close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Порождающие в кольце целых функций многих комплексных переменных первого порядка и минимального типа в конусе. Применение

код для вставкиСкачать
Математика
Вестник Нижегородского
университета
им. Н.И.комплексных
Лобачевского,переменных
2014, № 4 (1),первого
с. 279–283 Порождающие
в кольце целых
функций многих
порядка
279
УДК 517.5
ПОРОЖДАЮЩИЕ В КОЛЬЦЕ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ КОМПЛЕКСНЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА И МИНИМАЛЬНОГО ТИПА В КОНУСЕ.
ПРИМЕНЕНИЕ
 2014 г.
В.Н. Филиппов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
viktory.filippov@yandex.ru
Поступила в редакцию 17.06.2014
Рассматривается кольцо целых функций многих комплексных переменных первого порядка, имеющих минимальный тип в конусе. Получено условие порождения этого кольца конечным набором
функций. Доказанная в работе теорема о порождении кольца применяется в исследовании разрешимости неоднородной системы уравнений свёртки в терминах характеристических функций уравнений.
Ключевые слова: целая функция, порождающие в кольце, уравнения свёртки.
Введение
Пусть Г – замкнутый выпуклый острый
конус в C n с вершиной в начале, Г* – сопряженный для Г конус:
*  {z  C n : Re z , w  0, w  } .
Через H 0 ( z ) обозначим опорную функцию
пересечения замкнутого шара B (1,0) единичного
радиуса с центром в начале с конусом Г.
Рассмотрим следующее множество целых
функций:
E () = { f  H (C n ) :  > 0 C1 (, f ), C2 (, f ),
| f ( z ) | C1exp((C2 H 0 ( z )  ) | z |), z  C n },
– множество целых функций первого порядка
конечного типа, имеющих минимальный тип в
конусе Г*. Возьмем конечное множество функций f1 ,, f q из E () и обозначим через
I ( f1 ,, f q ) идеал в кольце E () , порожденный
функциями f1 ,, f q :
I ( f1 ,, f q ) = { f1 g1    f q g q },
g j  E (), j = 1,, q.
Будем
говорить,
что
кольцо
E ()
порождается функциями f1 ,, f q , если I ( f1 ,,
f q ) = E ( ) .
Основной результат работы сформулирован
в следующей теореме.
Теорема.
Функции
f1 ,, f q  E ()
порождают кольцо E () тогда и только тогда,
когда для любого  > 0 выполняется неравенство
| f1 ( z) |  | f q ( z) | C1exp (C2 H 0 ( z)  ) | z |,
(1)
z  Cn ,
где C1 = C1 () > 0 , C2 = C2 () > 0 .
Связь с предыдущими результатами
В числе первых исследований о порождающих следует назвать работу Л. Карлесона [1], в
которой решена задача о порождающих в пространстве аналитических и ограниченных в
единичном круге функций (теорема о короне).
В случае кольца целых функций экспоненциального типа аналогичный результат получен
Дж. Келлехером и Б. Тейлором [2]. Их доказательство основывается на теореме о короне Л.
Карлесона. Теорема о порождающих для кольца
H p ( D) = { f  H ( D) :
| f ( z ) | C1 ( f ) expC2 ( f ) p ( z ) , z  D},
где D – открытое множество в C n , p (z ) – некоторая неотрицательная плюрисубгармоническая в D функция, доказана Л. Хёрмандером
[3]. Более общий результат о порождении кольца H p (D) счетным (в частности, конечным)
набором функций получен В.В. Напалковым и
Т.Т. Кузбековым [4].
Приведем формулировки последних двух
теорем.
Предложение 1 [3]. Пусть D – открытое
множество в C n , p(z ) – неотрицательная
D
функция,
плюрисубгармоническая
в
удовлетворяющая следующим условиям:
1) все полиномы принадлежат кольцу
H p (D ) ;
2) существуют постоянные K1 , K 2 , K 3 , K 4 ,
zD
и
| z  w |
такие,
что
если
280
В.Н. Филиппов
 exp( K1 p( z )  K 2 ) ,
то
w D
и
p ( w) 
кольца
H p (D )
 K 3 p( z )  K 4 .
Тогда
для
порождения
f1 ,, f q  H p ( D )
функциями
Предложение 3 [5]. Для того чтобы N = M ,
необходимо и достаточно, чтобы определители
1 ,,  q порождали H p (D ) .
необходимо и
достаточно выполнения неравенства
| f1 ( z ) |  | f q ( z ) | C1 exp((C2 p( z )), z  D, (2)
для некоторых постоянных C1 > 0 и C2 > 0 .
Теорема Карлесона о короне получается из
предложения 1, когда D есть единичный круг в
C и p ( z )  0 , а теорема Келлехера и Тейлора –
когда D = C и p ( z ) =| z | .
Предложение 2 [4]. Пусть D – область в
n
C , p ( z ) – неотрицательная плюрисубгармоническая в D функция, удовлетворяющая условиям
1) и 2) предложения 1, и пусть f k  H p (D) ,
k = 1,2,, – такая последовательность, что:
Доказательство теоремы
Схема доказательства взята из работы [6].
Пусть функции f1 ,, f q  E () порождают
кольцо E () . Так как 1  E () , то найдутся
g1 ,, g q  E (), такие, что f1 g1    f q g q = 1 ,
и необходимость (1) следует сразу же.
Предположим теперь, что для
f q  E () имеет место (1). Очевидно, найдется
число C0 > 0, такое, что для всякого  > 0
выполняются неравенства
| f s ( z ) | C s () exp((C0 H 0 ( z )  ) | z |),
s = 1,, q,
| f1 ( z ) |    | f q ( z ) |

3)
 | f ( z) | A exp( A p( z )) , z  D
k
1
2
k =1
(сходимость равномерная на компактных
множествах из D );
4) имеют место равномерные оценки
| f k ( z ) | B1 exp( B2 p ( z )), z  D, k = 1,2,.
Тогда
счетным
для
порождения
набором
кольца
функций
H p (D)
f k  H p (D) ,
k = 1,2,, необходимо и достаточно, чтобы
существовала
такая
последовательность

действительных ak , k = 1,2, , что
a
2
k
 и
k =1
выполняется оценка

a
2
k
| f k ( z ) |2  A1exp( A2 p ( z )), z  D.
k =1
Отметим, что из предложения 2 вытекает
теорема Хёрмандера. Заметим, что в отличие от
H p ( D) пространство E () не представимо как
индуктивный предел банаховых пространств.
Рассмотрим H p ( D) -модуль M = ( H p ( D)) l ,

где D – область в C n . Пусть Fk = ( F1k ,  , Flk ) 


 M , k = 1, , m, и N = N ( F1 ,, Fm )
–
подмодуль
в M , порожденный элементами


F1 ,, Fm . Через 1 ( z ),,  q ( z ) обозначим
всевозможные различные определители вида
F1 j1  F1 jl
   , 1  j1 <  < jl  m.
Flj1  Fljl
Дж. Келлехером и Б. Тейлором доказано
следующее утверждение.
f1 ,  ,
 C1,0 () exp((C0 H 0 ( z )  ) | z |), z  C.
Возьмем последовательность { k } :  k > 0 ,
 k >  k 1 ,
k  0
при
k .
Так
как
f1  E (C) , то для 1 существует r1,1 (1 ) > 0,
такое, что
| f1 ( z ) | exp((C0 H 0 ( z )  1 ) | z |), | z | r1,1.
Аналогично для  2 существует r1,2 ( 2 ) > r1,1 ,
такое, что
| f1 ( z ) | exp((C0 H 0 ( z )   2 ) | z |), | z | r1,2 ,
и так далее для всех остальных  k .
Рассмотрим функцию
1 (| z |) =  k , r1, k | z |< r1, k 1 , k = 1,2, .
Имеем
| f1 ( z ) | exp((C0 H 0 ( z )  1 (| z |)) | z |),
| z | r1,1 .
(3)
По построению 1 (| z |)  0 при | z |  . Тогда
существует функция 1 (r ) , удовлетво-ряющая
условиям
1 (r )  1 (r )r , r  r1,1 ,
(4)
1 (r )
=0
lim
r 
r
и такая, что функция 1 (| z |) , z  C n , является
плюрисубгармонической (см., например, [7],
лемма 3.6.7). Из (3) и (4) следует
| f1 ( z ) | exp(C0 H 0 ( z ) | z | 1 (| z |), | z | r1,1.
Аналогичные рассуждения проведем для
функций f 2 ,, f q . В результате получим плюрисубгармонические в C n функции  s (| z |) ,
281
Порождающие в кольце целых функций многих комплексных переменных первого порядка
1 = f1 g1    f q g q
s = 1,, q , удовлетворяющие условиям вида (4)
с  s (r ) , r  r1,1 , и такие, что
и
| f s ( z ) | exp(C0 H 0 ( z ) | z |  s (| z |)), | z | r1, s .
Вернемся к неравенству (1). Для 1 из взятой
последовательности { k } существует r0,1 (1 ) > 0,
такое, что
| f1 ( z ) |   | f q ( z ) | exp((C0 H 0 ( z )  1 ) | z |),
| z | r0,1 ;
| g s ( z ) | C s1 exp( H 0 ( z ) | z |  (| z |)) =

 (| z |)  
 | z |, s = 1,, q.
 C s1 exp H 0 ( z ) 
| z |  

Так как  (| z |)/ | z | 0 при | z |  , получаем,
что g s  E () , s = 1,, q .
Теорема доказана.
для  2 существует r0,2 ( 2 ) > r0,1 , такое, что
| f1 ( z ) |   | f q ( z ) | exp((C0 H 0 ( z )   2 ) | z |),
| z | r0,2 ;
и так далее для всех остальных  k . Для
функции  0 (| z |) =  k , r0, k | z |< r0, k 1 , k = 1,2,,
имеем
| f1 ( z ) |   | f q ( z ) |
 exp((C0 H 0 ( z )   0 (| z |)) | z |),
| z | r0,1 .
Тогда существует, как было отмечено выше,
плюрисубгармоническая функция
 0 (| z |) ,
z  C n , удовлетворяющая условиям вида (4) с
 0 (r ) , z  r0,1 , и такая, что
| f1 ( z ) |   | f q ( z ) | exp(C0 H 0 ( z ) | z |  0 (| z |)),
| z | r0,1 .
Построим функцию
~
~
~
 (| z |) = max{ 0 (| z |), 1 (| z |),,  q (| z |), ln  | z |},
z C ,
~
~
где  s (r ) =  s (r ) , r  rs ,1 , и  s (r ) =  (rs ,1 ) ,
n
r < rs ,1 , s = 0,1,, q . Функция  (| z |) является
плюрисубгармонической в C n и удовлетворяет
условиям (4) с  s (r ) , r  rs ,1 , s = 0,1,, q . Рассмотрим пространство
H p (C n ) = { f  H (C n ) :
C1 ( f ), C 2 ( f ), | f ( z ) | C1exp(C 2 p( z )), z  C n },
где
p ( z ) = H 0 ( z ) | z |  (| z |) .
Отметим,
что
p (| z |) – плюрисубгармоническая в C n функция, удовлетворяющая условиям предложения
1. Из определения p (z ) следует, что взятые
функции
f1 ,, f q  E ()
принадлежат про-
n
странству H p (C ) и для них выполнено (2).
Значит, кольцо H p (C n ) порождается функция-
Применение
Сначала приведём необходимый в дальнейшем результат. Пусть D – выпуклая область в
C n , n  1 , содержащая начало, H (D) – пространство аналитических в области D функций
с топологией равномерной сходимости на компактных множествах из D , H * ( D) – пространство линейных непрерывных на H (D) функционалов с топологией равномерной сходимости
на ограниченных множествах из H (D) . Для каждого функционала F  H * ( D) существует определяющая его мера  на D , supp   D , т.е.

( F , f ) = f ( z )d( z ),
f  H ( D ).
D
Рассмотрим отображение TD , которое каждому функционалу F  H * ( D) ставит в соответствие функцию Fˆ ( z ) по правилу

Fˆ ( z ) = ( F , e <  , z > ) = e <  , z > d( ).
D
Функция Fˆ ( z ) называется преобразованием
Лапласа функционала F , является целой функцией экспоненциального роста. Обозначим
PD = {Fˆ ( z ) : F  H * ( D)}.
Отображение TD : H * ( D)  PD взаимно однозначно (см., например, [8], лемма 12.1). Топологию на множестве PD определим так, чтобы
отображение TD было топологическим изоморфизмом.
Функционал F  H * ( D) порождает в пространстве H (D) оператор свëртки F  f :
( F  f )( z ) = ( F , f ( z   )) 

= f ( z   )d( ) = (  f )( z ).
D
Пусть Fkj  H * ( D) , k = 1,, m ,
j = 1,, l ,
ми f1 ,, f q . Следовательно, существуют g1 ,,
 kj – меры, определяющие функционалы Fkj ,
g q  H p (C n ), такие, что
K – выпуклая оболочка носителей мер  kj . В
282
В.Н. Филиппов
пространстве H l ( D  K ) – топологическом
произведении l экземпляров пространства
H ( D  K ) – рассмотрим неоднородную систему уравнений свëртки
l

kj
 f j = g k , k = 1,, m,
(5)
j =1
Обозначим через H *m ( D) и PDm топологические произведения m экземпляров H * ( D) и PD
соответственно. Отметим, что сопряжённым к
H m (D) является H *m ( D ) , и если

G = (G1 ,, Gm )  H *m ( D ),

g = ( g1 ,, g m )  H m ( D),
то
 
(G , g ) = (G1 , g1 )    (Gm , g m ).
Отображение
Tm , D , которое элементу

*m
G  H ( D) ставит в соответствие элемент

T (G ) = (Gˆ ,, Gˆ )  P m , устанавливает топо1
m
D
логический изоморфизм между H *m ( D) и PDm
(см., например, [8], с. 223). Матрица M = ( kj )
определяет линейный непрерывный оператор
LM : H l ( D  K )  H m ( D) , действующий по

правилу: если f  H l ( D  K ) , то
 
LM ( f ) = 


Сопряжённый
множество im LMˆ замкнуто в PDl  K .
Пусть теперь D – выпуклая область в C n , содержащая замкнутый выпуклый острый конус Г,
и пусть функционалы Fkj  H * ( D) , k = 1,, m ,
j = 1,, l , такие, что ˆ kj  E () . В простран-
где g k  H (D) .
m, D

g ( z )  (ker LM )  тогда и только тогда, когда
l

1 j  f j ,  ,
j =1
к
l

j =1
LM
mj

 f j .


оператор
L*M :
H *m ( D )  H *l ( D  K ) определяется из равенства

 

(6)
( L*M (G ), f ) = (G, LM ( f )),


l
*m
где f  H ( D  K ) , G  H ( D) . Так как Tm , D и
Tl , D  K – топологические изоморфизмы, то опе-
ратор L*M порождает эквивалентный в топологическом смысле оператор
LMˆ : PDm  PDl  K ,
действие которого заключается в умножении
матрицы, транспонированной по отношению к

матрице Mˆ = (ˆ kj ) , на вектор-столбец g  PDm .
Из соотношения (6) следует включение
im LM  (ker L*M )  .
Справедливо следующее утверждение.
Предложение 4 [9]. Система (5) разрешима в
пространстве
H l (D  K )
для
всякого
стве H l (D) рассмотрим неоднородную систему
уравнений свëртки
l

kj
 f j = g k , k = 1,, m,
(7)
j =1
где g1 ,, g m  H ( D) .
Обозначим через 1 ( z ),,  q ( z ) всевозможные различные определители вида
ˆ j ,1  ˆ j ,1
1
l
   , 1  j1 <  < jl  m.
ˆ j ,l  ˆ j ,l
1
l
Так как ˆ kj  E () , то 1 ( z ),,
(8)
 q (z ) 
 E () . Если 1 ( z ),,  q ( z ) порождают E () ,

то по предложению 3 элементы Fk = (ˆ k 1 ,
, ˆ kl ) , k = 1,, m , порождают E () -модуль
( E ())l . Тогда
PDl = im LMˆ . Таким образом,
справедлива следующая теорема о разрешимости неоднородной системы уравнений свëртки
через характеристические функции.
Теорема А.
Система (7) разрешима в

l
пространстве H (D) для всякого g  (ker L*M )  ,
если для любого  > 0 выполняется неравенство
| 1 ( z ) |    |  q ( z ) | C1exp((C 2 H 0 ( z )  ) | z |),
z Cn ,
где
1 ( z ),,  q ( z )
–
определители
(8),
C1 = C1 () > 0 , C2 = C2 () > 0 , H 0 ( z ) – опорная
функция
пересечения
замкнутого
шара
единичного радиуса с центром в начале с
конусом .
Список литературы
1. Carleson L. Interpolations by bounded analytic
functions and the corona problem //Ann. Math. 1962.
V. 76. № 3. P. 547–559.
2. Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the
corona theorem to some rings of entire functions // Bull.
Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 2. P. 246–249.
3. Hörmander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 6.
P. 943–949.
Порождающие в кольце целых функций многих комплексных переменных первого порядка
4. Напалков В.В., Кузбеков Т.Т. О порождающих
в некоторых кольцах аналитических функций //
Докл. РАН. 1992. Т. 325. № 5. С. 919–922.
5. Kelleher J.J., Taylor B.A. Finitelly generated ideals of analytic functions // Math. Ann. 1962. V. 193.
№ 3. P. 225–237.
6. Напалков В.В., Филиппов В.Н. Порождающие
в кольце целых функций многих комплексных
переменных первого порядка и минимального типа в
конусе // Докл. РАН. 2014. Т. 456. № 2. С. 1–3.
283
7. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971. 432 с.
8. Напалков В.В. Уравнения свёртки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с.
9. Филлиппов В.Н. Разрешимость неоднородной системы уравнений свёртки в пространстве
голоморфных функций // В сб.: Вопросы аппроксимаций функций комплексного переменного.
Башкирск. филиал АН СССР. Уфа, 1982. С. 97–
101.
GENERATORS FOR THE RING OF ENTIRE FUNCTIONS OF MANY FIRST ORDER COMPLEX VARIABLES
OF MINIMAL TYPE IN A CONE. APPLICATION
V.N. Filippov
A ring of entire functions of many first order complex variables of minimal type in a cone is considered. A condition
to generate this ring by a finite set of functions is obtained. The ring generator theorem proved in the article is applied to
study the solvability of an inhomogeneous system of convolution equations in terms of characteristic functions of the
equations.
Keywords: entire function, ring generators, convolution equations.
References
1. Carleson L. Interpolations by bounded analytic
functions and the corona problem //Ann. Math. 1962.
V. 76. № 3. P. 547–559.
2. Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the
corona theorem to some rings of entire functions // Bull.
Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 2. P. 246–249.
3. Hörmander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 6.
P. 943–949.
4. Napalkov V.V., Kuzbekov T.T. O porozhdayushchih v nekotoryh kol'cah analiticheskih funkcij //
Dokl. RAN. 1992. T. 325. № 5. S. 919–922.
5. Kelleher J.J., Taylor B.A. Finitelly generated ide-
als of analytic functions // Math. Ann. 1962. V. 193.
№ 3. P. 225–237.
6. Napalkov V.V., Filippov V.N. Porozhdayushchie
v kol'ce celyh funkcij mnogih kompleksnyh peremennyh
pervogo poryadka i minimal'nogo tipa v konuse // Dokl.
RAN. 2014. T. 456. № 2. S. 1–3.
7. Ronkin L.I. Vvedenie v teoriyu celyh funkcij
mnogih peremennyh. M.: Nauka, 1971. 432 s.
8. Napalkov V.V. Uravneniya svyortki v mnogomernyh prostranstvah. M.: Nauka, 1982. 240 s.
9. Fillippov V.N. Razreshimost' neodnorodnoj sistemy uravnenij svyortki v prostranstve golomorfnyh
funkcij // V sb.: Voprosy approksimacij funkcij kompleksnogo peremennogo. Bashkirsk. filial AN SSSR. Ufa,
1982. S. 97–101.
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа