close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Потенциал скорости жидкости со сферическими пузырьками с центрами на одной прямой.

код для вставкиСкачать
ISSN 1998-4812
УДК 532.5.031
393
раздел МАТЕМАТИКА
ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ ЖИДКОСТИ СО СФЕРИЧЕСКИМИ
ПУЗЫРЬКАМИ С ЦЕНТРАМИ НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ
© А. А. Аганин, А. И. Давлетшин*
Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН
Россия, Республика Татарстан, 420111 г. Казань, ул. Лобачевского, 2/31.
Тел.: +7 (843) 272 90 34.
*Email: anas.davletshin@gmail.com
Метод отражений, предназначенный для расчета потенциала скорости жидкости при
наличии в ней двух сферических пузырьков, обобщен на случай произвольного числа сферических пузырьков с центрами на одной прямой. Тестирование полученных рекуррентных соотношений выполнено сопоставлением результатов их применения для расчета силы гидродинамического взаимодействия с результатами применения метода разложения по сферическим
функциям. Проведено сравнение экономичности методов отражений и разложений по сферическим функциям. Показано, что при расстояниях между пузырьками более нескольких характерных диаметров эффективность обоих методов примерно одинакова. С уменьшением взаимной удаленности пузырьков более экономичным оказывается метод разложения по сферическим функциям. Исключение составляет случай двух пузырьков.
Ключевые слова: потенциал скорости жидкости, гидродинамическое взаимодействие
пузырьков.
Введение
Изучение взаимодействия пузырьков в жидкости
представляет интерес для различных приложений в
химии, энергетике, медицине и др. областях. В литературе при теоретическом исследовании взаимодействия пузырьков наиболее широко применяются экономичные с вычислительной точки зрения модели, в
которых разрешающие соотношения представляют
собой систему обыкновенных дифференциальных
уравнений второго порядка [1–5]. При использовании
таких моделей на каждом временном шаге возникает
подзадача определения потенциала скорости жидкости.
Обычно потенциал ищут в предположении, что
пузырьки расположены относительно далеко друг от
друга [1–5]. Исключение составляет лишь самый простой случай взаимодействия двух сферических пузырьков. Для этого случая имеется точное решение,
полученное методом отражений [6, 7]. Данный метод
был предложен Хиксом для определения потенциала
скорости жидкости с двумя пузырьками постоянного
радиуса, перемещающихся по прямой, проходящей
через их центры [6]. Позже в работе [7] метод отражений был развит на случай двух неподвижных пузырьков с изменяющимися радиусами. Однако в жидкостях обычно имеется не два, а множество пузырьков.
При изучении взаимодействия более двух пузырьков
потенциал, как правило, определяют с третьим или
четвертым порядком точности относительно малого
параметра, обратно пропорционального расстоянию
между центрами пузырьков [4, 5]. Фактически это
означает, что полученное решение справедливо лишь
тогда, когда расстояние между поверхностями взаимодействующих пузырьков будет не меньше 10 и 5 их
характерных диаметров соответственно.
В работе [8] была предложена математическая
модель взаимодействия произвольного количества
произвольно близко расположенных в одну линию
слабонесферических пузырьков. Она основана на
представлении потенциала скорости жидкости в виде
ряда по сферическим функциям. Нетрудно заметить,
что сходимость рядов по сферическим функциям по
мере сближения пузырьков ухудшается. Поэтому реальная область применимости модели [8] по минимальному расстоянию между взаимодействующими
пузырьками ограничена возможностями современных
компьютеров и составляет порядка их характерного
радиуса. В связи с этим возникает потребность в проверке работоспособности метода отражений при
определении потенциала скорости жидкости в случае
взаимодействия более двух пузырьков.
Настоящая работа посвящена сравнению эффективности двух методов определения потенциала скорости в задачах взаимодействия пузырьков в жидкости: метода отражений Хикса [6, 7] и метода разложения по сферическим функциям [8]. Для этого метод
отражений обобщается на случай произвольного количества пузырьков. При этом рассматривается взаимодействие сферических пузырьков, центры которых
расположены на одной прямой.
Постановка задачи
В жидкости имеется K пузырьков с центрами на
оси z, которая является осью симметрии задачи (рис.
1). Пузырьки могут радиально пульсировать, перемещаться в пространстве вдоль оси симметрии. Потенциал скорости жидкости  удовлетворяет уравнению
Лапласа
2  0
и граничному условию на поверхности каждого
пузырька
Fi
 ·Fi  0 ,
t
(1)
где i = 1, 2, ..., K, Fi = ri – Ri = 0 – уравнение поверхности i-го пузырька радиуса Ri, ri – радиальная
координата сферической системы отсчета с началом в
центре i-го пузырька (рис. 1), t – время.
Рис. 1. Взаимное расположение пузырьков и систем отсчета.
МАТЕМАТИКА
394
Обобщение метода отражений
на случай произвольного
количества пузырьков
Определение потенциала
методом разложения
по сферическим функциям
Потенциал ищем в виде
В методе разложения по сферическим функциям
[8] потенциал скорости жидкости () в сферической
системе координат с началом в центре i-го пузырька
представляется в следующем виде

K
    i( k ) .
i 1 k 0
 B

i t 
  ri , i , t     1  B i  t  ri  P  cos i  ,(5)
0  ri

Нулевое приближение потенциала определяется
из решения задачи для одиночного пузырька
 i   
0
где
Ri , zi
Ri2 Ri Ri zi P1  cos i  ,

ri
2ri2
3
где
(2)
– скорости изменения радиуса i-го пу-
зырька и координаты его центра на оси z, i – широтная координата сферической системы отсчета с
началом в центре i-го пузырька (рис. 1).
Последующие приближения определяются с помощью теоремы Вейса [9] в следующем виде
 i( 0 ) 
K

K
 
...
j1 1, j1  j2
k 
0
,(3)
 A0( k ) ( c ) P0( k )
A1( k ) P1( k ) 


dc

r0( k ) 2
r1( k ) 2 



k
cos   ,
0
k 
P1

k 
 Pnk 1 cos 1
,
θq(k)
rq ,
– радиальная и широтная координаты сферической системы с отсчетом rq(k) от точки zq(k) (рис. 1),
zq(k) = zi – cq(k), zi – координата центра i-го пузырька,
коэффициенты cq(k) определяются ниже, k = 1, 2, … N,
N – число итераций, q = 0, 1. Параметры с индексом
q = 0 соответствуют радиальным пульсациям пузырьков, а с индексом q = 1 – их пространственным перемещениям.
Коэффициенты Aq(m) находятся из следующих рекуррентных соотношений
 0
 0
A0   R R j1 A1  
2
j1
A0  c
A0  
s j2 j1 R j2
,
0
1
Aq  
где
Aq
A1  c1 
A1  
s j2 j1 R 3j2
0
m 1
cq
13
,
 n  1 Bni
1
c1 
c0  c ,
cq 
R 2jm1
 m1
d jm1 jm  cq
R
d j2 j1
0
 0
0
B0i   R Ri ; B1i
2
i
Bni  
k 1
 k 1
C n B j
 s
k
Bni  
k
0
j 1, j i 0
ij
d
, 0 ≤ n ≤ k;
 n 1
ij
(7)
Bni   0 ,
k
1 R 3 z
n
k
Ri2 n1Bni   0n Ri2 Ri  n i i , 0 ≤ n ≤ k;
n 1
2
k
k
Bni   Bni   0 , n ≥ k + 1;
где k = 1, 2, …, N, N – число итераций.
Коэффициенты, полученные двумя методами
можно связать следующими соотношениями

di j = zi – zj, si j = |di j| / di j, q = 0, 1, m = 2, 3, …, k, jk + 1 = i.
Bni   0 ,
n ≥ k+1;

,
Ri3 zi

;
2
n ≥ 2;
K

Bni   n0 Ri2 Ri 
,
(6)
Bni   0 , n ≥ 0;
k 1
2
j2
 !!
 nRin1Bni  0n Ri  1n zi ,

(4)
C 
где n = 0, 1, …, δnq – символ Кронекера.
В силу того, что для любой пары пузырьков (Ri +
Rj)/dij < 1, решение системы (6) довольно легко находятся методом последовательных приближений. Его
применение приводит к следующим рекуррентным
соотношениям
m 3
,
1
di
j
 1     ! .

,
Подстановка выражения потенциала (5) в граничные условия (1) приводит к следующей системе
линейных алгебраических уравнений относительно
коэффициентов потенциала Bγi
,
2
s jm1 jm R 3jm1
1
m
R 3j1 z j1
1
,
m
ij
R
...
P0  P1
где
(k)
 s
n2
i
R 2j2
2 j1
C  B j
j 1, j i 0
K
jk 1, jk  i jk 1 1, jk 1  jk
dj
B i 

K
K
 n1Ri3 zi
K

...
2
 ( 1) n 1 n 
 I
K
jk 1, jk i jk 1 1, jk 1  jk j1 1, j1  j2
B ni  ( 1)
n 1


k 1
(k )
 A1( k ) c1( k ) n 1 

 R 2 R
3
(
n

1
)
R
z
n 1
j
i
j
j


 2 n 1 

n 1
n2
sij d ij
Ri
j 1  sij d ij
j i 
K
...  I
K
jk 1,
jk  j
K
j1 1,
j1  j2
(k )
( k ) ( k ) n 1
1
1
A c



Вестник Башкирского университета. 2015. Т. 20. №2
ISSN 1998-4812
где n = 0, 1, …,
I  
R 2j2 / d j2 j1

k
A0
k
 c  c0k 1dc .
0
Верификация методов определения
потенциала
395
сходимость к одному и тому же результату. Отсюда
следует, что представленные выше выражения (2)–(7)
являются правильными и что для изучения близкого
взаимодействия пузырьков можно использовать как
метод отражений, так и метод разложения по сферическим функциям.
Для тестирования правильности полученных выражений определения потенциала скорости двумя
рассматриваемыми методами и оценки их эффективности используется сила гидродинамического взаимодействия между пузырьками (вторичная сила Бьеркнеса). Сила гидродинамического взаимодействия Fjk
между j-м и k-м пузырьками находится по формуле
Fj k 
E
 d jk
.
Здесь Е – кинетическая энергия идеальной несжимаемой жидкости, которая определяется через
интегралы по поверхностям пузырьков следующим
образом [10]

  

E      
2 i 1 Si  ri 
ri  Ri
K
1
K
  
 d cos i
dsi    R12   
ri  r  R
i 1
1 
i
i
(8)
где  – плотность жидкости.
Подставляя в равенство (8) выражения для Ф из
(5) и используя граничное условие (1), с учетом ортогональности полиномов Лежандра, для кинетической
энергии жидкости можно получить следующее соотношение
K 
B z
B R3 z 
E  2  B0i Ri Ri  1i i  B0i Ri2 Ri  1i i i  .

3
3 
i 1 
При тестировании и сравнении эффективности
рассматриваемых методов нахождения потенциала
рассматривается задача о движении идеальной несжимаемой жидкости при наличии в ней двух или
более одинаковых сферических пузырьков радиуса R,
центры которых находятся на одной прямой (расстояние между соседними пузырьками одинаково). Предполагается, что все пузырьки расширяются с одинаковой скоростью w. Все пузырьки, кроме центрального,
в случае нечетного числа пузырьков двигаются к центру системы (точке, равноотстоящей от крайних пузырьков) с одинаковой (по модулю) скоростью w. В
случае нечетного количества пузырьков центральный
пузырек считается неподвижным.
На рис. 1 приводятся зависимости безразмерной
силы гидродинамического взаимодействия между
соседними пузырьками от номера итерации N при
наличии в жидкости двух (K = 2, кружочки) и трех
(K = 3, треугольники) пузырьков. Расчеты выполнены
при h / (2R) = 0.1; где h – расстояние между поверхностями соседних пузырьков. Закрашенные символы,
соединенные для удобства восприятия сплошной линией, получены с использованием метода разложения
по сферическим функциям (5)–(7), а незакрашенные
символы, соединенные штриховой линией, – методом
отражений (2)–(4). Из рис. 2 видно, что по мере увеличения числа итераций N при наличии в жидкости
как двух, так и более двух пузырьков оба метода дают
Рис. 2. Зависимости безразмерной силы гидродинамического
взаимодействия между соседними пузырьками от числа
итераций N, рассчитанные методом разложения
по сферическим функциям (закрашенные символы,
соединенные сплошными линиями) и методом отражений
(незакрашенные символы, соединенные штриховыми
линиями) при наличии в жидкости двух (K = 2, кружочки)
и трех (K = 3, треугольники) пузырьков.
Сравнение экономичности методов
определения потенциала
Важным критерием эффективности метода являются затраты компьютерного времени, необходимые для получения решения с заданной точностью. На
рис. 3 представлены зависимости отношения потребностей компьютерного времени tотр. / tсф.функ. (tотр. – потребности метода отражений, tсф.функ. – потребности
метода разложений по сферическим функциям) от
числа пузырьков K при расчете задачи, рассмотренной
в предыдущем пункте с пятью верными значащими
цифрами. Приведенные кривые получены при разных
значениях безразмерного расстояния между пузырьками h / 2R (h – расстояние между поверхностями соседних пузырьков, R – радиус пузырьков). Видно, что
при расстояниях меду пузырьками около десяти (и
более) их диаметров эффективность методов примерно одинакова. По мере уменьшения расстояния между
пузырьками эффективность обоих методов уменьшается, преимущество одного метода над другим все
более возрастает. При этом в случае двух пузырьков
(K = 2), более эффективным оказывается метод отражений, а когда пузырьков больше двух (K ≥ 3) – метод
разложения по сферическим функциям.
Таким образом, при относительно неблизком
расположении пузырьков друг к другу (когда расстояние между пузырьками составляет несколько их характерных диаметров) эффективность решения задач
взаимодействия двух и более слабонесферических
пузырьков с применением обоих из рассматриваемых
методов определения потенциала скорости жидкости
примерно одинакова. С уменьшением расстояния
между пузырьками более экономичным оказывается
метод разложения по сферическим функциям, за исключением случая двух пузырьков.
МАТЕМАТИКА
396
ду пузырьками и их количества. Показано, что при
относительно неблизком расположении пузырьков
друг к другу (когда расстояние между пузырьками
составляет несколько их характерных диаметров) эффективность определения потенциала с применением
обоих методов примерно одинакова. С уменьшением
расстояния более экономичным оказывается метод
разложения по сферическим функциям, за исключением случая двух пузырьков.
Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ (код проекта № МК-2244.2014.1).
ЛИТЕРАТУРА
1.
Рис. 3. Зависимости отношения потребностей компьютерного
времени (tотр. – потребности метода отражений, tсф.функ. – потребности метода разложений по сферическим функциям) от
числа пузырьков K.
2.
3.
Заключение
Произведено обобщение метода отражений [6,
7], предназначенного для расчета потенциала скорости жидкости при наличии в ней двух сферических
пузырьков, на случай присутствия в жидкости произвольного количества пузырьков, расположенных на
одной прямой.
Выполнено тестирование полученных рекуррентных соотношений метода отражений. Для этого
сделано сопоставление с результатами расчетов силы
гидродинамического взаимодействия методом разложения по сферическим функциям [8] при наличии в
жидкости двух и трех сферических пузырьков. Получено хорошее согласование.
Проведено сравнение потребностей компьютерного времени для расчета потенциала скорости жидкости методом отражений [6, 7] и методом разложений по сферическим функциям [8] при наличии в
жидкости нескольких пузырьков, расположенных на
одной прямой. Исследовано влияние расстояния меж-
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Кузнецов Г. Н., Щукин И. Е. Взаимодействие пульсирующих пузырьков в вязкой жидкости // Акустический журнал. 1972. Т. 18. C. 565–570.
Doinikov A.A. Translational motion of two interacting bubbles in a strong acoustic field // Physical Review E. 2001. V.
64. № 2. 026301.
Harkin A., Kaper T. J., Nadim A. Pulsation and translation of
two gas bubbles // Journal of Fluid Mechanics. 2001. V. 445.
P. 377–411.
Konovalova S., Akhatov I. Structure formation in acoustic
cavitation // Multiphase Science and Technology. 2005. V. 17.
№ 3. P. 343–371.
Ilinskii Y. A., Hamilton M. F., Zabolotskaya E. A. Bubble
interaction dynamics in Lagrangian and Hamiltonian mechanics // The Journal of the Acoustical Society of America. 2007.
V. 121. № 2. P. 786–795.
Hicks W. M. On the motion of two spheres in a fluid // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1880.
V. 171. P. 455–492.
Воинов О. В. Движение идеальной жидкости около двух
сфер с радиальными скоростями на поверхности // Вестник Московского университета. 1969. №5. C. 83–88.
Давлетшин А. И. Математическое моделирование взаимодействия газовых пузырьков в жидкости в акустическом
поле: дис. … канд. физ.-мат. наук Казань, 2010. 160 с.
Weiss P. On hydrodynamical images. Arbitrary irrotational flow
disturbed by a sphere // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1944. V. 40. № 3. P. 259–261.
Ламб Г. Гидродинамика. Москва: ОГИЗ, 1947. 928 с.
Поступила в редакцию 20.04.2015 г.
ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2015. Т. 20. №2
397
THE VELOCITY POTENTIAL OF LIQUID CONTAINING SPHERICAL
BUBBLES WITH CENTERS LOCATED IN A LINE
© A. A. Aganin, A. I. Davletshin*
Institute of Mechanics and Engineering, Kazan Science Center of RAS
2/31 Lobachevsky St., 420111 Kazan, Republic of Tatarstan, Russia.
Phone: +7 (843) 272 90 34.
*Email: anas.davletshin@gmail.com
A generalization of the method of reflections devoted to calculating the velocity potential of liquid with two spherical bubbles
to the case an arbitrary number of bubbles the centers of which are located in a line has been performed. The recurrent relations obtained have been tested. To this end, a comparison of the results of their application to calculating the hydrodynamic interaction force
with similar results evaluated by the method of expansion in spherical functions has been done in the cases of two and three bubbles.
A good agreement has been obtained. Comparison of efficiency (i.e., consumption of computer time) of the methods of reflections
and expansion in spherical functions has been performed. Various distances between the bubbles and different number of the bubbles
were considered. It has been shown that if the bubbles are not relatively close to each other (i.e., when the distance between the bubbles is greater than a few of their characteristic diameters) the efficiency of the both methods is approximately the same. With decreasing the distance between the bubbles, the method of expansion in spherical functions becomes more efficient, except for the
case of two bubbles.
Keywords: liquid velocity potential, hydrodynamic interaction of bubbles.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1.
2.
3.
4.
5.
Kuznetsov G. N., Shchukin I. E. Akusticheskii zhurnal. 1972. Vol. 18. Pp. 565–570.
Doinikov A.A. Physical Review E. 2001. Vol. 64. No. 2. 026301.
Harkin A., Kaper T. J., Nadim A. Journal of Fluid Mechanics. 2001. Vol. 445. Pp. 377–411.
Konovalova S., Akhatov I. Multiphase Science and Technology. 2005. Vol. 17. No. 3. Pp. 343–371.
Ilinskii Y. A., Hamilton M. F., Zabolotskaya E. A. The Journal of the Acoustical Society of America. 2007. Vol. 121. No. 2. Pp. 786–
795.
6. Hicks W. M. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 1880. Vol. 171. Pp. 455–492.
7. Voinov O. V. Vestnik Moskovskogo universiteta. 1969. No. 5. Pp. 83–88.
8. Davletshin A. I. Matematicheskoe modelirovanie vzaimodeistviya gazovykh puzyr'kov v zhidkosti v akusticheskom pole: dis. … kand.
fiz.-mat. nauk Kazan', 2010.
9. Weiss P. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1944. Vol. 40. No. 3. Pp. 259–261.
10. Lamb G. Gidrodinamika [Hydrodynamics]. Moscow: OGIZ, 1947.
Received 20.04.2015.
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
454 Кб
Теги
сферическими, одной, скорость, потенциал, жидкости, прямой, центрами, пузырьками
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа