,...,n . В методе Эйлера—Лагранжа появляются n − m множителей Лагранжа λα . Рассмотрим задачу минимизации функционала
T
J = t0 f (t, x, ẋ) dt на множестве горизонтальных путей, заданных на произвольных
промежутках [t0 (τ ), T (τ )], |τ | < ε. Концы путей удовлетворяют ограничениям
ψμ (t0 , γ(t0 ), T, γ(T )) = 0,
μ = 1, . . ., p 2n + 2.
(11)
Матрица производных от функций ψ по их аргументам имеет ранг p.
Рассмотрим этот функционал на продольных линиях στ вариации σ. Получим функцию
T (τ ) T (τ )
n
f (t, σ, X) dt +
λα ω α (X) dt.
(12)
a0 J(τ ) = a0
t0 (τ )
t0 (τ ) α=m+1
Напомним, что на горизонтальных вариациях ω(X) ≡ 0. Функция Лагранжа принимает
вид
L(t, x, ẋ, λ) = a0 f (t, x, ẋ) +
n
λα ω α (ẋ).
(13)
α=m+1
Поэтому
T T
dJ a0 = L(t, γ, X, λ)ξ +
dτ τ =0
t0
t0
n
n
∂L k ∂L dY k
Y
+
∂xk
∂ ẋk dt
k=1
k=1
dt,
(14)
57
где ξ|t0 =
dt0 dτ τ =0
a0
и ξ|T =
dT dτ τ =0 .
t ∂L
dt + ck , k = 1, . . ., n. Тогда
t0 ∂xk
T n
n
dfk k ∂L dY k Y +
dt =
+
∂ ẋk dt
t0 k=1 dt
k=1
T
n
n dY k
∂L
k T
dt.
+
fk Y t0 +
−
f
k
k
dt
t0 k=1 ∂ ẋ
k=1
Обозначим fk =
T
dJ = L(t, γ, X, λ)ξ t0
dτ τ =0
T
= L(t, γ, X, λ)ξ t0
Чтобы получить уравнения Эйлера—Лагранжа в интегральной форме, достаточно правильно выбрать вариацию.
Пусть поля Yk вдоль γ, k = 1, . . ., p+1, удовлетворяют уравнениям вариаций (1),
вариация
σ кривой
числа ξ0k , ξT k ∈ R. По лемме
2, существует (p+1)-параметрическая
γ такая, что Yk = ∂σ/∂τk τ =0 и ξ0k = ∂t0 /∂τk τ =0 , ξT k = ∂T /∂τk τ =0 . Подставляя
вариацию σ в функционал J и в условия для концов (11), получаем функции J(τ ),
ψμ (τ ). Легко найти, что
∂ψμ
dψμ ∂ψμ
∂ψμ ∂ψμ ξT k +
Yk (t0 ) + γ (t0 )ξ0k +
Yk (T ) + γ (T )ξT k .
=
ξ0k +
τ
=0
dτk
∂t0
∂x1
∂T
∂x2
Уравнения J(τ ) = J(0) + v, ψμ (τ ) = 0, μ = 1, . . ., p, имеют решение τ = 0, v = 0, соответствующее геодезической (оптимальной кривой) γ. Функциональный определитель
левых частей этих уравнений по параметру τ должен быть равен нулю. Иначе при достаточно малых по абсолютной величине v < 0 получим J(τ ) < J(0), что противоречит
предположению о минимуме. Пусть q < p+1 — наибольший возможный ранг матрицы
этого определителя для всевозможных векторных полей Y и чисел ξt0 , ξT , соответствующих горизонтальным вариациям. Пусть для векторного поля Y и чисел ξt0 , ξT эта
матрица имеет максимальный ранг. Найдётся система постоянных a0 , aμ , μ = 1, . . ., p,
не равных одновременно нулю такая, что
a0 δJ(ξ, Y ) +
p
aμ δψμ (ξ, Y ) = 0,
(15)
μ=1
где δJ(ξ, Y ) = dJ/dτ |τ =0 , δψμ (ξ, Y ) = dψμ /dτ τ =0 для вариации, у которой основное
векторное поле равно Y и вариации времени равны ξt0 , ξT . Для этих постоянных уравнения (15) должны иметь место для всевозможных векторных полей Y и чисел ξt0 , ξT ,
соответствующих горизонтальным вариациям.
Всякое решение γ : [t0 , T ] → N задачи с подвижными концами является также решением задачи с закреплёнными концами γ(t0 ), γ(T ) и соответствующим закреплённым
временем. Поэтому для γ выполняется то же самое уравнение геодезических. Пусть
правый конец кривой скользит вдоль пути t = T (τ ), x = xT (τ ), а левый конец скользит
вдоль пути t = t0 (τ ), x = x0 (τ ). Это значит, что σ(t0 (τ ), τ ) = x0 (τ ) и σ(T (τ ), τ ) = xT (τ ).
Дифференцируя эти тождества и полагая τ = 0, получаем γ (t0 )ξt0 + Y (t0 ) = dx0 /dτ и
γ (T )ξT + Y (T ) = dxT /dτ . Внеинтегральный член в (15) принимает вид
p
n
T dx
T
T
∂L dxk
k
−
γ
− γ ξ = 0.
ξ
+
aμ δψμ ξ,
Lξ +
k
dτ
dτ
t0
t0
t0
∂ ẋ
μ=1
k=1
Следовательно,
p
n
T ∂ψ
T ∂ψμ dx T
∂L dxk
∂ψμ dx ∂ψμ
μ
k
−
γ
+
ξ+
ξ
+
aμ
ξ+
Lξ +
= 0. (16)
k
dτ
∂t0
∂x1 dτ
∂T
∂x2 dτ t0
t0
t0
∂ ẋ
μ=1
k=1
58
В этой формуле сохранены только независимые смещения (дифференциалы). Если эти
уравнения выполняются при любом выборе ξt0 , ξT , dx0 /dτ , dxT /dτ , то из них следуют классические условия трансверсальности. Но вертикальные компоненты смещения
конечной точки не всегда могут быть выбраны произвольно. Например, на интегрируемом распределении вертикальное смещение конечной точки равно вертикальному
смещению начальной точки. Действительно, локально интегральные подмногообразия
интегрируемого распределения в соответствующих координатах образуют слоение из
плоскостей. Точки из различных интегральных подмногообразий нельзя соединить путём.
Теперь можно сформулировать теорему о существовании вариации, в которой учтено условие для концов.
Определение 1. Говорят, что порядок анормальности кривой γ равен q, если для
этой кривой выполнено правило множителей Лагранжа, причем существует ровно
q линейно независимых систем множителей вида a0 = 0, λα (·), α = m+1, . . ., n.
Если q = 0, то геодезическая (оптимальная кривая) γ называется нормальной, в
противном случае — анормальной. Система множителей, для которой a0 = 0, называется анормальной системой множителей. Нормальная геодезическая γ может иметь
не более одной системы множителей с a0 = 1, т. к. в противном случае разности соответствующих множителей двух таких систем образовывали бы анормальную систему
для γ.
Теорема 1. Для нормальной
горизонтальной
геодезической γ, удовлетворяющей усло
виям для концов ψ t0 , γ(t0 ), T, γ(T ) = 0, всегда
существует горизонтальная вариация
σ, удовлетворяющая условиям для концов ψ t0 (τ ), σ(t0 (τ ), τ ), T (τ ), σ(T (τ ), τ ) = 0 и содержащая в любой окрестности геодезической γ допустимые кривые, не совпадающие
с γ [1, с. 254].
Теорема 2. Пусть Y — векторное поле вдоль нормальной горизонтальной геодезической γ, удовлетворяющее уравнениям вариаций (1), а числа ξt0 , ξT удовлетворяют (2).
Горизонтальную вариацию σ, указанную в теореме 1, можно выбрать
так, чтобы Y
было её основным векторным полем и ξt0 = dt0 /dτ τ =0 , ξT = dT /dτ τ =0 [1, с. 255].
6. Формула второй вариации. Рассмотрим теперь задачу минимизации функционала J на множестве горизонтальных путей при закреплённом времени. Будем рассматривать только нормальные геодезические (a0 = 1). Для упрощения записи в
n
n
суммах вида
λα ω α и
λα dω α индекс α и знак суммирования будем опусα=m+1
α=m+1
кать. Наша цель — получить выражение для гессиана (индексной формы) функцио
T
нала энергии J = 1/2 t0 γ , γ dt. Поэтому рассмотрим двухпараметрическую вариацию σ = σ(t, τ, μ). В этом разделе геодезическая γ и её вариация σ предполагаются C 2 -гладкими. Кроме того, мы предполагаем, что третьи производные ∂ 3 σ/∂μ∂t∂τ,
∂ 3 σ/∂t∂μ∂τ существуют при всех допустимых t, μ, τ и непрерывны вдоль γ. Векторные
поля вдоль σ будем обозначать X = ∂σ/∂t, Y = ∂σ/∂τ , Z = ∂σ/∂μ. Дифференцируя
J(μ, τ ), получаем
∂2J
=
∂μ∂τ
T
T
∂X ∂ω
DX DX D DX ∂
,
+ X,
(X) + ω
λ
dt +
dt. (17)
∂μ ∂τ
∂μ ∂τ
∂τ
∂τ
t0
t0 ∂μ
59
m
n
α X i X j ∂α , где Γ
α = −1/2 cα +
Γ
Заметим, что DX/∂t = DX/∂t +
ij
ij
ij
α=m+1 i,j=1
1/bα ∂gij /∂xα . Предположим, что метрический тензор распределения не зависит от
α|ij =
вертикальных координат {xα }α=m+1,...,n . Тогда DX/∂t = DX/∂t. Отметим, что Γ
α
α
−1/2 bα cij + ∂gij /∂x . Следовательно, при bα = 0 выполняется D/∂μ DX/∂τ , X =
D/∂μ DX/∂τ , prX . Далее будем считать, что все bα = 0.
Если вариация σ является вложением, то векторные поля X, Y можно распространить до векторных полей на окрестности imσ так, чтобы [X, Y ] = 0. Тогда ∇Z ∇X Y =
∇X ∇Z Y +R(Z, X)Y , где R — преобразование кривизны распределения. Следовательно,
D/∂μ DY /∂t = D/∂t DY /∂μ + R(Z, X)Y . Если σ не является вложением, эта формула
доказывается аналогично [15, с. 102]. Так как символы Кристоффеля симметричны,
DX/∂τ = DY /∂t. Интегрированием по частям получаем
T
T
DY D DY DX DY T
X,
dt = X,
,
dt.
−
∂t ∂μ
∂μ t0
∂t ∂μ
t0
t0
Предположим также, что пфаффовы формы ω α не зависят от вертикальных координат {xα }α=m+1,...,n . Тогда Fαj = Fjα = 0 и F (DX/∂τ , Y ) = F (DX/∂τ , prY ). Далее,
(∇Y F )ij =
n
n
∂Fij (σ)
k
k
−
Γsi Y s Fkj −
Γsj Y s Fik = (∇Y F )ij .
∂τ
k,s=1
k,s=1
Таким образом, мы рассматриваем эту задачу при выполнении условия цикличности
для распределения, а тогда, в силу уравнений геодезических, λ ≡ const. Интегрированием по частям получаем
T
T
T
∂ ∂ ∂Y ∂ ∂ω ω
dt = λ
ω(Y ) t0 −
Y dt.
λ
λ
∂μ
∂t
∂μ
∂μ ∂t
t0
t0
Итак,
DX DY DY T T DZ DY ∂ 2 J ,
+
,
R(Z,
X)Y,
X
−
=
X,
+
dt+
∂μ∂τ τ =0
∂μ t0
∂t ∂t
∂t ∂μ
t0
μ=0
T
∂ω
∂ ∂ω
∂(ω(Y )) T
(X) −
(Y ) dt. (18)
λ
+λ
+
∂μ
∂τ
∂t
t0
t0 ∂μ
Преобразуя последнее подынтегральное выражение, получим
DX DY
∂ω
∂ ∂ ∂ω
(X) −
(Y ) = λ
, X + λF Y,
F (Y, X) = λ(∇Z F )(Y, X) + λF
.
λ
∂μ ∂τ
∂t
∂μ
∂μ
∂μ
Так как уравнения геодезических имеют вид Dγ /dt + λF! γ = 0, члены, содержащие
DY /∂μ, сокращаются, что позволяет упростить (18) при τ = 0, μ = 0. Итак, вдоль
геодезической γ
DY T T DZ DY ∂ 2 J ,
−
R(Z,
γ
=
X,
+
)γ
,
Y
dt+
∂μ∂τ τ =0
∂μ t0
dt dt
t0
μ=0
T DZ ∂(ω(Y )) T
,Y
dt. (19)
+λ
−
λ (∇Z F )(γ , Y ) + F
∂μ
dt
t0
t0
60
Векторные поля Y (·, 0, 0), Z(·, 0, 0) вдоль γ будем обозначать теми же буквами Y , Z.
Эта формула определяет индексную форму векторных полей Y , Z.
Литература
1. Блисс Г. А. Лекции по вариационному исчислению. М.: Иностранная литература, 1950.
2. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования // Вестник
МГУ, серия математика и механика. 1959. № 2. С. 25–32.
3. Рашевский П. К. Любые две точки вполне неголономного пространства могут быть соединены допустимой кривой // Уч. зап. Моск. пед. ин-та им. Либкнехта, сер. физико-матем.
1938. Вып. 2. С. 83–94.
4. Chow W. L. Über systeme von linearen partiellen differentialgleichungen erster ordnung //
Math. Ann. 1939. Vol. 117, N 1. P. 98–105.
5. Jost J. Riemannian geometry and geometric analysis. Springer-Verlag, 2005.
6. Крым В. Р., Петров Н. Н. Каузальные структуры на гладких многообразиях // Вестн.
С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2001. Вып. 2. № 9. С. 27–34.
7. Крым В. Р., Петров Н. Н. Тензор кривизны и уравнения Эйнштейна для четырехмерного
неголономного распределения // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2008. № 3. С. 67–79.
8. Крым В. Р., Петров Н. Н. Главные расслоения и проблема топологического квантования
зарядов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2009. № 1. С. 10–17.
9. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий. Казань: Издво Каз. физ.-мат общ., 1939.
10. Горбатенко Е. М. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий (по
В. В. Вагнеру) // Геом. сб. Томского ун-та. 1985. Вып. 26. С. 31–43.
11. Schouten J. A., van Kampen D. Zur Einbettung und Krümmungstheorie nichtholonomer
Gebilde // Math. Annalen. 1930. Vol. 103. P. 752–783.
12. Schouten J. A., Kulk V. D. Pfaffs problem and its generalization. Oxford: Clarendon Press,
1949.
13. Крым В. Р. Уравнения геодезических для заряженной частицы в объединенной теории
гравитационных и электромагнитных взаимодействий // Теор. и матем. физика. 1999. Т. 119.
№ 3. С. 517–528.
14. Klein O. Quantentheorie und fünfdimensional Relativitätstheorie // Zeits. f. Phys. 1926.
Bd 37. S. 895–906.
15. Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. СПб.: Наука, 1994.
16. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.
17. Крым В. Р. Метод Эйлера—Лагранжа в формулировке Понтрягина // Вестн. С.-Петерб.
ун-та. Сер. 1. 2009. № 2. С. 48–58.
18. Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и вариационные задачи // Современные проблемы математики, фундаментальные
направления. Т. 16. С. 5–85. М.: ВИНИТИ, 1987.
Статья поступила в редакцию 20 мая 2010 г.
61
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
8
Размер файла
381 Кб
Теги
неголономного, якоба, распределение, поля
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа