close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов.

код для вставкиСкачать
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.П. Молчанов.
Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного автономного
образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный
федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: sukhinov@gmail.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634310599.
Руководитель ТТИ ЮФУ; д.ф-м.н.; профессор.
Чистяков Александр Евгеньевич
E-mail: cheese_05@mail.ru.
Тел.: 88634371606.
Кафедра высшей математики; ассистент.
Тимофеева Елена Федоровна
Северо-Кавказский государственный технический университет.
Е-mail: teflena@mail.ru.
355029, г. Ставрополь, просп. Кулакова, 2.
Тел.: 88652728858; +79097583970.
Кафедра прикладной математики и компьютерных технологий; старший преподаватель.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology – Federal State-Owned Autonomy Educational
Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: sukhinov@gmail.ru
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634310599.
The head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.
Chistyakov Alexander Evgenjevich
E-mail: cheese_05@mail.ru.
Phone: +78634371606.
The Department of Higher Mathematics; Assistant.
Timofeeva Elena Fe’dorovna
North Caucasus State Technical University.
E-mail: teflena@mail.ru.
2, Kulakov Pr., Stavropol, 355029, Russia.
Phone: +78652728858.
The Department of Applied Mathematics and Computer Technology; Senior Lecturer.
УДК 519.6
А.И. Сухинов, А.Е. Чистяков, Е.А. Проценко
ПОСТРОЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ ДВУМЕРНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ ТРАНСПОРТА НАНОСОВ
В работе освещены вопросы построения пространственно-двумерной математической модели перемещения наносов в прибрежной зоне мелководных водоемов, которая используется для численного моделирования динамики аккумулятивного берега. Выполнена
дискретизация модели на основе метода баланса, при этом предложенные конечноразностные схемы консервативны, устойчивы и имеют второй порядок погрешности аппроксимации по пространственным координатам и первый по времени. Построены сеточные уравнения для задачи транспорта наносов. Предложен алгоритм расчета коэффициентов и правых частей сеточных уравнений.
Математическое моделирование; транспорт наносов; метод баланса; дискретная
модель; сеточные уравнения.
32
Раздел II. Методы построения дискретных математических моделей
A.I. Sukhinov, A.E. Chistyakov, E.A. Protsenko
TWO-DIMENSIONAL MATHEMATICAL MODEL OF SEDIMENT
TRANSPORTATION
Problem of building of two-dimensional model of sediment transport in coastal area of shallow reservoir, which is used for numerical simulation of the dynamics of accumulation coast, was
considered in this work. Discretization of a mathematical model based on the balance method is
made in this work. Proposed finite-difference schemes are stable and have second-order approximation error in the spatial coordinates and the first-order approximation error in the time. The net
equations for a problem of sediment transport are constructed. The algorithm of calculation of
factors of the net equations is offered.
Mathematical modeling; sediment transportation; a balance method; discrete model; the
grid equations.
Введение. Динамика прибрежного рельефа дна во многом определяется характером перемещения наносов в береговой зоне под воздействием волн и течений. Возникает необходимость в построении математических моделей процессов
перемещения наносов на мелководье под воздействием поверхностных гравитационных волн.
Основная идея построения моделей, связанных с изменением структуры морского дна прибрежной зоны, основывается на процессе перемещения наносов.
В условиях слабонаклонного морского дна наносы под воздействием волн совершают равнонаправленные движения [1].
В данной работе освещены вопросы построения пространственно-двумерной
модели транспорта наносов, которая используется для численного моделирования
динамики аккумулятивного берега. Целью нашего исследования является нахождение результирующего профиля дна. Будем считать движение частиц равнонаправленным, вызванным поверхностными ветровыми волнениями, и использовать
результирующее движение потока. В соответствии с критерием «крутизны» будем
использовать уравнение непрерывной модели формирования наносов.
Непрерывная модель. Для описания динамики морских наносов в данной
работе применяются уравнения, которые описывают переформирование прибрежной зоны водоемов, где вода и твердые частицы перемещаются в одном направлении. Уравнения процесса перемещения наносов [5] записываются в следующем виде:
H Qx Qy


 0,
t
x
y
⎧⎪ A d   1  ,    bc ,

Q⎨
,

(

)gd



0,


;
1
0
⎪⎩
bc
(1   )
(1)
где Н – глубина дна, отсчитываемая от невозмущенной поверхности водоема; 
пористость грунта;
–
Q  Qx , Qy  – расход наносов, Q  Q ; x, y – горизонталь-
ные декартовы координаты;
b
– касательное напряжение на дне;
 bc
– критиче-
ское значение касательного напряжения, при котором начинается перемещение
наносов,
Аи 
А=19,5,  =3), 
– безразмерные постоянные (напомним, что в настоящей работе
– частота волны, d – характеристика осадков.
Запишем касательное напряжение для наклонной поверхности дна:
   b   sin Sn ,
(2)
33
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
S ( x, y, t ) – острый угол между вектором нормали к поверхности дна и вектором силы гравитации в момент времени t , n – единичный вектор, направленный
в сторону градиента глубины,  sin S – дополнительное тангенциальное напряжение на дне водоема, вызываемое гравитационными силами. В случае  b  0 ,
где
   bc
имеет место равенство
 bc   sin 0 ,  0
– угол естественного откоса грунта в воде.
Таким образом, система уравнений для параметра Шильдса принимает следующий вид:
sin S
 bc n
sin 0
S 
, ntgS  gradH ,
( 1  0 ) gd
b 
где
S
(3)
– параметр Шильдса для наклонного дна.
S
Физический смысл формулы для
состоит в следующем: при движении
твердой частицы вверх по откосу в потоке должна быть совершена работа по преодолению силы тяжести. Следовательно, при прочих равных условиях транспортирующая способность потока, переносящего наносы вверх по откосу, меньше,
чем транспортирующая способность потока над горизонтальным дном. Соответственно расход потока представляется в виде
Q  A d
sin S
b 
 bc n
sin 0
 ( 1  0 ) gd 
 1
⎛ sin S
⎞
 bc n ⎟ .
⎜ b 
sin 0
⎝
⎠

(4)
Делаем допущения при решении пространственной задачи о переформировании берегов:
sin S  tgS 
Подставим
⎛ H ⎞
⎜
⎟
⎝ x ⎠
2
⎛ H ⎞
⎜
⎟
⎝ y ⎠
2
.
(5)
(5) в (4), при этом расход наносов запишется в виде

 b  bc gradH
sin 0
Q  A d
 ( 1  0 ) gd 
 1

⎛
⎞
 bc
gradH ⎟ .
⎜ b 
sin 0
⎝
⎠
Запишем исходное уравнение наносов (1) с учетом выражения (6):
(1   )
⎛
 bc
H
A d
 ⎛
⎜
⎜ b 

gradH

sin 0
t  ( 1   0 ) gd  ⎜ x ⎜
⎝
⎝

 ⎛
 ⎜  b  bc gradH
y ⎜
sin 0
⎝
34
 1
⎛
⎜ b, y
⎝

 1
⎛
⎜ b , x
⎝

 bc H
sin 0 x
 bc H
sin 0 y
⎞⎞⎞
⎟⎟⎟
⎠ ⎟⎠ ⎟
⎠
 0.
(6)
⎞⎞
⎟⎟ 
⎠⎟
⎠
(7)
Раздел II. Методы построения дискретных математических моделей
Запишем уравнение (7) в случае отсутствия скорости на дне расчетной области:


⎛
⎞
 bc
H
 A d ⎜
(  b  0 ): (1   )
⎟ div gradH
t
⎝ sin 0 ( 1   0 ) gd ⎠
 1

gradH .
В общем случае уравнение (7) можно записать в виде
⎛
 bc
H
A d
 ⎛
⎜
⎜ b 
(1   )

gradH

t  ( 1  0 ) gd  ⎜ x ⎜
sin 0
⎝
⎝
 1

 ⎛
 ⎜  b  bc gradH
y ⎜
sin  0

 ( 1  0 ) gd 


⎛
 ⎛
⎜
⎜ b
⎜ x ⎜
⎝
⎝
⎟⎟
⎠⎠
 1
⎝
⎟
⎠
⎞⎞
 1

 bc gradH
sin 0
 bc
 ⎛
⎜ b 
gradH
y ⎜
sin 0
⎞
 b, x ⎟ 
 b, y ⎟ ⎟ 
⎝
A d
 1
 bc H ⎞
⎟
sin 0 x ⎟
⎠
 bc H
sin 0 y
или в дивергентном виде
⎞⎞
⎟⎟,
⎟⎟
⎠⎠
 1
⎛
 bc
H
⎞
A d
⎟
 div ⎜

gradH
(1   )


b 
⎜  ( 1  0 ) gd   b sin 0
⎟
t
⎝
⎠
 1
⎛
⎞
 bc
 bc
A d
⎟.
gradH
gradH

 div ⎜

⎜  ( 1  0 ) gd   b sin 0
⎟
sin 0
⎝
⎠
Введем обозначение:
k
A d
 ( 1  0 ) gd 


 b  bc gradH
sin 0
(8)
 1
.
С учетом ограничений на касательные напряжения на дне расчетной области
запишем данное выражение в виде
k
A d
 ( 1  0 ) gd 


 b  bc gradH
sin  0
 1
⎛
h ⎜⎜  b 
⎝
⎞
 bc
gradH   bc ⎟⎟ ,
sin  0
⎠
(9)
⎧1, x  0
– функция Хэвисайда.
⎩0, x  0
где h  x   ⎨
Запишем (8) с учетом (9), имеем:
(1   )
⎛ 
⎞
H
 div  k b   div ⎜ k bc gradH ⎟ .
t
⎝ sin 0
⎠
(10)
Уравнение (10) дополняется начальным условием:
H ( x, y, 0)  H 0 ( x, y ).
(11)
35
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
Граничные условия определяются из физических соображений. В верхней
границе наката, где скорость обращается в ноль, берег не подвергается деформациям:
H ( x, y , t )  H H .
(12)
На границе «глубокой воды» отсутствует поток, вызванный влиянием гравитационных сил:
H 0 ( x, y, t )  0.
(13)
Таким образом, имеем непрерывную двумерную математическую модель
формирования наносов в прибрежной зоне водоема (9)–(13).
Дискретная модель. Построим разностную схему, аппроксимирующую
уравнение (10), с соответствующими граничными и начальными условиями
(11)–(13).
Расчетная область вписана в прямоугольник. Покроем область равномерной
прямоугольной расчетной сеткой   t   x   y :
t  {t n  nht , 0  n  N t  1, lt  ht  N t  1},
 x  {xi  ihx , 0  i  N x  1, l x  hx  N x  1} ,
 y  { y j  jhy , 0  j  N y  1, l y  hy  N y  1} ,
где n, i, j – индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Oy соответственно,
ht , hx , hy – шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Oy соответственно,
N t , N x , N y – количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Oy соответственно,
lt , lx , l y – длина расчетной области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ox , Oy соответственно.
Для получения дискретной модели воспользуемся интегроинтерполяционным методом [2]. Для этого запишем уравнение (10) в виде
⎛ 
⎞ ⎛ 
⎞
(1   ) H t   k b, x  x   k b, y   ⎜ k bc H x ⎟  ⎜ k bc H y ⎟ ,
y
⎝ sin 0
⎠ x ⎝ sin 0
⎠y
где k 
A d
 ( 1  0 ) gd 


 b  bc gradH
sin  0
 1
⎛
h ⎜⎜  b 
⎝
Проинтегрируем уравнение (14) по области Dtxy :

⎞
 bc
gradH   bc ⎟⎟ .
sin  0
⎠

Dtxy  t  ⎣⎡t n , t n 1 ⎦⎤ , x   xi 1/2 , xi 1/ 2  , y  ⎡⎣ y j 1/2 , y j 1/ 2 ⎤⎦ ,
в результате получим:
36
(14)
Раздел II. Методы построения дискретных математических моделей

∫∫∫ (1   ) H dtdxdy  ∫∫∫  k 
t
b, x
Dtxy
Dtxy
dtdxdy  ∫∫∫  k b , y  dtdxdy 
x
y
Dtxy
⎛ 
⎞
⎛ 
⎞
 ∫∫∫ ⎜ k bc H x ⎟ dtdxdy  ∫∫∫ ⎜ k bc H y ⎟ dtdxdy .
sin 0
sin 0
⎠x
⎠y
Dtxy ⎝
Dtxy ⎝
(15)
Найдем значение первого интеграла левой части уравнения (15):
t n1
∫∫∫ (1   ) H dtdxdy  (1   ) ∫∫ dxdy ∫ H dt  (1   ) ∫∫  H
t
Dtxy
где
tn
Dxy
(1   )  H

n 1
i, j
H
h h
⎤ .
⎦
n
i, j
Dxy  x   xi 1/ 2 , xi 1/2  , y  ⎡⎣ y j 1/2 , y j 1/2
x
Dxy
y
b,x
Dtxy
x
dtdxdy  ∫∫ dtdy
xi 1/2
Dty


∫  k 
b,x
xi 1/2
x
 H n  dxdy
,
(16)
Найдем значение второго интеграла левой части уравнения

∫∫∫  k 
n 1
t
dt  ∫∫  k b , x 
Dty
xi 1/2
(15)
  k b , x 
xi 1/2

kin1/2, j  b, x i 1/2, j  kin1/2, j  b, x i 1/2, j ht hy .
n
n
dtdy
(17)
Аналогичным образом можно записать значение третьего интеграла левой
части уравнения (15):
i , j 1/2
h h
Найдем значение первого интеграла правой части уравнения
(15):

∫∫∫  k 
b, y
Dtxy
y
dtdxdy
k
n
i , j 1/ 2
 
n
b , y i , j 1/ 2
 kin, j 1/ 2  b , y 
n
t x
.
(18)
xi 1/2
⎛  bc
⎞
⎛  bc
⎞



k
H
dtdxdy
dtdy
k
H
⎜
⎜
x⎟
x ⎟ dt 
∫∫∫
∫∫
∫


sin
sin
⎠x
⎠x
0
0
Dtxy ⎝
Dty
xi1/2 ⎝
⎛⎛
⎜⎜k
⎜
Dty ⎝
⎝
 ∫∫
⎞
 bc
H x ⎟
sin 0
⎠x
i 1/2
⎛ 
⎞
W  ⎜ k bc H x ⎟
⎝ sin 0
⎠
x   xi , xi 1  , имеем:
Обозначим
резке
⎛
⎜k
⎝
⎞
 bc
H x ⎟
sin 0
⎠x
i 1/2
⎞
⎟ dtdy .
⎟
⎠
(19)
и проинтегрируем данное выражение на от-
xi1
xi1
xi
xi
 bc
∫ Wdx  ∫ k sin 
H x dx .
(20)
0
xi 1
Левую часть равенства
(20) запишем в виде
∫ Wdx
Wi 1/ 2 hx .
xi
37
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
Преобразуем правую часть выражения (20), имеем:
xi1
∫
xi
k
 bc

H x dx ki 1/ 2 bc
sin  0
sin  0
xi 1
∫ H  dx  k
x
i 1/2
xi
 bc
 H i 1  H i  .
sin  0
Таким образом, выражение (20) можно записать в виде
Wi 1/2  ki 1/ 2
 bc H i 1  H i
hx
sin 0
.
(21)
Подставим (21) в (20), в результате получим:
⎛  bc
⎞


H x ⎟ dtdxdy  bc
⎜k
∫∫∫
sin 0
sin 0
⎠x
Dtxy ⎝
⎛
H i 1  H i
H i  H i 1 ⎞

k
k
⎜
⎟ dtdy 
i

1/
2
i

1/
2
∫∫
hx
hx
⎠
Dty ⎝
H in1,j  H in, j 
H in, j   H in1,j ⎞
 bc ⎛ n
n

 ki 1/2, j
⎜ ki 1/ 2, j
⎟⎟ hy ht .
sin 0 ⎜⎝
hx
hx
⎠
(22)
Аналогичным образом можно получить значение второго интеграла, стоящего в правой части уравнения (15):
⎛  bc
⎞

H y ⎟ dtdxdy 
⎜k
∫∫∫
sin 0
⎠y
Dtxy ⎝
H in, j 1  H in, j 
H in, j   H in, j 1 ⎞
 bc ⎛ n
n

 ki , j 1/ 2
⎜ ki , j 1/ 2
⎟⎟ hx ht .
sin 0 ⎜⎝
hy
hy
⎠
(23)
Подставим выражения (16)–(18), (22)–(23) в уравнение (15), имеем:


(1   )  H in, j 1  H in, j  hx hy  kin1/2, j  b , x i 1/2, j  kin1/2, j  b , x i 1/2, j ht hy 
n
n
  kin, j 1/ 2 ( b , y )in, j 1/2  kin, j 1/2 ( b , y )in, j 1/ 2  ht hx 
H in1,j  H in, j 
H in, j   H in1,j
 bc ⎛ n
n

 ki 1/ 2, j
⎜ ki 1/ 2, j
sin 0 ⎜⎝
hx
hx
H in, j 1  H in, j 
 bc ⎛ n

 kin, j 1/2
⎜⎜ ki , j 1/ 2
sin 0 ⎝
hy
Разделим выражение (24) на
дель транспорта наносов:
(1   )
H in, j 1  H in, j
ht

38
⎞
⎟⎟ hy ht 
⎠
n 
n 
H i , j  H i , j 1 ⎞
⎟⎟ hx ht .
hy
⎠
ht hx hy , в результате получим дискретную мо-
kin1/2, j  b , x i 1/ 2, j  kin1/ 2, j  b , x i 1/ 2, j
n

kin, j 1/ 2  b, y 
(24)
n
hx
n
i , j 1/ 2
 kin, j 1/ 2  b , y 
hy
n
i , j 1/ 2


Раздел II. Методы построения дискретных математических моделей
H in1,j  H in, j 
H in, j   H in1,j ⎞
 bc ⎛ n
n

 ki 1/ 2, j
⎜ ki 1/2, j
⎟⎟ 
hx2
hx2
sin 0 ⎜⎝
⎠
H in, j 1  H in, j 
H in, j   H in, j 1 ⎞
 bc ⎛ n
n

 ki , j 1/ 2
⎜ ki , j 1/2
⎟⎟ ,
hy2
hy2
sin 0 ⎜⎝
⎠
где
 
n
b , x i 1/ 2, j

  b, x i 1, j   b , x i , j
n
A d  b i 1/2, j 
n
kin1/2, j 
n
2
,
 bc
n
 gradH i1/2, j
sin 0
 ( 1  0 ) gd 
 

  b, y 
⎛
h ⎜  b i 1/ 2, j 
n
⎜
⎝
i 1/2 , y j

n
i , j 1
  b, y 
n
i, j
2
,
 1

Найдем значение gradH  x
n 
b , y i , j 1/2
(25)
 bc
⎞
sin 0
. Для этого обозначим W
n
 gradH i 1/2, j   bc ⎟⎟ .
⎠
 gradH и проинтег-
рируем данное выражение по области Dxy : Dxy   x   xi , xi 1  , y  ⎡⎣ y j 1/ 2 , y j 1/2 ⎤⎦ ,
в результате чего получим:
∫∫ Wdxdy  ∫∫ gradHdxdy .
Dxy
(26)
Dxy
Левая часть данного выражения запишется так:
∫∫ Wdxdy  2W
hh .
i 1/ 2, j x y
Dxy
Запишем правую часть выражения (26), имеем:
∫∫ gradHdxdy 
Dxy
∫  2h  H  
xi1
y
xi
x
y j j
xi 1 y j 1
∫ ∫
xi yi 1
 H x i  H y j  dxdy
i H
y j1
yi1

j dx
∫  2h  H  
xi1
y
x
xi
y j j
i H
y j 1
yi1

j dx
2hy  H i 1, j  H i , j  i  hx  H i 1/2, j 1  H i 1/2, j 1  j .
Таким образом, выражение (26) можно записать в виде
 gradH i 1/ 2, j 
H i 1, j  H i , j
hx
i 
H i 1/ 2, j 1  H i 1/2, j 1
2 hy
j,
(27)
где i , j – единичные векторы, направленные вдоль координатных осей Ox, Oy
соответственно.
Аналогичным образом можно получить следующую аппроксимацию:
 gradH i , j 1/ 2 
H i 1, j 1/2  H i 1, j 1/ 2
2hx
i 
H i , j 1  H i , j
hy
j.
(28)
Выражение (25) с аппроксимациями (27)–(28) задают дискретную модель
транспорта наносов.
Сеточные уравнения для задачи транспорта наносов. Запишем дискретную
модель транспорта наносов в канонической форме сеточных уравнений:
Ly  P   A  P  H  P  
∑ B  P, Q  H  Q   F  P  ,
Ш  Р 
(29)
Q
39
Известия ЮФУ. Технические науки
где
L –
Тематический выпуск
некоторый сеточный оператор, P   xi , y j 
Ш   Р   Q  x
i 1
1
–
центр шаблона,

, y j  , Q2  xi 1 , y j  , Q3  xi , y j 1  , Q4  xi , y j 1  –
окрестность
центра шаблона.
Выделим семейство сеточных уравнений, для которых коэффициенты, участвующие в уравнении, удовлетворяют следующим условиям [2,4]:
A  P   0, B  P, Q   0 , D  P   A  P  
∑ B  P, Q   0 .
QШ  Р 
(30)
Для построения математической модели нам также понадобятся следующие
узлы Q13  xi 1 , y j 1  , Q14  xi 1 , y j 1  , Q23  xi 1 , y j 1  , Q24  xi 1 , y j 1  . Введем
обозначение q1  xi1/2 , y j  , q2  xi1/2 , y j  , q3  xi , y j1/2  , q4  xi , y j1/2  для смещенных узлов.
Уравнение (25) можно записать в виде:
(1   )
H in, j 1  H in, j
ht

kin1/2, j  b , x i 1/ 2, j  kin1/ 2, j  b , x i 1/ 2, j
n

kin, j 1/ 2  b, y 
n
hx
n
i , j 1/ 2
 kin, j 1/ 2  b , y 
n
i , j 1/ 2
hy
n 
n 


n 
n 
H i 1, j  H i , j
H i , j  H i 1, j


 bc kin1/ 2, j
 bc kin1/ 2, j

2
sin 0
sin 0
hx
hx2
H in, j 1  H in, j 
H in, j   H in, j 1
 bc n
 bc n

ki , j 1/ 2

ki , j 1/ 2
,
hy2
hy2
sin 0
sin 0
где H in, j    H in, j 1  1    H in, j .
(31)
Перенесем, в уравнении (31), слагаемые, содержащие H in, j 1 влево, остальные
– вправо, имеем:
⎛ n
H in1,1 j  H in, j 1
H in, j 1  H in1,1j
1   n 1  bc
n
 ⎜ ki 1/ 2, j
 ki 1/ 2, j

H i, j 
sin 0 ⎜⎝
ht
hx2
hx2
k
n
i , j 1/2

H in, j 11  H in, j 1
hy2
k
H in, j 1  H in, j
hy2
kin1/2, j  b , x i 1/2, j  kin1/2, j  b , x i 1/2, j
n
40
H in, j 1  H in, j 11 ⎞ 1   n
Hi, j 
⎟
⎟
hy2
ht
⎠
H in1, j  H in, j
H in, j  H in1, j
 bc 1    ⎛ n
n
k
k

⎜ i 1/2, j
i 1/2, j
hx2
hx2
sin 0 ⎜⎝
n
i , j 1/2

k
n
i , j 1/ 2
n
hx
H in, j  H in, j 1 ⎞
k
⎟⎟ 
hy2
⎠
n
n
n
n
ki , j 1/2  b , y 
 ki , j 1/2  b , y 
i , j 1/2
i , j 1/2
n
i , j 1/ 2

hy
. (32)
Раздел II. Методы построения дискретных математических моделей
Запишем выражение (32) в форме (29):
⎛ 1 
⎜
⎜ h
⎝ t
⎛ ki 1/2, j  ki 1/2, j
ki , j 1/2  ki , j 1/2 ⎞ ⎞ n 1

 bc  ⎜

⎟ ⎟ Hi, j 
⎟⎟
sin  0 ⎜⎝
hx2
hy2
⎠⎠
n
n
n
n
n
n
n
n
 bc ⎛ ki 1/2, j n 1 ki 1/ 2, j n 1 ki , j 1/2 n 1 ki , j 1/ 2 n 1 ⎞

H i 1, j 
H i 1, j 
H i , j 1 
H i , j 1 ⎟ 
⎜
⎟
sin  0 ⎜⎝ hx2
hx2
hy2
hy2
⎠
⎛ 1 
⎜
⎜
⎝

ht

 bc 1    ⎛ kin1/ 2, j  kin1/2, j kin, j 1/ 2  kin, j 1/2 ⎞ ⎞ n

⎜
⎟ ⎟ H i, j 
⎟⎟
hx2
hy2
sin  0 ⎜⎝
⎠⎠
n
kin1/ 2, j n
kin, j 1/ 2 n
kin, j 1/ 2 n ⎞
 bc ⎛ ki 1/ 2, j n



H
H
H
H i , j 1 ⎟ 
⎜
i 1, j
i 1, j
i , j 1
⎟
sin  0 ⎜⎝ hx2
hx2
hy2
hy2
⎠
kin1/ 2, j  b , x i 1/ 2, j  kin1/ 2, j  b , x i 1/2, j
n

n
hx

kin, j 1/ 2  b , y 
n
i , j 1/ 2
 kin, j 1/2  b , y 
hy
n
i , j 1/ 2
.(33)
Коэффициенты и правая часть сеточного уравнения (33) запишутся так:
1    bc ⎛ k  q1   k  q2  k  q3   k  q4  ⎞


A P 
⎜
⎟⎟ ,
sin 0 ⎜⎝
ht
hx2
hy2
⎠
B  P, Qi  
⎛ 1 
F P  ⎜
⎜
⎝

ht

 bc k  qi 
, i  1, 4 ,
sin 0 hx2
(34)
 bc 1    ⎛ k  q1   k  q2  k  q3   k  q4  ⎞ ⎞

⎜
⎟⎟ H P 
⎟⎟
sin 0 ⎜⎝
hx2
hy2
⎠⎠
⎞
 bc 1    ⎛ k  q1 
k q 
k q 
k q 
H  Q1   22 H  Q2   23 H  Q3   24 H  Q4  ⎟ 
⎜
2
⎟
sin 0 ⎜⎝ hx
hx
hy
hy
⎠

k  q1  b , x  q1   k  q2  b , x  q1 
hx
где  b  P   0, 6 CU  P  U  P 

k  q3  b , y  q3   k  q4  b , y  q4 
hy
,
– касательное тангенциальное напряжение,
 b , x  qi    b , x  Qi    b , x  P   2 , i  1, 4 ,
 b , y  qi    b , y  Qi    b , y  P   2 , i  1, 4 ,
k  qi  

A d  b  qi   bc gradH  qi 
sin 0
i  1, 4 ,
gradH  q1  
 ( 1  0 ) gd 

 1
⎛
h ⎜⎜  b  qi  
⎝
⎞
 bc
gradH  qi    bc ⎟⎟ ,
sin 0
⎠
H  Q1   H  P 
H  Q3   H  Q13   H  Q4   H  Q14 
i 
j,
hx
4 hy
41
Известия ЮФУ. Технические науки
gradH  q3  
Тематический выпуск
H  Q1   H  Q13   H  Q2   H  Q23 
H  Q3   H  P 
i 
j.
4hx
hy
Алгоритм расчета коэффициентов сеточных уравнений для задачи
транспорта наносов. Рассчитывать коэффициенты и правую часть сеточного
уравнения (34) предлагается следующим образом.
На первом шаге вычисляем номера узлов:
P  i  j  N x , Q1  P  1 , Q2  P  1 , Q3  P  N x , Q4  P  N x ,
Q13  P  N x  1 , Q14  P  N x  1 , Q23  P  N x  1 , Q24  P  N x  1 .
На втором шаге находим касательное тангенциальное напряжение
 b  P    b , x  P  , b , y  P  для центральных узлов:
 b , x  P   0, 6 CU x  P  U  P  ,  b , y  P   0, 6 CU y  P  U  P 
,
для смещенных узлов:
 b , x  q1    b , x  Q1    b , x  P   2 ,  b , x  q2    b , x  Q2    b , x  P   2 ,
 b , y  q3    b , y  Q3    b , y  P   2 ,  b , y  q4    b , y  Q4    b , y  P   2 .
Для расчета вектора скорости можно использовать модель гидродинамики,
рассмотренную в работах [3,5].
На третьем шаге вычисляются градиенты глубины для смещенных узлов:
gradH  q1  
gradH  q2  
gradH  q3  
gradH  q1  
H  Q1   H  P 
H  Q3   H  Q13   H  Q4   H  Q14 
i 
j,
4 hy
hx
H  P   H  Q2 
H  Q3   H  Q23   H  Q4   H  Q24 
i 
j,
4 hy
hx
H  Q1   H  Q13   H  Q2   H  Q23 
H  Q3   H  P 
i 
j,
4hx
hy
H  Q1   H  Q14   H  Q2   H  Q24 
H  P   H  Q4 
i 
j.
4hx
hy
На четвертом шаге вычисляются модули касательных тангенциальных напряжений:
  qi    b  q1  
 bc
gradH  qi  , i  1, 4.
sin 0
На пятом шаге вычисляются коэффициенты k для смещенных узлов:
A d  1  q1 
h   q1    bc  ,

 ( 1  0 ) gd 
A d  1  q2 
k  q2  
h   q2    bc  ,

 ( 1  0 ) gd 
k  q1  
42
Раздел II. Методы построения дискретных математических моделей
A d  1  q3 
h   q3    bc  ,

 ( 1  0 ) gd 
A d  1  q4 
k  q4  
h   q4    bc  .

 ( 1  0 ) gd 
k  q3  
На шестом шаге рассчитываем вспомогательные коэффициенты:
 bc k  q1 
 bc
, B2 
2
sin 0 hx
sin 0
k  q1 

 bc
B3  bc
, B4 
2
sin 0 hy
sin 0
B1 
k  q2 
,
hx2
k  q1 
,
hy2
B6  1    B1 , B7  1    B2 , B8  1    B3 , B9  1    B4 ,
B5 
1 
  B6  B7  B8  B9  .
ht
На седьмом шаге вычисляются коэффициенты сеточного уравнения:
B  P, Q1    B1 , B  P, Q2    B2 , B  P, Q3    B3 , B  P, Q4    B4 ,
A P 
1 
 B  P, Q1   B  P, Q2   B  P, Q3   B  P, Q4  .
ht
На восьмом шаге рассчитывается правая часть сеточного уравнения:
F  P   B5 H  P   B6 H  Q1   B7 H  Q2   B8 H  Q3   B9 H  Q4  

k  q1  b, x  q1   k  q2  b, x  q1 
hx

k  q3  b, y  q3   k  q4  b, y  q4 
hy
.
Таким образом строятся сеточные уравнения для задачи транспорта наносов.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Леонтьев И.О. Прибрежная динамика: волны, течения, потоки наносов. – М.: Геос.,
2001. – 272 с.
Самарский А.А. Теория разностных схем. – М. : Наука, 1983.
Чистяков А.Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом
транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки. – 2009. – № 8 (97).
– С. 75-82.
Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения. – М.: МАКС
Пресс, 2005. – 408 с.
Проценко Е.А. Модель и алгоритмы решения задачи о транспорте наносов // Известия
ЮФУ. Технические науки. – 2009. – № 8 (97). – С. 71-75.
Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Алексеенко Е.В. Численная реализация трехмерной модели
гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе // Математическое моделирование. – 2011. – Т. 23, № 3. – С. 3-21.
Статью рекомендовал к опубликованию к.ф.-м.н., доцент Н.Е. Ляхова.
43
Известия ЮФУ. Технические науки
Тематический выпуск
Сухинов Александр Иванович
Технологический
институт
федерального
государственного
автономного
образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный
федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: sukhinov@gmail.ru.
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: 88634310599; 89281021106.
Руководитель ТТИ ЮФУ; д.ф.-м.н.; профессор.
Чистяков Александр Евгеньевич
E-mail: cheese_05@mail.ru.
Тел.: 88634371606.
Кафедра высшей математики; ассистент.
Проценко Елена Анатольевна
E-mail: rab55555@ rambler.ru.
Старший преподаватель.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology – Federal State-Owned Autonomy Educational
Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: sukhinov@gmail.ru
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634310599.
The head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.
Chistyakov Alexander Evgenjevich
E-mail: cheese_05@mail.ru.
Phone: +78634371606.
The Department of Higher Mathematics; Assistant.
Protsenko Elena Anatol'evna
E-mail: rab55555@ rambler.ru.
Senior Lecturer.
УДК 519.6
А.В. Шишеня
ТРЕХМЕРНАЯ МОДЕЛЬ ГИДРОДИНАМИКИ И ПРОЦЕССОВ ПЕРЕНОСА
ТЕПЛА И СОЛЕЙ В АКВАТОРИИ АЗОВСКОГО МОРЯ С УЧЕТОМ
СГОННО-НАГОННЫХ ЯВЛЕНИЙ
Работа посвящена построению математической модели гидродинамики и процессов
массопереноса в мелководных водоемах, а также разработке методов учета свободной
поверхности водоема для моделирования сгонно-нагонных явлений. Предложен способ аппроксимации уравнений непрерывной модели, позволяющий учитывать заполненность ячеек
сетки. Рассматриваются различные методы расчета заполненности: на основе функции
свободной поверхности и по полю давления. Проведены численные эксперименты на модельной области и анализ результатов. Результаты расчета согласуются с реальным физическим процессом.
Гидродинамика; свободная поверхность; vof-метод; тепломассоперенос.
44
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
5
Размер файла
504 Кб
Теги
построение, дискретное, математические, транспорт, двумерной, наносов, модель
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа