close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Поперечники соболевских классов функций с особенностями на границе.

код для вставкиСкачать
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
УДК 518.5
И. В. Бойков, А. Н. Тында
ПОПЕРЕЧНИКИ СОБОЛЕВСКИХ КЛАССОВ
ФУНКЦИЙ С ОСОБЕННОСТЯМИ НА ГРАНИЦЕ
Аннотация. Оценены поперечники Колмогорова и Бабенко классов функций,
к которым принадлежат решения интегральных уравнений Вольтерра с сингулярными ядрами. Отличительной особенностью этих классов является неограниченный рост модулей производных функций при приближении к границе
области определения. Для этих же классов функций построены локальные
сплайны, являющиеся оптимальным по порядку алгоритмом аппроксимации.
Ключевые слова: пространства Соболева, оптимальные алгоритмы, поперечники Бабенко и Колмогорова, локальные сплайны.
I. V. Boykov, A. N. Tynda
DIAMETERS OF SOBOLEV CLASS FUNCTIONS WITH
BOUNDARY PECULIARITIES
Abstract. The article estimates the diameters of Kolmogorov and Babenko class
functions which have the solutions of Volterra integral functions with singular kernels. A distinctive feature of these classes is an unlimited growth of function derivative modules when approaching a definitial domain boundary. For these function
classes the authors have built local splines being optimal order algorithms of approximation.
Key words: Sobolev space, optimal algorithms, Babenko and Kolmogorov diameters, local splines.
Введение
При построении эффективных методов решения уравнений математической физики естественно приближенные решения искать в экстремальных
подпространствах, являющихся подпространствами наилучших приближений
для классов функций, к которым принадлежат решения соответствующих
уравнений [1, 2]. Таким образом, задача нахождения экстремальных подпространств является актуальной в вычислительной математике. Решения одномерных и многомерных слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра принадлежат [3] классам функций Qr*, (, M ), Qr**, (, M ) , Br*, (, A) , Br**, (, A) , Qru (, M ) ,
Qr**, (, M ) , Ar*,u (, M ),
u
Ar , (, M ), Br*, (, A) , Br*,u () и близким к ним
(определения см. в работах [4–7] и ниже в разд. 1). Значения сингулярных и
гиперсингулярных интегралов с переменной сингулярностью также принадлежат этим классам функций [8, 9].
Поэтому для построения оптимальных по точности и сложности приближенных методов решения слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра нужно найти оптимальные по порядку по точности алгоритмы аппроксимации этих классов
Physics and mathematics sciences. Mathematics
61
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
функций. Отметим, что ряд результатов по построению оптимальных по точности и сложности приближенных методов решения слабосингулярных, сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра получен в [3, 10–12].
Решению задачи построения оптимальных по порядку по точности алгоритмов аппроксимации классов функций Qr*, (, M ), Qr**, (, M ) ,
Br*, (, A) , Br**, (, A) , Qru (, M ) , Qr**, (, M ) , Ar*,u (, M ),
u
Ar , (, M ),
Br*, (, A) , Br*,u () посвящена данная работа. В ней оценены поперечники
Колмогорова и Бабенко упомянутых выше классов функций и построены локальные сплайны, являющиеся оптимальным по порядку алгоритмом приближения функций из этих классов.
В работе используются следующие обозначения.
Через Ts ( f ,[a, b], c), a  c  b , обозначен отрезок Тейлора
s
Ts ( f ,[a, b], c) =
 f ( k ) (c )
k =0
(t  c ) k
.
k!
Через Ts ( f ,[a1 , b1;; al , bl ], c), l = 2,3, , c  [ a1 , b1;; al , bl ], обозначен
отрезок ряда Тейлора
s
Ts ( f ,[ a1 , b1;; al , bl ], c) =
1
 k! d k ( f , c),
k =0
k
где d ( f , c) – дифференциал k -го порядка функции f по степеням ( x  c),
x = ( x1 ,..., xl ), c = (c1 ,..., cl ).
На протяжении работы через c будем обозначать константы, независящие от N .
1. Классы функций
Приводимые ниже классы функций Qr , (, M ) и Br , (, M ) являются
обобщениями [1, 2] класса Qr (, M ) . Классами функций Qr*, (, M ),
Qr**, (, M ) , Br*, (, A) , Br**, (, A) , Qru (, M ) , Qr**, (, M ) , Ar*,u (, M ),
u
Ar , (, M ), Br*, (, A) , Br*,u () описываются решения слабосингулярных,
сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений [3].
Пусть  = [0, T ]l , l  1,  =  – граница области , r , u – целые
положительные числа. Пусть 0 – пересечение  с объединением
координатных плоскостей. Пусть t = (t1 ,, tl ), v = (v1 ,, vl ), | v |= v1    vl ,
v
v
D v = |v| / tl l , tl l
и vi – неотрицательные числа, i = 1, 2, , l. Через
(t , 0 ) обозначено расстояние от точки t до границы 0 , вычисляемое по
формуле (t , 0 ) = min | tk | . Аналогично, через (t ,0) обозначено
k =1,,l
62
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
расстояние от точки t до начала координат, вычисляемое по формуле
(t ,0) = min | tk | .
k =1,,l
Определение 1. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2, Функция f принадлежит
классу Qr , (, M ),
0 | v | r ;
если выполнены условия max x | D v ( f ) | M
при
| D v ( f ) | M / ((t , ))|v| r  , t   \ , при r <| v | s, где M
–
некоторая константа, (0 < M < ); s =  r    ,  = [  ]  , 0 <  < 1,  = 1   .
Определение 2. Через Qr*, (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , будем
обозначать класс функций f , определенных на  и удовлетворяющих
следующим условиям:  Dv f M , 0 | v | r; | Dv f (t ) | M / ((t , 0 ))|v| r  ,
r <| v | s, t   \ 0 , где M – некоторая константа (0 < M < ); s =  r    ;
 = 0, если  целое;  = 1  ,  = [  ]  , 0 <  < 1, если  нецелое.
Определение 3. Через Qr**, (, M ) ,  = [0, T ]l , l = 1, 2, , обозначим
класс функций f , определенных на  и удовлетворяющих следующим
условиям:  D v f M , 0 | v | r ; | D v f (t ) | M / ((t ,0))|v| r  , r <| v | s,
t  0, где M – некоторая постоянная; s = r  ,  = 0, если  целое;
 = [  ]  , 0 <  < 1,  = 1  ,
если

нецелое;
s = r  [  ]  1,
(t ,0) = min | tk | .
k =1,,l
Определение 4. Пусть  = [0, T ]l ,
l = 1, 2, ,
r = 1, 2, , 0 < 1.
Функция f принадлежит классу Br*, (, A) , если выполняются следующие
неравенства:
f (t )  A, t  ; | Dv f (t ) | A|v| | v ||v| , 0 <| v | r , t  ;
| D v f (t ) | A|v| | v ||v| /((t , 0 ))|v| r 1 , t { \ 0 }, r <| v |< ,
где A – константа, независящая от | v | .
Определение 5. Пусть  = [0, T ]l , l = 1, 2, , r = 1, 2, , 0 < 1. Функция
f принадлежит классу Br**, (, A) если выполняются следующие неравенства:
f (t )  A;  D v f  A|v| | v ||v| , 0 <| v | r;
| Dv f | A|v| | v ||v| /((t ,0))|v| r 1 , t  0, r <| v |< ,
где A – константа, независящая от | v | .
Определение 6. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2,; , r и u – неотрицательные целые числа. Множество Qru (, M ) состоит из функций f , удовлетворяющих условиям
Physics and mathematics sciences. Mathematics
63
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
D v f  M , t  , 0 | v | r  1; | Dv f | M (1 | ln u( x, ) |), | v |= r , t   \ ;
| D v f | M (1 | ln u 1(t , ) |) / ((t , ))|v| r , t   \ , r <| v | s,
где s = r  .
Определение 7. Пусть  = [1,1]l , l = 1, 2, , u – натуральное число,
 – нецелое число. Класс Qru, (, M ) состоит из функций, удовлетворяющих
условиям
D v f  M , t  , 0 | v | r ;
| D v f | M (1 | ln u(t , ) |) / ((t , ))|v| r  , r <| v | s, t   \ ,
где s = r  [  ]  1,  = [  ]  , 0 <  < 1,  = 1  .
Определение 8. Пусть  и u – целые положительные числа. Пусть
u
Ar , (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс функций, определенных на  и
удовлетворяющих условиям
v
v
max | D f (t ) | M , 0 | v | r , | D f (t ) | M (1 | ln u(t , 0 ) |), t   \ 0 ,| v |= r;
t
| D v f (t ) | M (1 | ln u 1(t , 0 ) |) / ((t , 0 ))|v| r , t   \ 0 , r <| v | s,
где s = r  .
Определение 9. Пусть Aru, (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс функций определенных на  и удовлетворяющих следующим условиям:
v
max | D f (t ) | M , 0 | v | r ,
t
| Dv f (t ) | M (1 | ln u(t , 0 ) |) / ((t , 0 ))|v| r  , r | v | s, t   \ 0 ,
где s = r    ,  =     .
Определение 10. Пусть Ar*,u (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс
функций, определенных на  и удовлетворяющих следующим условиям:
v
max | D f  t  | M , 0 | v | r ;
t
| Dv f (t ) | M (1 | ln u(t ,0) |) / ((t ,0))|v| r  ; r | v | s, t   \ {0},
где s = r    ,  =     .
Определение 11. Пусть  и u – целые положительные числа. Пусть
*u
Ar , (, M ),  = [0, T ]l , l = 1, 2, , – класс функций, определенных на  и
удовлетворяющих следующим условиям:
64
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
v
v
max | D f (t ) | M , 0 | v | r ; | D f (t ) | M (1 | ln u(t ,0) |), t   \ {0},| v |= r ;
t
| D v f (t ) | M (1 | ln u 1(t ,0) |) / ((t ,0))|v| r , t   \ {0}, r <| v | s,
где s = r  , M = const, 0 < M < .
Определение 12. Пусть  = [0, T ]l , l = 1, r = 1, 2, , 0 <   1. Функция
f (t ) принадлежит классу Br*,u () , если выполнены условия
v
|v|
|v|
max | f (t )  A; max | D f (t ) | A | v | , 0 <| v | r ;
t
t
| D v f (t ) | A|v| | v ||v| (1 | ln u (t ,0) |) / ((t , 0 ))|v| r 1 |, t   \ 0 , r <| v |< ;
где A – константа, независящая от | v | .
Определение 13. Пусть  = [0, T ]l , l  1, r , u – положительные числа,
0 <   1. Функция
выполнены условия
f (t )
принадлежит классу функции
*u
B r , (), если
v
|v|
|v|
max | f (t ) | A ; | D f (t ) | A | v | (1 | ln u(t , 0 ) |),| v |= r , t   \ 0 ;
t
| D v f (t ) | A|v| | v ||v| (1 | ln u 1(t , 0 ) |) / ((t , ))|v| r 1 , t   \ 0 , r <| v |< ,
где A – константа, независящая от | v | .
2. Оптимальные методы аппроксимации
функций одной переменной
Этот и последующий разделы посвящены построению оптимальных
u
методов аппроксимации классов функций Aru, (, M ), Ar , (, M ), Aru,* (, A),
u*
*
Ar , (, A), Br*  , A  , B r   , A  ,  = [1,1]l , l  1, при l = 1 (данный раздел) и
l = 2,3, (см. следующий раздел).
При построении оптимального метода аппроксимации класса функций
 вначале оцениваются поперечники Колмогорова и Бабенко данного класса
функций, а затем строятся локальные сплайны, точность которых на классе
 совпадает (по порядку) с величиной поперечника данного класса.
Сплайны, обладающие такой точностью, являются оптимальными по порядку
методами аппроксимации функциональных классов  .
Напомним определения поперечников Колмогорова и Бабенко.
Пусть B – банахово пространство, X  B – компакт,  : X  Rn 
представление компакта X  B конечномерным пространством Rn .
Определение 14. Пусть Ln – множество n -мерных линейных
подпространств пространства B. Выражение d n ( X , B ) = inf sup inf  x  u ,
Ln xX uLn
Physics and mathematics sciences. Mathematics
65
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
где последний inf берется по всем подпространствам Ln размерности n,
определяет n -поперечник Колмогорова.
Определение 15 [1]. Пусть   R n . Выражение
n ( X ) =
inf
sup diam 1 ( x),
(: X  Rn ) xX
где inf берется по всем непрерывным отображениям  : X  R n , определяет
n -поперечник Бабенко.
Ниже будет неоднократно использоваться следующее утверждение,
связывающее величины поперечников Бабенко и Колмогорова.
Лемма 1 [1]. Пусть B – банахово пространство, X  B – компакт.
Величины поперечников Бабенко и Колмогорова связаны неравенством
n ( X )  2d n ( X , B).
Теорема 1. Пусть  = [ 1,1]. Пусть r , u,  – целые положительные
u
u
числа, s = r  . Тогда n ( Ar , (,1))  d n ( Ar , (,1))  n  s .
u
Доказательство. Вначале оценим снизу поперечник n ( Ar , (,1)).
Известно [1, 2], что n (W s (1))  cn  s . Так как класс функций W s (1) вложен
u
в класс функций Ar , (,1)) при любом u , то
u
n ( Ar , (,1))  n (W s (1))  cn  s .
(1)
При построении локальных сплайнов, аппроксимирующих функции из
u
Ar , (,1)
с точностью cn  s , рассмотрим два случая: 1) u = 1, 2) u  2.
1. Пусть u = 1. Разделим сегмент [0, T ] на N более мелких сегментов
точками tk = (k / N )v T , k = 0,1,, N , v = s / ( s   ). Пусть  k = [tk , tk 1 ],
k = 0,1, , N  1. Разобьем сегмент  0 на M  ln N  более мелких
сегментов
 0,k = [t0,k , t0,k 1 ],
k = 0,1, , M  1 ,
точками
t0, j = jt1 / M ,
j = 0,1, , M . В сегменте [a, b] построим полином Ps ( f ,[a, b]),
интерполирующий функцию f . Обозначим через  k , k = 1, 2, , s, нули
полинома Чебышева первого рода. Отобразим сегмент [1 ,  s ] на [a, b] таким
образом, чтобы точка 1 отобразилась в точку a, а точка  s – в b . Образы
узлов  k , k = 1, 2, , s, обозначим через 'k . Полином степени ( s  1),
интерполирующий функцию f на сегмент [a, b] по узлам 'k , k = 1, 2, , s,
обозначим через Ps ( f ,[a, b]).
Функцию f будем аппроксимировать на сегменте [0, T ] сплайном
f N , составленным из полиномов Ps ( f ,  0, j ), j = 0,1, , M  1, Ps ( f ,  k ),
k = 1, 2, , N  1.
Теперь оценим
k = 1, 2, , N  1,
66
погрешность
|| f  f N || .
На
сегментах
k ,
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
|| f  f N ||C (  )  Es 1 ( f ,  k )(1   s ) 
k
c || f  Ts 1 ( f ,  k , tk ) ||  s 
c(tk 1  tk ) s
v
(kT / N ) s!
= cT r / N s ,
где  s – константа Лебега по соответствующей системе узлов; Es ( f ,[a, b]) –
наилучшее приближение функции f полиномами степени s в метрике
C[ a , b ] .
Приступим к оценке || f  f N ||C (  ) , j = 0,1, , M  1.
0, j
Вначале оценим
|| f  f N ||C (  )  Es ( f ,  0,0 )(1   s )  c || f  Tr 1 ( f , 10,0 ,0) ||C (  ) 
0,0
0,0

c
max
(r  1)! t
t
f
(r )
()(t  )r 1 d  
0,0 0
t
c
Tr
r 1

,
max (1 | ln  |)(t  ) d   c s
(r  1)! t
N ln r 1N

0,0 0
где h0,k =| t0,k 1  t0,k |, k = 0,1, , M  1.
Аналогичным образом оцениваем
s
c s
c s
cT r
 T

|| f  f N ||C (  )  s h0,

( N v ln N )  

.
j


0, j
N s ln r N
( j )v T 
 N v ln N 
t0,
j
Собирая полученные оценки, имеем
 f  f N C[0,T ]  cT r / N s .
(2)
Общее число узлов, используемых при построении сплайна, равно
n = s  ( s  1)( M  N  2)  N .
Так как сплайн f N – непрерывный на сегменте [0, T ], то из
1
неравенства (2) и соотношения n  N следует, что d n ( Ar , (,1))  cT r / n  s .
Отсюда и из (1) имеем
1
1
n ( Ar , (,1))  d n ( Ar , (,1))  T r / n s .
2. Рассмотрим случай, когда u  2. Будем использовать узлы tk ,
k = 0,1, , N , и сегменты  k = [tk , tk 1 ], k = 0,1, , N  1, введенные выше.
Разделим каждый из сегментов  k на M k равных частей, k = 0,1, , N  1,
где M 0 =  ln u / r N  , M k = ln (u 1)/ s (n / k ) N  , k = 1, , N  1. Полученные
в результате деления сегменты обозначим через  k , j j = 0,1,, M k 1 ,
k = 0,1, , N  1. Функцию
f
будем аппроксимировать сплайном
Physics and mathematics sciences. Mathematics
fN ,
67
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
составленным из полиномов Ps ( f ,  k , j )
j = 0,1,, M k 1 , k = 0,1, , N  1.
Оценим погрешность аппроксимации функции f сплайном f N .
Очевидно,
 f  f N C (  )  Es 1 ( f ,  0,0 )(1   s )  f  Tr 1 ( f ,  0,0 ,0) C (  ) (1   s ) 
0,0
0,0
c

max
(r  1)! t
t
f
(r )
( )(  t )
r 1
0,0 0
r
 ch0,0
c
d 
max
(r  1)! t
t
 | ln u | (t  )
r 1
d 
0,0 0
r
ln uh00
v
v
r
1  T 
u 1   T   c T ,
 c  
 ln   

 N   M0 
 N   M0 
Ns
где h00 = h0 / M 0 , h0 = t1  t0 .
Продолжая оценки, имеем
 f  f N C ( 
0, j )


s
v 
N Mj 
 j T

 ln u  
 
 N  M j
 j  T 
s 
Es ( f ,  0, j )(1   s )  ch0,0

s
  1 v T   N v   M j

 c 

  N  M j   j   T



 j v T  
 r

 
  c T
 ln u   
 s
 N  M  

N
j 





при j = 1, 2, , M  1;
v
v


c
1
 N   1 
u 1   N 
1
 f  f N C (  )  s ( hkj ) s   

ln




k, j
 k  T 
s!
 k   T 


   T s
   c 
 N

при j = 1, 2, , M k  1, k = 1, 2, , N  1.
Таким образом,
 f  f N C[0,1]  cT r / N s .
(3)
Нетрудно видеть, что общее число n узлов локального сплайна f N
равно n  N . Отсюда и из оценки (3) следует, что
d n ( Aru, (,1))  cT s / n  s .
Из сопоставления этого неравенства с оценкой (1) и леммы 1 следует
Теорема 2. Пусть  = [0, T ], u – целое положительное число,  –
положительное нецелое число. Справедлива оценка
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru, (,1), C )  T r / n s .
Доказательство теоремы подобно доказательству предыдущей
теоремы. Отличие состоит в том, что сегменты  k , k = 0,1, , N  1, делятся
68
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
на M k частей, k = 0,1, , N  1, где M 0 = ln u /( r 1 )N  , M k = ln u / sN  ,
k = 1, 2, , N  1,  = 1  .
3. Оптимальные методы восстановления
функций многих переменных
В этом разделе построены оптимальные по порядку алгоритмы
аппроксимации классов функций
Aru, (, M ),
Aru, (, M ),
Aru,* (, M ),
u
Aru,* (, M ), Bru, (, A), B r , (, A),  = [0, T ]l , l = 1, 2,
Теорема 3. Пусть  = [0, T ]l , l  2, u = 1, 2, , v = s / ( s   ). Справедливы следующие оценки:
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru (,1), C )  T r / n s / l
(4)
при v < l / (l  1);
c
Tr
n
s /l
(ln n)u 1 s / l  n ( Aru (,1))  2d n ( Aru (,1), C ) 
 Tr
us / r
, u / r  1 / l  (u  1) / s,
 s / l (ln n)
n
 c
 Tr
u 1 s / l
, u / r  1 / l  (u  1) / s
 s / l (ln n)
n
(5)
при v = l / (l  1).
Доказательство. Оценим вначале поперечник Колмогорова. Для этого
нужно построить непрерывные локальные сплайны, имеющие погрешности,
совпадающие с правыми частями неравенств (4)–(5).
Вначале построим необязательно непрерывный локальный сплайн,
погрешность которого совпадает с правыми частями неравенств (4)–(5).
Обозначим через  k множество точек x  , удовлетворяющих неравенствам
v
v


k 
 k 1
 =  x   :   T  (t , 0 )  
 T , k = 0,1, , N  1 .
N
 N 


k
Покроем множества
k
кубами и параллелепипедами
ik ,,i ,
1
l
k = 0,1, , N  1, ребра которых параллельны координатным осям и длины
hk ,
и
не
больше,
чем
2hk ,
которых
не
меньше,
чем
hk = ((k  1) / N )v T  (k / N )v T , k = 0,1, , N  1.
Отметим, что при построении покрытия область  k покрывается
наибольшим возможным числом кубов с ребрами, имеющими длину hk .
Physics and mathematics sciences. Mathematics
69
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Оценим число n кубов и параллелепипедов ik ,,i , k = 0,1, , N  1,
1
l
которыми покрывается область .
Можно показать [5], что
 N v (l 1) , v > l / (l  1),


n   N l , v < l / (l  1),
 l
 N ln N , v = l / (l  1).
(6)
Пусть M 0 = [(ln N )u / r ]  1, M k = [(ln( N / k ))(u 1)/ s ]  1, k = 0,1, , N  1.
Разделим каждое из ребер ik ,,i на M k равных частей и проведем через
1
l
точки
деления
плоскости,
параллельные
координатным плоскостям.
Полученные в результате области обозначим через ik ,,i ; j ,, j .
1
l 1
l
В разд. 2 построен интерполяционный полином Ps ( f ;[a , b ]) . Для
аппроксимации функции f (t1 , , tl ) l переменных, определенной в области
[a1 , b1;; al , bl ], введем интерполяционный полином Ps ,,s ( f ;[ a1 , b1;; al , bl ])
формулой
t
t
t
Ps ,,s ( f ;[a1 , b1;; al , bl ]) = Ps1 ( Ps 2 ( Ps l ( f ;[al , bl ]);[al 1 , bl 1 ]);;[ a1 , b1 ]).
Это полином степени ( s  1) по каждой переменной t1 , , tl . Другими
t
словами, Ps l ( f ;[al , bl ]) интерполирует функцию f (t1 ,, tl ) по переменной
tl
в
сегменте
t
t
Ps l 1 ( Ps l ( f ;[al , bl ]),[al 1 , bl 1 ])
[al , bl ];
интерполирует
t
Ps l ( f ;[al , bl ])
по переменной tl 1 в сегменте [al 1 , bl 1 ] и т.д.
В каждой из областей ik ,,i ; j ,, j функцию f будем аппроксими1
l 1
l
функцию
ровать интерполяционным полиномом Ps ,,s ( f , ik ,,i ; j ,, j ). Локальный
1
l 1
l
сплайн f N составим из полиномов Ps ,,s ( f , ik ,,i ; j ,, j ), k = 0,1, , N  1.
1
Оценим точность аппроксимации функции f
l 1
l
u
 Qr , (,1)
сплайном f N .
Пусть k = 0. Тогда

f  Ps ,,s f , i0 ,...,i ; j ,..., j
1
l l
l
  cT
r
/ N s.
(7)
Пусть теперь k = 1, 2, , N  1, тогда
f
70

 Ps ,, s f , ik ,...,i ; j ,..., j
l l
l
1

v

k  
 1  ln   
 N  
C ( ik1 ,...,il ; jl ,..., jl )) 

u 1
  k v  
  T  
 N 

1

University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика

   k  1 v  k v 
1
c T  
  

   N   N   (ln N )(u 1)/ s T
k

s


cT r
  s .
N


(8)
Из оценок (7) и (8) следует, что
 f  f N  cT r / N s .
(9)
Оценим число узлов, используемых при построении локального
сплайна f N . Рассмотрим в отдельности два случая: 1) v < l / (l  1) ;
2) v = l / (l  1).
Пусть v < l / (l  1). Оценка сверху числа n следует из цепочки

k v
)
N
n
 k 1
k
k =1  (
)v  ( )v
N
 N
N 1

1 (





l 1
M kl  N v (l 1) ([ln N ]  1)lu / r  cN l .
(10)
Из (9) и (10) следует оценка  f  f N  cn  s / l при v < l / (l  1).
Пусть теперь v = l / (l  1). Оценка сверху числа n следует из цепочки
k

1  ( )v
N 1 
N
n
 k 1
k
v
k =1  (
)  ( )v
N
 N






l 1
M kl  mN v (l 1) ([ln N ]  1)lu / r 
 N l (ln N )lu / r , lu / r  1  (u  1)l / s,
 c
 N l (ln N )(u 1)l / s 1 , lu / r  1  (u  1)l / s.
(11)
Из (6), (10), (11) следует, что при v = l / (l  1) справедлива оценка
 1  s /l
  (ln n)us / r , u / r  1 / l  (u  1) / s,
 n 
 f  f N  c 
 1  s /l
u 1 s / l
, u / r  1 / l  (u  1) / s,
  (ln n)
 n 
(12)
где n – число узлов локального сплайна.
Приступим теперь к построению непрерывного локального сплайна.
Покроем область  кубами и параллелепипедами  k , а область  k –
кубами и параллелепипедами ik ,,i так, как описано выше. Пусть
1
l
hk = T ((( k  1) / N )v  (k / N ))v ),
область 
N 2
hk* = hk / M k ,
кубами и параллелепипедами
k = 0,1, , N  1.
2
iN,...,
il
1
Покроем
, имеющими ребра,
параллельные координатным осям, но, в отличие от предыдущего, потребуем,
Physics and mathematics sciences. Mathematics
71
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
2
чтобы вершины кубов iN,...,
входили в число вершин областей iN,...,
.
il
il
1
1
2
Кроме того, потребуем, чтобы длины ребер областей iN,...,
были бы не
il
1
меньше hN 2 и не превосходили 2hN 2 . Затем разделим каждое из ребер
областей
2
iN,...,
i
на
l
1
M N 2
равных частей и проведем плоскости,
2
параллельные координатным плоскостям. В результате области iN,...,
il
1
2
оказываются покрытыми более мелкими областями iN,...,
.
il ; j1 ,..., j
1
3
,
Чтобы покрыть область  N 3 более мелкими областями iN,...,
il ; j1 ,..., jl
1
2
поступим следующим образом. Через вершины областей iN,...,
,
il ; j1 ,..., j
1
расположенные на гиперплоскости  N  2   N 3 , проведем плоскости,
параллельные координатным плоскостям. В результате область  N 3
покрывается более мелкими областями, которые обозначим через
3
3
giN,...,
. Пусть giN,...,
= [ a1 , b1;; al , bl ]. Если длина ребра [ak , bk ],
i ; j ,..., j
i ; j ,..., j .
l
1
1
l
l
1
1
l
2h*N 3 ,
k = 1, 2, , l , превосходит
то делим это ребро на [| bk  ak | / h*N 3 ]
равных частей и через точки деления проводим плоскости, параллельные
3
оказывается
координатным плоскостям. В результате область giN,...,
i ; j ,..., j
1
3
iN,...,
.
il ; j1 ,..., jl
1
покрытой областями
3
giN,...,
,
i ; j ,..., j
областей
1
l
l
1
l
1
l
Проделывая эту процедуру с каждой из
покрываем
область
 N 3
кубами
и
3
iN,...,
. Продолжая этот процесс, покрываем
il ; j1 ,..., jl
1
параллелепипедами
область  кубами и параллелепипедами ik ,...,i ; j ,..., j , k = 0,1, , N  1.
1
l 1
l
Построим непрерывный локальный сплайн. В области  N 1 функция
аппроксимируется интерполяционным полиномом Ps ,,s ( f ,  N 1 ).
f
2
функция f аппроксимируется интерполяционным
В области iN,...,
il ; j1 ,..., j l
1
2
). Функция f совпадает с функцией f во
полиномом Ps ,,s ( f , iN,...,
il ; j1 ,..., j l
1
всех
узлах
интерполяционного
полинома
2
Ps ,,s ( f , iN,...,
)) ,
i ; j ,..., j
1
l
1
за
l
2
  N 1.
исключением узлов, расположенных на поверхности iN,...,
il ; j1 ,..., jl
1
В
этих
узлах
значения
функции
f
равны
значениям
полинома
1
Ps ,,s ( f , iN,...,
).
il
1
Продолжая этот процесс, строим интерполяционные полиномы
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ),
k = 0,1, , N  2. Сплайн, составленный из
1
72
l
1
l
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
полиномов
Физико-математические науки. Математика
1
Ps ,,s ( f , iN,...,
),
i
l
1
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ),
1
l 1
l
k = 0,1, , N  2,
обозначим через f N* .
Повторяя оценки, проделанные при исследовании не обязательно
непрерывного локального сплайна, имеем
 f  f N* C ()  cT r N  s .
(13)
Из неравенств (10), (11), (13) следует, что
d n ( Aru, (,1), C )  cT r / n s / l
(14)
 1  s / l
  (ln n)us / l , u / r  1 / l  (u  1) / s,
 n 
d n ( Aru, (,1), C )  cT r 
 1  s / l
u 1 s / l
, u / r  1 / l  (u  1) / s,
  (ln n)
n



(15)
при v < l / (l  1),
если v = l / (l  1).
Оценим снизу величину поперечника Бабенко n ( Ar , (,1)) при
v = s / ( s   ), v  l / (l  1). Повторяя расуждения, проведенные в [3] и в главе 2
монографии [6], имеем
n ( Aru (,1))  T r / n s / l
(16)
cT / n s /l (ln n)u 1 s / l  n ( Aru (,1))
(17)
при v < l / (l  1);
при v = l / (l  1).
Из неравенств (16)–(17) и леммы 1 следует справедливость теоремы.
Теорема доказана.
Теорема
4.
Пусть
 = [1,1]l ,
l  2,
u = 1, 2, ,
v = s / ( s   ),
v > l / (l  1). Справедлива оценка n ( Aru, (,1))  cT r n ( s  )/(l 1) ln u 1N .
Доказательство подобно проведенному в работе [3] и проведенному
в главе 2 монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.
Пусть v > l / (l  1) . Для аппроксимации функций f  Aru, (,1) при
v > l / (l  1) вначале построим необязательно непрерывный сплайн. После
этого укажем изменения, которые нужно внести в его конструкцию для
построения непрерывного локального сплайна.
Покроем область  кубами и параллелепипедами  k , а область  k –
кубами и параллелепипедами ik ,,i так, как неоднократно делали ранее
l
1
при построении необязательно непрерывных локальных сплайнов.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
73
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Нетрудно видеть, что общее число кубов и параллелепипедов  N 1 ,
ik ,,i , k = 0,1, , N  2, равно
1
l
n  N v (l 1) .
В каждой области  N 1 ,
ik ,...,i
1
(18)
функция
l
интерполяционным полиномом Ps ,,s ( f ,  N 1 ),
fN
составлен из всех полиномов
f
аппроксимируется
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ). Сплайн
Ps ,,s ( f , 
1
N 1
l
Ps ,,s ( f , ik ,...,i ),
),
1
l
определенных в кубе .
Можно показать, что при 1  k  N  1 справедлива оценка
v
k 
| ln   |u 1
(ln N )u 1
N
 f  f N C (  k )  chks
c
.
i1 ,...,il
((k / N )v ) 
Ns
Пусть
k = 0.
рассмотрением
Без
куба
ограничения
 00,,0
общности
= [1, a1;; 1, a1 ],
можно
(19)
ограничиться
a1 = 1  (1 / N )v ,
где
x 0 = (1,..., 1).
Используя отрезок ряда Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме [13], имеем
 f  fN  0
 cls Er 1,,r 1 ( f ,  00,,0 ) 
C ( 0,,0 )
1
 c max
x00,,0
|
uN
1
(1  ) r 1 ( xk  1) k | ln u(tk  1) |)d  | ch0r | ln uh0 | c ln .
k!
Ns
|k |= r
 
0
Из этой оценки и неравенства (19) имеем
 f  f N C ()  c
Приступим
к
построению
аппроксимирующего функции f
T r ln uN
c
Ns
T r ln un
n( s  )/(l 1)
непрерывного
 Aru, (,1)
.
(20)
локального
сплайна,
при v > l / (l  1) с точностью
cT r (ln un)n ( s  )/(l 1) . Для этого достаточно повторить построение, проведенное выше для непрерывного локального сплайна, аппроксимирующего
функции f  Aru, (,1) при v  l / (l  1) (см. доказательство теоремы 3).
Обозначим
построенный
сплайн
через
f N* .
Нетрудно
видеть,
что
 f  f N* C ()  cT r n  s ln u N  cT r (ln un) / n( s  )/(l 1) .
74
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Так как при построении локального сплайна f N* в каждой области
ik ,,i число узлов равно s l , то приходим к следующему утверждению.
1
l
Теорема 5. Пусть  = [1,1]l ,
v > l / (l  1). Справедлива оценка
l  2,
u = 1, 2,...,
v = s / ( s   ),
u
d n ( Ar , (,1), C )  cT r (ln un) / n( s  )/(l 1) .
Приступим к построению оптимальных методов аппроксимации
функций f  Aru, (,1). Напомним, что, следуя определению 9, константы
s, r ,  связаны соотношениями  = s  r  1  ,  =   [  ].
Теорема 6. Пусть  = [1,1]l , l  2, u = 1, 2,..., v = s / ( s   ). Тогда
d n ( Aru, (,1), C )  cT r / n s / l при v < l / (l  1);
d n ( Aru, (,1), C )  cT r
(ln n)us /( r 1)
n s /l
,
(21)
(22)
если lu / (r  1  )  ul / s  1;
d n ( Aru, (,1), C )  cT r
(ln n)(ul  s )/ l
n s /l
,
(23)
если lu / (r  1  ) < ul / s  1 при v = l / (l  1).
Доказательство подобно доказательству теоремы 3. Отличие состоит
в способе покрытия куба .
Покроем область  кубами и параллелепипедами ik ,,i ; j ,, j ,
l 1
l
1
k = 0,1, , N  1, подобно тому, как уже сделали при доказательстве теоремы 3.
Для этого ребра кубов  N 1 , ik ,,i разделим на M k равных частей, где
l
1
[(ln N )u /( r 1) ]  1,k = 0,
Mk = 
[(ln( N / k ))u / s ]  1,k = 0,1, , N  1,
и проведем через точки деления плоскости, параллельные координатным
ik ,,i ; j ,, j ,
плоскостям.
В
результате
получаем
покрытие
l 1
l
1
k = 0,1, , N  1, области . После этого
проведенные при доказательстве теоремы 3.
Теорема 7. Пусть  = [1,1]l , l  2,
повторяем
рассуждения,
u = 1, 2, ,
v = s / ( s   ),
v < l / (l  1). Справедлива оценка n ( Aru, (,1))  CT r n  s / l .
Доказательство подобно проведенному в работе [3] и проведенному
в главе 2 монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
75
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
Теорема 8.
v = l / (l  1). Тогда
Пусть
 = [1,1]l ,
l  2,
v = s / ( s   ),
u = 1, 2,...,
n ( Aru, (,1))  c(ln n)u  s / l / n s / l .
Доказательство подобно проведенному в работе [3] и в главе 2
монографии [6] при доказательстве теоремы 2.2.
Объединяя теоремы 6–8, приходим к следующему утверждению.
Теорема 9. Пусть  = [1,1]l , l  2, u = 1, 2,..., v = s / ( s   ). Тогда
 Tr
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru, (,1), C )  
 n s /l

cT r
(ln n)(ul  s )/ l
n s /l

 при v < l / (l  1);


 n ( Aru (,1))  2d n ( Aru (,1), C )  cT r
(ln n)us /( r 1)
n s /l
,
если lu / (r  1  )  ul / s  1;
n ( Aru (,1))  d n ( Aru (,1), C )  T r
(ln n)(ul  s )l
n s /l
,
если lu / (r  1  ) < ul / s  1 при v = l / (l  1).
Теорема 10. Пусть  = [1,1]l , l  2, v = s / ( s   ), v > l / (l  1). Тогда
n ( Aru, (,1))  cT r n ( s  )/(l 1) ln un.
Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 3.
Теорема 11. Пусть  = [1,1]l , l  2, v = s / ( s   ), v > l / (l  1). Тогда
d n ( Aru, (,1), C )  cT r n ( s  )/(l 1) ln un.
Сопоставляя утверждения теорем 10 и 11, приходим к следующему
утверждению.
Теорема 12. Пусть  = [1,1]l , l  2, u = 1, 2,..., v = s / ( s   ),
v > l / (l  1). Тогда
n ( Aru, (,1))  d n ( Aru, (,1), C )  T r n ( s  )/(l 1) ln un.
Доказательство теоремы подобно доказательству теоремы 3.
Теорема 13. Пусть
 = [0, T ]l , l = 2,3, , u = 1, 2, , v = s / ( s   ).
Справедливы следующие оценки:
*u
n ( A r , (,1))  n ( A*u r , (,1))  T r n  s / l , если v < l / (l  1).
(24)
Доказательство. Вначале оценим поперечник Колмогорова. Построим
необязательно непрерывный локальный сплайн, имеющий погрешность, совпадающую по порядку с правой частью неравенства (24). Затем укажем изме-
76
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
нения, которые необходимо внести в это построение для получения непрерывного локального сплайна, имеющего такую же погрешность, что и в правой
части неравенств (24). Покроем куб  более мелкими кубами. Обозначим
через 1 = 11,,1 множество точек, удовлетворяющих неравенствам
v
v


1 
1 
 0  t1    T      0  tl    T  .


 N  
 N  


Области  k определяются формулой  k = 'k / "k 1 , где
v
k 
'k = (t1 , , tl ) : 0  t1 , , tl    T ;
N
v
 k 1
"k = (t1 , , tl ) : 0  t1 , , tl  
 T , k  2,..., N .
 N 
покроем кубами и параллелепипедами  k = ik ,...,i ,
1
l
k = 1, 2, , N  1, с боковыми гранями, параллельными координатным
плоскостям, и с ребрами, длины которых не меньше hk и не больше 2hk , где
Область  k
  k  1 v  k v 
 T , k = 1, 2, , N .
hk =  

  N   N  


Каждую из областей ik ,,i разделим на M kl , k = 1, 2, , N , равных
1
1
частей,
где
 N u ( s  ) 
 , k  2,..., N .
M1 = ln u / r N , M k   ln 
 k 

Для
этого
в области ik ,...,i каждое ребро делим на M k равных частей и через точки
1 l
деления проводим плоскости, параллельные координатным плоскостям.
Области, полученные в результате этих построений, обозначим через
ik ,...,i ; j ,..., j , k = 1, 2, , N .
1
l
1
l
В области
ik ,...,i ; j ,..., j
1
l
1
l
функцию
f
будем аппроксимировать
интерполяционным полиномом Ps ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ) . Сплайн, составленный из
1
полиномов
Ps ( f , ik ,...,i ; j ,..., j ), k
1
l 1
l
l
1
l
= 1, 2, , N , обозначим через f N . Оценим
погрешность  f  f N C () .
Очевидно,
|| f  f N || 1
 Es 1,,s 1 ( f , 11,,1;0,,0 ) ,
C ( (1,,1;0,,0)
Physics and mathematics sciences. Mathematics
77
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
1
(1   s )l  cTr 1,,r 1 ( f , 1,
,1;0,,0 ) 
r
 Ch1,0
1
(1  )
r 1
(1 | ln u (h) |)d  
0
r
r
 ch1,0
| ln uh1,0
  1 v T 
  1 v T 
Tr
 ln u   
C
| C   
;
s
  N  M1 
  N  M1 
N




s  v
h1,0
N M1 
M
|| f  f N ||C ( 1



1,...,1;i1 ,...,il )
s!  jT 
s
v
c   1  T   N v M1 
 
  

s!   N  M1   jT 


Здесь h1,0 =
T
v
N M1
,
jT



jT
1  ln u 1
v

N M1


jT
1  ln u 1
v

N M1






Tr
c
.

Ns

– расстояние области 11,...,1;i ,...,i до начала
v
N M1
1
l
координат.
Tr
Таким образом, получена оценка || f  f N ||C ( 1

.
C
1,...,1;i1 ,...,il )
Ns
Приступим к оценке

v
v
hks   N  M k  
k  T 
 
 1 | ln u 1 
C
|| f  f N ||C (  k

| 
i1 ,...,il ; j1 ,..., jl )
s!   k  T  
 N  M k 

 
v
v
c  k 1  k   T
 

   
s!    N   N   M k






s

v

  N v M  
k  1  u 1 k  T  
 
ln  
 k
T  
 N  M k 
 
 

s
v
v
c  (k  )v 1 T    N  M k  
Tr
 k  T 
 
  1  ln u 1 
 
c
.

s
s! 
M k    k  T  
N  Mk 

Nv
N

 

Из последних двух неравенств следует оценка
|| f  f N ||C ()  cT r / N s .
(25)
Теперь, повторяя рассуждения, приведенные при доказательстве
теоремы 3, строим непрерывный локальный сплайн f N* с оценкой
r
T
|| f  f N* ||C ()  C
.
Ns
78
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
Оценим число узлов локального сплайна f N* . Для этого достаточно оценить число областей ik ,...,i ; j ,..., j , k = 1, 2, , N  1 , покрывающих область .
1
l 1
l
Нетрудно видеть, что
v

 k 1
N 1


 N 

m
v
v

k 
k =1   k  1 

 N   N 
  



N 1
N 1
k =1
k =2

k l 1M kl  M1l 








l 1
M kl
N 1
(k  1)v 



v 1 


k =1  ( k  )

k l 1M kl  (ln N )ul / r 
l 1
N 1
M kl 
l
 N
k l 1  ln   N l .
 k 
k =2

В каждой области ik ,,i ; j ,, j используется ( s  1)l узлов локально1
l 1
l
го сплайна f N* . Исключение составляют граничные (для областей  k ) области ik ,,i ; j ,, j , в которых используется s l узлов локального сплайна f N* .
1
l 1
l
Таким образом, общее число n узлов локального сплайна f N* равно n  N l .
Отсюда и из неравенства (25) следует оценка сверху поперечника
Колмогорова
*u
d n  A r  (,1)   cT r / n s / l .


(26)
Для оценки снизу поперечника Бабенко заметим, что класс функций
s
*u
W (1) вложен в класс функций At , (,1). Так как n (W s (1))  c / n s / l , то


u
n  At ,  (,1)   n W s (1)  cT r / n s / l .


(27)
Из неравенств (26), (27) и леммы 1 следует, что
u
u*
n  At ,  (,1)   d n  Ar  (,1), C   T r / n s / l .




Теорема доказана.
Теорема 14. Пусть  = [0, T ]l , l = 2,3, , u , – целое положительное
число;  – нецелое положительное число; v = s / ( s   ). Справедливы следующие оценки
u*
u*
n  Ar ,  (,1)   d n  Ar  (,1), C   T r / n s / l .




Доказательство этой теоремы подобно доказательству предыдущей
теоремы. Отличие состоит в том, что области ik ,,i делятся на M kl равных
1
l
частей, где
Physics and mathematics sciences. Mathematics
79
Известия высших учебных заведений. Поволжский регион
 (ln N )u /( r 1 ) , k = 1;

u /( s  )
Mk = 
 N
, k = 2, , N  1,
  ln 
  k 
 = 1  .
Список литературы
1. Ба б е н к о , К . И . О некоторых задачах теории приближений и численного
анализа / К. И. Бабенко // Успехи математических наук. –1985. – Т. 40, № 1. – С. 3–28.
2. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач
математической физики / под ред. К. И. Бабенко. – М. : Наука, 1979. –196 с.
3. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных
уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
4. Б о й к о в , И . В. Аппроксимация некоторых классов функций локальными
сплайнами / И. В. Бойков // Журнал вычислительной математики и
математической физики. – 1998. – Т. 38, № 1. – С. 25–33.
5. Б о й к о в , И . В. Оптимальные методы приближения функций и вычисления
интегралов / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2007. – 236 с.
6. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы решения прямых и обратных задач
гравиразведки / И. В. Бойков, А. И. Бойкова. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2012. – 450 с.
7. Б о й к о в , И . В. Оптимальные алгоритмы восстановления функций и вычисления интегралов на одном классе бесконечно дифференцируемых функций /
И. В. Бойков // Известия вузов. Математика. – 1998. – № 9. – С. 14–20.
8. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и
гиперсингулярных интегралов. Часть 1. Сингулярные интегралы / И. В. Бойков. –
Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. – 360 с.
9. Б о й к о в , И . В. Приближенные методы вычисления сингулярных и
гиперсингулярных интегралов. Часть 2. Гиперсингулярные интегралы / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. – 252 с.
10. Б о й к о в , И . В. Оптимальные по точности приближенные методы решения интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Дифференциальные уравнения. – 2002. – № 9. – C. 1215–1232.
11. Б о й к о в , И . В. Сверхсходимость приближенного решения многомерных интегральных уравнений Вольтерра / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Труды Средневолжского математического общества. – 2003. – Т. 5, № 1. – С. 119–126.
12. Б о й к о в , И . В. Сверхсходимость решений многомерных интегральных уравнений Фредгольма / И. В. Бойков // Дифференциальные уравнения. – 2004. – Т. 40,
№ 9. – С. 1214–1223.
13. Н и к о л ь с к и й , С . М . Курс математического анализа / С. М. Никольский. – М. :
Наука, 1975. – Т. 1. – 432 с.
References
1. B a b e n k o , K . I . O nekotorykh zadachakh teorii priblizheniy i chislennogo analiza /
K. I. Babenko // Uspekhi matematicheskikh nauk. –1985. –T. 40, № 1. – S. 3–28.
2. Teoreticheskiye osnovy i konstruirovaniye chislennykh algoritmov zadach matematicheskoy fiziki / pod red. K. I. Babenko. – M. : Nauka, 1979. –196 s.
3. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody resheniya singulyarnykh integral'nykh
uravneniy / I. V. Boykov. – Penza : Izd-vo PGU, 2004. – 316 s.
4. Bo y k o v , I . V . Approksimatsiya nekotorykh klassov funktsiy lokal'nymi splaynami /
I. V. Boykov // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. – 1998. –
T. 38, № 1. – S. 25–33.
80
University proceedings. Volga region
№ 1 (25), 2013
Физико-математические науки. Математика
5. Bo y k o v , I . V . Optimal'nyye metody priblizheniya funktsiy i vychisleniya integralov /
I. V. Boykov. – Penza : Izd-vo PGU, 2007. – 236 s.
6. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody resheniya pryamykh i obratnykh zadach
gravirazvedki / I. V. Boykov, A. I. Boykova. – Penza : Izd-vo PGU, 2012. – 450 s.
7. Bo y k o v , I . V . Optimal'nyye algoritmy vosstanovleniya funktsiy i vychisleniya integralov na odnom klasse beskonechno differentsiruyemykh funktsiy / I. V. Boykov //
Izvestiya vuzov. Matematika. – 1998. – № 9. – S. 14–20.
8. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Chast' 1. Singulyarnyye integraly / I. V. Boykov. – Penza : Izd-vo
PGU, 2005. – 360 s.
9. Bo y k o v , I . V . Priblizhennyye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov. Chast' 2. Gipersingulyarnyye integraly / I. V. Boy-kov. – Penza :
Izd-vo PGU, 2009. – 252 s.
10. Bo y k o v , I . V . Optimal'nyye po tochnosti priblizhennyye metody resheniya integral'nykh uravneniy Vol'tera / I. V. Boykov, A. N. Tynda // Differentsial'nyye
uravneniya. – 2002. – № 9. – C. 1215–1232.
11. Bo y k o v , I . V . Sverkhskhodimost' priblizhennogo resheniya mnogomernykh integral'nykh uravneniy Vol'terra / I. V. Boykov, A. N. Tynda // Trudy Srednevolzhskogo
matematicheskogo obshchestva. – 2003. – T. 5, № 1. – S. 119–126.
12. Bo y k o v , I . V . Sverkhskhodimost' resheniy mnogomernykh integral'nykh uravneniy
Fredgol'ma / I. V. Boykov // Differentsial'nyye uravneniya. – 2004. – T. 40, № 9. –
S. 1214–1223.
13. N i k o l ' s k i y , S . M . Kurs matematicheskogo analiza / S. M. Nikol'skiy. – M. : Nauka,
1975. – T. 1. – 432 s.
Бойков Илья Владимирович
доктор физико-математических наук,
профессор, заведующий кафедрой
высшей и прикладной математики,
Пензенский государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Boykov Il'ya Vladimirovich
Doctor of physical and mathematical
sciences, professor, head of sub-department
of higher and applied mathematics,
Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
Тында Александр Николаевич
кандидат физико-математических наук,
доцент, кафедра высшей и прикладной
математики, Пензенский
государственный университет
(г. Пенза, ул. Красная, 40)
Tynda Aleksandr Nikolaevich
Candidat of physical and mathematical
sciences, associate professor,
sub-department of higher and applied
mathematics, Penza State University
(Penza, 40 Krasnaya str.)
E-mail: math@pnzgu.ru
УДК 518.5
Бойков, И. В.
Поперечники соболевских классов функций с особенностями на границе / И. В. Бойков, А. Н. Тында // Известия высших учебных заведений.
Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2013. – № 1 (25). –
С. 61–81.
Physics and mathematics sciences. Mathematics
81
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
4
Размер файла
483 Кб
Теги
классов, граница, соболевская, поперечников, функции, особенностями
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа