close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Построение систем образующих кольца ka-k-g-h-odnoy-serii-odnorodnyh-prostranstv-g-h.pdf(GH) одной серии однородных пространств GH

код для вставкиСкачать
УДК 512.55
ББК 22.144.3
К 59
Козлов В.А.
Кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой математического анализа Армавирского государственного педагогического университета, e-mail: shagin196@ yandex.ru
Построение систем образующих кольца K * (G / H )
одной серии однородных пространств G / H *
(Рецензирована)
Аннотация
Системы образующих
K
*
( SU ( N ) / SU ( 2 )) ⊗ Q
и их характеры Черна построены в явном ви-
де для однородных пространств SU ( N ) / SU ( 2 ) , в которых группа SU ( 2) дана тензорным произведением представлений небольших размерностей.
Ключевые слова: K -теория, кольцо K * ( X ) , группа Ли, однородное пространство, представление группы Ли, характер Черна, операции Адамса.
Kozlov V.A.
Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor, Head of Mathematical Analysis Department
of the Armavir State Pedagogical University, e-mail: shagin196@ yandex.ru
Construction of ring generating systems K * (G / H )
of one series homogeneous spaces G / H
Systems of K
*
( SU ( N ) / SU ( 2 )) ⊗ Q
generators and their Chern characters are constructed in an
( )
explicit form for homogeneous spaces SU ( N ) / SU ( 2 ) in which group SU 2
is given by tensor product
of small dimension representations.
Key words:
K -theory, ring K
*
(X ),
Lie group, homogeneous space, Lie group representation,
Chern characters, Adams's operations.
1. Образующие в кольце K * (SU ( N ) / SU (2)) ⊗ Q
В [1] и [2] предложен алгоритм, позволяющий строить элементы группы
K (SU ( N ) / SU (2)) ⊗ Q , в случае, когда компактная группа SU (2) вложена в SU (N )
тензорным произведением своих неприводимых представлений, то есть вполне приводимым представлением. Там же доказано, что из этих элементов можно выбрать систему образующих всего кольца K * (SU ( N ) / SU (2 )) ⊗ Q . Доказано также, что характеры
Черна этих представлений нетривиальны. Эти результаты носят характер «теоремы существования», причем, предполагают определенные ограничения.
Здесь строятся системы образующих и их характеры Черна в явном виде уже без
ограничений, что позволяет надеяться снять ограничения и в общем случае.
1
Публикуется при финансовой поддержке РФФИ и администрации Краснодарского края. Проект
№ 09-01-96512 р_юг_а.
*
Основные результаты [1] и [2] опишем в следующей форме.
Пусть стационарная группа SU (2) дана представлением ϕ = ϕ p ⊗ ϕl , где ϕ p и
ϕl – неприводимые представления группы SU (2) размерностей p + 1 и q + 1 соответственно. Обозначим k 0 = p + l .
γ (θ 0 ), γ (θ1 ), , γ (θ N −3 )
Теорема 2. Элементы
γ (θ 0′ ), γ (θ1′), , γ (θ N′ −3 )
при четном
k0
при нечетном
и
k0
являются образующими в кольце
K * (SU ( N ) / SU (2 )) ⊗ Q , где группа SU (2) дана в представлении ϕ = ϕ p ⊗ ϕl .
и θ 0′ , θ 1′, , θ N′ −3
В теореме 1 θ 0 , θ1 , ,θ N −3
- виртуальные представления
группы SU (N ) , обращающиеся в нуль при ограничении на SU (2) (см. [1]):
θ i = θ i (ψ 1 ,ψ 2 ) = Re st (P1 (t ) − ψ 1 , P2 (t ) − ψ 2
r +i
r +i
r +i
),
i = 0,1,2,, N − 3 ,
r – достаточно велико, t = ϕ1 – 2-мерное простейшее неприводимое представление
группы SU (2) , рассматриваемое как образующий элемент в кольце RSU (2) представлений группы SU (2) .
Если k 0 = p + l четное, то соответственно
θ i′ = θ i′(ψ 1 ,ψ 2 ) = Re su (P1 (u ) − ψ 1 , P2 (u ) − ψ 2
r +i
r+i
r+i
),
i = 0,1,2, , N − 3 ,
r – достаточно велико, u = t ⊗ t − t 2 .
И при k 0 нечетном:
chγ (θ i ) =
c3 ( f (θ i )) x5 c 4 ( f (θ i )) x7
(−1) N −1 c N ( f (θ i )) x 2 N −1
,
−
++
2!
3!
( N − 1)!
(1)
где
(
c s ( f (θ i )) = 2
2( r +i )
−2
s ( r +i )
)(−1)
k 0 −1
~ ~
~ ~ P
P

r +i ( t )
(
t
)
1 l
1
(k j + 1)(k j + 2k j ) ⋅ Re s t  ~ , 2 ~  ;
∑
 t

6 j =0
t


(2)
при k 0 четном:
c3 ( f (θ i′)) x5 c 4 ( f (θ i′)) x7
(−1) N −1 c N ( f (θ i′)) x 2 N −1
,
−
chγ (θ i′) =
++
2!
3!
( N − 1)!
(3)
где
c s ( f (θ i′)) = (2
2( r +i )
−2
s ( r +i )
)(−1)
i = 0,1,2,..., N − 3 ; x5 , x7 , , x 2 N −1
k 0 −1
~ ~
~ ~ P
P
′ (u ) 
′
1 l
2
1 (u )
2r + i


,
(k j + 1)(k j + 2k j ) ⋅ Re su~
∑
~  , (4)
 u~
u
24 j =0


– примит ивные образующие кольца когомологий
H (SU ( N ) / SU (2 )) ⊗ Q . Здесь Pi (t ) = ψ i (ϕ (t )) – полином от переменной t в кольце
~
представлений RSU (2) , соответственно P (u ) = ψ (ϕ (u )) ; P (~
t ) – получен из P (t ) –
*
i
i
i
~
~
N подстановкой t = t + 2 , t = t − 2 , N – N -мерное, 2 – 2-мерное тривиальные
~
~
представления группы SU (2) : P (~
t ) = Pi (~
t ) − N . Соответственно P (u~ ) = Pi (u~ ) − N .
2. Построение систем образующих и их характеров Черна
10. Рассмотрим случай, когда группа SU (2) дана в представлении ϕ = ϕ1 ⊗ ϕ1 ,
dim ϕ1 = 2 , ϕ –
неприводимое представление
SU (2) ,
определяющее вложение:
SU (2) ⊂ SU (4) . Группа SU (4) задана в простейшем представлении Λ 1 наименьшей
размерности: dim Λ 1 = 4 ( Λ 1 – первая внешняя степень группы SU (4) ).
Из формулы Клебша-Гордона:
ϕ = ϕ1 ⊗ ϕ1 = ϕ 2 + ϕ 0 , dim ϕ 2 = 3 , dim ϕ 0 = 1 ,
ϕ 0 – одномерное тривиальное, ϕ 2 – неприводимое представление группы SU (2) .
В терминах теоремы 1 N = 4 , k 0 = 1 + 1 = 2 – четное и требуется найти
θ i′ = θ i′(ψ 1 ,ψ 2 ) = Re su (P1 (u ) − ψ 1 , P2 (u ) − ψ 2 ) ,
(5)
θ i′ = θ i′(ψ 1 ,ψ 4 ) = Re su (P1 (u ) − ψ 1 , P4 (u ) − ψ 4 ) ,
(6)
и, соответственно,
chγ (θ 0′ ) =
c3 ( f (θ 0′ )) x5 c 4 ( f (θ 0′ )) x 7
,
−
2!
3!
(7)
chγ (θ 1′) =
c3 ( f (θ 1′)) x5 c 4 ( f (θ 1′)) x7
,
−
2!
3!
(8)
u = t ⊗t = t2 .
Заметим, что в нашем случае r не требуется предполагать достаточно большим,
возьмем r = 1 .
Вычислим полиномы P1 (u ), P2 (u ), P4 (u ) от переменной u в кольце представлений RSU (2) . По определению P1 (u ) = ψ 1 (ϕ (u )) , P2 (u ) = ψ 2 (ϕ (u )) , P4 (u ) = ψ 4 (ϕ (u )) .
Очевидно, ϕ (u ) = u . Выразить операции Адамса ψ i через внешние степени можно с
помощью формул Ньютона:
ψ k − Λ 1ψ k −1 + Λ 2ψ k − 2 − … + (−1) k Λ k = 0 ,
ψ k − Λ 1ψ k −1 + Λ 2ψ k − 2 − … + (−1) n Λ nψ k −n = 0 при k > n .
Следовательно,
ψ 1 = Λ1 ,
ψ 2 = Λ21 − 2Λ 2 ,
ψ 4 = Λ41 − 4Λ21 Λ 2 + 2Λ22 − 4Λ 1Λ 3 − 4 ,
Λ 4 = 1 , Λ 1 , Λ 2 , Λ 3 – внешние степени группы SU (4) .
Ограничения Λ 1 (u ), Λ 2 (u ), Λ 3 (u ) на подгруппу SU (2) , данную в представлении
u = ϕ1 ⊗ ϕ1 , найдем, используя методы теории представлений:
Λ 1 (u ) = u , Λ 2 (u ) = 2u − 2 , Λ 4 (u ) = u .
Найдем теперь ψ 1 (ϕ (u )) , ψ 2 (ϕ (u )) , ψ 4 (ϕ (u )) :
ψ 1 (ϕ (u )) = Λ 1 (u ) = u ,
ψ 2 (ϕ (u )) = Λ21 (u ) − 2Λ 2 (u ) = u 2 − 4u + 4 ,
ψ 4 = Λ41 (u ) − 4Λ(u )Λ 2 (u ) + 2Λ22 (u ) − 4Λ 1 (u )Λ 3 (u ) − 4 == u 4 − 8u 3 + 20u 2 − 16u + 4 . (9)
Итак,
P1 (u ) = u , P2 (u ) = u 2 − 4u + 4 , P4 (u ) = u 4 − 8u 3 + 20u 2 − 16u + 4.
(10)
Тогда
θ 0′ = θ 0′ (ψ 1 ,ψ 2 ) = Re su (P1 (u ) − ψ 1 , P2 (u ) − ψ 2 ) =
= Re s u (u − ψ 1 , u 2 − 4u + 4 − ψ 2 ) = ψ 12 − 4ψ 1 − ψ 2 + 4 ;
θ 0′ = ψ 12 − 4ψ 1 − ψ 2 + 4 .
(11)
θ1′ = θ1′(ψ 1 ,ψ 4 ) = Re su (P1 (u ) − ψ 1 , P4 (u ) − ψ 4 ) =
= Re s u (u − ψ 1 , u 4 − 8u 3 + 20u 2 − 16u + 4 − ψ 4 ) = ψ 18 − 8ψ 17 + 20ψ 16 − 16ψ 15 + 4ψ 14 − ψ 14ψ 2 ;
θ 0′ = ψ 18 − 8ψ 17 + 20ψ 16 − 16ψ 15 + 4ψ 14 − ψ 14ψ 2 .
(12)
Найдем характеры Черна γ (θ 0′ ) и γ (θ1′) . В соответствии с (7), (8) вычислим коэффициенты Дынкина отображений f (θ 0′ ) и f (θ1′) (считаем r = 1 ).
(
)
С3 ( f (θ 0′ )) = 2 − 2 ⋅ (− 1)
2
3
k0 −1
~
~
 P1 (u~ ) P2 (u~ ) 

1 1
2
∑ (k j + 1) k j + 2k j  ⋅ Re su~  ~ , ~  ,
24  j =0
u 

 u
(
(
))
здесь k 0 = p + l , k1 = p + l − 2 , k 2 = p + l − 4 ,…, k l = p + l − 2l ;
~
~
 P1 (u~ ) P2 (u~ ) 
С3 ( f (θ 0′ )) = Re su~  ~ , ~  ;
u 
 u
~
P1 (u ) = (u~ + 4) − u~ , P2 (u ) = u~ 2 + 4u~ , P4 (u ) = u 4 − 8u 3 + 20u 2 − 16u + 4 ;
~
~
 P1 (u~ ) P2 (u~ ) 

Re su~  ~ , ~  = 1;
u 
 u
С3 ( f (θ 0′ )) = 1.
~
~
 P1 (u~ ) P4 (u~ ) 

1 1
2
С4 ( f (θ 0′ )) = 2
−2
⋅ (− 1)
∑ (k j + 1) k j + 2k j  ⋅ Re su~  ~ , ~  =
24  j =0
u 

 u
~
~
~
~
 P1 (u~ ) P2 (u~ ) 
 P1 (u~ ) P2 (u~ ) 
Re su~  ~ , ~  = 1; С4 ( f (θ 0′ )) = 12 .
= 12 Re su~  ~ , ~  = 1, r = 1 ;
u 
u
u
 u


(
2 ( r −0 )
4( r +0)
)
k0 −1
(
chγ (θ 0′ ) =
Для отображения f (θ1′) (r = 1) :
(
x5
− 2 x7 .
2
))
(13)
(
С3 ( f (θ1′ )) = 2
2 ( r +1)
−2
3( r +1)
~
Находим P (u~ ) :
)
~
~
 P1 (u~ ) P4 (u~ ) 

1 1
2
⋅ (− 1)
∑ (k j + 1) k j + 2k j  ⋅ Re su~  ~ , ~  ;
24  j =0
u 

 u
~
~
 P1 (u~ ) P4 (u~ ) 
С3 ( f (θ1′ )) = 16 Re su~  ~ , ~  .
u 
 u
(
k0 −1
(
))
~
P (u~ ) = u~ 4 + 8u~ 3 + 20u~ 2 + 16u~ ,
тогда
С3 ( f (θ1′ )) = 16 .
(
С4 ( f (θ1′ )) = 2
2( r +1)
−2
4 ( r +1)
)⋅ (− 1)
k0 −1
~
~
 P1 (u~ ) P4 (u~ ) 

1 1
2
∑ (k j + 1) k j + 2k j  ⋅ Re su~  ~ , ~  ;
24  j =0
u 

 u
(
(
))
С4 ( f (θ1′ )) = 240 .
Таким образом,
chγ (θ 1′) = 8 x5 − 40 x 7 .
(14)
Как следует из вычислений chγ (θ 0′ ) и chγ (θ1′) невырождены и элементы γ (θ 0′ )
и γ (θ1′) – система образующих.
20. Пусть группа SU (2) дана в представлении ϕ = ϕ 2 ⊗ ϕ1 (в терминах диаграмм Дынкина
2
1
⊗ ),
dim ϕ = 6 ,
N = 6, p = 2, l = 1, k 0 = p + l = 3 .
По формуле
Клебша-Гордона получим разложение тензорного произведения ϕ 2 ⊗ ϕ1
сумму неприводимых компонент:
в прямую
ϕ = ϕ 2 ⊗ ϕ1 = ϕ 3 + ϕ1 , k0 = 3, k1 = 1 .
(15)
При
описанных
условиях
образующими
элементами
K (SU ( N ) / SU (2)) ⊗ Q будут (см. т. 1 при k 0 – нечетном):
в
кольце
*
γ (θ 0 ) , γ (θ1 ) , γ (θ 2 ) , γ (θ 3 ) .
При этом
(16)
θ i = θ i (ψ 1 ,ψ 2 ) = Re s t ( P1 (t ) − ψ 1 , P2 (t ) − ψ 2 ) ,
r +i
r +i
r +i
(17)
i = 0,1,2,3 . Как и в 10 будем проводить вычисления при r = 1 .
Прежде всего, требуется представить ϕ в виде полинома от переменной t = ϕ1
в кольце представлений RSU (2) : из (15) получаем
ϕ (t ) = t 3 − t .
(18)
В кольце представлений RSU (2) группы Ли SU (6) образующими элементами
служат ее внешние степени – Λ 0 , Λ 1 , Λ 2 , Λ 3 , Λ 4 , Λ 5 .
Построим теперь полиномы P1 (t ), P2 (t ), P4 (t ), P8 (t ), P16 (t ) . Напомним, что операции Адамса ψ i обладают свойствами:
ψ s (u1 + u2 ) = ψ s (u1 ) + ψ s (u2 ) , ψ s (u1 ⊗ u2 ) = ψ s (u1 )ψ s (u2 ) , ψ s t (u ) = ψ s (ψ t (u ) .
По определению Pi (t ) :
P1 (t ) = ψ 1 (ϕ (t )) = Λ 1 (ϕ ) = ϕ (t ) = t 3 − t , P2 (t ) = ψ 2 (ϕ (t )) = ψ 1 (ψ 2 (t )) .
В кольце RSU (2) элемент t – первая внешняя степень λ1 группы SU (2) :
ψ 1 (t ) = λ1 , ψ 2 (t ) =t 2 −2 , λ2 = 1 . Таким образом, ψ 1 (t ) = t , ψ 2 (t ) = λ12 − 2λ1 , тогда
P2 (t ) = ψ 1 (ψ 2 (t )) = ψ 1 (t 2 − 2) = P1 (t 2 − 2) = (t 2 − 2) 3 − (t 2 − 2) .
Аналогично,
P4 (t ) = ψ 4 (ϕ (t )) = ψ 2 (ψ 2 (t )) = ((t 2 − 2)2 − 2)3 − ((t 2 − 2) − 2) ;
P8 (t ) = ψ 8 (ϕ (t )) = ψ 2 (ψ 4 (t )) = (((t 2 − 2) 2 − 2) 2 − 2) 3 − (((t 2 − 2) − 2) 2 − 2) ;
P16 (t ) = ψ 16 (ϕ (t )) = ψ 2 (ψ 8 (t )) = ((((t 2 − 2) 2 − 2) 2 − 2) 2 − 2)3 −
((((t 2 − 2) − 2)2 − 2) 2 − 2).
Характеры Черна элементов γ (θ 0 ) , γ (θ1 ) , γ (θ 2 ) , γ (θ 3 ) найдем по фор мулам (1), (2):
chγ (θ i ) =
c3 ( f (θ i )) x5 c 4 ( f (θ i )) x7 c5 ( f (θ i )) x9 c6 ( f (θ i )) x11
−
+
−
, i = 0,1,2,3 . (18)
2!
3!
5!
6!
При вычислении коэффициентов Дынкина положим r = 1 :
c s ( f (θ i )) = (2
2( r +i )
−2
s ( r +i )
)(−1)
k 0 −1
~ ~
~ ~ P
P
(t ) 
1 l
1 (t )
2r + i

,
(k j + 1)(k j + 2k j ) ⋅ Re s t
,
∑
~
 ~

t
t
6 j =0


(19)
s = 3,4,5,6 ; i = 0,1,2,3 .
~
~ ~
 P1 (~
t ) P2 (t ) 
77
11 

chγ (θ 0 ) =  − 22 x5 + 22 x 7 −
x9 + x11  ⋅ Re s ~t  ~ , ~  ;
t 
6
12 

 t
~
~ ~
 P1 (~
t ) P4 (t ) 
682
1397 


chγ (θ 1 ) =  − 586 x5 + 440 x7 −
x9 +
x11  ⋅ Re s ~t  ~ , ~  ;
t 
3
15


 t
~ ~
~
 P1 (~
t ) P8 (t ) 
44968


chγ (θ 2 ) =  − 2464 x5 + 7392 x7 −
x9 + 9009 x11  ⋅ Re s ~t  ~ , ~  ;
3
t 


 t
chγ (θ3 ) = ( −21120 x5 + 11⋅128 ⋅ 85 x7 + 11⋅ (28 − 2 20 ) x9 − 11⋅ (28 − 2 24 ) x11 ) ×
 P ( t ) P16 ( t ) 
× Re st  1
,
,
 t
t 

x5 , x7 , x9 , x11 – примитивные образующие кольца когомологий K * (SU ( N ) / SU (2)) ⊗ Q .
Осталось проверить нетривиальность результантов.
~
~ ~
 P1 (~
t ) P2 (t ) 
Вычислим значения Re s ~t  ~ , ~  :
t 
 t
~
P1 (t ) = P1 (~
t + 2) − 6 = ( ~
t + 2) 3 − ( ~
t + 2) = ~
t 2 + 6~
t + 11~
t.
P2 (t ) = P2 (t + 2) − 6 = ((t + 2)3 − 2)3 − ((t + 2)2 − 2) =
t 6 + 2t 5 + 54t 4 + 112t 3 + 10t 2 + 44t.
~ ~
~
~
~ ~
~
~
~
~
~
 P1 (~
~
t ) P2 (t ) 
t 2 + 6 t + 11t t 6 + 2 t 5 + 54 t 4 + 112 t 3 + 10 t 2 + 44 t 


 =
,
Re s ~t  ~ , ~  = Re s ~t 
~
~
t 
t
t


 t
1 6 11 0
0
0 0
0 1 6 11
0
0 0
1 6 1
0 0 1
6
11 0 0
=0 0 0
1
6 11 0 = 11 ⋅ 0 6 0 = 396 ≠ 0 .
0 0 6
0 0 0
0
1
6 11
1 12 54 112 10 44 0
0 1 12 54 112 10 44
Аналогично, прямым подсчетом, проверяется нетривиальность результантов
~ ~
~ ~
~ ~
~
~
~
 P1 (~
 P1 (~
 P1 (~
t ) P4 (t ) 
t ) P8 (t ) 
t ) P16 (t ) 
Re s ~t  ~ , ~  , Re s ~t  ~ , ~  , Re s ~t  ~ , ~  .
t 
t 
t 
 t
 t
 t
Следовательно, при r = 1 характеры Черна chγ (θ 0 ) , chγ (θ1 ) , chγ (θ 2 ) , chγ (θ 3 )
невырождены, и в условиях теоремы 1 элементы γ (θ 0 ) , γ (θ1 ) , γ (θ 2 ) , γ (θ 3 ) являются
системой образующих в кольце K * (SU (6) / SU (2 )) , где группа SU (2) дана в представлении ϕ = ϕ 2 ⊗ ϕ1 , а SU (6) – своим простейшим нетривиальным представлением.
Приводимые здесь примеры, а также другие вычисления с высокой степенью вероятности позволяют предполагать, что предъявленное к r требование быть достаточно большим (оно возникло в процессе доказательства (см. [1]) избыточно.
Примечания:
1.
Козлов В.А. Об элементах кольца
однородных пространств G / H
и их характерах Черна для одной серии
Труды ФОРА. 2009. № 14. С. 5-12. URL:
K * (G / H )
//
http://fora.adygnet.ru
2.
Козлов В.А. Образующие кольца K * ( G / H ) и их характеры Черна одной серии однородных пространств G / H // Вестник Адыгейского государственного университета.
Сер. «Естественно-математические и технические науки». 2010. Вып. 2. С. 29-33. URL:
http://vestnik.adygnet.ru
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
417 Кб
Теги
кольцо, однородные, odnoy, odnorodnyh, система, серии, построение, пространство, образующихся, serii, одной, prostranstv, pdf
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа