close

Вход

Забыли?

вход по аккаунту

?

Почти периодическая задача Больца.

код для вставкиСкачать
ИЗВЕСТИЯ ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ
МАТЕМАТИКА
Є 7 (518)
2005
УДК 517.977
М.А. ВОРОНЕЦКАЯ, А.Г. ИВАНОВ
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА БОЛЬЦА
Показано, что почти периодическое (п. п.) по Степанову уравнение Эйлера{Лагранжа имеет п. п. по Бору решение xb() в том и только том случае, если первая вариация функционала
x() 7! M fL(t; x(t); x_ (t))g, определенного на множестве B п. п. по Бору функций, производная
которых п. п. по Степанову в точке xb() равна нулю. Во втором пункте работы приведены необходимые условия решения в слабом смысле для вариационной задачи, определенной на B
при наличии ограничений. Основные утверждения приведены в пп. 3{5 и посвящены необходимым условиям сильного и слабого решения п. п. задачи Больца. В первом пункте приведены
необходимые утверждения о п. п. по Степанову функциях, используемые в дальнейшем.
n | n-мерное евклидово пространство с нормой jxj = px x, x 2 Rn ( | опе1. Пусть R
рация транспонирования),
Hom(Rn ; Rm ) :| пространство линейных операторов L : Rn ! Rm
:
n
n
n
(Hom(R ) = Hom(R ; R )) с нормой jLj = max
jLxj. Обозначим, далее, через B (R; Y) совокупjxj6
ность непрерывных отображений f : R ! Y (Y Rn ), которые п. п. по Бору, и через S (R; Y)
| совокупность отображений f 2 L (R; Y), которые п. п. по Степанову относительно метрики
tR
d(f; g) =: sup jf (s) ; g(s)jds, f; g 2 L (R; Y) [1], и пусть
1
loc
1
+1
loc
1
t2R t
S1 (R; R n ) =: ff 2 S (R; R n ) : kf k1 =: ess sup jf (t)j < 1g:
(1.1)
t2R
Напомним [1], что для каждой п. п. функции f 2 S (R; R n ) существует среднее значение
RT
P
M ff (t)g =: Tlim
f
(
t
)
dt
2
Rn , имеет место однозначное соответствие f (t) c()eit
T
!1
2R
(i = ;1), в котором c() = c(; f ) =: M ff (:t)e;it g и считается c() = 0, если не принадлежит
(не более чем счетному) множеству (f ) = f 2 R : jc()j > 0g показателей Фурье этого отображения. Зафиксировав в (f ) рациональный базис fb ; b ; : : : g, п. п. функции f можно поставить
в соответствие аппроксимирующую ее последовательность fpm ()gm2Z B (R; R n ) тригонометрических полиномов Бохнера{Фейера [1], [2]:
1
0
2
1
pm(t) = pm(t; f ) =:
k
k
k
m
b + + bm ei m b
km k ;k ;:::;km c
m!
m!
X
1
; 1
(
1
2
jk::::::::::::
j6 m
jkm j6 m
jk j
jkm j
k
m ) : : : (1 ; m ), а c( m b
1
2
2
(
!)
(
!)
1
!
1+
kmm bm t ;
+
!
)
t 2 R;
2
где km k ;k ;:::;km =: (1 ;
+ + kmm bm ) | коэффициент Фурье функции
f , отвечающий показателю mk b + + kmm bm .
P
Теорема 1.1. Если ряд Фурье
c(; f )eit , отвечающий функции f 2 S1(R; R n ), совпада2R
P
ет с формально продифференцированным рядом Фурье c(; g)eit для функции g из S1 (R; R n ),
2R
то g принадлежит B (R; R n ), при почти всех (п. в.) t 2 R дифференцируема и g0 (t) = f (t).
; 1
1
2
(
!)2
(
1
!
1
!)2
1
!
1
!
!
Работа выполнена при финансовой поддержке Конкурсного центра Министерства образования и науки
Российской Федерации, грант Є Е00-1.0-5.
8
Доказательство. По условию c(; f ) = ic(; g ). Поэтому M ff (t)g = 0, и, если pm (t; f ) и
pm (t; g) суть многочлены Бохнера{Фейера, аппроксимирующие п. п. по Степанову функции f и g
соответственно, то (см. приведенный выше вид таких полиномов) при всех m 2 N и каждом t 2 R
pm(t; f ) = p_m (t; g), а значит ([1], c. 245) mlim
!1 d(p_m (; g); f ()) = 0. Следовательно, для каждого
t 2 R найдется такое mt 2 N , что d(p_mt (; g); f ()) 6 { ; (t), где {(t) = ; ; (t) + 2jtjRn ; ; (t)
(F | характеристическая функция множества F R). Далее, т. к. при каждом m 2 Z и
всех t 2 R pm (t; g) = Ms fg(s + t)Km b ;:::;bm (s)g, где Km b ;:::;bm () | составное ядро Бохнера{
Фейера [1], то, принимая во внимание равенство M fKm b ;:::;bm (t)g = 1, m 2 Z, получаем, что
sup jpm (t; g)j 6 kgk1 , m 2 Z. Поэтому в силу топологической эквивалентности dl -расстояний
1
; 1
[
1 1]
[
1 1]
; 1
; 1
t2R
имеем
следующие соотношения:
Z
t
0
f (s)ds 6
t
Z
0
jf (s) ; p_mt (s; g)jds + jpmt (0; g)j + jpmt (t; g)j 6
6 {(t)d(p_mt (; g); f ()) + 2kgk1 6 1 + 2kgk1 :
t
Из них вытекает, что отображение t 7! F (t) =: f (s)ds ограничено на R, а т. к. kf k1 < 1, то
и равномерно непрерывно на R. Следовательно ([1], с. 206), F 2 B (R; R n ). Отсюда (напомним,
что M ff (t)g = 0), в свою очередь, по теореме о ряде Фурье для интеграла от п. п. по Степанову
функции [1] и условий теоремы 1.1 имеем следующее соответствие:
X
X
F (t) M fF (t)g + c(; f ) eit = c(; g)eit ; C;
R
0
2R
6
i
2R
=0
где вектор C =: M fg(t)g; M fF (t)g. Поскольку ряд c(; g)eit ; C является рядом Фурье для
2R
п. п. по Степанову функции t 7! g(t) ; C , то в силу теоремы единственности о разложении в ряд
Rt
Фурье п. п. функции получаем равенство g(t) = f (s)ds + C , t 2 R, из которого вытекают все
утверждения теоремы 1.1.
Пусть, далее, (X; ) | компактное метрическое пространство. Через B (R X; Y) обозначим
совокупность непрерывных отображений
(t; x) 7! f (t; x) 2 Y; (t; x) 2 R X;
(1.2)
которые п. п. по t 2 R в смысле Бора равномерно по x 2 X [3] и каждую функцию из
L (R; C (X; Y)) представляем в виде отображения (1.2). Через S (R; C (X; Y)) обозначим подмножество из L (R; C (X; Y)) таких функций вида (1.2), что для любого " > 0 множество
t
f 2 R : sup R max
jf (s + ; x) ; f (s; x)jds < "g относительно плотно.
t2R t x2X
Если f 2 S (R; C (X; R n )), то по следствию 1.3 из ([4], с. 24) при Y = C (X; Rn ) получим, что
такой функции отвечает п. п. последовательность ffm gm2Z из L ([0; a]; C (X; R n )), состоящую из
отображений
(t; x) 7! fm(t; x) =: f (t + ma; x); (t; x) 2 [0; a] X:
(1.3)
n
Лемма 1.1. Пусть f 2 S (R ; C (X; R )), ffm gm2Z | отвечающая ей п. п. последовательность
отображений, заданных при каждом m 2 Z равенством (1:3). Пусть задана также последовательность fql0 g1
q0 = 1. Тогда найдутся подпоследовательность fql g1l fql0 g1l
l R , llim
!1 l
P
0
loc
1
loc
1
+1
1
1
=1
1
Определение п. п. последовательности
=1
fx
=1
m gm2Z метрического (нормированного) пространства анало-
гично определению числовой п. п. последовательности (см., напр., [5], [6])
9
и измеримое множество [0; a], mes = a, такие, что в каждой точке # 2 и любой
qP
l;
заданной п. п. последовательности fxm gm2Z X существует llim
fm (#; xm ).
!1 ql a
1
1
m
=0
f0 g1
0
Зафиксируем последовательность j j (0; 1), jlim
!1 j = 1. По тео0 1
реме 1.5 ([4], с. 30) при Y = C (X; Rn ) найдутся такие подпоследовательности fql g1
l fql gl ,
1
0
1
fj gj fj gj и измеримое множество [0; a], mes = a, что в каждой точке # 2 будет
выполняться равенство (см. (1.3))
qX
l ; 1 Z j
lim lim 1
max jf (t + #; x) ; f (#; x)jdt = 0:
Доказательство.
=1
=1
=1
=1
=1
1
j !1 l!1 ql a m
=0
j
x2X m
0
m
Далее, т. к. отвечающее при каждом h > 0 функции f стекловское усреднение (см. [4], c. 21)
принадлежит пространству B (R X; R n ), то отвечающая ему последовательность отображений
Rh
(#; x) 7! fm (#; x; h) =: h fm (t + #; xm )dt, (#; x) 2 [0; a] X, m 2 Z, принадлежит C ([0; a] X; Rn )
и является п. п. равномерно по x 2 X (см. [4], с. 79). Следовательно, по лемме 4.2 ([4], с. 79) в
каждой точке # 2 [0; a] при любой заданной п. п. последовательности fxm gm2Z X будет сущеqP
l;
fm (#; xm ; h) =: p(#; h) 2 Rn . Покажем, что в каждой точке # 2 последоваствовать llim
q
a
l
!1
1
0
1
1
m
=0
qP
l;
тельность fxm gm2Z Rn , где xm =: ql a fm (#; xm ), будет фундаментальной. Действительно, для
m
заданного " > 0 найдутся такие j" 2 N и l 2 N , что при всех l > l будет выполнено неравенство
l ; 1 Z j"
1 qX
max jf (t + #; x) ; f (#; x)jdt < "=3:
1
1
=1
1
1
1
qla m j"
x2X m
0
=1
m
Далее, из существования предела p(#; h) при h = j" вытекает, что найдется такое l 2 N ,
что при всех l > l и каждом p 2 N
p;
l;
1 qlX
1 qX
f (#; x ; ) ;
f (#; x ; ) < "=3:
2
2
1
+
1
ql pa m m m j" ql a m m
Теперь, поскольку при l > bl =: max(l ; l ) и каждом p 2 N
+
=0
m j"
=0
1
2
qlX
p;
jxl p ; xlj 6 q 1 a
1
+
1
j"
Z
jfm(t + #; xm) ; fm(#; xm )jdt +
l p m j"
qlX
p;
l;
1 qX
+ q 1 a
fm(#; xm ; j" ) ;
fm (#; xm ; j" ) +
ql a m
l p m
qX
l ; 1 Z j"
:
j
fm (t + #; xm ) ; fm(#; xm )jdt <
+ q1a
l m j"
qlX
p;
1 Z j" max jf (t + #; x) ; f (#; x)jdt +
< "=3 + q 1 a
m
x2X m
l p m j"
qX
l ; 1 Z j"
:
+ q1a
max
j
f
(
t
+
#;
x
)
;
f
(
#;
x
)
j
dt
<
"=3 + "=3 + "=3 = ";
m
m
x2X
l m j"
+
+
+
0
=0
1
+
1
=0
=1
1
(1 6)
0
=0
1
+
+
=0
0
1
=0
(1 5)
0
то последовательность fxm gm2Z является фундаментальной, а значит, нужный предел существует.
n
n
Лемма 1.2 ([4]). Пусть g 2 S (R ; C (U; R )), где U 2 comp(R ). Тогда для всякой функции
u() 2 S (R; U) отображение t 7! f (t; u(t)), t 2 R, принадлежит пространству S (R; R n ).
10
([4]). Пусть K 2 comp(Rn ), U 2 comp(Rn ) и f 2 S (R; C (K U; Rn )). Тогда для
всякой функции u() 2 S (R; U) отображение t 7! f (t; x; u(t)) принадлежит S (R; C (K; R n )).
Используя теорему 1.2 из [4] о свойствах стекловских усреднений несложно доказать (здесь
см. лемму 1.2) следующее утверждение.
n
Лемма 1.4. Пусть f 2 S (R ; C (U; R )). Тогда отображение F : S (R ; U) ! S (R ; R ), опреде:
ленное равенством F [u()](t) = f (t; u(t)), t 2 R, равномерно непрерывно.
n
2. Фиксируем отображение (t; x; u) 7! L(t; x; u) 2 R , (t; x; u) 2 R V R , где V | область в
R n , удовлетворяющее условиям
1) в каждой точке (t; x; u) 2 R V Rn существуют производные L0x (t; x; u) и L0u (t; x; u),
2) для любых фиксированных V 2 comp(V ), U 2 comp(Rn ) отображение L принадлежит
S (R; C (V U; R)), а L0x; L0u 2 S (R; C (V U; Rn )).
Выделим, далее, в B (R; R n ) линейное многообразие
B = B(R; R n ) =: fx() 2 B (R; R n ) : x_ () 2 S1 (R; R n )g;
(2.1)
в котором (см. (1.1)) каждое из отображений
x() 7! kxkB =: kxkC + kx_ kS ; x() 7! jjjxjjjB =: kxkC + kx_ k1 ; x() 2 B;
(2.2)
является нормой. Отметим также, что B содержит линейное многообразие
B = B (R; R n ) =: fx() 2 B (R; R n ) : x_ () 2 B (R; R n )g;
(2.3)
где отображение
x() 7! kxkB =: kxkC + kx_ k ; x() 2 B ;
(2.4)
задает норму. При этом, т. к. для всех x 2 B (см. (2.3)) kxkB = jjjxjjjB , то (B ; k kB ) |
подпространство нормированного пространства (B; jjj jjjB ).
В дальнейшем для
заданной функции ' : R ! Rn через orb(') обозначаем замыкание (в Rn )
:
множества orb(') = f'(t); t 2 Rg и
B = B(R; V ) =: fx() 2 B(R; R n ) : orb(x) Vg; B =: fx() 2 B (R; R n ) : orb(x) Vg: (2.5)
Метрику на B, индуцированную нормами (см. (2.2)) k kB и jjj jjjB , обозначим через C;S и C;1
соответственно, а метрику на B , индуцированную нормой k kB (см. (2.4)) | через B .
Лемма 2.1 ([7]). Множество B всюду плотно в (B ; C;S ).
Из лемм 1.2 и 1.3 вытекает
n
Лемма 2.2. Пусть отображение L : R V R ! R удовлетворяет условиям 1), 2). Тогда
для всякой функции x() 2 B (x() 2 B ) отображения t 7! L(t; x(t); x_ (t)) и t 7! Lx(t; x(t); x_ (t)),
t 7! Lu(t; x(t); x_ (t)) принадлежат пространствам S (R; R ) и S (R; R n ) соответственно.
В свою очередь, из леммы 2.2 вытекает возможность задания на B (а также на B ) функционала
x() 7! T(x()) =: M fL(t; x(t); x_ (t))g;
(2.6)
а также отображений x() 7! M fL0x (t; x(t); x_ (t))g и x() 7! M fL0u (t; x(t); x_ (t))g.
Замечание 2.1. Ряд свойств функционала (2.6), которые могут быть использованы при исследовании задач вариационного исчисления в классе п. п. функций, приведен в [7]. В частности,
с использованием лемм 2.1 и 1.4 показано, что если функция L : R V Rn ! R удовлетворяет
условиям 1), 2), то для функционала T : (B; C;S ) ! R, заданного равенством (2.6), имеет место
равенство x inf
T(x()) = x inf
T(x()). Там же доказана
2B
2B
Лемма 1.3
1
1
1
1
С
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
Лемма 2.3.
( )
1
Пусть отображение L : R V Rn ! R удовлетворяет условиям 1), 2). Тогда
11
а) функционал (2:6) непрерывно дифференцируем на множестве B (B; jjjjjjB ) и в каждой
точке x() 2 B и всех h() 2 B
T0 (x())[h()] = M fL0x (t; x(t); x_ (t))h(t) + L0u (t; x(t); x_ (t))h_ (t)g;
(2.7)
б) в каждой точке x() 2 B (B; k kB ) функционал (2:6) имеет первую вариацию по
Лагранжу T(x(); ) такую, что при каждом h() 2 B
T(x(); h()) = M fL0x(t; x(t); x_ (t))h(t) + L0u (t; x(t); x_ (t))h_ (t)g:
(2.8)
Докажем, далее, п. п. аналог леммы Дюбуа{Реймона.
n
Теорема 2.1. Пусть отображение L : R V R ! R удовлетворяет условиям 1) и 2) и
функция x()2(B; C;S ) (x()2(B; C;1 )) такая, что T(x(); ) 0 (соответственно T0 (x()) = 0).
Тогда, если п. п. по Степанову функции
t 7! l (t) =: L0x (t; x(t); x_ (t)); t 7! l (t) =: L0u (t; x(t); x_ (t))
(2.9)
ограничены на R в существенном, то l () 2 B и при п. в. t 2 R имеет место равенство
1
2
2
; dtd L0u(t; x(t); x_ (t)) + L0x(t; x(t); x_ (t)) = 0:
(2.10)
В силу (2.8) (соответственно (2.7)) из леммы 2.3 получим, что для всех
h() 2 B будет выполнено равенство M fl (t)h(t) + l (t)h_ (t)g = 0. Из него при h(t) = ej exp(;it)
(i = ;1), j = 1; : : : ; n, где ej | j -вектор стандартного базиса в Rn , получим, что формально продифференцированный ряд Фурье функции l , принадлежащей по условию теоремы 2.1
S1(R; R n ), совпадает с рядом Фурье функции l 2 S1 (R; R n ). Теперь утверждение теоремы 2.1
(здесь см. (2.1) и (2.9)) непосредственно следует из теоремы 1.1.
n
Замечание 2.2. Если отображение L : R V R ! R удовлетворяет условию 1), а вместо
условия 2) | условию 20 ) L 2 B (R V U; R) и L0x ; L0u 2 B (R V U; Rn ) для любых V 2 comp(V )
и U 2 comp(Rn ), то при каждой функции x() 2 B п. п. по Степанову функции l , l ограничены на R в существенном, а при x() 2 B эти функции п. п. по Бору, а значит, ограничены на
R . Поэтому из теоремы 2.1 для случая, когда L 2 C (R n Rn ; R ), получаем один из основных результатов работы [8]: если для x() 2 (B ; k kB ) и всякой функции h() 2 (B ; k kB )
M fL0x(x(t); x_ (t))h(t) + L0u(x(t); x_ (t))h_ (t)g = 0, то отображение t 7! L0u (x(t); x_ (t)) принадлежит
пространству B (R; R n ), и при t 2 R имеет место равенство dtd L0u (x(t); x_ (t)) = L0x(x(t); x_ (t)), который доказан с использованием обобщенных производных. Это утверждение использовано для
указания необходимых условий решения в слабом смысле задачи
I (x()) = M fL(x(t); x_ (t))g ! inf ; x() 2 (B ; k kB ):
(2.11)
Из леммы 2.3 и теоремы 2.1 вытекают [7] необходимые условия для решения xb() 2 (B; C;S )
в слабом (а значит, и сильном) смысле более общей задачи (см. (2.6), (2.5))
T(x()) ! inf ; x() 2 B;
(2.12)
которые в силу неравенства kxkB 6 jjjxjjjB , x 2 B, будут необходимыми условиями для xb(),
если B в (2.12) рассматривать как подпространство нормированного пространства (B; jjj jjjB ).
Кроме того, как отмечалось, (B ; k kB ) (см. (2.3), (2.4)) | подпространство нормированного
пространства (B; jjj jjjB ). Следовательно, задача
T(x()) ! inf ; x() 2 B (B ; k kB );
(2.13)
является частным случаем задачи T(x()) ! inf, x() 2 B (B; jjj jjjB ). Поэтому необходимые
условия слабого решения последней задачи, а значит, и слабого решения задачи (2.12), будут
необходимыми условиями слабого решения задачи (2.13). При этом по равенству, указанному в
замечании 2.1, слабое решение xb() 2 B задачи (2.13) будет слабым решением задачи (2.12).
Доказательство.
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
Следующий пример иллюстрирует целесообразность обобщения задачи (2.11) и (2.13) до
задачи (2.12).
Пусть L(t; x; x_ ) = x_ + f (t)x, где f (t) =: sign(sin ! t) + sign(sin ! t) и заданные
положительные числа ! , ! несоизмеримы. Ясно, что L удовлетворяет условиям вида 1), 2),
и уравнение (2.10), отвечающее этой функции Лагранжа, имеет вид x = f (t) и может быть
интерпретировано как уравнение движения тела единичной массы вдоль оси Ox с приложенной
к нему силой f (t). Семейство п. п. по Бору функций t 7! x(t; C ) = xb (t) + xb (t) + C , C 2 R, где
!j -периодические функции xbj : R ! R, j = 1; 2, определены на [0; !j ] равенством
1
Пример 2.1.
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
8
<
t
;
t;
xbj (t) = :; t +!j t ; ;
!j
!j
2
2
2
2
2
2
3
2
2
0 6 t < !j ;
!j
(2.14)
6 t < !j ;
2
является решениями этого уравнения. Поскольку в точках !j + !kj , k 2 Z, функции xbj , j = 1; 2,
недифференцируемы, то x(; C ) 2 B(R; R ) n B (R; R ). Теперь рассмотрим задачу
J (x()) =: M f 21 x_ (t) + f (t)x(t)g ! inf ; x() 2 B(R; R ):
(2.15)
Так как при каждом фиксированном C 2 R и любом h() 2 B(R; R ) J (x(; C ) + h()) ; J (x()) >
M fx_ (t; C )h_ (t)+f (t)h(t)g = M f(x(t; C );f (t))h(t)g = 0, то каждая из указанных функций x(; C ) 2
B(R; R ) является решением задачи (2.15).
2
1
2
Этот же пример, в частности, указывает, что при использовании необходимых условий для
нахождения единственного решения задачи (2.12) требования того, чтобы x() 2 B(R ; R n ) (а в
задачах вида (2.11), (2.14) требования x() 2 B (R; R n )), вообще говоря, недостаточно.
Поэтому сейчас рассмотрим экстремальную задачу на B(R ; R n ) при наличии ограничений
на средние в виде равенств и неравенств, необходимые условия решения в которой позволяют
выделить единственную допустимую функцию, подозрительную на решение.
Пусть функции Lj : R V Rn ! R, j = 0; : : : ; k + m, такие, что для любых V 2 comp(V ) и
U 2 comp(Rn ) Lj 2 S (R; C (V U; R)). В этом случае по лемме 2.2 на множестве B (см. (2.5))
корректно определены функционалы
1
x() 7! Tj (x()) =: M fLj (t; x(t); x_ (t))g; j = 0; : : : ; k + m:
(2.16)
Зададим, далее, множество
D =: fx() 2 B : Tj (x()) 6 0; j = 1; : : : ; k; Tj (x()) = 0; j = k + 1; : : : ; k + mg
и рассмотрим п. п. задачу с ограничениями на средние в виде равенств и неравенств
T (x()) ! inf ; x() 2 D;
(2.17)
в которой функция xb() 2 D называется (локальным) решением в слабом (сильном) смысле, если
найдется такое > 0, что T (xb()) 6 T (x()) для всякой функции x() 2 D, удовлетворяющей
неравенству kxb ; xkB 6 (соответственно неравенству kxb ; xkC 6 ).
n
Теорема 2.2. Пусть отображения Lj : R V R ! R , j = 0; : : : ; k + m, удовлетворяют
условиям аналогичным условиям 1), 2) для функции L в теореме 2:1 и функция xb() 2 D является решением в слабом смысле задачи (2:17). Тогда найдутся такие числа b > 0; b ; : : : ; bk m ,
не равные нулю одновременно, что выполнены соотношения
0
0
0
0
bj > 0 и b j Tj (xb()) = 0; j = 1; : : : ; k:
13
1
+
(2.18)
Кроме того, если п. п. по Степанову функции t 7! Lb 0jx (t) =: @x@ L0j (t; xb(t); xb_ (t)), t 7! Lb 0ju (t) =:
kPm
@ 0
b b0
_
@u Lj (t; xb(t); xb(t)) ограничены на R в существенном, то функция t 7! j j Lju (t) принадлежит
пространству B(R; R n ) и при п. в. t 2 R имеет место равенство
+
=0
k m
kX
m
X
d
0
b
b
; dt
j Lju (t) + b j Lb 0jx (t) = 0:
j
j
+
+
=0
=0
(2.19)
b ()) 6 T (x()) для
Доказательство. По условию теоремы найдется такое > 0, что T (x
всякой функции x() 2 D, удовлетворяющей неравенству kxb ; xkB 6 , а т. к. (см. (2.2))
k kB 6 jjj jjjB , то всякая функция : x(), принадлежащая открытому в банаховом пространстве (B; jjj jjjB ) множеству U (xb()) = fx() 2 B : jjjxb ; xjjjB 6 g, удовлетворяет неравенству
kxb ; xkB 6 , то T (xb()) 6 T (x()) для всех x() 2 D \ U (xb()). Таким образом, функция
xb() будет решением в слабом смысле задачи (2.17), если в ней множество B рассматривать
как подмножество нормированного пространства (B; jjj jjjB ). В силу ограничений, наложенных на функции Lj , по лемме 2.3 каждый из функционалов (2.16) непрерывно дифференцируем по Фреше на U (xb()) (B; jjj jjjB ). Поэтому по теореме ([9], с. 252) найдутся такие
числа b > 0; b ; : : : ; bk m , не равные нулю одновременно, что будут выполняться соотношеkPm
ния (2.18) и равенство b j T0j (xb()) = 0, которое (cм. (2.7) и (2.16)) равносильно тому, что
0
0
0
1
0
0
+
+
n k+m
P
j
=0
k+m
P
o
bj Lb 0ju (t) h_ (t) = 0 для всех h() 2 B(R; R n ). Отсюда, принимая во
j
j
kPm
внимание условия теоремы 2.2, по теореме 2.1 при L(t; x; u) =:
bj Lj (t; x; u) | лагранжиану
M
=0
b j Lb 0ju (t) h(t) +
=0
+
j
задачи (2.17), получаем, что при п. в. t 2 R имеет место равенство (2.19).
=0
Пусть D =: fx() 2 B(R ; R ) : M fx(t) sin !tg = 1g (! 6= 0). Рассмотрим задачу
J (x()) ! inf, x() 2 D , с тем же функционалом (2.15), что и в примере 2.1. Как там показано, семейство функций t 7! x(t; C ) = xb (t) + xb (t) + C , C 2 R, где !j -периодические функции
xbj : R ! R, j = 1; 2, определенные на [0; !j ] равенством (2.14) и принадлежащее B(R; R ), является решением уравнения x(t) = f (t), отвечающим функции Лагранжа данной задачи при = 1,
= 0. Условие x() 2 D позволяет из указанного семейства функций выделить единственную
допустимую функцию xb(), отвечающую Cb = 2(1 ; M f(xb (t)+ xb (t)) sin !tg), подозрительную на
решение. Так же, как и в примере 2.1, показываем, что для каждой функции h() 2 D выполнено
неравенство I(xb() + h()) > I(xb()).
2
Пример 2.2.
2
1
2
2
0
1
2
1
2
В следующих пунктах рассмотрим п.п. задачу Больца.
3. Фиксируем константу a > 0, п. п. последовательность ftm gm2Z R и отображение
(t; x) 7! g(t; x) 2 R, (t; x) 2 R V , удовлетворяющее условиям
I) в каждой точке (t; x) 2 R V существует gx0 (t; x),
II) для всякого V 2 comp(V ) функции (t; x) 7! g(t; x) и (t; x) 7! gx0 (t; x) принадлежат пространствам B (R V; R) и B (R V; R n ) соответственно.
Пусть V 2 comp(V ) и ftm gm2Z R, fvm gm2Z V | заданные п. п. последовательности. Тогда для любых функций x 2 B (R; V ) и g 2 B (R V; R) последовательности
fx(tm )gm2Z R, fg(tm ; vm)gm2Z R являются п. п.
Лемма 3.1.
Утверждение леммы 3.1 есть следствие элементарных свойств п. п. последовательностей и
п. п. по Бору функций, и мы его опускаем.
14
Из леммы 3.1, учитывая, что каждая функция x() 2 B (R; R n ) ограничена на R, получаем,
что на B (R; R n ), а значит, и на множестве B (см. (2.5)) корректно определен функционал
q;
X
(3.1)
x() 7! G(x()) =: lim 1 g(t ; x(ma)):
1
m
q!1 q m
=0
Непосредственно из определений вытекает
Лемма 3.2. Пусть функция g : R V ! R удовлетворяет условиям I), II). Тогда отображение G : B ! R, заданное равенством (3:1), непрерывно дифференцируемо по Фреше на
B (B; k kB) и в каждой точке x() 2 B при всех h() 2 B
q;
X
G0(x())[h()] = lim 1 g0 (t ; x(ma))h(ma):
(3.2)
1
q!1 q m
x m
=0
Задача (см. (2.6), (3.1))
I(x()) = T(x()) + G(x()) ! inf ; x() 2 B (B; k kB );
(3.3)
называется п. п. задачей Больца и функция xb() 2 B называется (локальным) решением в слабом
(сильном) смысле, если найдется такое > 0, что I(xb()) 6 I(x()) для всякой функции x() 2 B,
удовлетворяющей неравенству kxb ; xkB 6 (соответственно kxb ; xkC 6 ).
В следующей теореме и далее Lb 0x(t) =: L0x (t; xb(t); xb_ (t)), Lb 0u (t) =: L0u (t; xb(t); xb_ (t)).
n
Теорема 3.1. Пусть функции L : R V R ! R и G : R V ! R удовлетворяют условиям
1), 2) и I), II) соответственно и функция xb() 2 B является решением в слабом смысле задачи
(3:3). Тогда, если функция
Определение 3.1.
Z t
t 7! pb(t) =: Lb 0x(s)ds 2 Rn ; t 2 R;
0
(3.4)
п. п. по Бору, то
а) отображение Lb 0u () принадлежит пространству B(R ; R n ),
б) xb(t) при п. в. t 2 R удовлетворяет системе уравнений (2:10),
в) имеет место равенство
q;
1X
gx0 (tm ; xb(ma)) = 0:
lim
q!1 q
1
m
(3.5)
=0
Непосредственному доказательству теоремы 3.1 предпошлем ряд утверждений, связанных с
вариацией функций из множества B.
Пусть заданы п. п. последовательность fvm gm2Z Rn и функция xb() 2 B, а также точки
2 [0; a) и 2 [0; a) n fg. Далее
=: sup jvmj; A (; ) =: f : 0 < 6 minfr=2; j ; j; a ; max(; )gg;
(3.6)
m2Z
где r > 0 выбрано так, что компактное множество
V =: orb(xb) + Or [0] V :
(3.7)
Рассмотрим отображение t 7! u (t) = u (t; ; ) 2 Rn , t 2 R, определенное на каждом полуинтервале [ma; (m + 1)a), m 2 Z, и всяком 2 A (; ) равенством
8
>
xb_ (t);
t 2 [ma; (m + 1)a) n (Tm (; ) [ Tm (; ));
>
<
:
_
u (t) = >xb(t) + vm ; t 2 Tm (; ) =: [ma + ; ma + + );
(3.8)
>
:b
_x(t) ; vm ; t 2 Tm (; ) =: [ma + ; ma + + ):
15
Непосредственно из (3.8) вытекает
Лемма 3.3. Множество fu (); 2 A (; )g ограничено по норме k k1 , содержится в
пространстве S (R; R n ), равностепенно п. п. и lim
d(xb_ (); u ()) = 0.
#
0
Далее, при каждом 2 A (; ) введем функцию
Z t
t 7! x (t) = x (t; ; ) =: xb(0) + u(s)ds; t 2 R;
(3.9)
0
и будем считать для определенности, что 2 (; a). Ясно, что функция x () локально абсолютно непрерывна и при п. в. t 2 R x_ (t) = u (t). Кроме того, поскольку при всяком q 2 Z
qR a
qR a
u (t)dt =:
xb_ (t)dt, то x(ma) = xb_ (ma), m 2 Z. Поэтому из (3.8) и (3.9) получаем, что
qa
qa
для любого m 2 Z и всякого 2 A (; )
( +1)
(3 8)
( +1)
8
>
b
>
>
>
>
>
b
>
<
t 2 [ma; ma + );
t 2 Tm (; );
(3.10)
t 2 [ma + + ; ma + );
t 2 Tm (; );
t 2 [ma + + ; (m + 1)a):
Заданную равенством (3.10) (или равносильно (3.9)) функцию t 7! x (t), t 2 R, будем называть п. п. вариацией заданной функции xb() 2 B.
Лемма 3.4. Множество fx (); 2 A (; )g содержится в B , ограничено по норме k kC и
lim
kxb() ; x()kB = 0:
(3.11)
#
x(t);
x(t) + (t ; ma ; )vm;
x (t) = >xb(t) + vm;
>
>
>
xb(t) + vm ; (t ; ma ; );
>
>
>
:
xb(t);
0
Поскольку (см. (3.10)) при t 2 [ma + + ; (m +1)a], m 2 Z jxb(t) ; x (t)j 6
:
2vm 6 r, то orb(
x
)
V
V и kx kC 6 kxbkC + r. Отсюда, в свою очередь, получаем,
t
R
что sup u (s)ds 6 2kxbkC + r, т. е. (см. [1], с. 215) x () 2 B (R; R n ) при любом 2 A (; ).
t2R
Учитывая равенство x_ (t) = u (t), лемму 3.3 и включение orb(x ) V , в силу (2.5) получаем
fx (); 2 A (; )g B. Наконец, поскольку при каждом 2 A (; ) и всяком m 2 Z (см.
mR a
:
(3.10)) jxb(t) ; x (t)j 6
ju(s) ; xb_ (s)jds 6 2, то lim
kxb() ; x ()kC = 0, и т. к. (см.
#
ma
(3.9)) x_ (t) = u (t) при п. в. t 2 R и lim
d(xb_ (); u ()) = 0; то (здесь см. (2.2)) равенство (3.11)
#
доказано.
Лемма 3.5 ([10]). Пусть (Y; kk) | банахово пространство и f 2 S (R ; Y). Тогда для любого
" > 0 найдется такое > 0, Rчто для каждого измеримого множества E [0; 1], mes E 6 выполняется неравенство sup kf (s + t)kds 6 ".
Доказательство.
:
(3 6)
(3 7)
0
(
+1)
(3 8)
0
0
t2R E
Полагаем при 2 A (; )
I () =: M Lb 0x(t) x (t) ; I () =: M Lb 0u(t) x_ (t) ;
(3.12)
x (t) =: x (t) ; xb(t); x_ (t) =: x_ (t) ; xb_ (t):
(3.13)
1
где
2
16
Из (3.10), используя лемму 3.5, получаем
q; Z ma 1X
lim
I
(
)
=
lim
Lb 0x (t)vmdt:
q!1 q
#
1
0
1
m
=0
+
ma +
(3.14)
Далее, из теоремы 1.5 ([4], с. 30) вытекает
1 N , lim ql = 1, fj g1 Лемма 3.6. Существуют такие последовательности fql gl
j
l!1
(0; 1), jlim
!1 j = 0, и измеримое множество [0; a], mes = a, что для каждой точки # 2 выполнено равенство
=1
qX
l ; 1 Z j
1
0
0
b
b
lim lim
jLu (t + # + ma) ; Lu(# + ma)jdt = 0:
j !1 l!1 ql a m j
1
0
=0
=1
(3.15)
Лемма 3.7. Пусть точки # 2 и 2 n f#g, где | множество, указанное в лемме 3:6.
1
Тогда для последовательностей fql g1
l и fj gj из этой же леммы
=1
=1
l;
1 qX
lim
I
(
)
=
lim
(Lb 0u (# + ma) ; Lb 0u ( + ma))vm :
j
j !1
l!1 q a
1
2
l m
(3.16)
=0
Равенство (3.16) есть следствие равенств (3.15), (3.8) и, как уже отмечалось, того, что при
п. в. t 2 R x_ (t) = u (t).
Из условий теоремы 3.1 по утверждению б) леммы 2.2 получаем I(xb(); h()) = T(xb(); h()) + G0 (xb())[h()] = 0 для всех h() 2 B или (см. (3.2), (2.8))
Доказательство теоремы 3.1.
:
(3 3)
1
M fLb 0u (t)h_ (t) + Lb 0x(t)h(t)g + qlim
!1 q
q;
1
X
m
gx0 (tm ; xb(ma))h(ma) = 0:
(3.17)
=0
Далее, для функции xb() 2 B рассмотрим отвечающее ей семейство (см. (3.10)) п. п. вариаций fx (; #; ), 2 A (#; )g, где точки # и принадлежат множеству , указанному в
лемме 3.6. Из (3.17) при h() = x (), принимая во внимание равенство x (ma) = xb (ma) и
обозначения (3.12) и (3.13), получим I () + I () = 0 при 2 A (#; ). Отсюда, рассмотрев
1
последовательности fql g1
l и fj gj , указанные в лемме 3.6, в силу (3.14) и (3.16) получаем
qP
;
qP
l
l;
b 0 (# + ma))v
b(# + ma) ; L
равенство llim
(
p
=
lim
(pb( + ma) ; Lb 0u ( + ma))vm , спраm
u
!1 ql a m
l!1 ql a m
ведливое для всех точек #; 2 (# 6= ) и любой фиксированной п. п. последовательности
fvm gm2Z Rn , а это означает, что для всех точек # 2 и каждой п. п. последовательности
qP
l;
fvm gm2Z Rn llim
(pb(# + ma) ; Lb 0u (# + ma))vm = 0. Поэтому, если для произвольно
!1 ql a m
фиксированной функции x() 2 B (R; R n ) рассмотреть отвечающую ей п. п. последовательность
fx(# + ma)gm2Z, # 2 [0; a], то из последнего равенства при vm = x(# + ma) вытекает равенство
qP
l;
lim
(pb(# + ma) ; Lb 0u (# + ma))x(# + ma) = 0. Проинтегрировав его по # от 0 до a, полуq
a
l!1 l m
чим M f(pb(t) ; Lb 0u (t))x(t)g = 0. Поскольку это равенство выполнено для всех x() 2 B (R; R n ),
то (см. доказательство теоремы 2.1) при всех t 2 R pb(t) = Lb 0u (t) и тем самым утверждения а)
и б) теоремы 3.1 доказаны. Далее, из (3.17), полагая последовательно h(t) ej , j = 1; : : : ; n,
qP
; 0
получим M fLb 0x (t)g = ; llim
g (t ; xb(ma)), а т. к. M fLb 0x (t)g = M fpb_ (t)g = 0, то равенство
q
a
!1 l m x m
(3.5) доказано.
1
=1
1
2
=1
1
1
=0
=0
1
1
=0
1
1
1
=0
1
1
=0
17
Для получения необходимых условий решения в сильном смысле задачи (3.3) понадобятся
п. п. иголки Вейерштрасса, которым посвящен следующий пункт.
:
4. С фиксированной точкой # 2 [0; a) (a > 0) свяжем множество = f > 0 : # + " < ag, где
p
:
" = "() = + , и по заданной п. п. последовательности fvmgm2Z Rn рассмотрим функцию
x(; ) 2 C (R; R n ) ( 2 ), определенную на каждом полуинтервале [ma; (m + 1)a), m 2 Z,
равенством
1
8
>
>
<
0;
t 2 [ma; (m + 1)a) n [ma + #; ma + # + ");
(4.1)
x(t; ) =: >(t ; map; #) vm;
t 2 [ma + #; ma + # + );
>
:
vm ; (t ; ma ; # ; ) vm ; t 2 [ma + # + ; ma + # + "); m 2 Z;
которая п. в. дифференцируема на R и при каждом m 2 Z
8
>
0;
t 2 [ma; (m + 1)a) n [ma + #; ma + # + ");
>
<
x_ (t; ) = >vmp;
(4.2)
t 2 [ma + #; ma + # + );
>
:
; vm; t 2 [ma + # + ; ma + # + "):
Поскольку (см. обозначение в (3.6))
p
kx(; )kC 6 2v; kx_ (; )k1 6 (1 + )v
и при каждом n 2
Z
(4.3)
:
выполняются неравенства kx( + na; ) ; x(; )kC 6 sup jvm n ; vm j,
(4 1)
m2Z
:
+
d(x_ ( + na; ); x_ (; )) 6 4a sup jvm n ; vm j, то множество функций fx(; ); 2 g | п. п.
m2Z
иголок Вейерштрасса | содержится (см. (2.1)) в B(R; R n ), является ограниченным по норме
(4 2)
+
jjj jjjB и равностепенно п. п.
Далее (см., напр., [9], [11]) E (t; x; ; ) | функция Вейерштрасса, отвечающая заданному отображению u 7! L(t; x; u), u 2 Rn , и функционал x() 7! T(x()) определен в (2.6) .
n
Лемма 4.1. Пусть отображение L : R V R ! R помимо условий 1), 2) удовлетворяет
условию
3) для любых V 2 comp(V ) и U 2 comp(Rn )
lim
(ess sup ! [L0u (t; ; ); V U]) = 0;
(4.4)
#
t2R
0
где ! [L0u (t; ; ); V U] | -колебание на V U непрерывной функции (x; u) 7! L0u (t; x; u).
Тогда, если функция xb() 2 B при п. в. t 2 R удовлетворяет уравнению (2:10), то для каждого
компакта U =: orb(xb_ )+ON [0], N 2N , найдутся такие последовательности fql g1
q =1,
l N , llim
!1 l
fj g1j (0; a), jlim
!1 j = 0, и измеримое множество [0; a], mes = a, что в каждой точке
# 2 и любой фиксированной п. п. последовательности fvm gm2Z ON [0]
=1
=1
qX
l;
1
1
b
b
lim (T(x() + x(; j )) ; T(x())) = llim
E (ma + #; xbma(#); xb_ ma(#); xb_ ma(#) + vm): (4.5)
j !1 j
!1 ql a m
Доказательство. Рассмотрим компактное множество V , определенное в (3.7), и отображение (t; u) 7! L(t; u) =: L(t; xb(t); xb_ (t) + u), (t; u) 2 R ON [0]. Так как L 2 S (R; C (V U; R)), а
xb() 2 B (R; V ), то по лемме 1.3 отображение
(t; u) 7! L(t; xb(t); u) принадлежит S (R; C (U; R )), а
:
_
b
поскольку функция (t; u) 7! x(t; u) = x(t)+ u принадлежит S (R; C (ON [0]; U)), то по следствию 5.1
([4], с. 80) введенное отображение (t; u) 7! L(t; u) принадлежит пространству S (R; C (ON [0]; R )).
1
=0
1
Ср. с определением
x(; ) 2 C ([t ; t ]; Rn ), приведенное, напр., в [9], [11].
0
1
18
Поэтому, принимая во внимание, что функции t 7! Lb (t) =: L(t; xb(t); xb_ (t)) и t 7! Lb 0u (t) п. п. по Степанову, по лемме 1.5, а также лемме 1.9 и теореме 1.5 из [4], найдутся такие последовательности
fqlg1l N , llim
q = 1, fj g1j , jlim
= 0, и измеримое множество [0; a], mes = a,
!1 j
!1 l
что в каждой точке # 2 и любой фиксированной п. п. последовательности fvm gm2Z ON [0]
существуют пределы
qX
qX
qX
l;
l;
l;
1
1
1
0
b
b
L (#); lim
L (#); lim
L (#; v );
(4.6)
lim
=1
=1
1
1
m
l!1 ql a m
1
u;m
l!1 ql a m
=0
l!1 ql a m
=0
m
m
=0
где Lb m (#) =: Lb (# + ma), Lb 0u;m(#) =: Lb 0u (# + ma), Lm (#; vm ) =: L(# + ma; vm ) и при этом
l ; 1 Z j
1 qX
lim
lim
max
jL
(
t
+
#;
u
)
;
L
(
#;
u
)
j
dt
= 0;
m
m
j !1 l!1 ql a m j
u2ON
qX
l ; 1 Z j
lim lim 1
jLb (t + #) ; Lb ( )jdt = 0:
1
[0]
0
=0
1
j !1 l!1 ql a m
=0
j
m
0
m
(4.7)
(4.8)
Не оговаривая, считаем, что точка # в (4.1) и (4.2) принадлежит указанному множеству ,
число b 2 такое, что при каждом 2 (0; b ] для всех t 2 R xb(t)+ x(t; ) 2 V и xb_ (t)+ x_ (t; ) 2 U.
Далее, для каждой пары (; #) 2 (0; b ] (см. (4.1), (4.2)) справедливо равенство
q;
1 (T(xb() + x(; )) ; T(xb())) = lim 1 X
(Tm (#; ) + Tm (#; ));
q!1 qa m
1
(1)
в котором
(4.9)
=0
1 Z (L (t + #; v ) ; Lb (t))dt;
m
m
m
Z ma # "
1
(Lb 0u (t)x_ (t; ) + Lb 0x(t)x(t; ))dt;
Tm (#; ) =: rm (#; ) + rm (#; ) +
Tm (#; ) =: rm (#; ) +
(1)
(1)
0
+
(2)
и где
(2)
(2)
+
(3)
ma # +
Z ma #
1
:
rm (#; ) = ma #
Z ma #
rm (#; ) = 1
+
Z
+
(1)
+
+
"Z
1
x
(3)
Покажем, что
+
+
0
+
+
ma # +
+
lim
(
#
0
x(t; )dt;
L0x(t; xb(t) + #x(t; ); xb_ (t))d# ; Lb 0x (t) x(t; )dt;
ma # Z ma # " Z
rm (#; ) = ; p1
1
0
p
sup
)
L0u (t; xb(t) + x(t; ); xb_ (t) ; # vm ) d# ; Lb 0u (t)) dt vm :
jrmk (#; )j) = 0; k = 1; 2; 3:
#;m 2 ;a Z
(
[0
]
(4.12)
( )
Действительно, из (4.3) получаем неравенства
jrm (#; )j 6 2v sup
(1)
(4.11)
L0 (t; xb(t) + #x(t; ); xb_ (t) + vm )d#
1
0
+
(2)
+
(4.10)
Z
t2R t
t
p
+
jrm (#; )j 6 2v sup
l(s)ds;
(2)
Z
t2R t
t
p
+
l(s)ds;
где l(t) =: x;umax
jL0 (t; x; u)j. Поскольку l 2 S (R; R ), то из указанных неравенств в силу леммы
2V U x
3.5 получаем равенства (4.12) при k = 1; 2. Из соотношений
(
+
)
Z t
jrm (#; )j 6 pv sup
t2R t
p
+
(3)
! [L0u(s; ; ); V U]ds 6 v ess sup ! [L0u (t; ; ); V U]; () =: v;
(
t2R
)
19
(
)
в силу условия (4.4) получаем равенство (4.12) при k = 3.
Далее, т. к. xb(t) при п. в. t 2 R удовлетворяет уравнению (2.10) и x(# + ma + "; ) = 0, то при
всех (; #) 2 (0; b] имеем (здесь см. (4.1), (4.2)) следующие соотношения:
1
maZ # "
+
ma
+
+
(L0 (t)x_ (t; ) + Lb 0 (t)x(t; ))dt = ;Lb 0
b
# u
u;m (# + )vm = ;
x
L0
b
u;m (#) +
+
maZ # +
+
ma #
Lb 0x(t)dt vm:
+
tR Из них, учитывая, что (см. лемму 3.5) lim
sup jLb 0x (s)jds = 0, равенства (4.10) и (4.11) при
# t2R t
= j , в силу (4.12) и (4.7){(4.9) получаем нужное равенство (4.5) при # 2 и всякой п. п.
последовательности fvm gm2Z ON [0].
5. Приведем необходимое условие решения в сильном смысле для задачи (3.3).
n
Теорема 5.1. Пусть функции L : R V R ! R и G : R V ! R удовлетворяют условиям
1){3) и I), II) соответственно и xb() 2 B является решением задачи (3:3) в сильном смысле.
Тогда если функция (3:4) п. п. по Бору, то имеют место утверждения а){в) из теоремы 3:1,
и для каждой функции u() 2 S1 (R; R n ) выполнено неравенство
M fE (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u(t))g > 0:
(5.1)
b()) при
Доказательство. По определению 3.1 найдется такое > 0, что T(x()) > T(x
всех x() 2 B, удовлетворяющих неравенству kxb() ; x()kC 6 . Следовательно (см. (3.2)), xb()
будет решением задачи (3.3) и в слабом смысле. Поэтому будут справедливы утверждения а), б)
теоремы 3.1.
Фиксируем функцию u() 2 S1 (R; R n ) и для нее при h > 0 рассмотрим стекловское усреднение u(; h), принадлежащее пространству B (R; R n ), для
которого при каждом t 2 [0; a] рассмо:
трим п. п. последовательность fum (t; h)gm2Z, um (t; h) = u(t + ma; h), содержащуюся в Okuk1 [0].
Для компактного множества U =: orb(xb_ )+ ON [0], N =: kuk1 , возьмем последовательности fql g1
l ,
1
fj gj и множество [0; a] из леммы 4.1.
Согласно этой лемме в каждой точке # 2 для п. п. последовательности fvm gm2Z, v: m =: um (#; h) будет выполнено предельное равенство
(4.5). С другой стороны, т. к. при vm = um (#; h) (см. (4.1), (4.3)) kx(; j )kC 6 2j kuk1 , то
при всех j 2 N , начиная с некоторого j , будет справедливо неравенство I(xb() + x(; j )) >
b()), или, т. к. x(ma; j ) = 0, то
I(x
j (T(xb() + x(; j )) ; T(xb())) > 0. Отсюда вытекает, что
qP
l;
E (ma + #; xbma(#); xb_ ma(#); xb_ (#) + um(#; h)) > 0. Проинтегрировав последнее неравенlim
q
a
l
l!1 m
ство по # от 0 до a, получаем
M fE (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u(t; h))g > 0:
(5.2)
Далее, т. к. отображение (t; u) 7! L(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u) (см. доказательство леммы 4.1) принадлежит пространству S (R; C (ON [0]; R )), то функция
(t; u) 7! E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u) =: L(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u) ; Lb (t) ; Lb 0u (t)u
также принадлежит S (R; C (ON [0]; R )). Поэтому в силу равенства lim
d(u(; h); u()) = 0 и лемh#
мы 1.4, переходя в неравенстве (5.2) к пределу при h # 0, получаем неравенство (5.1).
n
b() 2 B и функция L : R V R ! R удовлетворяют условиям 1){3),
Лемма 5.1. Пусть x
а также условию
4) для любой ограниченной области U Rn , содержащей orb(xb_ ),
ess sup l(t) < 1; l(t) =: max
jL0 (t; xb(t); u)j; U =: U:
(5.3)
u2U u
+
0
=1
=1
0
1
1
1
=0
0
t2R
20
Тогда неравенство (5:1) выполнено в том и только том случае, если при п. в. t 2 R и
каждом v 2 Rn
E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + v) > 0:
(5.4)
условий очевидна.
n рассмотрим
Необходимость. С этой целью для произвольного фиксированного v 2 R
:
:
:
_
_
компактные множества V = orb(xb), U = orb(xb) + ON [0] (N = jvj), а также функцию
(t; u) 7! g(t; u) =: E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u);
Доказательство. Достаточность
принадлежащую, как показано при доказательстве теоремы 5.1, пространству S (R; C (ON ; R)).
Покажем, что
lim
(ess sup ! [g(t; ); ON [0]]) = 0:
#
0
(5.5)
t2R
Действительно, если u ; u 2 ON [0] и ju ; u j 6 , то при каждом t 2
соотношения:
1
2
1
2
jg(t; u ) ; g(t; u )j 6 ju ; u j jL0u (t)j +
1
2
Z
+ 1
1
2
имеем следующие
b
L0u(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + #u )d# u ;
1
0
R
Z
1
1
2
0
:
L0u(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + #u )d# u 6
6 2 kl()k1 + N ess sup ! [L0u (t; ; ); V U];
(5 3)
2
t2R
из которых в силу (4.4) вытекает (5.5).
Теперь рассмотрим задачу M fg(t; u(t))g ! inf, u() 2 S (R; ON [0]), для которой функция
ub(t) 0 является решением. Поскольку функция g 2 S (R; C (ON [0]; R )) и удовлетворяет условию (5.5), то по теореме 1.4 [4] (см. ее доказательство и замечание 4.1 в [12]) при п. в. t 2 R
min g(t; u) = g(t; 0), а поскольку g(t; 0) = E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t)) 0 и v 2 ON [0], то неравенство
u2ON
(5.4) доказано.
[0]
Используя лемму 5.1, теорему 5.1 можно сформулировать в виде следующего утверждения.
n
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5:1 и функция L : R V R ! R удовлетворяет также условию 4). Тогда, если функция (3:4) п. п. по Бору, то справедливы утверждения а), б) теоремы 4:1 и найдется такое измеримое множество T R, mes(R n T) = 0,
что для каждого t 2 T и всех v 2 Rn будет выполняться неравенство (5:4).
Замечание 5.1.
Если ввести отображение
(t; x; u; ) 7! H (t; x; u; ) =: u ; L(t; x; u); (t; x; u; ) 2 R Rn Rn Rn ;
(5.6)
и обозначить b(t) = Lb 0u (t), то неравенство (5.4) равносильно тому, что
H (t; xb(t); xb_ (t); b(t)) > H (t; xb(t); xb_ (t) + v; b(t)):
(5.7)
Теорема 5.3 (условия Вейерштрасса{Эрдмана). Пусть выполнены условия теоремы 5:2.
Тогда для любой ограниченной области U Rn , содержащей orb(xb_ ), :в точках tb 2 T, являющихся точками непрерывности равномерно по (x; u) 2 orb(x) U, U = orb(xb), отображения
(t; x; u) 7! L(t; x; u), функция t 7! H (t; xb(t); xb_ (t); b(t)) является непрерывной.
21
Доказательство.
Рассмотрим функцию
(t; u) 7! g(t; u) =: H (t; xb(t); u; b(t)) =: b(t)u ; L(t; xb(t); u); (t; u) 2 R U:
По теореме 5.2 при tb 2 T выполнено равенство H (t;b xb(tb); xb_ (tb); b(tb)) = max
g(t;b u): Поэтому для
u2U
доказательства теоремы 5.3 достаточно показать непрерывность в указанной в теореме точке tb
функции t 7! max
g(t; u). Для этого отметим, что по утверждению а) теоремы 5.2 функция b()
u2U
п. п. по Бору, а значит, равномерно непрерывна на R, и т. к. отображение (t; u) 7! L(t; xb(t); u) (см.
ограничения на L и лемму 1.2) принадлежит S (R; C (U; R )) V (R U; R), то из соотношений
j max
g(tb + ; u) ; max
g(t;b u)j 6 max
jg(tb + ; u) ; g(t;b u)j 6 k b( + ) ; b()kC max
juj +
u2U
u2U
u2U
u2U
+ x;umax
jL(tb + ; x; u) ; L(t;b x; u)j + ! [L(t;b ; ); V U]; () =: kxb( + ) ; xb()kC ;
2 V U
(5 6)
loc
1
(
(
)
)
получаем непрерывность отображения t 7! max
g(t; u) в точке tb 2 T.
u2U
6. Укажем необходимые условия второго порядка сильного (слабого) минимума задачи (3.3)
в предположении, что (t; x; u) ! L(t; x; u) 2 R, (t; x; u) 2 R V Rn (V | область в Rn ),
удовлетворяющего помимо условий 1) и 2) следующим условиям:
3) в каждой точке (t; x; u) 2 R V Rn существуют L00xx (t; x; u), L00xu (t; x; u), L00ux (t; x; u),
L00uu (t; x; u);
4) для любых фиксированных V 2 comp(V ) и U 2 comp(Rn ) отображения L00xx; L00ux ; L00xu и L00uu
принадлежат пространству S (R; C (V U; Hom(Rn ))).
При выполнении этих условий в силу теоремы 2.5 из [7] утверждение б) леммы 2.3 дополняется следующим: в каждой точке x() 2 B (B; kkB ) функционал (2.6) имеет вторую вариацию
по Лагранжу T(x(); ) : B ! R, определенную при всяком h() 2 B равенством
T(x(); h()) = M fh_ (t)A(t)h_ (t) + 2h_ (t)C (t)h(t) + h (t)B (t)h(t)g;
(6.1)
где
8
>
A(t) = A(t; x()) =: L00uu (t; xb(t); xb_ (t));
>
<
(6.2)
B (t) = B (t; x()) =: L00uu (t; xb(t); xb_ (t));
>
>
:
00
00
:
_
_
C (t) = C (t; x()) = Lxu (t; xb(t); xb(t)) = Lux(t; xb(t); xb(t)):
Относительно функции g : R V ! R будем предполагать, что
00 (t; x);
I0 ) в каждой точке (t; x) 2 R V существуют gxx
0
II ) для всякого V 2 comp(V ) выполняется условие II), а также условие, что отображение
00 (t; x) принадлежит B (R V; Hom(Rn )).
(t; x) 7! gxx
При выполнении этих условий утверждение леммы 3.2 дополняется следующим: в каждой
точке x() 2 B (B; k kB ) отображение (3.1) дважды дифференцируемо по Фреше и для всех
h() 2 B
q;
X
1
00
G (x())[h()] = lim
h (ma)g00 (t ; x(ma))h(ma):
(6.3)
2
2
1
q!1 q m
xx m
=0
(условие Лежандра). Пусть отображения L : R V Rn ! R и g : R V ! R удовлетворяют условиям 1){4) и I0), II0) соответственно. Тогда если функция xb() 2 B
является решением задачи (3:3) в сильном смысле и ess sup jL0xx(t; xb(t); xb_ (t))j < 1, то при п. в.
t2R
t 2 R и всяком v 2 Rn выполнено неравенство
vL00uu (t; xb(t); xb_ (t)) v > 0:
(6.4)
Теорема 6.1
22
Доказательство. По условию теоремы 6.1 найдется такое > 0, что (см. (3.3))
x )) 6 I(x()) для всех x() 2 B, удовлетворяющих неравенству kxb() ; x()kC 6 , в том числе
и для всех x() 2 B таких, что kxb() ; x()kB 6 . Отсюда в силу ограничений, наложенных на L
и g, и сделанных выше дополнений к утверждениям лемм 2.3 и 3.2, по теореме о необходимом
условии локального минимума в нормированном пространстве
([9], с. 240) получаем, что для
всех x() 2 (B; k kB ) будет выполнено неравенство K(x()) =: T(xb(); x()) > 0, или (см. (6.3))
I( b(
2
1
K(x()) = M fL(t; x(t); x_ (t))g + qlim
!1 q
q;
1
X
m
00 (tm ; xb(ma))x(ma) > 0;
x (ma)gxx
(6.5)
=0
где (здесь см. (6.1) и обозначения (6.2) при x() = xb())
:
L (t; x(t); x_ (t)) = x_ (t)A(t)x_ (t) + 2x_ (t)C (t)x(t) + x (t)B (t)x(t):
(6.6)
В силу условия 3) по лемме 1.2 и 1.3 отображения A(); B () и C () принадлежат пространству S (R; Hom(Rn )) и для любых V 2 comp(V ) и U 2 comp(Rn ) функции (t; u) 7! u A(t)u,
(t; x; u) 7! u B (t)x, (t; x) 7! x C (t)x принадлежат пространствам S (R; C (U; R )), S (R; C (V U; R))
и S (R; C (V; R )) соответственно. Далее, используя теорему 1.5 ([4], с. 30) при f (t) = A(t) и лемму
1.5 для отображения (t; u) 7! u A(t)u, (t; u) 2 R ON [0] (N 2 N ), получим, что найдутся такие
последовательности fql g1
q = 1, fj g1j (0; a] (a > 0), jlim
l , llim
!1 j = 0, и измеримое множе!1 l
ство [0; a], mes = a, такие, что для каждой точки # 2 и любой п. п. последовательности
fvm gm2Z ON [0] будет существовать
=1
=1
l;
1 qX
lim
vm A(# + ma)vm
l!1 q
1
lm
(6.7)
=0
и выполняться равенство
qX
l ; 1 Z j
1
lim lim
jA(t + # + ma) ; A(# + ma)jdt = 0:
(6.8)
j !1 l!1 ql m j
Далее, по п. п. последовательности fvm gm2Z ON [0], в фиксированной точке # 2 рассмотрим совокупность (см. (4.1)) п. п. иголок Вейерштрасса fx(; ); 2g. Так как x(; ) 2 (B; kkB )
и x(ma; ) = 0 при всех m 2 Z и каждом 2 , то из (6.5) получаем, что K(x(; )) =
M fL(t; x(t; ); x_ (t; ))g > 0 при всех 2 . С другой стороны, из (6.6) при x() = x(; ) и
(4.1), (4.2) получим равенство
1
0
=0
qX
l; Z 1
M fL (t; x(t; ); x_ (t; ))g = llim
vm A(t + # + ma)vm dt + fm (#; ) ;
!1 q a
1
l m
0
=0
в котором ffm (; )gm2Z | такая п. п. последовательность, что
j
f
(
#;
)
j
m
= 0:
lim
sup
#
0
#;m 2 ;a Z
(
)
[0
]
(6.9)
(6.10)
Поэтому из существования предела (6.7), равенства (6.8) из (6.10) и (6.9) при = j получим
qP
l;
lim
K
(
x
(
;
))
=
lim
v A(# + ma)vm > 0. Рассуждая, как и при доказательстве теореj
q
a
j
l
j !1
l!1 m m
мы 5.1, используя последнее неравенство, получим, что для всякой функции u() 2 S (R; ON [0])
будет выполнено неравенство M fu (t)A(t)u(t)g > 0, т. е. функция ub(t) 0 является решением
задачи M fu (t)A(t)u(t)g ! inf, u() 2 S (R; ON [0]).
Поскольку для функции (t; u) 7! u A(t)u выполнено условие типа 4), то по теореме 1.4 [4] при
п. в. t 2 R и всех v 2 ON [0] будет выполнено неравенство (6.4). Отсюда в силу произвольности
выбора N 2 N получаем нужное неравенство при всех v 2 Rn .
1
1
1
=0
23
Если в задаче (3.3) отображение L : R V R n ! R удовлетворяет условию
то для него условия (4.4) и (5.3) выполняются.
Замечание 6.2. Полагая в (3.3) g 0, получим задачу (2.12). Поэтому из необходимых
условий решения xb() 2 B задачи (3.3) в сильном смысле вытекают соответствующие условия
для решения xb() 2 B задачи (2.12) в сильном смысле. При этом надо иметь в виду, что для
решения xb() 2 B задачи (2.12) в слабом смысле (а значит, и сильном смысле) для выполнения условий а), б) необходимо, чтобы п. п. по Степанову функции t 7! Lb 0x (t), t 7! Lb 0u (t) были
ограничены на R в существенном.
Замечание 6.1.
1) и 20 ) (см. замечание 2.1),
Литература
1. Левитан Б.М. Почти периодические функции. { М.: Гостехиздат, 1953. { 396 с.
2. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения.
{ М.: Изд-во МГУ, 1978. { 205 с.
3. Fink A.M. Almost periodic dierential equation // Lect. Notes Math. { 1973. { V. 377. { 336 p.
4. Иванов А.Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. I // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. { Ижевск, 2002. { Вып. 1. { С. 3{100.
5. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. { Киев: Вища школа, 1987. { 288 с.
6. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. { М.: Мир, 1971. { 309 с.
7. Воронецкая М.А., Иванов А.Г. О некоторых вариационных задачах в классе почти периодических функций // Деп. в ВИНИТИ 27.12.03, Є 1902-B2003. УдГУ, Ижевск, 2003. { 32 с.
8. Blot J. Calculus of variations in mean and convex lagrangians // J. Math. Anal. { 1988. { V. 134.
{ Є 2. { P. 312{321.
9. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. { М.: Наука, 1979.
{ 429 с.
10. Иванов А.Г. Элементы математического аппарата задач почти периодической оптимизации. II // Изв. Ин-та матем. и информ. УдГУ. { Ижевск, 2003. { Вып. 1. { С. 3{96.
11. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. { М.: Наука, 1974. { 479 с.
12. Данилов Л.И., Иванов А.Г. К теореме о поточечном максимуме в почти периодическом
случае // Изв. вузов. Математика. { 1994. { Є 6. { С. 50{59.
Удмуртский государственный
университет
Поступила
26.12.2003
24
R n ) существует среднее значение
RT
P
M ff (t)g =: Tlim
f
(
t
)
dt
2
Rn , имеет место однозначное соответствие f (t) c()eit
T
!1
2R
(i = ;1), в котором c() = c(; f ) =: M ff (:t)e;it g и считается c() = 0, если не принадлежит
(не более чем счетному) множеству (f ) = f 2 R : jc()j > 0g показателей Фурье этого отображения. Зафиксировав в (f ) рациональный базис fb ; b ; : : : g, п. п. функции f можно поставить
в соответствие аппроксимирующую ее последовательность fpm ()gm2Z B (R; R n ) тригонометрических полиномов Бохнера{Фейера [1], [2]:
1
0
2
1
pm(t) = pm(t; f ) =:
k
k
k
m
b + + bm ei m b
km k ;k ;:::;km c
m!
m!
X
1
; 1
(
1
2
jk::::::::::::
j6 m
jkm j6 m
jk j
jkm j
k
m ) : : : (1 ; m ), а c( m b
1
2
2
(
!)
(
!)
1
!
1+
kmm bm t ;
+
!
)
t 2 R;
2
где km k ;k ;:::;km =: (1 ;
+ + kmm bm ) | коэффициент Фурье функции
f , отвечающий показателю mk b + + kmm bm .
P
Теорема 1.1. Если ряд Фурье
c(; f )eit , отвечающий функции f 2 S1(R; R n ), совпада2R
P
ет с формально продифференцированным рядом Фурье c(; g)eit для функции g из S1 (R; R n ),
2R
то g принадлежит B (R; R n ), при почти всех (п. в.) t 2 R дифференцируема и g0 (t) = f (t).
; 1
1
2
(
!)2
(
1
!
1
!)2
1
!
1
!
!
Работа выполнена при финансовой поддержке Конкурсного центра Министерства образования и науки
Российской Федерации, грант Є Е00-1.0-5.
8
Доказательство. По условию c(; f ) = ic(; g ). Поэтому M ff (t)g = 0, и, если pm (t; f ) и
pm (t; g) суть многочлены Бохнера{Фейера, аппроксимирующие п. п. по Степанову функции f и g
соответственно, то (см. приведенный выше вид таких полиномов) при всех m 2 N и каждом t 2 R
pm(t; f ) = p_m (t; g), а значит ([1], c. 245) mlim
!1 d(p_m (; g); f ()) = 0. Следовательно, для каждого
t 2 R найдется такое mt 2 N , что d(p_mt (; g); f ()) 6 { ; (t), где {(t) = ; ; (t) + 2jtjRn ; ; (t)
(F | характеристическая функция множества F R). Далее, т. к. при каждом m 2 Z и
всех t 2 R pm (t; g) = Ms fg(s + t)Km b ;:::;bm (s)g, где Km b ;:::;bm () | составное ядро Бохнера{
Фейера [1], то, принимая во внимание равенство M fKm b ;:::;bm (t)g = 1, m 2 Z, получаем, что
sup jpm (t; g)j 6 kgk1 , m 2 Z. Поэтому в силу топологической эквивалентности dl -расстояний
1
; 1
[
1 1]
[
1 1]
; 1
; 1
t2R
имеем
следующие соотношения:
Z
t
0
f (s)ds 6
t
Z
0
jf (s) ; p_mt (s; g)jds + jpmt (0; g)j + jpmt (t; g)j 6
6 {(t)d(p_mt (; g); f ()) + 2kgk1 6 1 + 2kgk1 :
t
Из них вытекает, что отображение t 7! F (t) =: f (s)ds ограничено на R, а т. к. kf k1 < 1, то
и равномерно непрерывно на R. Следовательно ([1], с. 206), F 2 B (R; R n ). Отсюда (напомним,
что M ff (t)g = 0), в свою очередь, по теореме о ряде Фурье для интеграла от п. п. по Степанову
функции [1] и условий теоремы 1.1 имеем следующее соответствие:
X
X
F (t) M fF (t)g + c(; f ) eit = c(; g)eit ; C;
R
0
2R
6
i
2R
=0
где вектор C =: M fg(t)g; M fF (t)g. Поскольку ряд c(; g)eit ; C является рядом Фурье для
2R
п. п. по Степанову функции t 7! g(t) ; C , то в силу теоремы единственности о разложении в ряд
Rt
Фурье п. п. функции получаем равенство g(t) = f (s)ds + C , t 2 R, из которого вытекают все
утверждения теоремы 1.1.
Пусть, далее, (X; ) | компактное метрическое пространство. Через B (R X; Y) обозначим
совокупность непрерывных отображений
(t; x) 7! f (t; x) 2 Y; (t; x) 2 R X;
(1.2)
которые п. п. по t 2 R в смысле Бора равномерно по x 2 X [3] и каждую функцию из
L (R; C (X; Y)) представляем в виде отображения (1.2). Через S (R; C (X; Y)) обозначим подмножество из L (R; C (X; Y)) таких функций вида (1.2), что для любого " > 0 множество
t
f 2 R : sup R max
jf (s + ; x) ; f (s; x)jds < "g относительно плотно.
t2R t x2X
Если f 2 S (R; C (X; R n )), то по следствию 1.3 из ([4], с. 24) при Y = C (X; Rn ) получим, что
такой функции отвечает п. п. последовательность ffm gm2Z из L ([0; a]; C (X; R n )), состоящую из
отображений
(t; x) 7! fm(t; x) =: f (t + ma; x); (t; x) 2 [0; a] X:
(1.3)
n
Лемма 1.1. Пусть f 2 S (R ; C (X; R )), ffm gm2Z | отвечающая ей п. п. последовательность
отображений, заданных при каждом m 2 Z равенством (1:3). Пусть задана также последовательность fql0 g1
q0 = 1. Тогда найдутся подпоследовательность fql g1l fql0 g1l
l R , llim
!1 l
P
0
loc
1
loc
1
+1
1
1
=1
1
Определение п. п. последовательности
=1
fx
=1
m gm2Z метрического (нормированного) пространства анало-
гично определению числовой п. п. последовательности (см., напр., [5], [6])
9
и измеримое множество [0; a], mes = a, такие, что в каждой точке # 2 и любой
qP
l;
заданной п. п. последовательности fxm gm2Z X существует llim
fm (#; xm ).
!1 ql a
1
1
m
=0
f0 g1
0
Зафиксируем последовательность j j (0; 1), jlim
!1 j = 1. По тео0 1
реме 1.5 ([4], с. 30) при Y = C (X; Rn ) найдутся такие подпоследовательности fql g1
l fql gl ,
1
0
1
fj gj fj gj и измеримое множество [0; a], mes = a, что в каждой точке # 2 будет
выполняться равенство (см. (1.3))
qX
l ; 1 Z j
lim lim 1
max jf (t + #; x) ; f (#; x)jdt = 0:
Доказательство.
=1
=1
=1
=1
=1
1
j !1 l!1 ql a m
=0
j
x2X m
0
m
Далее, т. к. отвечающее при каждом h > 0 функции f стекловское усреднение (см. [4], c. 21)
принадлежит пространству B (R X; R n ), то отвечающая ему последовательность отображений
Rh
(#; x) 7! fm (#; x; h) =: h fm (t + #; xm )dt, (#; x) 2 [0; a] X, m 2 Z, принадлежит C ([0; a] X; Rn )
и является п. п. равномерно по x 2 X (см. [4], с. 79). Следовательно, по лемме 4.2 ([4], с. 79) в
каждой точке # 2 [0; a] при любой заданной п. п. последовательности fxm gm2Z X будет сущеqP
l;
fm (#; xm ; h) =: p(#; h) 2 Rn . Покажем, что в каждой точке # 2 последоваствовать llim
q
a
l
!1
1
0
1
1
m
=0
qP
l;
тельность fxm gm2Z Rn , где xm =: ql a fm (#; xm ), будет фундаментальной. Действительно, для
m
заданного " > 0 найдутся такие j" 2 N и l 2 N , что при всех l > l будет выполнено неравенство
l ; 1 Z j"
1 qX
max jf (t + #; x) ; f (#; x)jdt < "=3:
1
1
=1
1
1
1
qla m j"
x2X m
0
=1
m
Далее, из существования предела p(#; h) при h = j" вытекает, что найдется такое l 2 N ,
что при всех l > l и каждом p 2 N
p;
l;
1 qlX
1 qX
f (#; x ; ) ;
f (#; x ; ) < "=3:
2
2
1
+
1
ql pa m m m j" ql a m m
Теперь, поскольку при l > bl =: max(l ; l ) и каждом p 2 N
+
=0
m j"
=0
1
2
qlX
p;
jxl p ; xlj 6 q 1 a
1
+
1
j"
Z
jfm(t + #; xm) ; fm(#; xm )jdt +
l p m j"
qlX
p;
l;
1 qX
+ q 1 a
fm(#; xm ; j" ) ;
fm (#; xm ; j" ) +
ql a m
l p m
qX
l ; 1 Z j"
:
j
fm (t + #; xm ) ; fm(#; xm )jdt <
+ q1a
l m j"
qlX
p;
1 Z j" max jf (t + #; x) ; f (#; x)jdt +
< "=3 + q 1 a
m
x2X m
l p m j"
qX
l ; 1 Z j"
:
+ q1a
max
j
f
(
t
+
#;
x
)
;
f
(
#;
x
)
j
dt
<
"=3 + "=3 + "=3 = ";
m
m
x2X
l m j"
+
+
+
0
=0
1
+
1
=0
=1
1
(1 6)
0
=0
1
+
+
=0
0
1
=0
(1 5)
0
то последовательность fxm gm2Z является фундаментальной, а значит, нужный предел существует.
n
n
Лемма 1.2 ([4]). Пусть g 2 S (R ; C (U; R )), где U 2 comp(R ). Тогда для всякой функции
u() 2 S (R; U) отображение t 7! f (t; u(t)), t 2 R, принадлежит пространству S (R; R n ).
10
([4]). Пусть K 2 comp(Rn ), U 2 comp(Rn ) и f 2 S (R; C (K U; Rn )). Тогда для
всякой функции u() 2 S (R; U) отображение t 7! f (t; x; u(t)) принадлежит S (R; C (K; R n )).
Используя теорему 1.2 из [4] о свойствах стекловских усреднений несложно доказать (здесь
см. лемму 1.2) следующее утверждение.
n
Лемма 1.4. Пусть f 2 S (R ; C (U; R )). Тогда отображение F : S (R ; U) ! S (R ; R ), опреде:
ленное равенством F [u()](t) = f (t; u(t)), t 2 R, равномерно непрерывно.
n
2. Фиксируем отображение (t; x; u) 7! L(t; x; u) 2 R , (t; x; u) 2 R V R , где V | область в
R n , удовлетворяющее условиям
1) в каждой точке (t; x; u) 2 R V Rn существуют производные L0x (t; x; u) и L0u (t; x; u),
2) для любых фиксированных V 2 comp(V ), U 2 comp(Rn ) отображение L принадлежит
S (R; C (V U; R)), а L0x; L0u 2 S (R; C (V U; Rn )).
Выделим, далее, в B (R; R n ) линейное многообразие
B = B(R; R n ) =: fx() 2 B (R; R n ) : x_ () 2 S1 (R; R n )g;
(2.1)
в котором (см. (1.1)) каждое из отображений
x() 7! kxkB =: kxkC + kx_ kS ; x() 7! jjjxjjjB =: kxkC + kx_ k1 ; x() 2 B;
(2.2)
является нормой. Отметим также, что B содержит линейное многообразие
B = B (R; R n ) =: fx() 2 B (R; R n ) : x_ () 2 B (R; R n )g;
(2.3)
где отображение
x() 7! kxkB =: kxkC + kx_ k ; x() 2 B ;
(2.4)
задает норму. При этом, т. к. для всех x 2 B (см. (2.3)) kxkB = jjjxjjjB , то (B ; k kB ) |
подпространство нормированного пространства (B; jjj jjjB ).
В дальнейшем для
заданной функции ' : R ! Rn через orb(') обозначаем замыкание (в Rn )
:
множества orb(') = f'(t); t 2 Rg и
B = B(R; V ) =: fx() 2 B(R; R n ) : orb(x) Vg; B =: fx() 2 B (R; R n ) : orb(x) Vg: (2.5)
Метрику на B, индуцированную нормами (см. (2.2)) k kB и jjj jjjB , обозначим через C;S и C;1
соответственно, а метрику на B , индуцированную нормой k kB (см. (2.4)) | через B .
Лемма 2.1 ([7]). Множество B всюду плотно в (B ; C;S ).
Из лемм 1.2 и 1.3 вытекает
n
Лемма 2.2. Пусть отображение L : R V R ! R удовлетворяет условиям 1), 2). Тогда
для всякой функции x() 2 B (x() 2 B ) отображения t 7! L(t; x(t); x_ (t)) и t 7! Lx(t; x(t); x_ (t)),
t 7! Lu(t; x(t); x_ (t)) принадлежат пространствам S (R; R ) и S (R; R n ) соответственно.
В свою очередь, из леммы 2.2 вытекает возможность задания на B (а также на B ) функционала
x() 7! T(x()) =: M fL(t; x(t); x_ (t))g;
(2.6)
а также отображений x() 7! M fL0x (t; x(t); x_ (t))g и x() 7! M fL0u (t; x(t); x_ (t))g.
Замечание 2.1. Ряд свойств функционала (2.6), которые могут быть использованы при исследовании задач вариационного исчисления в классе п. п. функций, приведен в [7]. В частности,
с использованием лемм 2.1 и 1.4 показано, что если функция L : R V Rn ! R удовлетворяет
условиям 1), 2), то для функционала T : (B; C;S ) ! R, заданного равенством (2.6), имеет место
равенство x inf
T(x()) = x inf
T(x()). Там же доказана
2B
2B
Лемма 1.3
1
1
1
1
С
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( )
Лемма 2.3.
( )
1
Пусть отображение L : R V Rn ! R удовлетворяет условиям 1), 2). Тогда
11
а) функционал (2:6) непрерывно дифференцируем на множестве B (B; jjjjjjB ) и в каждой
точке x() 2 B и всех h() 2 B
T0 (x())[h()] = M fL0x (t; x(t); x_ (t))h(t) + L0u (t; x(t); x_ (t))h_ (t)g;
(2.7)
б) в каждой точке x() 2 B (B; k kB ) функционал (2:6) имеет первую вариацию по
Лагранжу T(x(); ) такую, что при каждом h() 2 B
T(x(); h()) = M fL0x(t; x(t); x_ (t))h(t) + L0u (t; x(t); x_ (t))h_ (t)g:
(2.8)
Докажем, далее, п. п. аналог леммы Дюбуа{Реймона.
n
Теорема 2.1. Пусть отображение L : R V R ! R удовлетворяет условиям 1) и 2) и
функция x()2(B; C;S ) (x()2(B; C;1 )) такая, что T(x(); ) 0 (соответственно T0 (x()) = 0).
Тогда, если п. п. по Степанову функции
t 7! l (t) =: L0x (t; x(t); x_ (t)); t 7! l (t) =: L0u (t; x(t); x_ (t))
(2.9)
ограничены на R в существенном, то l () 2 B и при п. в. t 2 R имеет место равенство
1
2
2
; dtd L0u(t; x(t); x_ (t)) + L0x(t; x(t); x_ (t)) = 0:
(2.10)
В силу (2.8) (соответственно (2.7)) из леммы 2.3 получим, что для всех
h() 2 B будет выполнено равенство M fl (t)h(t) + l (t)h_ (t)g = 0. Из него при h(t) = ej exp(;it)
(i = ;1), j = 1; : : : ; n, где ej | j -вектор стандартного базиса в Rn , получим, что формально продифференцированный ряд Фурье функции l , принадлежащей по условию теоремы 2.1
S1(R; R n ), совпадает с рядом Фурье функции l 2 S1 (R; R n ). Теперь утверждение теоремы 2.1
(здесь см. (2.1) и (2.9)) непосредственно следует из теоремы 1.1.
n
Замечание 2.2. Если отображение L : R V R ! R удовлетворяет условию 1), а вместо
условия 2) | условию 20 ) L 2 B (R V U; R) и L0x ; L0u 2 B (R V U; Rn ) для любых V 2 comp(V )
и U 2 comp(Rn ), то при каждой функции x() 2 B п. п. по Степанову функции l , l ограничены на R в существенном, а при x() 2 B эти функции п. п. по Бору, а значит, ограничены на
R . Поэтому из теоремы 2.1 для случая, когда L 2 C (R n Rn ; R ), получаем один из основных результатов работы [8]: если для x() 2 (B ; k kB ) и всякой функции h() 2 (B ; k kB )
M fL0x(x(t); x_ (t))h(t) + L0u(x(t); x_ (t))h_ (t)g = 0, то отображение t 7! L0u (x(t); x_ (t)) принадлежит
пространству B (R; R n ), и при t 2 R имеет место равенство dtd L0u (x(t); x_ (t)) = L0x(x(t); x_ (t)), который доказан с использованием обобщенных производных. Это утверждение использовано для
указания необходимых условий решения в слабом смысле задачи
I (x()) = M fL(x(t); x_ (t))g ! inf ; x() 2 (B ; k kB ):
(2.11)
Из леммы 2.3 и теоремы 2.1 вытекают [7] необходимые условия для решения xb() 2 (B; C;S )
в слабом (а значит, и сильном) смысле более общей задачи (см. (2.6), (2.5))
T(x()) ! inf ; x() 2 B;
(2.12)
которые в силу неравенства kxkB 6 jjjxjjjB , x 2 B, будут необходимыми условиями для xb(),
если B в (2.12) рассматривать как подпространство нормированного пространства (B; jjj jjjB ).
Кроме того, как отмечалось, (B ; k kB ) (см. (2.3), (2.4)) | подпространство нормированного
пространства (B; jjj jjjB ). Следовательно, задача
T(x()) ! inf ; x() 2 B (B ; k kB );
(2.13)
является частным случаем задачи T(x()) ! inf, x() 2 B (B; jjj jjjB ). Поэтому необходимые
условия слабого решения последней задачи, а значит, и слабого решения задачи (2.12), будут
необходимыми условиями слабого решения задачи (2.13). При этом по равенству, указанному в
замечании 2.1, слабое решение xb() 2 B задачи (2.13) будет слабым решением задачи (2.12).
Доказательство.
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
Следующий пример иллюстрирует целесообразность обобщения задачи (2.11) и (2.13) до
задачи (2.12).
Пусть L(t; x; x_ ) = x_ + f (t)x, где f (t) =: sign(sin ! t) + sign(sin ! t) и заданные
положительные числа ! , ! несоизмеримы. Ясно, что L удовлетворяет условиям вида 1), 2),
и уравнение (2.10), отвечающее этой функции Лагранжа, имеет вид x = f (t) и может быть
интерпретировано как уравнение движения тела единичной массы вдоль оси Ox с приложенной
к нему силой f (t). Семейство п. п. по Бору функций t 7! x(t; C ) = xb (t) + xb (t) + C , C 2 R, где
!j -периодические функции xbj : R ! R, j = 1; 2, определены на [0; !j ] равенством
1
Пример 2.1.
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
8
<
t
;
t;
xbj (t) = :; t +!j t ; ;
!j
!j
2
2
2
2
2
2
3
2
2
0 6 t < !j ;
!j
(2.14)
6 t < !j ;
2
является решениями этого уравнения. Поскольку в точках !j + !kj , k 2 Z, функции xbj , j = 1; 2,
недифференцируемы, то x(; C ) 2 B(R; R ) n B (R; R ). Теперь рассмотрим задачу
J (x()) =: M f 21 x_ (t) + f (t)x(t)g ! inf ; x() 2 B(R; R ):
(2.15)
Так как при каждом фиксированном C 2 R и любом h() 2 B(R; R ) J (x(; C ) + h()) ; J (x()) >
M fx_ (t; C )h_ (t)+f (t)h(t)g = M f(x(t; C );f (t))h(t)g = 0, то каждая из указанных функций x(; C ) 2
B(R; R ) является решением задачи (2.15).
2
1
2
Этот же пример, в частности, указывает, что при использовании необходимых условий для
нахождения единственного решения задачи (2.12) требования того, чтобы x() 2 B(R ; R n ) (а в
задачах вида (2.11), (2.14) требования x() 2 B (R; R n )), вообще говоря, недостаточно.
Поэтому сейчас рассмотрим экстремальную задачу на B(R ; R n ) при наличии ограничений
на средние в виде равенств и неравенств, необходимые условия решения в которой позволяют
выделить единственную допустимую функцию, подозрительную на решение.
Пусть функции Lj : R V Rn ! R, j = 0; : : : ; k + m, такие, что для любых V 2 comp(V ) и
U 2 comp(Rn ) Lj 2 S (R; C (V U; R)). В этом случае по лемме 2.2 на множестве B (см. (2.5))
корректно определены функционалы
1
x() 7! Tj (x()) =: M fLj (t; x(t); x_ (t))g; j = 0; : : : ; k + m:
(2.16)
Зададим, далее, множество
D =: fx() 2 B : Tj (x()) 6 0; j = 1; : : : ; k; Tj (x()) = 0; j = k + 1; : : : ; k + mg
и рассмотрим п. п. задачу с ограничениями на средние в виде равенств и неравенств
T (x()) ! inf ; x() 2 D;
(2.17)
в которой функция xb() 2 D называется (локальным) решением в слабом (сильном) смысле, если
найдется такое > 0, что T (xb()) 6 T (x()) для всякой функции x() 2 D, удовлетворяющей
неравенству kxb ; xkB 6 (соответственно неравенству kxb ; xkC 6 ).
n
Теорема 2.2. Пусть отображения Lj : R V R ! R , j = 0; : : : ; k + m, удовлетворяют
условиям аналогичным условиям 1), 2) для функции L в теореме 2:1 и функция xb() 2 D является решением в слабом смысле задачи (2:17). Тогда найдутся такие числа b > 0; b ; : : : ; bk m ,
не равные нулю одновременно, что выполнены соотношения
0
0
0
0
bj > 0 и b j Tj (xb()) = 0; j = 1; : : : ; k:
13
1
+
(2.18)
Кроме того, если п. п. по Степанову функции t 7! Lb 0jx (t) =: @x@ L0j (t; xb(t); xb_ (t)), t 7! Lb 0ju (t) =:
kPm
@ 0
b b0
_
@u Lj (t; xb(t); xb(t)) ограничены на R в существенном, то функция t 7! j j Lju (t) принадлежит
пространству B(R; R n ) и при п. в. t 2 R имеет место равенство
+
=0
k m
kX
m
X
d
0
b
b
; dt
j Lju (t) + b j Lb 0jx (t) = 0:
j
j
+
+
=0
=0
(2.19)
b ()) 6 T (x()) для
Доказательство. По условию теоремы найдется такое > 0, что T (x
всякой функции x() 2 D, удовлетворяющей неравенству kxb ; xkB 6 , а т. к. (см. (2.2))
k kB 6 jjj jjjB , то всякая функция : x(), принадлежащая открытому в банаховом пространстве (B; jjj jjjB ) множеству U (xb()) = fx() 2 B : jjjxb ; xjjjB 6 g, удовлетворяет неравенству
kxb ; xkB 6 , то T (xb()) 6 T (x()) для всех x() 2 D \ U (xb()). Таким образом, функция
xb() будет решением в слабом смысле задачи (2.17), если в ней множество B рассматривать
как подмножество нормированного пространства (B; jjj jjjB ). В силу ограничений, наложенных на функции Lj , по лемме 2.3 каждый из функционалов (2.16) непрерывно дифференцируем по Фреше на U (xb()) (B; jjj jjjB ). Поэтому по теореме ([9], с. 252) найдутся такие
числа b > 0; b ; : : : ; bk m , не равные нулю одновременно, что будут выполняться соотношеkPm
ния (2.18) и равенство b j T0j (xb()) = 0, которое (cм. (2.7) и (2.16)) равносильно тому, что
0
0
0
1
0
0
+
+
n k+m
P
j
=0
k+m
P
o
bj Lb 0ju (t) h_ (t) = 0 для всех h() 2 B(R; R n ). Отсюда, принимая во
j
j
kPm
внимание условия теоремы 2.2, по теореме 2.1 при L(t; x; u) =:
bj Lj (t; x; u) | лагранжиану
M
=0
b j Lb 0ju (t) h(t) +
=0
+
j
задачи (2.17), получаем, что при п. в. t 2 R имеет место равенство (2.19).
=0
Пусть D =: fx() 2 B(R ; R ) : M fx(t) sin !tg = 1g (! 6= 0). Рассмотрим задачу
J (x()) ! inf, x() 2 D , с тем же функционалом (2.15), что и в примере 2.1. Как там показано, семейство функций t 7! x(t; C ) = xb (t) + xb (t) + C , C 2 R, где !j -периодические функции
xbj : R ! R, j = 1; 2, определенные на [0; !j ] равенством (2.14) и принадлежащее B(R; R ), является решением уравнения x(t) = f (t), отвечающим функции Лагранжа данной задачи при = 1,
= 0. Условие x() 2 D позволяет из указанного семейства функций выделить единственную
допустимую функцию xb(), отвечающую Cb = 2(1 ; M f(xb (t)+ xb (t)) sin !tg), подозрительную на
решение. Так же, как и в примере 2.1, показываем, что для каждой функции h() 2 D выполнено
неравенство I(xb() + h()) > I(xb()).
2
Пример 2.2.
2
1
2
2
0
1
2
1
2
В следующих пунктах рассмотрим п.п. задачу Больца.
3. Фиксируем константу a > 0, п. п. последовательность ftm gm2Z R и отображение
(t; x) 7! g(t; x) 2 R, (t; x) 2 R V , удовлетворяющее условиям
I) в каждой точке (t; x) 2 R V существует gx0 (t; x),
II) для всякого V 2 comp(V ) функции (t; x) 7! g(t; x) и (t; x) 7! gx0 (t; x) принадлежат пространствам B (R V; R) и B (R V; R n ) соответственно.
Пусть V 2 comp(V ) и ftm gm2Z R, fvm gm2Z V | заданные п. п. последовательности. Тогда для любых функций x 2 B (R; V ) и g 2 B (R V; R) последовательности
fx(tm )gm2Z R, fg(tm ; vm)gm2Z R являются п. п.
Лемма 3.1.
Утверждение леммы 3.1 есть следствие элементарных свойств п. п. последовательностей и
п. п. по Бору функций, и мы его опускаем.
14
Из леммы 3.1, учитывая, что каждая функция x() 2 B (R; R n ) ограничена на R, получаем,
что на B (R; R n ), а значит, и на множестве B (см. (2.5)) корректно определен функционал
q;
X
(3.1)
x() 7! G(x()) =: lim 1 g(t ; x(ma)):
1
m
q!1 q m
=0
Непосредственно из определений вытекает
Лемма 3.2. Пусть функция g : R V ! R удовлетворяет условиям I), II). Тогда отображение G : B ! R, заданное равенством (3:1), непрерывно дифференцируемо по Фреше на
B (B; k kB) и в каждой точке x() 2 B при всех h() 2 B
q;
X
G0(x())[h()] = lim 1 g0 (t ; x(ma))h(ma):
(3.2)
1
q!1 q m
x m
=0
Задача (см. (2.6), (3.1))
I(x()) = T(x()) + G(x()) ! inf ; x() 2 B (B; k kB );
(3.3)
называется п. п. задачей Больца и функция xb() 2 B называется (локальным) решением в слабом
(сильном) смысле, если найдется такое > 0, что I(xb()) 6 I(x()) для всякой функции x() 2 B,
удовлетворяющей неравенству kxb ; xkB 6 (соответственно kxb ; xkC 6 ).
В следующей теореме и далее Lb 0x(t) =: L0x (t; xb(t); xb_ (t)), Lb 0u (t) =: L0u (t; xb(t); xb_ (t)).
n
Теорема 3.1. Пусть функции L : R V R ! R и G : R V ! R удовлетворяют условиям
1), 2) и I), II) соответственно и функция xb() 2 B является решением в слабом смысле задачи
(3:3). Тогда, если функция
Определение 3.1.
Z t
t 7! pb(t) =: Lb 0x(s)ds 2 Rn ; t 2 R;
0
(3.4)
п. п. по Бору, то
а) отображение Lb 0u () принадлежит пространству B(R ; R n ),
б) xb(t) при п. в. t 2 R удовлетворяет системе уравнений (2:10),
в) имеет место равенство
q;
1X
gx0 (tm ; xb(ma)) = 0:
lim
q!1 q
1
m
(3.5)
=0
Непосредственному доказательству теоремы 3.1 предпошлем ряд утверждений, связанных с
вариацией функций из множества B.
Пусть заданы п. п. последовательность fvm gm2Z Rn и функция xb() 2 B, а также точки
2 [0; a) и 2 [0; a) n fg. Далее
=: sup jvmj; A (; ) =: f : 0 < 6 minfr=2; j ; j; a ; max(; )gg;
(3.6)
m2Z
где r > 0 выбрано так, что компактное множество
V =: orb(xb) + Or [0] V :
(3.7)
Рассмотрим отображение t 7! u (t) = u (t; ; ) 2 Rn , t 2 R, определенное на каждом полуинтервале [ma; (m + 1)a), m 2 Z, и всяком 2 A (; ) равенством
8
>
xb_ (t);
t 2 [ma; (m + 1)a) n (Tm (; ) [ Tm (; ));
>
<
:
_
u (t) = >xb(t) + vm ; t 2 Tm (; ) =: [ma + ; ma + + );
(3.8)
>
:b
_x(t) ; vm ; t 2 Tm (; ) =: [ma + ; ma + + ):
15
Непосредственно из (3.8) вытекает
Лемма 3.3. Множество fu (); 2 A (; )g ограничено по норме k k1 , содержится в
пространстве S (R; R n ), равностепенно п. п. и lim
d(xb_ (); u ()) = 0.
#
0
Далее, при каждом 2 A (; ) введем функцию
Z t
t 7! x (t) = x (t; ; ) =: xb(0) + u(s)ds; t 2 R;
(3.9)
0
и будем считать для определенности, что 2 (; a). Ясно, что функция x () локально абсолютно непрерывна и при п. в. t 2 R x_ (t) = u (t). Кроме того, поскольку при всяком q 2 Z
qR a
qR a
u (t)dt =:
xb_ (t)dt, то x(ma) = xb_ (ma), m 2 Z. Поэтому из (3.8) и (3.9) получаем, что
qa
qa
для любого m 2 Z и всякого 2 A (; )
( +1)
(3 8)
( +1)
8
>
b
>
>
>
>
>
b
>
<
t 2 [ma; ma + );
t 2 Tm (; );
(3.10)
t 2 [ma + + ; ma + );
t 2 Tm (; );
t 2 [ma + + ; (m + 1)a):
Заданную равенством (3.10) (или равносильно (3.9)) функцию t 7! x (t), t 2 R, будем называть п. п. вариацией заданной функции xb() 2 B.
Лемма 3.4. Множество fx (); 2 A (; )g содержится в B , ограничено по норме k kC и
lim
kxb() ; x()kB = 0:
(3.11)
#
x(t);
x(t) + (t ; ma ; )vm;
x (t) = >xb(t) + vm;
>
>
>
xb(t) + vm ; (t ; ma ; );
>
>
>
:
xb(t);
0
Поскольку (см. (3.10)) при t 2 [ma + + ; (m +1)a], m 2 Z jxb(t) ; x (t)j 6
:
2vm 6 r, то orb(
x
)
V
V и kx kC 6 kxbkC + r. Отсюда, в свою очередь, получаем,
t
R
что sup u (s)ds 6 2kxbkC + r, т. е. (см. [1], с. 215) x () 2 B (R; R n ) при любом 2 A (; ).
t2R
Учитывая равенство x_ (t) = u (t), лемму 3.3 и включение orb(x ) V , в силу (2.5) получаем
fx (); 2 A (; )g B. Наконец, поскольку при каждом 2 A (; ) и всяком m 2 Z (см.
mR a
:
(3.10)) jxb(t) ; x (t)j 6
ju(s) ; xb_ (s)jds 6 2, то lim
kxb() ; x ()kC = 0, и т. к. (см.
#
ma
(3.9)) x_ (t) = u (t) при п. в. t 2 R и lim
d(xb_ (); u ()) = 0; то (здесь см. (2.2)) равенство (3.11)
#
доказано.
Лемма 3.5 ([10]). Пусть (Y; kk) | банахово пространство и f 2 S (R ; Y). Тогда для любого
" > 0 найдется такое > 0, Rчто для каждого измеримого множества E [0; 1], mes E 6 выполняется неравенство sup kf (s + t)kds 6 ".
Доказательство.
:
(3 6)
(3 7)
0
(
+1)
(3 8)
0
0
t2R E
Полагаем при 2 A (; )
I () =: M Lb 0x(t) x (t) ; I () =: M Lb 0u(t) x_ (t) ;
(3.12)
x (t) =: x (t) ; xb(t); x_ (t) =: x_ (t) ; xb_ (t):
(3.13)
1
где
2
16
Из (3.10), используя лемму 3.5, получаем
q; Z ma 1X
lim
I
(
)
=
lim
Lb 0x (t)vmdt:
q!1 q
#
1
0
1
m
=0
+
ma +
(3.14)
Далее, из теоремы 1.5 ([4], с. 30) вытекает
1 N , lim ql = 1, fj g1 Лемма 3.6. Существуют такие последовательности fql gl
j
l!1
(0; 1), jlim
!1 j = 0, и измеримое множество [0; a], mes = a, что для каждой точки # 2 выполнено равенство
=1
qX
l ; 1 Z j
1
0
0
b
b
lim lim
jLu (t + # + ma) ; Lu(# + ma)jdt = 0:
j !1 l!1 ql a m j
1
0
=0
=1
(3.15)
Лемма 3.7. Пусть точки # 2 и 2 n f#g, где | множество, указанное в лемме 3:6.
1
Тогда для последовательностей fql g1
l и fj gj из этой же леммы
=1
=1
l;
1 qX
lim
I
(
)
=
lim
(Lb 0u (# + ma) ; Lb 0u ( + ma))vm :
j
j !1
l!1 q a
1
2
l m
(3.16)
=0
Равенство (3.16) есть следствие равенств (3.15), (3.8) и, как уже отмечалось, того, что при
п. в. t 2 R x_ (t) = u (t).
Из условий теоремы 3.1 по утверждению б) леммы 2.2 получаем I(xb(); h()) = T(xb(); h()) + G0 (xb())[h()] = 0 для всех h() 2 B или (см. (3.2), (2.8))
Доказательство теоремы 3.1.
:
(3 3)
1
M fLb 0u (t)h_ (t) + Lb 0x(t)h(t)g + qlim
!1 q
q;
1
X
m
gx0 (tm ; xb(ma))h(ma) = 0:
(3.17)
=0
Далее, для функции xb() 2 B рассмотрим отвечающее ей семейство (см. (3.10)) п. п. вариаций fx (; #; ), 2 A (#; )g, где точки # и принадлежат множеству , указанному в
лемме 3.6. Из (3.17) при h() = x (), принимая во внимание равенство x (ma) = xb (ma) и
обозначения (3.12) и (3.13), получим I () + I () = 0 при 2 A (#; ). Отсюда, рассмотрев
1
последовательности fql g1
l и fj gj , указанные в лемме 3.6, в силу (3.14) и (3.16) получаем
qP
;
qP
l
l;
b 0 (# + ma))v
b(# + ma) ; L
равенство llim
(
p
=
lim
(pb( + ma) ; Lb 0u ( + ma))vm , спраm
u
!1 ql a m
l!1 ql a m
ведливое для всех точек #; 2 (# 6= ) и любой фиксированной п. п. последовательности
fvm gm2Z Rn , а это означает, что для всех точек # 2 и каждой п. п. последовательности
qP
l;
fvm gm2Z Rn llim
(pb(# + ma) ; Lb 0u (# + ma))vm = 0. Поэтому, если для произвольно
!1 ql a m
фиксированной функции x() 2 B (R; R n ) рассмотреть отвечающую ей п. п. последовательность
fx(# + ma)gm2Z, # 2 [0; a], то из последнего равенства при vm = x(# + ma) вытекает равенство
qP
l;
lim
(pb(# + ma) ; Lb 0u (# + ma))x(# + ma) = 0. Проинтегрировав его по # от 0 до a, полуq
a
l!1 l m
чим M f(pb(t) ; Lb 0u (t))x(t)g = 0. Поскольку это равенство выполнено для всех x() 2 B (R; R n ),
то (см. доказательство теоремы 2.1) при всех t 2 R pb(t) = Lb 0u (t) и тем самым утверждения а)
и б) теоремы 3.1 доказаны. Далее, из (3.17), полагая последовательно h(t) ej , j = 1; : : : ; n,
qP
; 0
получим M fLb 0x (t)g = ; llim
g (t ; xb(ma)), а т. к. M fLb 0x (t)g = M fpb_ (t)g = 0, то равенство
q
a
!1 l m x m
(3.5) доказано.
1
=1
1
2
=1
1
1
=0
=0
1
1
=0
1
1
1
=0
1
1
=0
17
Для получения необходимых условий решения в сильном смысле задачи (3.3) понадобятся
п. п. иголки Вейерштрасса, которым посвящен следующий пункт.
:
4. С фиксированной точкой # 2 [0; a) (a > 0) свяжем множество = f > 0 : # + " < ag, где
p
:
" = "() = + , и по заданной п. п. последовательности fvmgm2Z Rn рассмотрим функцию
x(; ) 2 C (R; R n ) ( 2 ), определенную на каждом полуинтервале [ma; (m + 1)a), m 2 Z,
равенством
1
8
>
>
<
0;
t 2 [ma; (m + 1)a) n [ma + #; ma + # + ");
(4.1)
x(t; ) =: >(t ; map; #) vm;
t 2 [ma + #; ma + # + );
>
:
vm ; (t ; ma ; # ; ) vm ; t 2 [ma + # + ; ma + # + "); m 2 Z;
которая п. в. дифференцируема на R и при каждом m 2 Z
8
>
0;
t 2 [ma; (m + 1)a) n [ma + #; ma + # + ");
>
<
x_ (t; ) = >vmp;
(4.2)
t 2 [ma + #; ma + # + );
>
:
; vm; t 2 [ma + # + ; ma + # + "):
Поскольку (см. обозначение в (3.6))
p
kx(; )kC 6 2v; kx_ (; )k1 6 (1 + )v
и при каждом n 2
Z
(4.3)
:
выполняются неравенства kx( + na; ) ; x(; )kC 6 sup jvm n ; vm j,
(4 1)
m2Z
:
+
d(x_ ( + na; ); x_ (; )) 6 4a sup jvm n ; vm j, то множество функций fx(; ); 2 g | п. п.
m2Z
иголок Вейерштрасса | содержится (см. (2.1)) в B(R; R n ), является ограниченным по норме
(4 2)
+
jjj jjjB и равностепенно п. п.
Далее (см., напр., [9], [11]) E (t; x; ; ) | функция Вейерштрасса, отвечающая заданному отображению u 7! L(t; x; u), u 2 Rn , и функционал x() 7! T(x()) определен в (2.6) .
n
Лемма 4.1. Пусть отображение L : R V R ! R помимо условий 1), 2) удовлетворяет
условию
3) для любых V 2 comp(V ) и U 2 comp(Rn )
lim
(ess sup ! [L0u (t; ; ); V U]) = 0;
(4.4)
#
t2R
0
где ! [L0u (t; ; ); V U] | -колебание на V U непрерывной функции (x; u) 7! L0u (t; x; u).
Тогда, если функция xb() 2 B при п. в. t 2 R удовлетворяет уравнению (2:10), то для каждого
компакта U =: orb(xb_ )+ON [0], N 2N , найдутся такие последовательности fql g1
q =1,
l N , llim
!1 l
fj g1j (0; a), jlim
!1 j = 0, и измеримое множество [0; a], mes = a, что в каждой точке
# 2 и любой фиксированной п. п. последовательности fvm gm2Z ON [0]
=1
=1
qX
l;
1
1
b
b
lim (T(x() + x(; j )) ; T(x())) = llim
E (ma + #; xbma(#); xb_ ma(#); xb_ ma(#) + vm): (4.5)
j !1 j
!1 ql a m
Доказательство. Рассмотрим компактное множество V , определенное в (3.7), и отображение (t; u) 7! L(t; u) =: L(t; xb(t); xb_ (t) + u), (t; u) 2 R ON [0]. Так как L 2 S (R; C (V U; R)), а
xb() 2 B (R; V ), то по лемме 1.3 отображение
(t; u) 7! L(t; xb(t); u) принадлежит S (R; C (U; R )), а
:
_
b
поскольку функция (t; u) 7! x(t; u) = x(t)+ u принадлежит S (R; C (ON [0]; U)), то по следствию 5.1
([4], с. 80) введенное отображение (t; u) 7! L(t; u) принадлежит пространству S (R; C (ON [0]; R )).
1
=0
1
Ср. с определением
x(; ) 2 C ([t ; t ]; Rn ), приведенное, напр., в [9], [11].
0
1
18
Поэтому, принимая во внимание, что функции t 7! Lb (t) =: L(t; xb(t); xb_ (t)) и t 7! Lb 0u (t) п. п. по Степанову, по лемме 1.5, а также лемме 1.9 и теореме 1.5 из [4], найдутся такие последовательности
fqlg1l N , llim
q = 1, fj g1j , jlim
= 0, и измеримое множество [0; a], mes = a,
!1 j
!1 l
что в каждой точке # 2 и любой фиксированной п. п. последовательности fvm gm2Z ON [0]
существуют пределы
qX
qX
qX
l;
l;
l;
1
1
1
0
b
b
L (#); lim
L (#); lim
L (#; v );
(4.6)
lim
=1
=1
1
1
m
l!1 ql a m
1
u;m
l!1 ql a m
=0
l!1 ql a m
=0
m
m
=0
где Lb m (#) =: Lb (# + ma), Lb 0u;m(#) =: Lb 0u (# + ma), Lm (#; vm ) =: L(# + ma; vm ) и при этом
l ; 1 Z j
1 qX
lim
lim
max
jL
(
t
+
#;
u
)
;
L
(
#;
u
)
j
dt
= 0;
m
m
j !1 l!1 ql a m j
u2ON
qX
l ; 1 Z j
lim lim 1
jLb (t + #) ; Lb ( )jdt = 0:
1
[0]
0
=0
1
j !1 l!1 ql a m
=0
j
m
0
m
(4.7)
(4.8)
Не оговаривая, считаем, что точка # в (4.1) и (4.2) принадлежит указанному множеству ,
число b 2 такое, что при каждом 2 (0; b ] для всех t 2 R xb(t)+ x(t; ) 2 V и xb_ (t)+ x_ (t; ) 2 U.
Далее, для каждой пары (; #) 2 (0; b ] (см. (4.1), (4.2)) справедливо равенство
q;
1 (T(xb() + x(; )) ; T(xb())) = lim 1 X
(Tm (#; ) + Tm (#; ));
q!1 qa m
1
(1)
в котором
(4.9)
=0
1 Z (L (t + #; v ) ; Lb (t))dt;
m
m
m
Z ma # "
1
(Lb 0u (t)x_ (t; ) + Lb 0x(t)x(t; ))dt;
Tm (#; ) =: rm (#; ) + rm (#; ) +
Tm (#; ) =: rm (#; ) +
(1)
(1)
0
+
(2)
и где
(2)
(2)
+
(3)
ma # +
Z ma #
1
:
rm (#; ) = ma #
Z ma #
rm (#; ) = 1
+
Z
+
(1)
+
+
"Z
1
x
(3)
Покажем, что
+
+
0
+
+
ma # +
+
lim
(
#
0
x(t; )dt;
L0x(t; xb(t) + #x(t; ); xb_ (t))d# ; Lb 0x (t) x(t; )dt;
ma # Z ma # " Z
rm (#; ) = ; p1
1
0
p
sup
)
L0u (t; xb(t) + x(t; ); xb_ (t) ; # vm ) d# ; Lb 0u (t)) dt vm :
jrmk (#; )j) = 0; k = 1; 2; 3:
#;m 2 ;a Z
(
[0
]
(4.12)
( )
Действительно, из (4.3) получаем неравенства
jrm (#; )j 6 2v sup
(1)
(4.11)
L0 (t; xb(t) + #x(t; ); xb_ (t) + vm )d#
1
0
+
(2)
+
(4.10)
Z
t2R t
t
p
+
jrm (#; )j 6 2v sup
l(s)ds;
(2)
Z
t2R t
t
p
+
l(s)ds;
где l(t) =: x;umax
jL0 (t; x; u)j. Поскольку l 2 S (R; R ), то из указанных неравенств в силу леммы
2V U x
3.5 получаем равенства (4.12) при k = 1; 2. Из соотношений
(
+
)
Z t
jrm (#; )j 6 pv sup
t2R t
p
+
(3)
! [L0u(s; ; ); V U]ds 6 v ess sup ! [L0u (t; ; ); V U]; () =: v;
(
t2R
)
19
(
)
в силу условия (4.4) получаем равенство (4.12) при k = 3.
Далее, т. к. xb(t) при п. в. t 2 R удовлетворяет уравнению (2.10) и x(# + ma + "; ) = 0, то при
всех (; #) 2 (0; b] имеем (здесь см. (4.1), (4.2)) следующие соотношения:
1
maZ # "
+
ma
+
+
(L0 (t)x_ (t; ) + Lb 0 (t)x(t; ))dt = ;Lb 0
b
# u
u;m (# + )vm = ;
x
L0
b
u;m (#) +
+
maZ # +
+
ma #
Lb 0x(t)dt vm:
+
tR Из них, учитывая, что (см. лемму 3.5) lim
sup jLb 0x (s)jds = 0, равенства (4.10) и (4.11) при
# t2R t
= j , в силу (4.12) и (4.7){(4.9) получаем нужное равенство (4.5) при # 2 и всякой п. п.
последовательности fvm gm2Z ON [0].
5. Приведем необходимое условие решения в сильном смысле для задачи (3.3).
n
Теорема 5.1. Пусть функции L : R V R ! R и G : R V ! R удовлетворяют условиям
1){3) и I), II) соответственно и xb() 2 B является решением задачи (3:3) в сильном смысле.
Тогда если функция (3:4) п. п. по Бору, то имеют место утверждения а){в) из теоремы 3:1,
и для каждой функции u() 2 S1 (R; R n ) выполнено неравенство
M fE (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u(t))g > 0:
(5.1)
b()) при
Доказательство. По определению 3.1 найдется такое > 0, что T(x()) > T(x
всех x() 2 B, удовлетворяющих неравенству kxb() ; x()kC 6 . Следовательно (см. (3.2)), xb()
будет решением задачи (3.3) и в слабом смысле. Поэтому будут справедливы утверждения а), б)
теоремы 3.1.
Фиксируем функцию u() 2 S1 (R; R n ) и для нее при h > 0 рассмотрим стекловское усреднение u(; h), принадлежащее пространству B (R; R n ), для
которого при каждом t 2 [0; a] рассмо:
трим п. п. последовательность fum (t; h)gm2Z, um (t; h) = u(t + ma; h), содержащуюся в Okuk1 [0].
Для компактного множества U =: orb(xb_ )+ ON [0], N =: kuk1 , возьмем последовательности fql g1
l ,
1
fj gj и множество [0; a] из леммы 4.1.
Согласно этой лемме в каждой точке # 2 для п. п. последовательности fvm gm2Z, v: m =: um (#; h) будет выполнено предельное равенство
(4.5). С другой стороны, т. к. при vm = um (#; h) (см. (4.1), (4.3)) kx(; j )kC 6 2j kuk1 , то
при всех j 2 N , начиная с некоторого j , будет справедливо неравенство I(xb() + x(; j )) >
b()), или, т. к. x(ma; j ) = 0, то
I(x
j (T(xb() + x(; j )) ; T(xb())) > 0. Отсюда вытекает, что
qP
l;
E (ma + #; xbma(#); xb_ ma(#); xb_ (#) + um(#; h)) > 0. Проинтегрировав последнее неравенlim
q
a
l
l!1 m
ство по # от 0 до a, получаем
M fE (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u(t; h))g > 0:
(5.2)
Далее, т. к. отображение (t; u) 7! L(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u) (см. доказательство леммы 4.1) принадлежит пространству S (R; C (ON [0]; R )), то функция
(t; u) 7! E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u) =: L(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u) ; Lb (t) ; Lb 0u (t)u
также принадлежит S (R; C (ON [0]; R )). Поэтому в силу равенства lim
d(u(; h); u()) = 0 и лемh#
мы 1.4, переходя в неравенстве (5.2) к пределу при h # 0, получаем неравенство (5.1).
n
b() 2 B и функция L : R V R ! R удовлетворяют условиям 1){3),
Лемма 5.1. Пусть x
а также условию
4) для любой ограниченной области U Rn , содержащей orb(xb_ ),
ess sup l(t) < 1; l(t) =: max
jL0 (t; xb(t); u)j; U =: U:
(5.3)
u2U u
+
0
=1
=1
0
1
1
1
=0
0
t2R
20
Тогда неравенство (5:1) выполнено в том и только том случае, если при п. в. t 2 R и
каждом v 2 Rn
E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + v) > 0:
(5.4)
условий очевидна.
n рассмотрим
Необходимость. С этой целью для произвольного фиксированного v 2 R
:
:
:
_
_
компактные множества V = orb(xb), U = orb(xb) + ON [0] (N = jvj), а также функцию
(t; u) 7! g(t; u) =: E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + u);
Доказательство. Достаточность
принадлежащую, как показано при доказательстве теоремы 5.1, пространству S (R; C (ON ; R)).
Покажем, что
lim
(ess sup ! [g(t; ); ON [0]]) = 0:
#
0
(5.5)
t2R
Действительно, если u ; u 2 ON [0] и ju ; u j 6 , то при каждом t 2
соотношения:
1
2
1
2
jg(t; u ) ; g(t; u )j 6 ju ; u j jL0u (t)j +
1
2
Z
+ 1
1
2
имеем следующие
b
L0u(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + #u )d# u ;
1
0
R
Z
1
1
2
0
:
L0u(t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t) + #u )d# u 6
6 2 kl()k1 + N ess sup ! [L0u (t; ; ); V U];
(5 3)
2
t2R
из которых в силу (4.4) вытекает (5.5).
Теперь рассмотрим задачу M fg(t; u(t))g ! inf, u() 2 S (R; ON [0]), для которой функция
ub(t) 0 является решением. Поскольку функция g 2 S (R; C (ON [0]; R )) и удовлетворяет условию (5.5), то по теореме 1.4 [4] (см. ее доказательство и замечание 4.1 в [12]) при п. в. t 2 R
min g(t; u) = g(t; 0), а поскольку g(t; 0) = E (t; xb(t); xb_ (t); xb_ (t)) 0 и v 2 ON [0], то неравенство
u2ON
(5.4) доказано.
[0]
Используя лемму 5.1, теорему 5.1 можно сформулировать в виде следующего утверждения.
n
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5:1 и функция L : R V R ! R удовлетворяет также условию 4). Тогда, если функция (3:4) п. п. по Бору, то справедливы утверждения а), б) теоремы 4:1 и найдется такое измеримое множество T R, mes(R n T) = 0,
что для каждого t 2 T и всех v 2 Rn будет выполняться неравенство (5:4).
Замечание 5.1.
Если ввести отображение
(t; x; u; ) 7! H (t; x; u; ) =: u ; L(t; x; u); (t; x; u; ) 2 R Rn Rn Rn ;
(5.6)
и обозначить b(t) = Lb 0u (t), то неравенство (5.4) равносильно тому, что
H (t; xb(t); xb_ (t); b(t)) > H (t; xb(t); xb_ (t) + v; b(t)):
(5.7)
Теорема 5.3 (условия Вейерштрасса{Эрдмана). Пусть выполнены условия теоремы 5:2.
Тогда для любой ограниченной области U Rn , содержащей orb(xb_ ), :в точках tb 2 T, являющихся точками непрерывности равномерно по (x; u) 2 orb(x) U, U = orb(xb), отображения
(t; x; u) 7! L(t; x; u), функция t 7! H (t; xb(t); xb_ (t); b(t)) является непрерывной.
21
Доказательство.
Рассмотрим функцию
(t; u) 7! g(t; u) =: H (t; xb(t); u; b(t)) =: b(t)u ; L(t; xb(t); u); (t; u) 2 R U:
По теореме 5.2 при tb 2 T выполнено равенство H (t;b xb(tb); xb_ (tb); b(tb)) = max
g(t;b u): Поэтому для
u2U
доказательства теоремы 5.3 достаточно показать непрерывность в указанной в теореме точке tb
функции t 7! max
g(t; u). Для этого отметим, что по утверждению а) теоремы 5.2 функция b()
u2U
п. п. по Бору, а значит, равномерно непрерывна на R, и т. к. отображение (t; u) 7! L(t; xb(t); u) (см.
ограничения на L и лемму 1.2) принадлежит S (R; C (U; R )) V (R U; R), то из соотношений
j max
g(tb + ; u) ; max
g(t;b u)j 6 max
jg(tb + ; u) ; g(t;b u)j 6 k b( + ) ; b()kC max
juj +
u2U
u2U
u2U
u2U
+ x;umax
jL(tb + ; x; u) ; L(t;b x; u)j + ! [L(t;b ; ); V U]; () =: kxb( + ) ; xb()kC ;
2 V U
(5 6)
loc
1
(
(
)
)
получаем непрерывность отображения t 7! max
g(t; u) в точке tb 2 T.
u2U
6. Укажем необходимые условия второго порядка сильного (слабого) минимума задачи (3.3)
в предположении, что (t; x; u) ! L(t; x; u) 2 R, (t; x; u) 2 R V Rn (V | область в Rn ),
удовлетворяющего помимо условий 1) и 2) следующим условиям:
3) в каждой точке (t; x; u) 2 R V Rn существуют L00xx (t; x; u), L00xu (t; x; u), L00ux (t; x; u),
L00uu (t; x; u);
4) для любых фиксированных V 2 comp(V ) и U 2 comp(Rn ) отображения L00xx; L00ux ; L00xu и L00uu
принадлежат пространству S (R; C (V U; Hom(Rn ))).
При выполнении этих условий в силу теоремы 2.5 из [7] утверждение б) леммы 2.3 дополняется следующим: в каждой точке x() 2 B (B; kkB ) функционал (2.6) имеет вторую вариацию
по Лагранжу T(x(); ) : B ! R, определенную при всяком h() 2 B равенством
T(x(); h()) = M fh_ (t)A(t)h_ (t) + 2h_ (t)C (t)h(t) + h (t)B (t)h(t)g;
(6.1)
где
8
>
A(t) = A(t; x()) =: L00uu (t; xb(t); xb_ (t));
>
<
(6.2)
B (t) = B (t; x()) =: L00uu (t; xb(t); xb_ (t));
>
>
:
00
00
:
_
_
C (t) = C (t; x()) = Lxu (t; xb(t); xb(t)) = Lux(t; xb(t); xb(t)):
Относительно функции g : R V ! R будем предполагать, что
00 (t; x);
I0 ) в каждой точке (t; x) 2 R V существуют gxx
0
II ) для всякого V 2 comp(V ) выполняется условие II), а также условие, что отображение
00 (t; x) принадлежит B (R V; Hom(Rn )).
(t; x) 7! gxx
При выполнении этих условий утверждение леммы 3.2 дополняется следующим: в каждой
точке x() 2 B (B; k kB ) отображение (3.1) дважды дифференцируемо по Фреше и для всех
h() 2 B
q;
X
1
00
G (x())[h()] = lim
h (ma)g00 (t ; x(ma))h(ma):
(6.3)
2
2
1
q!1 q m
xx m
=0
(условие Лежандра). Пусть отображения L : R V Rn ! R и g : R V ! R удовлетворяют условиям 1){4) и I0), II0) соответственно. Тогда если функция xb() 2 B
является решением задачи (3:3) в сильном смысле и ess sup jL0xx(t; xb(t); xb_ (t))j < 1, то при п. в.
t2R
t 2 R и всяком v 2 Rn выполнено неравенство
vL00uu (t; xb(t); xb_ (t)) v > 0:
(6.4)
Теорема 6.1
22
Доказательство. По условию теоремы 6.1 найдется такое > 0, что (см. (3.3))
x )) 6 I(x()) для всех x() 2 B, удовлетворяющих неравенству kxb() ; x()kC 6 , в том числе
и для всех x() 2 B таких, что kxb() ; x()kB 6 . Отсюда в силу ограничений, наложенных на L
и g, и сделанных выше дополнений к утверждениям лемм 2.3 и 3.2, по теореме о необходимом
условии локального минимума в нормированном пространстве
([9], с. 240) получаем, что для
всех x() 2 (B; k kB ) будет выполнено неравенство K(x()) =: T(xb(); x()) > 0, или (см. (6.3))
I( b(
2
1
K(x()) = M fL(t; x(t); x_ (t))g + qlim
!1 q
q;
1
X
m
00 (tm ; xb(ma))x(ma) > 0;
x (ma)gxx
(6.5)
=0
где (здесь см. (6.1) и обозначения (6.2) при x() = xb())
:
L (t; x(t); x_ (t)) = x_ (t)A(t)x_ (t) + 2x_ (t)C (t)x(t) + x (t)B (t)x(t):
(6.6)
В силу условия 3) по лемме 1.2 и 1.3 отображения A(); B () и C () принадлежат пространству S (R; Hom(Rn )) и для любых V 2 comp(V ) и U 2 comp(Rn ) функции (t; u) 7! u A(t)u,
(t; x; u) 7! u B (t)x, (t; x) 7! x C (t)x принадлежат пространствам S (R; C (U; R )), S (R; C (V U; R))
и S (R; C (V; R )) соответственно. Далее, используя теорему 1.5 ([4], с. 30) при f (t) = A(t) и лемму
1.5 для отображения (t; u) 7! u A(t)u, (t; u) 2 R ON [0] (N 2 N ), получим, что найдутся такие
последовательности fql g1
q = 1, fj g1j (0; a] (a > 0), jlim
l , llim
!1 j = 0, и измеримое множе!1 l
ство [0; a], mes = a, такие, что для каждой точки # 2 и любой п. п. последовательности
fvm gm2Z ON [0] будет существовать
=1
=1
l;
1 qX
lim
vm A(# + ma)vm
l!1 q
1
lm
(6.7)
=0
и выполняться равенство
qX
l ; 1 Z j
1
lim lim
jA(t + # + ma) ; A(# + ma)jdt = 0:
(6.8)
j !1 l!1 ql m j
Далее, по п. п. последовательности fvm gm2Z ON [0], в фиксированной точке # 2 рассмотрим совокупность (см. (4.1)) п. п. иголок Вейерштрасса fx(; ); 2g. Так как x(; ) 2 (B; kkB )
и x(ma; ) = 0 при всех m 2 Z и каждом 2 , то из (6.5) получаем, что K(x(; )) =
M fL(t; x(t; ); x_ (t; ))g > 0 при всех 2 . С другой стороны, из (6.6) при x() = x(; ) и
(4.1), (4.2) получим равенство
1
0
=0
qX
l; Z 1
M fL (t; x(t; ); x_ (t; ))g = llim
vm A(t + # + ma)vm dt + fm (#; ) ;
!1 q a
1
l m
0
=0
в котором ffm (; )gm2Z | такая п. п. последовательность, что
j
f
(
#;
)
j
m
= 0:
lim
sup
#
0
#;m 2 ;a Z
(
)
[0
]
(6.9)
(6.10)
Поэтому из существования предела (6.7), равенства (6.8) из (6.10) и (6.9) при = j получим
qP
l;
lim
K
(
x
(
;
))
=
lim
v A(# + ma)vm > 0. Рассуждая, как и при доказательстве теореj
q
a
j
l
j !1
l!1 m m
мы 5.1, используя последнее неравенство, получим, что для всякой функции u() 2 S (R; ON [0])
будет выполнено неравенство M fu (t)A(t)u(t)g > 0, т. е. функция ub(t) 0 является решением
задачи M fu (t)A(t)u(t)g ! inf, u() 2 S (R; ON [0]).
Поскольку для функции (t; u) 7! u A(t)u выполнено условие типа 4), то по теореме 1.4 [4] при
п. в. t 2 R и всех v 2 ON [0] будет выполнено неравенство (6.4). Отсюда в силу произвольности
выбора N 2 N получаем нужное неравенство при всех v 2 Rn .
1
1
1
=0
23
Если в задаче (3.3) отображение L : R V R n ! R удовлетворяет условию
то для него условия (4.4) и (5.3) выполняются.
Замечание 6.2. Полагая в (3.3) g 0, получим задачу (2.12). Поэтому из необходимых
условий решения xb() 2 B задачи (3.3) в сильном смысле вытекают соответствующие условия
для решения xb() 2 B задачи (2.12) в сильном смысле. При этом надо иметь в виду, что для
решения xb() 2 B задачи (2.12) в слабом смысле (а значит, и сильном смысле) для выполнения условий а), б) необходимо, чтобы п. п. по Степанову функции t 7! Lb 0x (t), t 7! Lb 0u (t) были
ограничены на R в существенном.
Замечание 6.1.
1) и 2
Документ
Категория
Без категории
Просмотров
3
Размер файла
314 Кб
Теги
почта, больца, задачи, периодических
1/--страниц
Пожаловаться на содержимое документа